HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Chú ý: 1.Nội dung có chút nâng cao mở rộng với mục đích dùng cho ơn luyện thi ĐH-CĐ 2.Các nội dung “chữ đậm in nghiêng”ở phần hệ thống nội dung trọng tâm thi TNTHPT VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Các vấn đề liên quan đến hàm số Phương trình tiếp tuyến: M0; qua điểm M1 biết hệ số góc k Biện luận số nghiệm phương trình đồ thò : Cực trị hàm số Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Sự tương giao hai đường cong ( đ.thẳng đường cong) Cách xác đònh tiệm cận : Ứng dụng tích phân :Tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Oy o Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o Bài tốn tìm quỷ tích họ đường cong (Cm): y=f(x,m) o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi th-êng gỈp: o o o o o o o …… VấN Đề 2:HÀM Số LUỹ THừA,MŨ VÀ LOGARIT       Tính tốn,chứng minh,rút gọn,….các biểu thức có chứa mũ,logarit,luỹ thừa,… Tính đạo hàm hàm số mũ logarit Vẽ đồ thị hàm số mũ,logarit luỹ thừa Giải phương trình mũ logarit : Giải bất phương trình mũ logarit Giải hệ phương trình mũ logarit (Khơng có ban bản) VấN Đề 3:NGUN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ứNG DụNG TÍCH PHÂN  Tính ngun hàm o Áp dụng bảng ngun hàm o Dùng PP đổi biến(dạng dạng 2) o PP ngun hàm phần b  F (b)  F (a) a a o Tính tích phân cách sử dụng tính chất ngun hàm o Tính tích phân phương pháp đổi biến số  Tính tích phân  b f ( x).dx  F ( x) Dạng 1: Tính I = Dạng 2: Tính I = b /  f [u(x)]u dx a   f (x)dx đặt  cách đặt t = u(x) x = asint ;x = atant ;……… o Tìm tích phân phương pháp phần:  b a b u.dv  u.v a   b v.du a o Tính tích phân hàm số lượng giác (một số dạng bản) o Tính tích phân hàm số hữu tỷ o Tìm tích phân hàm số vơ tỷ: GV : Phạm Đỗ Hải o Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối Tính b  f (x) dx a  Ứng dụng tích phân o Tính diện tích hình phẳng o Tính thể tích vật thể tròn xoay : VấN Đề 4:Số PHứC      Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức nhau;… Thực phép tốn cộng trừ,nhân,chia số phức Tìm bậc số (thực dương;0;thực âm số phức) Giải phương trình tập phức (Chú ý PP giải pt bậc định lý Vi-et) Dạng lượng giác số phức ứng dụng (Khơng có ban bản) VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI      Tính diện tích mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, ) Tính thể tích khối chóp,khối hộp,lăng trụ,… Mặt cầu: o Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,… o Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Mặt nón: o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón thể tích khối khối nón VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN  Hệ toạ độ khơng gian o Xác đònh điểm , tọa độ vectơ không gian , c/m tính chất hình học o Tích vô hướng , tích có hướng , góc hai véc tơ : o Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp:  Mặt cầu (S) o Xác định tâm bán kính mặt cầu o Viết phương trình mặt cầu o Xác định tâm H bán kính r đường tròn khơng gian  Mặt phẳng: o Viết pt mặt phẳng dạng (cơ bản,chùm mp tổng qt)  Đường thẳng: o Viết pt đường thẳng dạng (PTTS PTCT)  Vị trí tương đối đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng mặt cầu)  Tính khoảng cách đối tượng:(điểm,đường thẳng,mặt phẳng mặt cầu)  Tính góc đối tượng:(đường thẳng- đường thẳng;đường thẳng-mặt phẳng mặt phẳng-mặt phẳng )  Xác định phương trình;tâm bán kính đường tròn khơng gian  Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng o Tìm hình chiếu H M lên () o Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (d)  Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp o Đối xứng qua mp() o Đối xứng quađường thẳng (d)  Tìm hình chiếu (d’) đ.thẳng (d) lên mp () PHẦN A.GIẢI TÍCH GV : Phạm Đỗ Hải PHẦN 1: HÀM SỐ Nhắc lại số cơng hức đạo hàm bản: u  v /  u /  v / u.v /  u / v  u.v / C.v /  C.v / 8.x u / v  v / u u    v2 v 1 1 9.   x  x  C.v / C     v2 v / 7. x   / / y ax  b cx  d   / (v  0)   x   10 x ta có y /  ad  bc (cx  d ) 11.a /  x  a 12.e   e x / x / x ln a x 13.log a x   x ln a / 14.ln x   x / 15.sin x   cos x / 20 y/  y a1 x  b1 x  c1 a2 x  b2 x  c2 a1 a2 b1 a x 2 b2 a2 a x 2 ta có c1 b x c2 b2  b2 x  c  c1 c2 u   /  1 / / 19 6.C   16.cos x    sin x / 17.tan x   cos2 x 1 / 18.cot x   sin x /   x  1 u /  v/ 1    v2 v / u/ u  u /   a   a ln a.u e   e u u / u u / u loga u /  / / u/ u ln a u/ u / sin u   u / cosu ln u /  cosu /  u / sin u u/ cos2 u / cot u /   u2 sin u tan u /  Bài tốn 1: Khảo sát hàm số SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.Tìm tập xác định: D=… Tính đạo hàm: y’= 3.Tính giới hạn: lim y  x  lim y  x  xo cho y’=0 tìm nghiệm với xo nghiệm mẫu 4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có) 5.Lập bảng biến thiên 6.Chỉ khoảng đồng biến,nghịch biến 7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU 8.Xét tính lồi lõm điểm uốn (Đối với hàm số bậc hàm trùng phương) Tính y’’ cho y’’=0 tìm nghiệm lập bảng xét dấu y’’ 9.Nhận xét đồ thị:  Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng đồ thị)  Chỉ rõ giao điểm (C) với trục Oy Ox  Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ 10 Vẽ đồ thị 1.Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d GV : Phạm Đỗ Hải (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac /  /  y/ dấu với hệ số a y/ = có hai nghiệm x1; x2 KL: hàm số tăng trên? KL: hàm số tăng? Giảm? (giảm trên?)  Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? Hàm số cực trò  (a  0) lim (ax3  bx2  cx  d ) =  x    (a  0)  (a  0)  lim (ax3  bx  cx  d ) =  x   (a  0) + Giới hạn:   + Bảng biến thiên: x  + / y + y + - x  y/ y + +  x  y/ y - x1 + CĐ x  y/ y + x1 x2  a>0 + + + CT   x2 CĐ + + a0 ; có CT 3a a0,không CT a0 + x  x1 x2 +  b 2a y/  y + y/  y + + + CT + CĐ  + + CT CT a x= ? giải pt trùng phương a> b b>0 a< b>0 a< b / y <  x D y >  x D Hàm số cực trò Hàm số nghòch biến D Hàm số đồng biến D ax  b + Tiệm cận:  x =  d tiệm cận đứng lim  = c  d x    cx  d /  c y= a c ax  b = x  cx  d tiệm cận ngang lim +Bảng biến thiên : x  d/c + /    y y a/c +   a/c x  y/ + y a/c a c d/c +  + +   a/c  + Vẽ đồ thò :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt  Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh , lấy đối xứng nhánh qua giao điểm hai tiệm cận GV : Phạm Đỗ Hải x= d/ c x= d/ c y= a/c y= a/c Hàm hữu tỉ : 2/1 y= ax2  bx  c ex  f (đk : e  ; tử không chia hết cho mẫu ) + TXĐ: D = R\  f   e + Đạo hàm : y/ = ae.x  2af x  (bf  ce ) có / =(af)2 (bfc e).ae (e.x  f ) / < y/ dấu với ae Hàm số cực trò / > y/ = có hai nghiệm x1; x2  Giá trò cực trò tính theo CT : y = + Tiệm cận :  x =  f tiệm cận đứng e lim f ( x ) = x  Viết lại hàm số y = A x + B + (x); lim [ f ( x)  ( Ax  B)] = lim (x) =0 x x + Bảng biến thiên : x  f/e + / y +  + y +  +   => y = a e f e 2ax  b e  x + ( b  af2 ) t/c xiên e e a.e >   x  y/ + y  x1  CĐ x2 f/e   +  + + + CT  a.e < x  f/e + /    y y + +    x   y/ y + x1 CT f/e +  + +    + Vẽ đồ thò : ( hàm phân thức ) Xiên Xiên Xiên đứng đứng đứng Xiên (ban khơng khảo sát hàm số này) Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : u Cầu Viết PTTT (C): y=f(x) biết Tiếp tuyến M(x0; f(x0))  TT có phương trình : y - f(x0)= f/(x0)(x x0) GV : Phạm Đỗ Hải x2 CĐ +    Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?  P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0) Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thò h/s y =f(x)  Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A Pt đường thẳng (d) : y = k(x  x1) + y1  Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thò (C) f(x) hệ phương trình :  f /  k(x  x1 )  y1 (x)  k (1) (2) có nghiệm  Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k =  a  Giả sử M(x0; f(x0)) tiếp điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0)  Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?  Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thò : Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) =  Biến đổi phương trình F(x; m) = dạng f(x) = g(x) Trong đồ thò hàm số y = f(x) vẽ y=g(x) đường thẳng song song với Ox Chú ý:Ở mức độ khó đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định quay quanh điểm cố định)  Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thò (C): y =f(x)  Dựa vào đồ thị xét tương giao đồ thò (C) với đồ thò y = g(x) Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ: D= ? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị khơng xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y/ > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến khoảng Đònh lý (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x)   x  (a;b) b) f(x) giảm khoảng (a;b) f/(x)   x  (a;b) Bài tốn 5: Cực trị hàm số  Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị khơng xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: GV : Phạm Đỗ Hải 1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ =  / 3) x0 cực trị hàm số  y / ( x )  y ( x ) đổi dấu qua x0  Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ?  Tìm m để hàm số đạt cực trị xo:  f / (x )  + xo điểm cực trị   / /  f ( x0 )   f / ( x0 )  + xo điểm cực đại  / /  f ( x0 )   f / (x )  + xo điểm cực tiểu  / /  f ( x0 )   Hàm số đạt cực trò y0 x0  f / ( x0 )   Hàm số đạt cực trò y0 x0  f ( x )  y  f // ( x )  0  Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… ) * Nếu y = f(x) đa thức đường thẳng qua điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Dạng 2: Cực trò hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u u(x) ; v(x) đa thức có MXĐ: D v Và y/ = u v  vu v = g(x) v dấu y/ dấu g(x) Nếu h/s đạt cực trò x0 y/(x0)= => g(x0) = u/vv/u = => u v  u Do giá trò cực trò y(x0) = v u(x ) v(x ) Một số dạng tập cực trị thường gặp - a  Để hàm số y  f  x  có cực trị  f '  x   có nghiêm     - Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía tung  yCD yCT  - Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trục tung  xCD xCT  GV : Phạm Đỗ Hải -  yCD  yCT  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm trục hồnh    yCD yCT  -  yCD  yCT  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm trục hồnh    yCD yCT  - Để hàm số y  f  x  có cực trị tiếp xúc với trục hồnh  yCD yCT  Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s y = f(x) [a;b]:  xét hàm số y = f(x)=… [a;b]  Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có )  x1 , x2 … chọn nghiệm thuộc [a;b]  Tính f(x1) ; f(x2) ……… So sánh  KL f(a) ; f(b)  Kết luận: max y  ? y  ? [a;b] [a;b] P/pháp tìm GTLN GTNN h/s (a;b) MXĐ :  Miền xét (a;b) TXĐ  Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/  Lập BBT:  Từ BBT kết luận * Nếu toàn miền xét h/s có CT GTNN giá trò CT * Nếu toàn miền xét h/s có CĐ GTLN giá trò CĐ y  y ct [a;b] max y  [a;b] yCĐ * Nếu hàm số ln tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị khoảng (a;b) Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét ta tìm TXĐ h/s :  TXĐ đoạn [a;b]hoặc khoảng ta dùng cách  TXĐ khoảng dùng cách  Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x) Biến tốn tìm GTLN,NN hàm số y = f(x) khoảng thành tốn tìm GTLN,NN hàm số y = g(t) đoạn khác Bài tốn : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng đường cong) Cho hai đồ thò (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm (C1) (C2) có nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (1)  pt(1) vô nghiệm (C1) (C2) điểm chung  pt(1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung * Số nghiệm (1) số giao điểm hai đường cong f (x)  g(x) Điều kiện tiếp xúc : Đồ thò (C1) tiếp xúc (C2) hệ pt  có nghiệm f (x)  g(x) Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận : GV : Phạm Đỗ Hải Tiệm cận đứng :  lim f (x)   x x0 => x = x0 tiệm cận đứng Chú ý : tìm x0 điểm hàm số không xác đònh  Tiệm cận ngang : lim f (x)  y => y = y0 tiệm cận ngang x  Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử  bậc mẫu có tiệm cận ngang  Tiệm cận xiên (ban khơng có phần này): Cách 1: + viết hàm số dạng : f(x) = ax + b +  (x) lim [f(x) –(ax + b)] = lim (x) =  y = ax + b tiệm cận xiên x  x Cách 2: ta tìm hai hệ số a b ; a f (x) lim x  x ; b  lim f (x)  ax x    y = ax + b tiệm cận xiên Bài tốn 9: Ứng dụng tích phân :Tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Oy  (C1 ) (C2 ) (H )   x  a, x  b (a  b)  (C1 ) (C2 ) (H )   y  c, y  d (c  d ) d b S  S y C1  yC2 dx x C1  xC2 dy c a d b VOx    y C1 y a C2 dx VOy    xC21  xC22 dy c Bài tốn 10: Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm): y=f(x,m)  Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m  Toạ độ điểm cần tìm nghiệm hệ PT gồm tất hệ số  Giải hệ kết luận …………………… Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích họ đường cong (Cm): y=f(x,m)      Tìm đk tham số m để quỷ tích tồn Tìm toạ độ điểm cần tìm quỷ tích Khử m tìm hệ thức độc lập từ hai biểu tức toạ độ Tìm giới hạn quỷ tích Kết luận Bài toỏn 12:Các dạng đồ thị có chứa giá trị tuyệt đối thường gặp: a) Dạng đồ thị (C1) hàm số: y = f  x  nÕuf x    f x Ta có: y = f  x  =  nÕuf x   - f x   Vẽ đồ thị (C): y = f(x)  Đồ thị (C1) gồm phần:  Các phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh (f(x)  0)  Phần đối xứng đồ thị (C) nằm phía trục hồnh qua Ox b) Dạng đồ thị (C2) hàm số: y = f  x  GV : Phạm Đỗ Hải Sau thay vào cơng thức @ Dạng 3: e ax  udv  uv   vdu sin ax cosax dx   để tính Ta thực phần hai lần với u = eax Bài tốn 4: Tìm ngun hàm hàm số lượng giác (một số dạng bản) Dạng 1:  sin(ax+b).sin(cx+d)dx ;  sin(ax+b).cos(cx+d)dx  cos(ax+b).cos(cx+d)dx * Thực cơng thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân Dạng 2:  sin n ax.cosmaxdx (n,m số ngun dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn : Dùng cơng thức nhân đơi sau dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số lại số chẵn ta dung cơng thức hạ bậc) *) n,m  Z n+m số ngun chẵn đặt t = tanax t = cotax Dạng 3:  R(sinx,cosx)dx R hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx tức R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài tốn 5: Tìm ngun hàm hàm số hữu tỷ u cầu tính  g(x) dx f(x), g(x) đa thức theo x f (x) Trường hợp 1: Bậc f(x) Bậc g(x) thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) Trong h(x) (thương phép chia) đa thức r(x) (phần dư phép chia)  h(x)  g(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) Nên  ( f (x) )dx   h(x)dx   r(x) dx Như g(x) h(x)  h(x)dx ta tích bảng ngun hàm ta  g(x) dx theo trường hợp sau Trường hợp 2: tính  r(x) dx với bậc r(x) nhỏ bậc g(x) g(x) phải tính r(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C     (*) ( x1; x2 nghiệm g(x) 2 g(x) a(x  1).(x  x ) (x  x1) (x  x ) (x  x ) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải g(x) phân tích thành tích nhị thức Bài tốn 6: Tìm ngun hàm hàm số vơ tỷ:dùng phương pháp đổi biến số Phuơng pháp chung:  PP đổi biến dạng   f( n ax  b ).dx Đặt t  n ax  b PP đổi biên dạng 2: Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: o  f( GV : Phạm Đỗ Hải a  x ).dx Đặt x  a sin t o o o  f( a  f( x  f(  x ).dx Đặt x  a tan t  a ).dx Đặt x Đặt t  x  x2  a2 x a 2 ).dx  PHầN 4: TÍCH PHÂN b a f ( x).dx  F ( x) a cos t b  F (b)  F (a) a Bài tốn 1: Tính tích phân cách sử dụng tính chất ngun hàm Bài tốn 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b /  f [u(x)]u dx a Dạng 1: Tính I =    cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)  dt  u'(x)dx Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b) b /  f [u(x)]u dx a I= Dạng 2: Tính I =   f (x)dx  u(b) =  f (t)dt u(a) Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: 2 a x a2  x2 ; ; đặt x = asint 2 a x a  x2 đặt x = atant Bài tốn 3: Tìm ngun hàm phương pháp phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] I = b b b  udv  u.v a   vdu a a phân tích hàm số dễ phát u dv @ Dạng    sin ax  f ( x ) cosax dx với f(x) đa thức:  ax  e  Sau thay vào cơng thức  udv  uv   vdu để tính  u  ln( ax  b) du   Đặt  dv  f ( x ) dx v    @ Dạng 2:  f ( x ) ln( ax  b )dx  Sau thay vào cơng thức  udv  uv   vdu Đặt u  f ( x ) du  f '( x ) dx   sin ax  sin ax        dv  cos ax  dx v   cosax  dx ax ax   e  e  a.dx ax  b f ( x ) dx để tính sin ax cosax dx    Ta thực phần hai lần với u = eax @ Dạng 3:  e ax Bài tốn 4: Tính tích phân hàm số lượng giác (một số dạng bản) GV : Phạm Đỗ Hải Dạng 1:   sin(ax+b)sin(cx+d)dx ;    cos(ax+b).cos(cx+d)dx    sin(ax+b).cos(cx+d)dx  * Thực cơng thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân  Dạng 2:  sin n ax.cos max.dx (n,m số ngun dương)  *) Nếu n lẻ, m chẵn đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn : Dùng cơng thức nhân đơi sau dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số lại số chẵn ta dung cơng thức hạ bậc) *) n,m  Z n+m số ngun chẵn đặt t = tanax t = cotax Dạng 3:   R(sinx,cosx)dx  R hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx) ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx tức R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài tốn 5: Tính tích phân hàm số hữu tỷ u cầu tính  f (x) dx   g(x) f(x), g(x) đa thức theo x Trường hợp 1: Bậc f(x) Bậc g(x) thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) Trong h(x) (thương phép chia) đa thức r(x) (phần dư phép chia)  h(x)  g(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc g(x)  f (x)   r(x) dx   h(x)dx   dx   g(x)   h(x)  Như  h(x)dx ta tích bảng ngun hàm   Trường hợp 2: tính  r(x) dx với bậc r(x) nhỏ bậc g(x)  g(x) Nên ta phải tính  r(x) dx theo   g(x) trường hợp sau *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C     (*) ( x1; x2 nghiệm g(x) 2 g(x) a(x   1).(x  x ) (x  x1) (x  x ) (x  x ) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải g(x) phân tích thành tích nhị thức Bài tốn 6: Tìm tích phân hàm số vơ tỷ:dùng phương pháp đổi biến số Phuơng pháp chung:  PP đổi biến dạng   f( n ax  b ).dx Đặt t  n ax  b PP đổi biên dạng 2: Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: o  f( GV : Phạm Đỗ Hải a  x ).dx Đặt x  a sin t o o o  f( a  f( x  f(  x ).dx Đặt x  a tan t  a ).dx Đặt x Đặt t  x  x2  a2 x a 2 ).dx a cos t Bài tốn 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối Tính b  f (x) dx a +) Tìm nghiệm f(x) = Nếu f(x) = vơ nghiệm (a;b) có có nghiệm khơng có nghiệm thuộc [a;b] có b  f (x) dx a nghiệm x = a x = b nghiệm lại khơng thuộc [a;b] Nếu f(x) = có nghiệm x = c (a;b) b  f (x) dx a = = b  f (x)dx a c b  f (x)dx   f (x)dx a c *Chú ý 1) Nếu có nhiều nghiệm (a;b) dùng cơng thức tùy theo trường hợp nghiệm (cách làm có lợi ta khơngcần xét dấu f(x)) 2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG  THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng y  Hình phẳng giới hạn : hàm số y  f (x) liên tục [a;b] Diện  trục hoành y  0; x  a;x  b tích : S = b  | f (x) | dx a b a Chú ý : thiếu cận a, b giải pt : f(x) = hàm số x  f (y) liên tục [a;b] Diện trục hoành x  0;y  a; y  b  Hình phẳng giới hạn :  tích : S =  Hình phẳng giới hạn : hàm số y  f (x) liên tục [a;b]  hàm số y  g(x) liên tục [a;b] x  a; x  b  x b  | f (y) | dy a y Diện tích : S = b  | f (x)  g(x) | dx a y=f(x ) y=g( x) x b a Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x) 2) Nếu tốn qua phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính thơng qua tổng hiệu nhiều hình  Hình phẳng giới hạn : hàm số x  f (y) liên tục [a;b]  hàm số x  g(y) liên tục [a;b] Diện  y  a;y  b  tích : S = b  | f (y)  g(y) | dy a Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số y  f (x) liên tục [a;b] quay  trục hoành y  0; x  a; x  b quanh trục Ox f(x)  [a;b] V = b   f (x) dx a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số x  g(y) liên tục [a;b] quay  trục hoành x  0;y  a; y  b quanh trục Oy g(y)  [a;b] V = * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường : GV : Phạm Đỗ Hải b   g(y) dy a  hàm số y  f (x); y  g(x) liên tục [a;b] quay   x  a; x  b quanh trục Ox V = b 2   f (x)  g(x) dx a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số x  f (y); x  g(y) liên tục [a;b] quay   y  a; y  b quanh trục Oy V = b 2   f (y)  g(y) dy a PHầN 6: Số PHứC Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,… Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di  a = c b = d 2) mơđun số phức z  a  bi  a  b 3) số phức liên hợp z = a+bi z = a  bi * z+ z = 2a; z z = z  a  b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i c  di 7) z  a  bi  2 [(ac+bd)+(ad-bc)i] (để thực phép chia:ta nhân tử mẫu cho số phức liên a b hợp số phức mẫu) Bài tốn 2:Căn bậc số phức: Định nghĩa bậc 2: z bậc w z2=w Chú ý:  bậc w=a (a số thực dương) z=  a  bậc w=a (a số thực âm) z= i a   bậc w=0 (a số thực dương) z=0 bậc số phức w=a+bi Phương pháp: o Giả sử:z=x+yi ; x,y số thực bậc số phức w=a+bi o lập hệ  x2  y  a 2 2 z  w   x  yi   a  bi  x  y  xyi  a  bi  2 xy  b o Giải hệ tìm x;y Kết luận Bài tốn 3: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với  = b2  4ac Nếu  = phương trình có nghiệp kép x1  x   b 2a Nếu  > phương trình có hai nghiệm: x Nếu  < phương trình có hai nghiệm: x b   2a b  i  2a Bài tốn 4:Cách tìm dạng lượng giác số phức: z=a+bi ; a,b số thực Cách 1: 1.Tìm r: GV : Phạm Đỗ Hải r  z  a  b2 r>0 b  sin   r Tìm Acgumen  cho  co s   a  r Thay r  vào cơng thức z = r(cos+isin) a b Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r(  i )= r (co s   i.sin  ) r r CỦNG CỐ :Dạng lượng giác số phức ứng dụng (Khơng có ban ) Cho số phức z=ax+b; a,b R.được biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng phức Acgumen số phức z: số đo (radian) góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen số phức z y  Nếu  acgumen z, acgumen z có dạng +k2, kZ  Kí hiệu r mơdun z r = |z| = a b , r > a=rcos , b=rsin Từ suy dạng lượng giác số phức z = r(cos+isin)   Dạng lượng giác số đối số phức z -z = - r(cos+isin) hay –z = r[cos(+)+íin(+)] Số phức liên hợp z số phức z có dạng lượng giác : z =a – bi = r(cos - isin) hay z = r[cos(-) + isin(-)]  *Các phép tính với số phức dạng lượng giác: Kí hiệu z1=r1(cos1+isin1) ; z2=r2(cos2+isin2) thì: z1.z2=r1.r2[cos(1+2)+isin(1+2) z1 r1 [cos(1-2)+isin(1-2)] z2 r2  Từ suy dạng lượng giác số phức z-1(nghịch đảo z) là: z-1 = r(cos  i.sin )n  r n (cosn  i.sin n ) (cos  i.sin )n  (cosn  i.sin n )   M(z) O 1  [cos( )  i sin( )] z r  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác: Số phức z = r(cos+isin) có hai bậc hai r (cos Hay z = r(cos+isin) có hai bậc hai = r cos( sin ) 2 ) *Căn bậc n số phức z có n giá trị khác zk : zk = n r cos n k2 n B HÌNH HỌC GV : Phạm Đỗ Hải i sin n k2 n với k = 0,1,2…,n-1 - r (cos isin( 2 sin ) ) , với r > x Phần 1: Thể tích, diện tích khối hình   Tính diện tích mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn, ) Tính thể tích khối chóp V = Bh ;    Tính thể tích khối hộp chữ nhật V= a.b.c Tính thể tích khối lăng trụ: V= Bh Khối cầu: o Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp  Dựng trục d đa giác đáy  Trong mp chứa cạnh bên trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực) cạnh bên  Khi đó:gọi I  d  d ' Suy I tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp  Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp) o Tính diện tích mặt cầu S = 4r2 o thể tích khối cầu V = r 3   Khối trụ: o Tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2rl; o diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2r(r + l) o thể tích khối trụ V = r2h Khối nón: o Tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = rl; o diện tích tồn phần hình nón Stp = r(r + l) o thể tích khối khối nón V = r 2h  Chú ý: o Các dạng tốn:song song,vng góc lớp 11(đặc biệt tốn giao tuyến thiết diện) o Khơng dùng trực tiếp cơng thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thơng qua việc tính diện tích hai tam giác đồng dạng) Ví dụ: Ta có: AH đường cao chung hình chóp A.SMD A SBD Nên ta có: 1 S SMD AH VS AMD VA.SMD S SMD SM SD.SinS SM      VS ABD VA.SBD S AH S SBD SB SB SD SinS SBD Vậy: VS AMD SA.SM SD  VS ABD SA.SB.SD Phần 2: Phương pháp tọa độ khơng gian  a = (x;y;z) GV : Phạm Đỗ Hải   a = x  i + y  j + z  k Tính chất : Tích Cho  a  b = = (a1;a2; a3) , (b1;b2; b3)    a  b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)   k a = (ka1;ka2;ka3) kR    vô hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos a1b1  a 2b2  a3b3 Cos  =  a   a  b 2 2 a12  a 2  a3 b1  b2  b3  a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = phương Toạ độ điểm:    b ; a  M = (x;y;z)   AB =   OM =  b = k  a  (x;y;z)    a , b ] [  OM = x =  i +  y  j +  M trung điểm AB  MA  k  = k MB ) Thì M có toạ độ :  G trọng tâm tam giác ABC  Tích có hướng véctơ : Cho a  (a1 ; a2 ; a3 ); Khi b  (b1 ; b2 ; b3 )   a , b ]   a ;[   a , b ]  x  k.x  B x M  A 1 k   y  k.y  A B y M  1 k   z  k.z B z  A M 1 k  xA  x  B x M    y y I:  y M  A B   z z B z  A  M   x G  (x A  x B  x C )  G:  y G  (y A  y B  y C )   z G  (z A  z B  z C )    a , b ] z ( xB xA ; yByA;zB zA)  M chia đoạn AB theo tỉ số k1 ( *[  [  b  Đk đồng phẳng véctơ : = a a a a a a  3; ;  b b b b1 b1 b     a , b , c        a , b ] c =    ba véc tơ AB , AC , AD đồng phẳng  [  ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là:    [ AB , AC ] AD  không đồng phẳng  ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) là: A  mp( BCD)  2 AB2AC2  (AB.AC)    tứ diện ABCD : VABCD = [ AB , AC ] AD     hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA   Diện tích tam giác ABC :  Thể tích  Thể tích SABC = Hoặc SABC =   [ AB , AC ] Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ không gian , c/m tính chất hình học GV : Phạm Đỗ Hải Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc hai véc tơ : Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích khối chóp,hộp: Phần 3: Mặt cầu (S) Bài tốn 1: xác định tâm bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R : (x a)2 + (y  b)2+ (zc )2 = R2 Phương trình tổng quát mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2D > có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = A2  B2  C2  D Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu  Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = (x1  a)2  (y1  b)2  (z1  c)  Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I trung điểm AB => I( xA  xB ; yA  yB ; zA  zB ) + Bán kính R = IA  Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S) x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = (1) Thay toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D  Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng () bán kính R = d(I; ()) Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng x - x o y - yo z - zo   ; mc(S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2 a b c Tính d(I; (d)) = ? Nếu: d(I; d ) > R (d) (S) điểm chung ( rời nhau)  d(I;  ) = R (d) tiếp xúc với (S) ( d tiếp tuyến) (d)  (S) =M0 ;  d(I;  ) < R (d) cắt mặt cầu (S) điểm phân biệt A B (Chú ý:AB vng góc với đt qua tâm I trung điểm nó) Cho (d) : Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho () : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2 Tính d(I; ()) = ? Nếu: d(I;  ) > R () (S) điểm chung ( rời nhau)  d(I;  ) = R () tiếp xúc với (S) (  mp tiếp diện) ()  (S) =M0 ; Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhận  IM0 làm VTPT  d(I;  ) < R  cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có tâm H; bán kính r * P.t đ.tròn(C ) A x + B y + Cz +D = (x a)2 + (yb)2 + (zc)2= R2 + Tâm H hình chiếu I lên mp () GV : Phạm Đỗ Hải + bán kính r = R  [d(I ; )]2 Cách xác đònh Hình chiếu H tâm I lên mp() :  + Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận n làmVTCP Giả sử (d)  x  a  At   y  b  Bt  z  c  Ct  + Toạ độ điểm H nghiệm hệ PT (gồm pt mp() pt đ.thẳng (d)) + Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy toạ độ điểm H Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện điểm M0: +) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) +) Tính  IM0 +) Mặt phẳng tiếp diện () qua M0 nhận  IM0 làm VTPT Bài tốn 5: Xác định tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) mặt phẳng() (Thường hay gọi đường tròn khơng gian) + bán kính r = R  [d(I ; )]2 +Cách xác đònh tâm H:  Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận n làmVTCP Giải hệ: (d)  x  a  At   y  b  Bt  z  c  Ct  thay vào pt mp() => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H Kết luận Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng: Cách 1:Viết dạng bản: Biết (P) qua Mo(xo;yo;zo) có VTPT n   A, B, C  có PTTQ A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 CHÚ Ý: * (ABC): +) tính AB  ? ; AC  ? +) VTPT (ABC) n  [AB,AC] => viết mặt phẳng qua A có VTPT n * mp(a,b) : a//b VTPT n  [u a , AB] với A a; B  b Nếu a cắt b n  [u a , u b ] *(A;a) VTPT n  [u a , AB] * () //() VTPT * () a VTPT với B a n   n n  ua * () có hai vectơ phương a,b n   [a, b] *() qua điểm A B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP GV : Phạm Đỗ Hải a n   [u a , AB] ( thay ua =a ) *() vng góc hai mặt phẳng (P) (Q) VTPT n  [n P ,n Q ] * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB +) Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB +) Tính vectơ AB Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB * () song song đường thẳng vng góc với mặt phẳng n  [n ,u a ] * () chứa đ.thẳng (D) () +) chọn M đ.thẳng (D) +) VTPT () n  [u D ,n ] * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) +) VTPT () n P  [u d , u d/ ] Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P  [u d , u d / ] Cách 2:Viết dạng chùm mặt phẳng: Cho (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 cắt  Mọi mp (R) thuộc chùm (P) (Q) có dạng: m(Ax+By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với m  n   Tìm hệ thức am+bn=0  Chọn m;n sau kết luận cho PT (R) Cách 3:Viết dạng tổng qt:    Định dạng mp cần tìm (P): Ax+By+Cz+D=0 với A2  B  C  Vận dụng giả thuyết tìm A;B;C;D Kết luận Bài tốn viết phương trình đường thẳng.(PTTS PTCT)  x = x o  a.t  Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) có VTCP u   a, b, c  có PTTS  y  yo  b.t  z  z  c.t o  Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) có VTCP u   a, b, c  có PTCT CHÚ Ý: * qua điểm A có VTCP u *  qua điểm A B =>  qua A có VTCP * qua A // (D) =>  qua A có VTCP GV : Phạm Đỗ Hải uD AB x - x o y - yo z - zo   a b c * qua A ()  qua A có VTCP n *  giao tuyến hai mặt phẳng () () +) VCTP  u  [n ,n ] +) Cho ẩn giải hệ ẩn lại tìm điểm M? =>  qua M có VTCP u  [n ,n ] u  [n ,n ] *  hình chiếu đ.thẳng (d) lên mp () o Viết phương trình mp(P) chứa (d) vng góc mp() (chọn M đ.thẳng (d),VTPT () n P  [ud ,n ] ) o Đường thẳng  cần tìm giao tuyến mp (P) mp() Viết PT  dạng tham số tắc (cho ẩn x = giải hệ gồm ẩn y z PT hai mặt phẳng (P) ()=> M? =>  qua M có VTCP u   [n P ,n ] ) * Cách viết phương trình đường cao AH ABC +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n  [BC,AC] = ? +) Tìm tọa độ VTCP đường cao AH là: u  [BC,n] = ? => Viết PT đường cao AH qua A có VTCP u  [BC,n] * Cách viết phương trình đường trung trực cạnh BC ABC +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n  [BC,AC] = ? +) Tìm tọa độ VTCP trung trực là: u  [BC,n] = ? +) Tìm tọa độ điểm M trung điểm đoạn thẳng BC  Đường trung trực cạnh BC ABC đường thẳng qua M có VTCP Bài tốn 3: tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên () +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP +) giải hệ gồm n PTmp()  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm () (D) nghiệm hệ * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (D) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u D +) giải hệ gồm PTmp()  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm () (D) nghiệm hệ Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp() +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP +) giải hệ gồm n PTmp()  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm () (D) nghiệm hệ GV : Phạm Đỗ Hải u  [BC,n] +) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  x  2x  x H  A/   y  2y H  y / A  z  2z H  z / A  * Đối xứng quađường thẳng (D) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT uD PTmp()  PT(D) +) giải hệ gồm +) Hình chiếu H giao điểm () (D) nghiệm hệ +) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  x  2x  x H  A/  y  2y  y  H A/  z  2z H  z / A  Bài tốn 5: Xác định vị trí tương đối mp mp, đt đt, đt mp * Vị trí tương đối mp (P) mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ =   với n =(A;B;C) n =(A/; B/ ; C/ ) (P)  (Q) A/ = B/ = C/ = D/ (P) // (Q) A A A/  = A A/  = C C C/  D D D/ B  C/  C/  A/ C C B/ A    / n n = AA/ + BB/ + CC/   cắt / n n không phương (P) cắt (Q) Chú ý :  B B B/ B B/  =0 * vị trí tương đối đ.thẳng (d1) (d2) Xác định VTCP    u =(a;b;c) ,  u / =(a/;b/; c/   ) ;Tính [ u , u / ]  Nếu :[ u , u / ]= +) chọn M1 (d1) Nếu M1 d2 d1 // d2 Nếu M1 (d2) d1  d2      tính [ u , u ' ] M1M   +) Nếu: [ u , u ' ] M1M =   +) Nếu: [ u , u ' ] M1M  Nếu [ u , u / ]  d1 cắt d2 d1 chéo d2 theo t t/ (cho PTTS hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ) Hoặc ta giải hệ d1  d +) hệ có nghiệm t t/ d1 cắt d2 => giao điểm +) hệ VN d1 chéo d2 * Vị trí tương đối đ.thẳng (D) mặt phẳng (P).Giải hệ PT +) thay PTTS đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta PT theo ẩn t +) PTVN (D)//mp(P) Nếu PTVSN (D)  mp(P) Nếu PT có nghiệm (D) cắt mp(P) =>giao điểm? Hoặc dung cách sau: +) tìm tọa độ VTCP u (D) VTPT n mp(P) GV : Phạm Đỗ Hải +) Tính tích vơ hướng u n = ? Nếu tích vơ hướng u n  (D) cắt mp(P) Nếu u n = chọn điểm M (D) sau thay vào PT mặt phẳng (P) thỏa mãn (D)  mp(P) ngược lại (D)//mp(P) Bài tốn 6: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = d(A;()) = Ax  By0  Cz0  D A2  B2  C2 * (P)//(Q) d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý (P) * Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P) +) chọn điểm M (d) tính d(M;(d)) = ? +) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P)) * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D) (khơng có cơng thức tính chương trình phân ban ban bản) ta tính sau: Cách +) lập PT mp(Q) qua A vng góc với (D) +) Tìm giao điểm H mp(P) đ.thẳng (D) +) Khoảng cách cần tìm đoạn thẳng AH Cách Áp dụng cơng thức : d ( A, d )  [ud ; AM ] M thuộc d ud * Khoảng cách hai đường thẳng song song (d) (d/) +) Chọn điểm M (d) +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d +) Tìm điểm N giao điểm (d/ ) mp(P) ( cách giải hệ gồm PTcủa (d/) PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z tọa độ điểm N) +) Khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng MN * Khoảng cách hai đường thẳng chéo (d) (d/) Cách 1: Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) +) VTPT () n P  [u d , u d/ ] => Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P  [u d , u d/ ] Chọn điểm N (d/) Tính d(N, mp(P)) =?  d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng [ud ; ud / ].MN Cách Áp dụng cơng thức : d (d ; d / )  [ud ; ud / ] Bài tốn 7: Tính góc * Góc hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = GV : Phạm Đỗ Hải mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = Với   ((mp(Q),mp(P)) cos = n1.n = n1 n * Góc đường thẳng (D): Với   ((D), mp(P))  x  x  at   y  y0  bt   z  z  ct   (d, ) mặt phẳng Ax+By+Cz+D = Sin=|cos( n P , u D ) |= Góc hai đường thẳng (d) : Với 1A  B1B2  C1C2  2  B2  C A1  B12  C12 A 2 cos = u1.u u1 u GV : Phạm Đỗ Hải  x  x  a1t   y  y0  b1t   z  z0  c1t = n u P D = nP uD Và (  ): a  bB  cC  A  B2  C a  b  c 2  x  x 0/  a t /   / /  y  y0  b t  / / z  z0  c2 t a1a  b1b2  c1c2  2  b2  c2 a1  b12  c12 a 2 [...]... định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp * Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0   với n =(A;B;C) và n =(A/; B/ ; C/ ) (P)  (Q) A/ = B/ = C/ = D/ (P) // (Q) A A A/  = A A/  = C C C/  D D D/ B  C/  C/  A/ C C B/ A    / n n = 0 AA/ + BB/ + CC/   cắt / n và n không cùng phương (P) cắt (Q)... đa thức theo x Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép chia) là  h(x)  g(x) h(x) một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x)  f (x)   r(x) dx   h(x)dx   dx   g(x)   h(x)  Như vậy  h(x)dx ta tích được bằng bảng ngun hàm vì vậy   Trường hợp. .. còn phải tính  r(x) dx theo   g(x) trường hợp sau *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức *) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C     (*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x) 2 2 g(x) a(x   1).(x  x 2 ) (x  x1) (x  x 2 ) (x  x 2 ) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường...  x 2 ) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng) *) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức Bài tốn 6: Tìm ngun hàm của các hàm số... hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dễ dàng hơn 1 a f (x) > a g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0 2 log a f(x) > log a g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0 *) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số Bài tốn 5: Giải hệ phương trình mũ và. .. sin(ax+b).cos(cx+d)dx  * Thực hiện cơng thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân  Dạng 2:  sin n ax.cos max.dx (n,m là các số ngun dương)  *) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đó dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc) *) n,m  Z... lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đó dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ bậc) *) n,m  Z nếu n+m là số ngun chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax Dạng 3:  R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx,... R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài tốn 5: Tìm ngun hàm của các hàm số hữu tỷ u cầu tính  g(x) dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x f (x) Trường hợp 1: Bậc của f(x) Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến: f (x) r(x) Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn r(x) (phần dư của phép... hợp, biểu diễn số phức,… Cho hai số phức a+bi và c+di 1) a+bi = c+di  a = c và b = d 2) mơđun số phức z  a  bi  a 2  b 2 3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a  bi * z+ z = 2a; z z = z 2  a 2  b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i c  di 1 7) z  a  bi  2 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i] (để thực hiện phép chia:ta nhân tử và. .. tích khối khối nón V = r 2h 3  Chú ý: o Các dạng tốn:song song,vng góc ở lớp 11(đặc biệt là các bài tốn giao tuyến và thi t diện) o Khơng dùng trực tiếp cơng thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thơng qua việc tính diện tích của hai tam giác đồng dạng) Ví dụ: Ta có: AH là đường cao chung của 2 hình chóp A.SMD và A SBD Nên ta có: 1 1 S SMD AH VS AMD VA.SMD 3 S SMD 2 SM SD.SinS SM ... đa thức:  ax  e  Sau thay vào cơng thức  udv  uv   vdu để tính  u  ln( ax  b) du   Đặt  dv  f ( x ) dx v    @ Dạng 2:  f ( x ) ln( ax  b )dx  Sau thay vào cơng thức. .. quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính... ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét