Đang tải... (xem toàn văn)
một số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàmmột số bài toán về đạo hàm
§1 MỞ ĐẦU VỀ ĐẠO HÀM Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: y = f ( x ) = x − x + t¹i x0 = y = f ( x ) = y = f ( x ) = − x t¹i x0 = −3 2x + t¹i x0 = x −1 y = f ( x ) = sin x t¹i x0 = y = f ( x ) = x t¹i x0 = y = f ( x ) = π x2 + x + t¹i x0 = x −1 Bài Dùng định nghĩa tính các đạo hàm của hàm số sau: f ( x ) = x − x + f ( x ) = x − x f ( x ) = x + 1, ( x > −1) f ( x ) = 2x − f ( x ) = cos x f ( x ) = sin x Bài Chứng minh hàm số tục tại Bài Cho hàm số Bài Cho hàm số x=0 tại ( x − 1) , x ≥ f ( x) = ( x + 1) , x < x ≤ x − f ( x) = x + ax + b x > 1 − − x x ≠ x f ( x) = 1 x = đạo hàm tại x=0 , liên a, b Tìm để hàm số có đạo hàm tại x=0 Chứng minh hàm số liên tục và có đạo hàm Bài Xét tính liên tục và tính đạo hàm (nếu có) của hàm số: x − x + x ≤ a f ( x ) = x > x −1 x + x > b f ( x ) = 1 − x x ≤ tại điểm tại điểm 3 − 2x + x > x c f ( x ) = 1 x ≤ x=2 x=0 tại điểm x=0 x2 − x + f ( x) = 3x − f ( x) Bài Cho hàm số Chứng minh hàm số đạo hàm tại điểm ( C) y = x + x − 1, Bài Cho hàm số −3 và A, B Hai điểm a Tính hệ số góc của cắt tuyến thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt AB , suy phương trình đường thẳng A B b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại và y= Bài Cho hàm số x+3 , ( C) x −1 x = −3 liên tục tại điểm AB A, B Hai điểm a Tính hệ số góc của cắt tuyến AB thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt , suy phương trình đường thẳng A B b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại và AB và y = x3 − x, ( C ) Bài 10 Cho hàm số thị và các trục tọa độ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ s ( t ) = 3t + 2t − Bài 11 Một vật chuyển động với phương trình s ( m) ; t ( s) , t = ( s ) → t = + ∆t a Tính vận tốc trung bình của vật khoảng thời gian từ 0, 0,05 nhận giác trị lần lượt và t = 3( s ) b Tính vận tốc của vật tại thời điểm Bài 12 Tính đạo hàm của các hàm số sau công thức: y = ( x + 1) ( x − ) y = y = x2 − x + x5 ( ) x + ( x − 1) 1 y = ( x − 1) x3 + ÷ 2 y' = Bài 13 Tìm nghiệm của các phương trình y = x − x + với: y = x − x2 + §2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Bài Tính đạo hàm của các hàm số sau: y = ( x − 1) ( 3x − ) y = x − x + x − 5 y = ( x − 1) ( x − ) ( x − ) y = ( ) x +1 − 1÷ x Bài Tính đạo hàm của các hàm số sau: y = ( 3x + x ) ( x − 1) − x+ x x x y = ( x − ) ( − x ) y = y = 2x2 − x + x −3 ∆t + x − x2 y = − x + x2 x+ x y = x+2 x2 y = x − 2x − x − 3x + y = x −1 y = ( x + x + 1) x2 + x + 10 y = ÷ 2x + 13 y = ( x + x + 1) y = ( x + 3) y = ( x + x + ) y = ( x + 1) ( 11 y = + x ) 2015 10 2x y = ÷ x +1 1998 (1+ x ) 12 y = 10 12 x6 ( 1− x ) 14 y = 5 2x + 15 y = ÷ x −1 2+ x ( x + 1) 17 y = ( x − 1) 16 y = x − x + 19 y = 4x +1 18 y = x + x 20 y = ( x − ) x + x2 + + x2 22 y = x 23 y = 25 y = x − x + 26 y = 28 y = ( x − x ) 29 y = ( −4 x + x − x + 3) 31 y = ( x − x ) − x + 5) ( x − 2) 24 y = + − x 27 y = ( − x ) 30 y = ( − x ) ( − x) ( + x) 40 y = x − x − − x 38 y = ( + x ) ( + x ) ( − x3 ) 41 y = ( x − 3) 39 y = 36 y = ) 33 y = ( x + x + 1) ( x − 1) 35 y = ( x + 1) 1− x + x ( 32 y = ( x + x + 1) 32 2x + 34 y = ÷ x −1 37 y = (x x3 x −1 21 y = (x (x − x + 1) f ( x ) = x3 + x − 2, g ( x ) = 3x + x + x − x5 + x3 x − x + 18 x f '( x ) > g '( x ) Bài Giải bất phương trình − x + 1) với: f ( x ) = x − x + 3, g ( x ) = x + x2 − 2 y' = Bài Giải phương trình với: x − x5 + x3 b y = x − 3x − − x c y = ( x − 3) − x + 18 x d y = x ( 12 x + 45 x + 235 x + 90 x + 60 ) e y = x ( x + 70 ) + 25 x ( x + 14 x + 30 ) a y = §3 BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN y = x − 3x Bài Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị: x0 = −1 a Tại điểm có hoành độ y0 = −4 b Tại điểm có tung độ c Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất y= Bài Cho hàm số với trục hoành y= Bài Cho hàm số x − x2 x+2 x −1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết: x0 = a Tại điểm có hoành độ b Tại giao điểm của đồ thị và các trục tọa độ y = x + ( 2m − 1) x + ( − m ) x + Bài Cho hàm số Tìm m A ( 1; −1) x0 = a Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ b Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ y= Bài Cho hàm số A ( 2; −2 ) điểm x +1 x − 2m Tìm m x0 = để: qua điểm cắt các trục tọa độ tạo thành tam giác có S =1 Oy để tiếp tuyến tại giao điểm có đồ thị và trục qua y = x3 + 3x + x + Bài Cho hàm số Tìm điểm với đồ thị qua gốc tọa độ O M y = x3 + ( m + 1) x + 3mx + Bài Cho hàm số Tìm a Tại điểm có hoành độ b Tại điểm có hoành độ thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến tại x = −1 x=2 m để tiếp tuyến: d : 2x − y + = song song với đường thẳng d ' : x − 3y + = vuông góc với đường thẳng y = x + ( m − 1) x − m − Bài Cho hàm số thị hàm số vuông góc với Tìm m Bài Cho hàm số để tiếp tuyến tại các điểm cố định của đồ y = x − ( m + 1) x + ( 2m − 3) x + Tìm a Tại điểm có hoành độ M m để tiếp tuyến: d : 4x − 3y +1 = x=0 vuông góc với đường thẳng d ' : x − y + = x = −1 b Tại điểm có hoành độ song song với đường thẳng y= Bài 10 Cho hàm số 2x + x +1 Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cách đều các điểm A ( 2; ) , B ( −4; −2 ) y= Bài 11 Cho hàm số M 2x −1 x −1 ( C) có đồ thị là ( C) thuộc Gọi ( C) cho tiếp tuyến của tại M y = x − ( m − ) x + mx + Bài 12 Cho hàm số I ( C) là giao điểm tiệm cận của vuông góc với đường thẳng IM Tìm điểm a Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x =1 song song với đường ( d ) : y = 2x −1 b Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x=0 vuông góc với đường ( d ) : 4x − 3y = y = x3 − 3mx + mx + Bài 13 Cho hàm số a Tìm ∆ :4 x + y + = m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng x = −2 b Tìm để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm vuông góc với đường thẳng ∆ ' : 2x + 3y + = m y= x + 3m x−m Bài 14 Cho hàm số Tìm d : x − 2y +1 = với đường thẳng Oy tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục ( C) y = x − 3x Bài 15 Cho hàm số m , ( C) a Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị I ( 1; −2 ) tại điểm ( C) I b Chứng minh các tiếp tuyến khác của đồ thị không qua §4 ĐẠO HÀM CẤP CAO Bài Chứng minh rằng: y= a Nếu y= b Nếu 3x 4x − x dy + y dx = 3x − 15 x + y dy − ( x − ) dx = vuông góc y = x sin x + x c Nếu y = 2e + ydy − e x dx = x d Nếu e Nếu 3x + y= x −1 ( ( y − 3) y " = ( y ' ) y = x + x2 + f Nếu y = sin x g Nếu h Nếu xdy − ydx − x cos xdx = ) ( + x ) y "+ xy '− y = ( 4) y + y "+ y =3 128 π π y = 3sin x + ÷+ 2cos x + ÷ 3 3 y ( 4) + y "'+ y "+ y ' = Bài Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp bậc được kèm theo: π a f ( x ) = x − cos x f ( 4) ÷ = ? 3 x c f ( x ) = f ( 100) ( ) = ? x +1 Bài Tìm đạo hàm cấp a y = − 3x x2 −1 n π b f ( x ) = cos x f ( ) − ÷ = ? 4 d f ( x ) = x f ( n) ( ) = ? của các hàm số sau: b y = x + 3x + x +1 c y = cos3 x