SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu (2 điểm) Cho phương trình : x − mx − m − = ( m tham số) 1) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 2) Cho x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức m + 2m S= x1 + x22 + Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình: x + + − x = 1  x + y + + =  x y  2) Giải hệ phương trình:   xy + =  xy  Câu (4 điểm) BC dây cung đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H 1) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2) Kẻ đường kính AK đường tròn (O; R) Chứng minh tứ giác BHKC hình bình hành 3) Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh AH = 2OA’ 4) Gọi A1 trung điểm EF Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’ Câu (1 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x - ax +a + = Câu (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A = -HếtGhi chú: + Giám thị coi thi không giải thích thêm + với < x < 2−x x + Thí sinh không sử dụng tài liệu làm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN (Có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải Câu 1) x − mx − m − = (*) (2 điểm) ∆ = m + 4m + = m + 2 ( ) 0,5 điểm 0,25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: ∆ > ⇔ ( m + ) > ⇔ m ≠ −2 2) Ta có: x1 + x = m ; x1.x = −m − S= ( m + 1) +3 m = −1 ⇒ S = − Câu (2 điểm) 1) Giải pt: ≥1− =− 3 1 Vậy, giá trị nhỏ S là: − 3 x+2 + 7−x =3 0,5 1,0 điểm ⇒ + ( x + 2)(7 − x) = 27 0,5 0,5 ⇔ x+2+7 - x +3 x + − x ( x + + − x ) = 27 ⇔ 0,25 1,5 điểm m + 2m m + 2m m + 2m = = x12 + x 22 + ( x1 + x ) − 2x1x + m + 2m + S = 1− Điểm 0,25 0,25 ( x + 2)(7 − x) = ⇔ (x+2)(7-x) = ⇔ x2 - 5x - = 0,25  x = −1 ⇔  (thỏa mãn) x = 1  x + y + x + y =  2) Giải hpt:   xy + =  xy 0,25 đ/k: xy ≠  2[ xy ( x + y ) + ( x + y )] = xy (1) Hệ cho   2( xy ) − xy + = (3)  xy =  Giải (2) ta được:  (4)  xy = (2) 1,0 điểm 0,25 0,25 x + y = x = x = ⇔ ;   xy = y = y =1 Từ (1) &(3) có:  0,25   x + y = Từ (1)&(4) có:   xy =  x =  ⇔  y =  x = ;   y = 0,25 Câu (4 điểm) Vẽ hình xác 0,25 · · · 1) Tứ giác BCEF nội tiếp => AFE (cùng bù BFE ) = ACB · · · (cùng bù CEF ) AEF = ABC => ∆ AEF ∼ ∆ ABC 2) Vẽ đường kính AK => KB // CH ( ⊥ AB) KC // BH (cùng ⊥ AC) => BHKC hình bình hành 3) Ta có BHKC hình bình hành => A'H=A'K => OA' đường trung bình ∆AHK => AH = 2OA’ 4) Áp dụng tính chất : hai tam giác đồng dạng tỉ số hai trung tuyến, tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng ta có : R AA ' ∆ AEF ∼ ∆ ABC => R ' = AA (1) ( R bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, R’ bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF) Ta có: AA’ trung tuyến ∆ABC; AA1 trung tuyến ∆AEF Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Từ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ Vậy R AA1 = AA’ A’O AH A 'O = AA’ 2 (2) Câu (1,0 Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm) x - ax +a + = Đ/k để pt có nghiệm: ∆ ≥ ⇔ a2-4a - ≥ (*) Gọi x1, x2 nghiệm nguyên pt cho (giả sử x1 ≠ x2) 0,25  x1 + x2 = a ⇒ x1 x2 − x1 − x2 =  x1 x2 = a + Theo định lí Viet:  ⇔ (x1-1)(x2-1)=3 x −1 =  x − = −1 ⇔ ;   x2 − =  x2 − = −3 x = x = ⇔  ;   x2 =  x2 = −2 0,25 (do x1-1 ≠ x2-1) 0,25 Như a = a = -2 thỏa mãn Câu 1,0 điểm Tìm giá trị nhỏ của: A= 0,25 + với < x < 2− x x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a2 + b2 ) (x2 + y2 ) ≥ (ax +by )2 Ta có: 2      ÷ +  ÷  2A =  x÷  − x ÷       ( 2− x => 2A ≥ ( + 1) = + 2   x  ≥  2− x + x÷ ÷  x  2− x  ) +( ) 2 0,25 2 Suy ra: 2A = + 2 ⇔ − x = x 2− x x ⇔ = 2 ( − x) x ⇔ 2x2 = x2 − 4x + ⇔ x2 + 4x + = 0,25 0,25 ⇔ ( x + 2) = ⇔ x + = Vì < x < ⇔ x = 2 −2 Vậy A = 1,5 + ⇔ x = 2 − Ghi chú: Thí sinh làm không giống đáp án (nếu đúng) điểm tối đa theo quy định 0,25 ...+ Thí sinh không sử dụng tài liệu làm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013- 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN (Có 04 trang)... 0,25 0,25 ⇔ ( x + 2) = ⇔ x + = Vì < x < ⇔ x = 2 −2 Vậy A = 1,5 + ⇔ x = 2 − Ghi chú: Thí sinh làm không giống đáp án (nếu đúng) điểm tối đa theo quy định 0,25