SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình: x − x + + x − x + 16 = ;  x + y + xy = 2) Giải hệ phương trình:  2  x + y + xy = 17 Câu (1 điểm) Chứng minh biểu thức A = 70 − 4901 + 70 + 4901 số nguyên Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC (AB ≠ AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng song song với tiếp tuyến (O) A cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E cắt đường thẳng BC F 1) Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh: a) AB.AD = AC.AE; b) FB.FC = FD.FE 3) Đường thẳng FD cắt (O) I J Chứng minh FI.FJ = FD.FE Câu (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y ẩn số): 1) x + y − xy + x − y + = 2) x + y = 2015 Câu (1 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b2 c2 + + ≥ 3(a + b + c ) b c a Hết -Ghi chú: + Giám thị coi thi không giải thích thêm + Thí sinh không sử dụng tài liệu làm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN Câu Hướng dẫn giải Điểm 1.1 x − x + + x − x + 16 = ⇔ ( x − 3) + ( x − 4) = ⇔| x − | + | x − |= (1) TH1: x ≤ (1) ⇔ − x + − x + = ⇔ x = (thỏa mãn) TH2: < x < (1) ⇔ x − − x + = ⇔ = (vô lý) TH3: x ≥ (1) ⇔ x − + x − = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy: Nghiệm phương trình cho là: x ∈ {0; 7}  x + y + xy =  x + y + xy = ⇔ Đặt x + y = u, xy = v ta hệ phương  2  x + y + xy = 17 ( x + y ) − xy = 17 0.25 1.2 u + v = trình:  (1) u − v = 17 u = −5 u = Giải hệ (1) ta được:   v =  v = −1 u = −5  x + y = −5 ta hệ  : Hệ vô nghiệm v =  xy = u = ta hệ  v = −1 x + y = Giải ta   xy = −1 0.25 0.25 0.25 0.25 Với  Với  0.25  x = −  x = +    y = +  y = − Ta có A3 = 140 + 3 (70 − 4901)(70 + 4901) A ⇔ A2 + A − 140 = ⇔ ( A − 5)( A2 + A + 28) = ⇔ A = (vì phương trình A2 + A + 28 = vô nghiệm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 x A y E I F J D B C x A yy E y J C C E B B I 0.25 D 3.1 F x A D II FF JJ C B · · · · Ta có AED (so le trong) ABC (có số đo nửa số đo cung = EAx = EAx · · AC) ⇒ AED = ABC 0.5 · · · · Mà AED + DEC = 180 ⇒ ABC + DEC = 180 ⇒ BDEC tứ giác nội tiếp 0.25 · · · a) XÐt hai tam giác ADE vµ ACB cã: BAC chung vµ AED = ABC (theo chứng minh ý 1) 3.2 3.3 Suy tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB AD AE ⇒ = ⇒ AB AD = AC AE AC AB · · · b) XÐt hai tam giác FBD FEC có: CFE chung FBD = FEC (vì góc bù góc ABC) Suy tam giác FBD đồng dạng với tam giác FEC FB FD ⇒ = ⇒ FB.FC = FD.FE (1) FE FC · · · XÐt hai tam giác FBI FCJ có: CFJ chung FBI = FJC (đều góc bù góc IBC) Suy tam giác FBI đồng dạng với tam giác FCJ ⇒ 4.1 4.2 FI FB = ⇒ FI FJ = FB.FC FC FJ 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 (2) 0.25 Tõ (1) vµ (2) suy FI FJ = FD.FE 0.25 x + y − xy + x − y + = ⇔ x + (3 − y ) x + y − y + = (*) 0.25 2 Để phương trình (*) có nghiệm (ẩn x) ta phải có ∆ = − y ≥ ⇔ − ≤ y ≤ 0.25 Vì y ∈ ¢ nên y = Thay vào (*) ta x = -1 x = -2 Vậy: phương trình cho có nghiệm nguyên là: (-1; 0), (-2; 0) 0.25 0.25 Với số nguyên n ta có n ≡ 0,1(mod 4) 0.25 Do x + y ≡ 0,1, 2(mod 4) với x, y nguyên Mặt khác 2015 ≡ 3(mod 4) Vậy: phương trình cho nghiệm nguyên Vì a + b + c = nên  a2   b2   c2  a b2 c2 2 + + ≥ 3(a + b + c ) ⇔  − 2a + b ÷+  − 2b + c ÷+  − 2c + a ÷ ≥ b c a  b   c  a  3(a + b + c ) − (a + b + c) 2 0.25 0.25 0.25 0.25 ( a − b ) (b − c ) ( c − a ) ⇔ + + ≥ (a − b) + (b − c ) + (c − a) b c a 0.25 1 ⇔ ( − 1)(a − b) + ( − 1)(b − c ) + ( − 1)(c − a ) ≥ b c a 0.25 ⇔ (a + c) (b + a ) (c + b) ( a − b) + (b − c ) + (c − a) ≥ (luôn a, b, c b c a 0.25 số dương) Ghi chú: Thí sinh làm không giống đáp án (nếu đúng) điểm tối đa theo quy định  ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2 01 0- 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN Câu Hướng dẫn giải Điểm 1.1 x − x + + x −... có ∆ = − y ≥ ⇔ − ≤ y ≤ 0.25 Vì y ∈ ¢ nên y = Thay vào (*) ta x = -1 x = -2 Vậy: phương trình cho có nghiệm nguyên là: (-1 ; 0), (-2 ; 0) 0.25 0.25 Với số nguyên n ta có n ≡ 0,1(mod 4) 0.25 Do x... + b) ( a − b) + (b − c ) + (c − a) ≥ (luôn a, b, c b c a 0.25 số dương) Ghi chú: Thí sinh làm không giống đáp án (nếu đúng) điểm tối đa theo quy định