S GIO DC V O TO TUYấN QUANG K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN NM HC 2009 - 2010 MễN THI: TON CHUYấN Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) ( ny cú 01 trang) CHNH THC Cõu (2 im) 1) Gii phng trỡnh: x3 + x = x + | x + | + | y |= ( x + 4)( y 3) = 2) Gii h phng trỡnh: Cõu (1 im) Tớnh tng sau: S= 1.4 2.5 (n 1)(n + 2) 2007.2010 + + + + + 2.3 3.4 n(n + 1) 2008.2009 Cõu (4 im) Cho ng trũn (O; R) tõm O, bỏn kớnh R T im M nm ngoi ng trũn k hai tip tuyn MA, MB ti ng trũn (A, B l cỏc tip im) im H thuc dõy cung AB cho HB = 2HA, ng thng i qua H v vuụng gúc vi OH ct ng thng MA ti C v ct ng thng MB ti D 1) Chng minh rng: a OHAC v OHDB l cỏc t giỏc ni tip b H l trung im CD c MC.MD = MA2 - AC2 2) Tớnh din tớch tam giỏc OCD, bit OM = 2R Cõu (2 im) Gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn (x, y l cỏc n s): 1) x y + x + y = 2) x + = y Cõu (1 im) Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l a, b, c Chng minh rng: a b c + + < b+c c+a a +b Ht -Ghi chỳ: + Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm + Thớ sinh khụng c s dng ti liu lm bi Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Tuyên quang chuyên năm học 2009-2010 Hớng dẫn chấm môn toán CHUYấN Câu 1.1 Hớng dẫn giải x +1 x x3 + x = x + 2 x + x = ( x + 1) x x x = x x x=2 x = ( x 2)( x + x + 1) = | x + | + | y |= | x + | + | y |= | x + | | y |= ( x + 4)( y 3) = ( x + 4)( y 3) < 1.2 | x + |= | y |= (1) hoc ( x + 4)( y 3) < | x + |= (2) | y |= ( x + 4)( y 3) < Điểm 0.5 0.5 0.5 x + = x + = x = x = hoc hoc y = y = y = y = 0.25 x + = x + = x = x = hoc hoc y = y = y =1 y = 0.25 (1) (2) 1.4 2.5 (n 1)(n + 2) 2007.2010 + + + + + 2.3 3.4 n(n + 1) 2008.2009 (n 1)(n + 2) = = Ta cú: ữ n(n + 1) n(n + 1) n n +1 S= 0.5 Cho n = 2, 3, 4,, 2008 ta c: 1.4 1 = ữ 2.3 2.5 1 = ữ 3.4 2007.2010 = ữ 2008.2009 2008 2009 Cng cỏc ng thc trờn vi ta c: 1 4030056 1 1 S = 2007 + + + ữ = 2007 ữ= 2008 2009 2009 3 2009 0.5 C A 3.1 (Hỡnh v) H M K I O 0.5 D B 3.a 3.b Vỡ OA MA, OB MB (tính chất tiếp tuyến ), OH CD (gt) nờn: ã ã OAC = OHC = 900 suy tứ giác OHAC nội tiếp đờng tròn đờng kính ã ã OC OBD + OHD = 1800 suy tứ giác OHDB nội tiếp đờng tròn đờng kính OD 0.5 ã ã Ta có: OCH (góc nội tiếp chắn cung OH đờng tròn đờng = OAH kính OC) ã ã ( góc nội tiếp chắn cung OH đờng tròn đờng ODH = OBH kính OD) ã ã (vì OAB cân đỉnh O) OAH = OBH 0.5 ã ã Suy OCH OCD cân đỉnh O H trung điểm CD = ODH 3.c Ta có: MC = MA + AC , MD = MB - BD , MA = MB Xét hai tam giác vuông OAC OBD có: OA = OB ãAOC = ãAHC = BHD ã ã nên OAC = OBD AC = BD MD = = BOD MA - AC Suy : MC.MD = (MA + AC)(MA - AC) = MA2 - AC2 (Cú th chng minh AC = BD nh sau: AC = OC OA2 = OD OB = BD ) 0.5 0.5 0.5 Gọi I trung điểm OM OI = R nên I (O,R) OAI Gọi K = OM AB K trung điểm AB R Vì AH = AB = AK nên H trọng tâm OAI OH = 3.2 ã ã ã ã ã Vì IOA = 600 OBH = OAH = 300 ODH = 300 DOH = 600 R DH = OH tan 600 = ì 3=R 3 R2 (vdt) S (OCD) = CD.OH = DH OH = 0.5 0.5 x y + x + y = x + x + ( y y + 4) = 4.1 ( x + 1) ( y 2) = ( x + y 1)( x y + 3) = x + y = x + y = x + y = x + y = hoc hoc hoc x y + = x y + = x y + = x y + = x = x = x = x = hoc hoc hoc y = y = y = y = 0.5 0.5 t x = 5t + r vi t , r { 0;1; 2;3; 4} Ta cú: x + = 25t + 10tr + r + 4.2 Vi mi r { 0;1; 2;3; 4} , r + khụng chia ht cho Do ú vi mi x , x + khụng chia ht cho Vy: Phng trỡnh x + = y khụng cú nghim nguyờn Vỡ a < b + c nờn a + b + c < 2(b + c), suy Tng t: b 2b c 2c < < , c+a a+b+c a+b a+b+c 0.5 0.5 a 2a < b+c a+b+c 0.5 Cng theo tng v ta c: a b c + + .. .Tuyên quang chuyên năm học 200 9- 2 010 Hớng dẫn chấm môn toán CHUYấN Câu 1.1 Hớng dẫn giải x +1 x x3 + x = x + 2 x +... ữ 3.4 2007.2 010 = ữ 2008 .2009 2008 2009 Cng cỏc ng thc trờn vi ta c: 1 4030056 1 1 S = 2007 + + + ữ = 2007 ữ= 2008 2009 2009 3 2009 0.5 C A 3.1 (Hỡnh v) H M K I O... + AC , MD = MB - BD , MA = MB Xét hai tam giác vuông OAC OBD có: OA = OB ãAOC = ãAHC = BHD ã ã nên OAC = OBD AC = BD MD = = BOD MA - AC Suy : MC.MD = (MA + AC)(MA - AC) = MA2 - AC2 (Cú th chng