www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT CHUN ĐỀ SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x Trong m tham số, X tập hợp X Các bước giải tổng qt: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) GTLN (max f(x)) f(x) X ii) Bước 2: f(x) g(m) max f(x) Chú ý: i) Nếu tốn khơng hạn chế khoảng nghiệm ta xem X Df(x) (miền xác định f(x)) ii) Nếu hàm f(x) khơng đạt max ta phải dùng giới hạn, ta thay bước 2) bảng biến thiên (BBT) f(x) iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ nghiệm phân biệt trở lên ta phải dùng BBT 4i) Đơi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) nhớ tìm điều kiện t (miền giá trị t) II CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 2x m 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm thực, 2x (1) 3) có nghiệm thực phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI (1) 2x x x2 Đặt y 3x2 6x , với x x m (2x 1)2 m 3x 6x m 1 ta có: Bảng biến thiên x y Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1) m 2, 2) m m 2, 3) x HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Tìm điều kiện m để phương trình x x m (2) có nghiệm thực www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT Đặt t x t Do t t t , (2) trở thành: t2 x t m t nên (2) có nghiệm m Bài Tìm điều kiện m để phương trình t m t m m x2 16 2 16 x2 HƯỚNG DẪN GIẢI m t2 Đặt t 16 x2 t (0; 4] , (3) trở thành t t Lập BBT hàm số y = t2 – 4t, ta có m (3) có nghiệm thực 4t m Chú ý: Nếu giải 2, ta loại m = Do nên lập BBT để tránh sai sót x x m x x HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Tìm điều kiện m để phương trình m t x t (0; ) \ {1} , (4) trở thành t x Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có m Đặt t Bài Tìm điều kiện m để phương trình x m x thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x + x = 1: (5) vơ nghiệm + x > 1: (5) x x 1 m4 x x 1 2 (4) có nghiệm thực t2 x2 2t m (5) có nghiệm x t (1; x x Lập BBT hàm số y = t2 + 2t, ta có m > Đặt t m t ) , (5) trở thành t t2 2t m x m (6) Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 2x 1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI x Ta có (6) Đặt y x2 2x 2x 3 x m x, x y' x x2 x 2x x x2 x2 2x 2x 3 Bảng biến thiên x y’ y –1 + 1 Dựa vào bảng biến thiên: – –3 www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT 1) m m 1, 2) khơng có m x Bài Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 1 x m (7) HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) x x, x f / (x) [ 1; 1] x 2 x x Bảng biến thiên –1 x f’(x) f(x) 0 + – Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 2 m : (7) vơ nghiệm + m + m = 2: (7) có nghiệm + m : (7) có nghiệm phân biệt x x2 9x m (8) có nghiệm thực Bài Tìm điều kiện m để phương trình x HƯỚNG DẪN GIẢI x x x (8) (9x x2 ) 9x x2 m 9x x2 9x x2 m Đặt t x2 9x x t (9 x) t2 t2 Lập BBT hàm số y 2t , x 2t [0; 9] , ta có (8) trở thành: m [0 ; 9/2] ta có Bài Tìm điều kiện m để phương trình x x x HƯỚNG DẪN GIẢI x x t Ta có (9) trở thành: Đặt t t2 4t Lập BBT hàm số y t 2t t2 6, t Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình t2 t m ta có m x x x m 10 x m (9) có nghiệm thực 2t m x x m (10) có nghiệm thực Đặt t x t2 x 6t t2 + Lập BBT hàm số y + Do 18 t 27 HƯỚNG DẪN GIẢI t2 Ta có (10) trở thành: t2 m 6t t t t2 12t m, t (*) t2 t2 27 m, 12t 9, t ta suy (*) có nghiệm thực t t2 m (**) 18 27, t [0; 3) nên (**) có nghiệm thực Vậy với m 27 (10) có nghiệm thực m m 27 27 www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT x Bài 11 Tìm m để phương trình Đặt t x x Mặt khác t2 2 x Ta có (11) trở thành: x (x 1)(3 x) m (11) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI t 2 x x t t x t2 [(x 2 t t 1, t x Chú ý: Nên lập BBT t Đáp số: m x4 x)] t t m 2; ta có m x để tìm miền giá trị t x (1 x)(8 x) m có nghiệm thực 4x m 4x m x4 4x HƯỚNG DẪN GIẢI x4 Bài 13 Tìm m để phương trình Đặt t x (3 t m Lập BBT hàm số y Bài 12 Tìm m để phương trình 1) m (13) có nghiệm thực Ta có: t2 t (13) Lập BBT hàm số y x4 x4 4x m ta có m 19 16 t 4x x4 4x 16 m m (14) Bài 14 Tìm điều kiện m để phương trình x2 x2 1) có nghiệm thực nhất, 2) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy x0 nghiệm (14) – x0 nghiệm (14) Suy x0 x0 x0 nghiệm (14) Thế x0 = vào (14) ta m = Thử lại ta thấy (14) có nghiệm Vậy m = 2) Đặt t m x2 t Ta có (14) trở thành t3 2t2 2t [0 ; 1] ta suy Lập BBT hàm số y t Bài 15 Chứng tỏ phương trình 3x2 2x 2x m mx (15) ln có nghiệm thực với giá trị m 2x (15) x 3x2 2x 3x Xét hàm số f(x) Mặt khác lim 2x 3x 2x HƯỚNG DẪN GIẢI x 3x2 2x mx 2x , x f / (x) , lim Suy hàm số f(x) có tập giá trị x 2x 3x 3x 2x (2x 1 1) 2x x mx 3x 2x m Vậy (15) ln có nghiệm thực với m www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT Bài 16 Tìm m để phương trình (x 3)(x 1) 4(x x x 3) m (16) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện x x + Với x Đặt t : (16) (x + Với x 3)(x x (x 3)(x 1) : (16) f / (x) lim f(x) lim 3)(x 1) m , (16) trở thành t2 4t m m (x 3)(x 1) Vậy m m m x f / (x) (1 x)2 x x 3 x (1 x)2 (1 x) x)2 (1 3 x x2 x)2 (1 x)2 (1 x2 f(0) x x 3 Suy tập giá trị f(x) (0; 2] Vậy x2 m (1 x)2 x x)2 (1 lim x x 31 x m (17) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI 1 (x 1) 3 x x 1) 3)(x Bài 17 Tìm m để phương trình 3 0, x (x Xét hàm số f(x) x Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: m Đặt t x2 1 x x2 2 x, t' t( 1) (18) trở thành m(t Xét hàm số y 2) t2 x2 1 HƯỚNG DẪN GIẢI x x x2 x2 2, t(0) t2 t t x4 t y' m x2 t2 t2 4t (t 2)2 x2 t 0; x2 (18) có nghiệm thực x , x 1; t t 0, t 0; Bảng biến thiên x y’ y 0 – Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực m Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình m x2 x m (19) www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT x2 m (19) HƯỚNG DẪN GIẢI x m x2 x x2 0, x x Xét hàm số y x2 x2 x2 x2 y' x Giới hạn lim y 2 x x lim x x x x2 x2 2 2 x lim y x 2 2 x x Bảng biến thiên x y’ y –1 – + – 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có + m + + m m m : (19) vơ nghiệm : (19) có nghiệm m 1 m : (19) có nghiệm phân biệt Bài tốn 20 Tìm m để phương trình Điều kiện 2x2 x Ta có (20) 2x2 x x Lập BBT hàm số y x mx m (20) có nghiệm thực x HƯỚNG DẪN GIẢI x (x 1) x 2x2 m 2x2 x x ta suy m m Bài 21 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực nhất: 2m x(1 x) x(1 x) m3 (21) HƯỚNG DẪN GIẢI Nhận thấy x0 nghiệm (21) – x0 nghiệm (21) Từ đó, để (21) có nghiệm 1 x0 x0 m3 m m m x t2 x x 0, x x(1 x) Đặt t (21) trở thành 2(t2 1) mt2 t m3 m 1 2(t2 1) t t2 x(1 x) x + m = 0: (21) (nhận) 2 2(t2 1) t2 t 2(t2 1) (t 1)(t 2) + m = 1: (21) x x www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT t 2(t t 1)(t 1) : (21) 1)2 (t (t t (t + m t t 3)(t2 2) 2(t2 1) (t t 3t t 1)(2 t) 2t x2 Điều kiện x Xét hàm số f(x) Giới hạn x x x2 x lim f(x) lim x x lim x x x f(x) x x 0 (loại) x x (nhận) x x , x 2x x 1 x x x x(1 lim x2 x lim x x x x2 Vậy (22) có nghiệm thực Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm : x  2m  mx 2 0, x x 1 x x x x2 x x x) x2 x2 x lim f(x) x(1 m f / (x) lim x x x) 2t x2 x m (22) có nghiệm thực HƯỚNG DẪN GIẢI x2 x x x x 3t2 x(1 t Vậy m Bài 22 Tìm m để phương trình t3 2 t 2)2 t 1 x m 1 x 1 ) x x x2 , x x2 (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x  xo , suy  xo nghiệm (1) Vậy (1) có nghiệm khi: xo   xo  xo  Thay xo  vào (1), ta : m = Điều kiện đủ: Giả sử m = 0, (1) có dạng : x   x  nghiệm bất phương trình Vậy với m = bất phương trình có nghiệm III.BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài tập 1: Cho bất phương trình: m x2  xm www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT a.Giải bất phương trình với m  b.Xác đònh m để bất phương trình nghiệm với  x Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ Li /T ps ou gr m/ k co eb oo f ac ww w eu On Th iD Ho c0 1/ ... x2 , x x2 (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x  xo , suy  xo nghiệm (1) Vậy (1) có nghiệm khi: xo   xo  xo  Thay xo  vào (1), ta : m = Điều kiện đủ: Giả sử m = 0, (1) có dạng... phương trình 3 0, x (x Xét hàm số f(x) x Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: m Đặt t x2 1 x x2 2 x, t' t( 1) (18) trở thành m(t Xét hàm số y 2) t2 x2 1 HƯỚNG DẪN... t 0; Bảng biến thi n x y’ y 0 – Dựa vào bảng biến thi n, (18) có nghiệm thực m Bài 19 Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình m x2 x m (19) www.k2pi.net - TÀI LIỆU TỐN THPT x2 m (19) HƯỚNG