ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Sơn MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thành Sơn MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG CHO KHÔNG GIAN CHÍN CHIỀU Chuyên Ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 62 44 01 01 Phản biện 1: GS.TS Nguyễn Ngọc Giao Phản biện 2: PGS.TS Hồ Trung Dũng Phản biện 3: TS Võ Văn Ớn Phản biện độc lập 1: GS.TS Nguyễn Ngọc Giao Phản biện độc lập 2: GS.TS Hoàng Ngọc Long NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH LÊ VĂN HOÀNG TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS TSKH Lê Văn Hoàng Trong trình học tập nghiên cứu, thầy tận tình hướng dẫn, bảo, động viên nhắc nhở để hoàn thành luận án Tôi xin cảm ơn tất thầy, cô môn Vật lý lý thuyết, trường Đại học Khoa học tự nhiên TP HCM truyền thụ kiến thức khoa học suốt trình tham gia học tập môn Tôi xin cảm ơn Khoa Khoa học bản, trường Đại học Kiến trúc TP HCM tạo thuận lợi công việc thời gian để có thời gian tập trung nghiên cứu hoàn thành luận án Xin cảm ơn anh chị, bạn nhóm nghiên cứu thầy Lê Văn Hoàng, đồng nghiệp - người bên tôi, hỗ trợ nhiều suốt khóa học trình làm luận văn Xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học – Trường Đại học Khoa học tự nhiên TP HCM tận tình hướng dẫn, hỗ trợ thủ tục suốt thời gian học tập nghiên cứu Cảm ơn gia đình bên để động viên giúp vững tin học tập nghiên cứu Nguyễn Thành Sơn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án công trình nghiên cứu riêng Các kết luận án trung thực chưa công bố công trình mà không tham gia Tác giả Nguyễn Thành Sơn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT: CERN: Trung tâm nghiên cứu nguyên tử Châu Âu (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) LHC: Máy gia tốc hạt lớn (Large Hadron Collider) RHIC: Máy gia tốc Ion nặng tương đối tính (Relativistic Heavy Ion Collider) MICZ-Kepler: Bài toán chuyển động electron trường Coulomb trường đơn cực từ ba nhà khoa học McIntosh, Cisneros Zwanziger đưa dạng mở rộng toán Kepler MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Danh mục chữ viết tắt Mục lục Mở đầu Chương 1: Đơn cực từ phép biến đổi Hurwitz 10 1.1 Đơn cực từ 10 1.1.1 Tổng quan đơn cực từ 10 1.1.2 Đơn cực từ Dirac 16 1.1.3 Đơn cực không gian nhiều chiều 18 1.2 Định lý Hurwitz 20 1.3 Các phép biến đổi Hurwitz mối quan hệ với đơn cực 21 1.3.1 Phép biến đổi Levi-Civita 22 1.3.2 Phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel 24 1.3.3 Phép biến đổi Davtyan 26 1.3.4 Phép biến đổi Hurwitz mở rộng 29 Chương 2: Đơn cực SO(8) không gian chín chiều 30 2.1 Biến số phụ phép biến đổi Hurwitz mở rộng 31 2.2 Mối liên hệ dao động tử điều hòa 16 chiều nguyên tử hydro chiều 34 2.3 Thế đơn cực SO(8) không gian chín chiều 36 Chương 3: Lời giải giải tích xác cho toán MICZ-Kepler chín chiều 46 3.1 Bài toán MICZ-Kepler chín chiều 47 3.2 Hàm sóng toán MICZ-Kepler chín chiều 50 3.2.1 Thành phần hàm sóng theo nhóm góc ( ,  ) 50 3.2.2 Thành phần hàm sóng theo góc  55 3.2.3 Thành phần hàm sóng theo bán kính r 57 3.3 Năng lượng toán MICZ-Kepler chín chiều 59 3.3.1 Biểu thức lượng 59 3.3.2 Bậc suy biến 60 Kết luận 63 Hướng phát triển 64 Danh mục công trình công bố 65 Tài liệu tham khảo 66 Phụ lục: Các tính toán tường minh 76 A1 Phép biến đổi ngược 76 A2 Tính đạo hàm góc theo us , vs 78 A3 Tính toán dẫn đến biểu thức (2.10) 81 A4 Tính toán dẫn đến biểu thức (2.14) 83 A5 Hệ toán tử Lˆij hệ tọa độ cầu 109 A6 Giải phương trình siêu bội dạng (3.18) 112 A7 Hệ số Clebsch-Gordan 116 Mở đầu Trường điện từ mô tả thông qua hệ phương trình Maxwell Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên sinh từ trường ngược lại Tuy nhiên, nguồn sinh hai trường không tuân theo quy luật tương tự Điện trường có nguồn điện tích từ trường nguồn phát tường minh (thông lượng từ qua mặt kín không) Điều làm tính đối ngẫu điện-từ Dirac người giải vấn đề mặt lý thuyết Năm 1931, Dirac đưa “từ tích” vào công trình kết luận lượng tử hóa từ tích liên quan chặt chẽ với lượng tử điện tích thông qua phương trình lượng tử hóa Dirac [25] Tương tự trường tĩnh điện, từ trường từ tích gây có tính chất: (i) thông lượng từ xuyên qua mặt kín khác không (ii) trường có đối xứng cầu O(3) Dựa tính chất đơn cực từ Dirac, năm 1978, Yang mở rộng đơn cực Dirac cho không gian chiều qua mô hình tương tác trường gauge SU(2) với hạt có isospin [95] Tính chất trường đơn cực Yang là: (i) thông lượng trường qua mặt kín không gian chiều chứa đơn cực khác không (ii) trường có đối xứng cầu O(5) Chúng ta gọi đơn cực mở rộng đơn cực Dirac đơn cực Yang có tính chất tương tự Với kết Yang, mở rộng đơn cực từ cho không gian nhiều chiều nhu cầu tự nhiên tiến hành số công trình [59, 93] Một điều đặc biệt mà nhiều công trình nghiên cứu đơn cực Dirac, Yang mở rộng có liên hệ mật thiết với phân thớ không gian Hopf [102-103] lý thuyết Tô-pô tồn số đại số học [101] Năm 1935, Hopf khẳng định tồn trường hợp phân thớ không gian (0th ) : S  S , S S S (1st ) : S   S , (2nd ) : S   S (3rd ) : S 15   S Sau đó, năm 1980, đơn cực Dirac-U(1), Yang-SU(2) xây dựng từ phân thớ Hopf thứ [85, 54] phân thớ Hopf thứ hai [55] Đơn cực không gian chiều đề xuất [28, 11] ứng trường hợp cuối phân thớ Hopf Một hướng tiếp cận khác, đại số học, năm 1898, Hurwitz chứng minh khẳng định tồn bốn số đại số chia chuẩn hóa số thực, số phức, số siêu phức bội (quarternion) số siêu phức bội (octonion) [101] tương ứng với bốn trường hợp định lý Hurwitz Các trường hợp lần cụ thể hóa phép biến đổi thiết lập mối liên hệ toán dao động tử điều hòa h chiều toán nguyên tử hydro 2h1  chiều  h  1, 2,3,  tương ứng với phép biến đổi Levi-Civita [104]  h  1 , Kustaanheimo-Stiefel [40]  h   , Davtyan [24]  h  3 Hurwitz mở rộng [47]  h   Một điều thú vị phép đổi Kustaanheimo-Stiefel, Davtyan làm xuất đơn cực Dirac Yang toán nguyên tử hydro chiều Theo logic trên, trường hợp h  ứng với phép biến đổi Hurwitz mở rộng, xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối toán dao động tử điều hòa 16 chiều toán nguyên tử hydro chiều kỳ vọng tìm thấy đơn cực dạng mở rộng đơn cực Dirac Yang không gian chiều Năm 2009, xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng với biến số góc đưa Sử dụng phép biến đổi kết nối toán dao động tử điều hòa 16 chiều toán nguyên tử hydro chiều Chúng hình dung đơn cực ẩn toán Tiếp theo xác định rõ đơn cực tính chất chúng, kỳ vọng đơn cực mở rộng Dirac Yang không gian chiều Như vậy, việc mở rộng đơn cực Dirac có phương pháp tiếp cận chính: thứ mở rộng trực tiếp dựa tính chất đơn cực Dirac, thứ hai sử dụng phân thớ Hopf cuối sử dụng phép biến đổi Hurwitz Nội dung nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng để xây dựng đơn cực từ không gian chiều Tính chất nghiên cứu để khẳng định đơn cực mở rộng Dirac Yang không gian chiều Bài toán MICZ-Kepler chiều Zwanziger, McIntosh Cisneros xây dựng từ năm 60 [56, 99] cách mở rộng toán Kepler thêm vào hệ trường đơn cực từ Dirac Đây toán quan trọng khảo sát nhiều phương pháp khác vài thập niên qua đến quan tâm [13-14, 17-18, 38-39, 69, 73] Hàm sóng, lượng toán giải phương pháp khác [13, 17-18, 39] Sự có mặt đơn cực Dirac toán MICZ-Kepler không ảnh hưởng đến đối xứng không gian SO(3) đối xứng động lực SO(4,2) toán Kepler Bài toán có đối xứng ẩn SO(4) vector Runge-Lenz giống toán Kepler chiều thông thường Cùng với việc mở rộng đơn cực không gian nhiều chiều, toán MICZKepler mở rộng khảo sát không gian nhiều chiều [12, 60, 63, 93]   4( )ts vs ut  x7  4v  2 4v   sin   cos   u8  u7   x7 3 3    x8  cot sin     x5  cot cos     x6 r  x9  2  cos 2 /   cos 2 /   cot sin 1    x1  cot cos 1    x2 sin 3 /  sin 3 /   cot 1 sin 2 /   sin 2 /    sin     x3  cot cos     x4  sin 3 /  sin 3 /    x7 Nhóm số hạng chứa thành phần đạo hàm theo x8 : 1  4(8 )ts vs ut 1x8 1 1 16      tan  u1v8  u2 v7  u3v6  u4 v5   cot  u5v4  u6v3  u7 v2  u8v1   r  x9  2  1x8  r  x9  3 3 2 2   cos sin sin(1   )  sin cos sin(   )  x1 2 2          cos sin cos(1   )  sin cos cos(   )  x2 2 2          cos cos sin(1   )  sin sin sin(   )  x3 2 2   3 3 2 2      cos cos cos(1   )  sin sin cos(   )  x4  2 2    1x8 4(8 )ts vs 16  r  x9 2  ut 2 x8   cot 2 /    tan 2 /   2  u1v8  u2v7    u3v6  u4v5   cos 1 /     cos 1 /   2x8 105 2   4(8 )ts vs  sin(1   ) x5  cos(1   ) x6 ut 2 x8 r  x9            tan sin sin sin(1   )  tan cos cos sin(   )  x1 2 2 2             tan sin sin cos(1   )  tan cos cos cos(   )  x2 2 2 2             tan sin cos sin(1   )  tan cos sin sin(   )  x3 2 2 2               tan sin cos cos(1   )  tan cos sin cos(   )  x4  2 2 2    2 x8 4(8 )ts vs 3  ut 3x8  16 r  x9   cot 3 /    tan 3 /   2 u v  u v  u v  u v       sin 1 /     sin 1 /   3x8  r  x9   sin(   ) x5  cos(   ) x6           cot cos cos sin(1   )  cot sin sin sin(   )  x1 2 2 2            cot cos cos cos(1   )  cot sin sin cos(   )  x2 2 2 2            cot cos sin sin(1   )  cot sin cos sin(   )  x3 2 2 2              cot cos sin cos(1   )  cot sin cos cos(   )  x4  2 2 2    3x8 1  4(8 )ts vs ut 1x8  4v7  2 4v8 2   sin 1  cos 1  u2  u1  1x8 106 1  2 2  4(8 )ts vs   x7  tan cos 1    x5  tan sin 1    x6 ut 1x8 r  x9  2  sin 3 /   sin 3 /   tan cos 1    x1  tan sin 1    x2 cos 2 /  cos 2 /   tan   1 cos 3 /   cos 3 /  cos 1    x3  tan sin 1    x4  cos 2 /  cos 2 /   1x8   4(8 )ts vs ut  x8  4v  2 4v   sin   cos   u4  u3   x8  2 2   x7  cot cos 1    x5  cot sin 1    x6 r  x9  2  cos 3 /   cos 3 /   tan cos     x1  tan sin     x2 sin 2 /  sin 2 /   tan 4(8 )ts vs   1 sin 3 /   sin 3 /  cos     x3  tan sin     x4  sin 2 /  sin 2 /    x8   ut  3x8  4v  2 4v   sin   cos   u6  u5   3x8  r  x9 3 3   x7  tan cos     x5  tan sin     x6 2   sin 2 /   sin 2 /   cot cos     x1  cot sin     x2 cos 3 /  cos 3 /   cot   1 cos 2 /   cos 2 /  cos 1    x3  cot sin 1    x4  cos 3 /  cos 3 /    3x8 107   4(8 )ts vs ut  x8  4v1  2 4v2   sin   cos   u8  u7   4x8  3 3   x7  cot cos     x5  cot sin     x6 r  x9  2  cos 2 /   cos 2 /   cot cos 1    x1  cot sin 1    x2 sin 3 /  sin 3 /   cot   1 sin 2 /   sin 2 /  cos     x3  cot sin     x4  sin 3 /  sin 3 /    x8 m n  Tiếp theo, ta tính nhóm số hạng Tiếp tục sử dụng kết tính toán us us m n toán tử đạo hàm riêng phần góc theo us mục A2, ta được:  2m  4cot 3 4cot 2     12cot 1   , us us m 1 cos 1 /  2 sin 1 /  3 (A4.4) m n   0, us us m n (A4.5) m  n m n    2  m m us us m n us us m m  4 2 2     r  x9  11 cos 1 /  22 sin 1 /  33  2 2  cos (1 / 2) cos (2 / 2) 11 cos (1 / 2) sin (2 / 2)    2 2    sin (1 / 2) cos (2 / 2)  3 sin (1 / 2) sin (2 / 2)    108 (A4.6) Sử dụng tất kết tính kết hợp với việc đặt 56 toán tử Qˆ kj trang 37, ta biểu thức:   (r  x9 ) ˆ 2 2    4 r  i  Ak (r )Qˆ k  ( )   Q  Qˆ us us vs vs (r  x9 )  x  r (r  x9 )   Qˆ    r  i  Ak (r )Qˆ k  ( )   r  x  (A4.7) Đưa biểu thức (A4.7) vào phương trình (2.9), ta phương trình (2.14):      1   Ak (r )Qˆ k  ( )  i  Ak (r )Qˆ k  ( )    i   x    x  ˆ2  Q ( )   (r,  )  E (r,  ) 8r r A5 Hệ toán tử Lˆij hệ tọa độ cầu Sử dụng phép biến đổi tọa độ cầu chiều (3.8), toán tử Lˆij tính toán tường minh không gian cầu chiều sau:  Lˆ12  i , 1  Lˆ23  i cos 1 ,   Lˆ34  i cos  , 3  Lˆ45  i cos 3 ,   Lˆ56  i cos  , 5  Lˆ67  i cos 5 , 6 109  Lˆ78  i cos 6 , 7  cos     Lˆ13  i   ,  cos 1 sin 3 1 sin     cos 3    Lˆ24  i cos 1   , cos  sin    sin    3    cos     Lˆ35  i cos    ,  cos 3 sin 5 3 sin     cos 5    Lˆ46  i cos 3   ,  cos  sin 6  sin 5 5   cos 6    Lˆ57  i cos    ,  cos 5 sin 7 5 sin 6 6   cos 7    Lˆ68  i cos 5   ,  cos 6 sin 8 6 sin 7 7   cot 3 cos 3     Lˆ14  i    , cos  sin    cos  sin  sin    sin    2 3    cot   cos     Lˆ25  i cos 1    ,  cos  sin 5  cos 3 sin 3 sin 5 3 sin     cot 5 cos 5     Lˆ36  i cos     , cos  sin    cos  sin  sin    sin    4 5    cot 6 cos 6     Lˆ47  i cos 3    ,  cos  sin 7  cos 5 sin 5 sin 7 5 sin 6 6   cot 7 cos 7     Lˆ58  i cos     , cos  sin    cos  sin  sin    sin    6 7   cot   cot      cos  sin  sin    cos  sin  sin    2  Lˆ15  i  ,   cos      cos  sin  sin    sin    3 4   cot 5 cot 5      cos  sin  sin    cos  sin  sin    3  Lˆ26  i cos 1  ,   cos 5     cos  sin  sin    sin    4 5   110 cot 6 cot 6      cos  sin  sin    cos  sin  sin     4 , Lˆ37  i cos     cos 6      cos  sin  sin    sin   6 5   cot 7 cot 7       cos  sin  sin   cos  sin  sin     5 ˆ , L48  i cos 3    cos 7      cos  sin  sin    sin   7 6   cot 5 cot 5       cos  sin  sin  sin    cos  sin  sin  sin   2 ˆ ,  L16  i  cos 5 cot 5       cos  sin  sin    cos  sin  sin    sin     4 3  cot 6 cot 6       cos  sin  sin  sin    cos  sin  sin  sin   3 ˆ ,  L27  i cos 1  cos 6 cot 6       cos  sin  sin    cos  sin  sin    sin     5 4  cot 7 cot 7        cos  sin  sin  sin   cos  sin  sin  sin   4 ˆ ,  L38  i cos   cos 7 cot 7       cos  sin  sin    cos  sin  sin    sin     6 5   cot 6 cot 6        cos 1 sin 3 sin  sin 5 sin 7 1 cos  sin  sin  sin 5 sin 7     cot 6 cot 6    Lˆ17  i   ,    sin  sin  cos    sin  sin  sin  cos 4 3     cos 6         cos 5 sin 5 sin 7 5 sin 6 6  cot 7 cot 7        cos  sin  sin 5 sin 6 sin 8  cos 3 sin 3 sin 5 sin 6 sin 8 3    cot 7 cot 7    Lˆ28  i cos 1   ,    sin  sin  cos    sin  sin  sin  cos 5 4     cos 7         cos 6 sin 6 sin 8 6 sin 7 7 111  cot 7 cot 7        cos 1 sin 3 sin  sin 5 sin 6 sin 8 1 cos 3 sin 3 sin 5 sin 6 sin 8 3    cot 7 cot 7   Lˆ18  i      cos  sin  sin  sin 5 sin 6 sin 8  cos  sin  sin 6 sin 8     cot 7 cos 7          cos 5 sin 5 sin 8 5 cos 6 sin 6 sin 8 6 sin 7 7  A6 Giải phương trình siêu bội dạng (3.18):      d 1   a  a  d  b  b  d     d 1    c  c  2d  1   sin     sin    2 2     cos sin 2   Các phương trình (3.17) (3.31) có dạng (3.18) Đối với phương trình (3.18), tham số phương trình tương ứng với d   j  1 / 2, a  b  l j 1 / 2, c  l j Trong trường hợp phương trình (3.31), tham số nhận giá trị d  3, a  L, b  J , c   Để giải (3.18), thực đổi biến số đưa phương trình (3.18) trở thành dạng phương trình siêu bội có lời giải Với hàm sóng thu được, sử dụng tính chất hàm siêu bội để tìm số chuẩn hóa a b Đặt y  (1  cos  ) / viết  dạng     y (1  y) W ( y) Khi đó:  y      y y (1  y )  , y 2   (2d  1) cot     y (1  y )  y (1  y )    1 y y (1  y )   (2d  1)  y  y  y (1  y ) 2   (d  1)(1  y ) y y 112 y (1  y )  y Thế vào phương trình (3.18) ta được:   2  a(a  d ) b(b  d ) b y (1  y )  (d  1)(1  y )     (  7)  y a 1  y  W ( y )   y y 2y 2(1  y )   (A6.1) Tiến hành tác động đạo hàm bậc 1, bậc lên hàm sóng theo biến y:   a b b b 1 b W ( y ) y 1  y  W ( y )   ay a 1 1  y  W ( y )  by a 1  y  W ( y )  y a 1  y  ,  y  y 2  a b y 1  y  W ( y )    y    a 1 b b 1 b W ( y )  ay 1  y  W ( y )  by a 1  y  W ( y )  y a 1  y   y  y  W ( y ) y / b 1 b2 b 1 W ( y )  aby a 1 1  y  W ( y )  b(b  1) y a 1  y  W ( y )  by L 1  y  y  a (a  1) y a  1  y  W ( y )  aby a 1 1  y  W ( y )  ay a 1 1  y  b 1 b  ay a 1 1  y   y 1  y  a b b W ( y ) b 1 W ( y ) b  W ( y)  by a 1  y   y a 1  y  y y 2 y  2W ( y )  a 1 W ( y ) b 1  y 1  y   2a  2ay  2by      y y   a (a  1) y a  1  y   b(b  1) y a 1  y   b b2 b 1  2aby a 1 1  y   W ( y )  Thế vào phương trình (A6.1), ta có: y (1  y ) b d 2W dW  [2 a  d   (2 a  b  d  2) y ] dy dy  (c  a  b)(c  a  b  2d  1)W  113 Đặt   c  a  b,   c  a  b  d  1,   2a  d  1, ta phương trình siêu bội (hypergeomertic): d 2W dW y (1  y )  [  (    1) y]  W  dy dy (A6.2) Nghiệm phương trình (A6.2) gọi hàm siêu bội dạng W  y   F1  ,  ,  , y  Để hàm số hội tụ:   c  a  b  n hay c  n  a  b với n  0,1, Nếu viết m  2b  d , n  2a  d ta có:  cos   n !(m  1) ( m,n )  W  F1  n , n  m  n  1, m  1, Pn (cos  )    (n  m  1)  Biểu diễn hàm sóng theo a, b, c, d : W (c  a  b)!(2b  d  1) (2b  d ,2 a  d ) Pc b a (cos  ), (c  b  a  d  1) Pc(2bbad ,2ad ) (cos  ) đa thức Jacobi : Pn( ,  ) ( x)   n    ! n    ! s  x 1    s ! n    s  !   s  ! n  s  !   ns  x 1      s Như vậy, hàm sóng (3.18) viết sau: ( )  Cabc 1  cos   1  cos   a b (c  a  b)!(2b  d  1) (2b  d ,2 a  d ) Pc b a (cos  ) (c  b  a  d  1) với Cabc hệ số chuẩn hóa theo số a, b, c Ta đặt x  cos  tính tích phân: 114   ( ) ( ) sin * d 1  d   Cabc 1  x  2a 1  x  2b Pc(2 abbd ,2 a  d ) ( x ) Pc(2 abbd ,2 a  d ) ( x )(1  x ) d dx 1   Cabc 1  x  2ad 1  x  2b  d Pc(2bbad ,2 a  d ) ( x) Pc(2bbad ,2 a  d ) ( x )dx 1  Cabc 22 a  2b  d 1 (c  b  a  d  1)(c  b  a  d  1) 2c  2d  (c  b  a )!(c  b  a  2d  1) Ở ta sử dụng tính chất sau đa thức Jacobi:  1  x  1  x  m 1 n Pn(m,n ) ( x) Pn(m,n ) ( x)dx (n  m  1)(n  n  1) 2m n 1   n n 2n  m  n  n !(n  m  n  1)  Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng  ( )* ( )sin d 1  d  , ta có hệ số chuẩn hóa hàm sóng viết đầy đủ sau: ( )  2c  2d  (c  b  a)!(c  b  a  2d  1) 22 a  2b  d 1 (c  b  a  d  1)(c  b  a  d  1)  1  cos   1  cos   Pc(2bbad ,2 a  d ) (cos  ) a b Đối với phương trình (3.17), ta có trường hợp đặc biệt với a  b  l j 1 / d   j  1 / 2, a  b  l j 1 / 2, c  l j Trong trường hợp này, đa thức Jacobi biểu diễn lại thành đa thức Gegenbauer hàm Legendre liên kết loại [6, 41]:  j  j   (c  d )(c  2a  2d ) sin  d /  j Pc2da/2 d /2  cos  j  (c  2a)! Kết hoàn toàn trùng hợp với [32] 115 A7 Hệ số Clebsch-Gordan Hệ số Clebsch-Gordan sử toán xác định trạng thái tổng momen xung lượng góc không gian chiều thực ứng với nhóm SO(3) Gần đây, hệ số Clebsch-Gordan mở rộng cho toán ứng với nhóm đối xứng cầu SO(n) [7] Trong phần này, vận dụng kết [7] cho nhóm SO(8) từ tìm điều kiện cho số lượng tử Hàm  j j Jm j LQ j3 j4 j5 hàm riêng Lˆ2 , Jˆ ứng với trị riêng ( ) LQ L  L   , J  J   Theo [7], hàm  Jm j j j j j ( ) khai triển theo j ,ml q Dl1L, , hệ số Clebschl5   , Dq1 , ,q5   dạng (3.26) với C Ll l l l l m ,Qq q q q q m Q ,m Jj5 j4 j3 j2 j1m j 4321 l q Gordan suy rộng đối xứng Lˆ2 , Qˆ phá vỡ theo chuỗi SO 8   SO  3  SO   nên đối xứng Jˆ phá vỡ theo chuỗi phá vỡ Điều làm xuất số lượng tử Do J  j6  j5  j4  j3  j2  j1  j0  m j Theo chuỗi phá vỡ đối xứng SO 8  SO     SO  3  SO   hệ số Jj j j j j m Clebsch-Gordan CLl55l44l3l32l12m1l ,Qqj 5q4q3q2q1mq có dạng: Jj j m CLl55 l11ml j,Qq5 q1mq L   l5 , l4 , l3 , l2 , l1 , ml L Q  l5 q5 J l   j5  8:7  l4 l   l1  l1 j2    j1   4:3  ml q2 q1 J  j5 , j4 , j3 , j2 , j1 , mq  Q q5 , q4 , q3 , q2 , q1 , mq j5  l   j4   7:6 l3 q5 q4 q1 mq q4 q3 j1   ml    m j    3:2   116 j4  l   j3   6:5 l2 mq 8 q3 q2 mj   ,  j3  j2   5:4 (A7.1)  ml   mq ml  mq  m j ml  mq  m j mj   max m2 , m , m    1  l q j  (A7.2)  ln l  n 1 qn qn 1   1 jn  jn 1 jn  jn 1   n  2:n 1 2 ln 1  qn 1  jn 1  n   ln 0  qn 1 jn   ln 1  n   qn 1 jn 1   n 1    n  1  n  n  n    ln 1     qn 1     jn 1   2  2    2   n       jn  n  jn  n  1! jn1 ! n  1!  2ln1  n  2qn1  n  jn1  n   jn1  n  1  jn1  n  ! jn !n!  2ln  n  1 2qn  n  1 jn  n  1   ln  ln1 ! qn  qn1 ! jn  jn1 ! 2ln  n  1 2qn  n  1 jn  n  1  ln  ln1  n  1! qn  qn1  n  1! jn  jn1  n  1!   ln1  n  ! qn1  n  ! jn1  n  !  ln  n  1! qn  n  1! jn  n  1!    sin   n 1 l  qn 1  jn 1  n  ln !qn ! jn ! n ! ln 1 !qn 1 ! jn 1 !  n  1! Cllnn1lnn1 21  cos   Cqqnn1qnn1 21  cos   C jjnn1jn n1 21  cos   d , (A7.3) với  ln 1 qn 1  0     ln 1  qn 1  jn 1 jn 1        n 1    n  1  ln 1 !qn 1 ! jn 1 ! n  1! l n 1  qn1  jn1   n  !  ln1  n  ! qn1  n  ! jn1  n  !  n  !   ln1  qn1  jn1  n  1  l n 1   n  1   qn 1   n  1   jn 1   n  1     ln 1  qn 1  jn 1  n  1   2ln1  n  1 2qn1  n  1 jn1  n  1 l n 1  qn 1  jn 1  !    jn 1  ln 1  qn 1  n  1     qn 1  jn 1  ln 1  n  1   j n 1  ln 1  qn 1  !  q n 1  jn 1  ln 1  ! (A7.4) 117    sin   ln 1  qn 1  jn 1  n  Cllnn1lnn1 21  cos   Cqqnn1qnn1 21  cos   C jjnn1jn n1 21  cos  d   ln ln 1   qn  qn 1   jn  jn 1           z1   z2  z3    1 z1 2ln ln 1 2 z1   ln  n   z1    z1 ! ln  ln1  z1 !  ln 1  n  1 1 2q q 2 z   qn  n   z2    z2 ! qn  qn1  z2 !  qn1  n  1 z 1 j  j 2 z   jn  n   z3    z3 ! jn  jn 1  z3 !  jn 1  n  1 z2 n n 1 n n 1  l  q  j  n 1    n1 n1 n1      n  ln  z1  qn  z2  jn  z3        ln  ln1  z1  qn  qn1  z2  jn  jn 1  z3         ml Từ (A7.2), ta có điều kiện    mq ml  mq  m j mj     max m2 , m , m   l q j  ml  mq  m j Như  max  m ,m l q , mj  1  Suy max ml , mq , m j  ml  mq  m j hay m j    ml  mq  Để phù hợp với hệ toán tử mà ta xét, ta chọn m j  ml  mq Jj j m Ngoài ra, từ (A7.4) hệ số C Ll55 l11ml j,Qq5 q1mq xác định khi:  ln1  qn1  jn1   jn1  ln1  qn1   qn1  jn1  ln1   ! ! ! xác định với n  2     118 (A7.5) Suyra: ln 1  qn 1  jn 1 jn 1  ln 1  qn 1 qn 1  jn 1  ln 1 , , số nguyên không âm 2 Điều dẫn đến: ln1  qn1  jn1    jn1  ln1  qn1   ln1  qn1  jn1  ln1  qn1 q  j  l   n1 n1 n1 với n  jn1  ln1  qn1  2m, m số nguyên không âm Jj j j j j m Như vậy, để hệ số Clebsch-Gordan CLl55l44l3l32l12m1l ,Qqj 5q4q3q2q1mq xác định khác không thì: m j  ml  mq   j1  l1  q1 , l1  q1  1, l1  q1  2, , l1  q1   j2  l2  q2 , l2  q2  2, l2  q2  4, , l2  q2   j3  l3  q3 , l3  q3  2, l3  q3  4, , l3  q3   j4  l4  q4 , l4  q4  2, l4  q4  4, , l4  q4  j  l  q , l  q  2, l  q  4, , l  q 5 5  5 5  J  L  Q , L  Q  2, L  Q  4, , L  Q 119 (A7.8) [...]... Ning Yang đã mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5 chiều vào năm 1978 Thế đơn cực Yang có nhóm đối xứng SU(2) Bộ thế đơn cực Yang có cùng dạng và tính chất với đơn cực Dirac Đây là dạng thế đơn cực mở rộng trực tiếp của đơn cực Dirac trong không gian 5 chiều  Đơn cực trong không gian chín chiều: Được đề xuất đầu tiên bởi Grossmann năm 1984, là lời giải cho phương trình Yang- Mills trong trường hợp... trong không gian 5 chiều [67] và đối xứng động lực SO(6,2) [79] Chúng ta sẽ gọi một đơn cực là mở rộng trực tiếp của đơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu như nó có những tính chất tương tự như vậy Năm 2007, Meng đã kiểm tra lại các tính chất của đơn cực Dirac và Yang đồng thời phác thảo phương pháp toán học có thể mở rộng thế đơn cực trong không gian nhiều chiều [59] Ngoài phương pháp mở rộng đơn cực Dirac. .. x3  (1.12) 2 1.1.3 Đơn cực trong không gian nhiều chiều Năm 1978, Chen Ning Yang đã mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5 chiều qua mô hình tương tác giữa trường gauge SU(2) với hạt có isospin [95] Trường đơn cực Yang- SU(2) được xây dựng có tính chất cơ bản tương tự như đơn cực Dirac: (i) thông lượng trường qua một mặt kín trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là khác không và (ii) trường có đối... gian 9 chiều được trọn vẹn hơn 3 Mục tiêu của luận án này là mở rộng đơn cực Dirac và Yang trong không gian 9 chiều thông qua việc xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro trong không gian 9 chiều làm xuất hiện dạng tường minh của thế đơn cực SO(8) Đồng thời chỉ ra đây chính là dạng mở rộng của thế đơn cực Dirac và Yang. .. thế đơn cực Dirac trong không gian 3 chiều và đơn cực Yang cho không gian 5 chiều bằng cách đưa thêm các biến số phụ tương ứng vào phép biến đổi KustaanheimoStiefel và phép biến đổi Davtyan Điều tương tự cũng sẽ xảy ra với phép biến đổi Hurwitz mở rộng? Nếu có, ta sẽ có đơn cực trong không gian 9 chiều Như vậy, theo định lý Hurwitz ta thấy các không gian thực có số chiều là 3, 5, 9 đặc biệt hơn các không. .. đến đơn cực Sau đó, vào năm 1984, Akihiro Itô đã mở rộng đơn cực này cho nhóm đối xứng O (n  1) theo mô hình  [35]  Đơn cực ‘t Hooft-Polyakov: Đơn cực tương tự như đơn cực Dirac nhưng khác biệt là không có kỳ dị dây Dirac, được Alexander Polyakov [82] và Gerard ‘t Hooft [91] tìm ra độc lập nhau vào năm 1974 Xét ở xa vị trí đặt đơn cực, đơn cực ‘t Hooft-Polyakov chuyển thành dạng của đơn cực Dirac. .. Schrödinger cho dao đô ̣ng tử điề u hòa 16 chiề u tương đương với phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong trường 30 đơn cực 9 chiều Trường đơn cực được tìm thấy chính là trường đơn cực SO(8) Từ đây, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trường đơn cực tìm được chính là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang trong không gian chín chiều 2.1 Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz mở rộng Phép biến... trên và trong không gian 9 chiều Lý giải tại sao các không gian 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều đặc biệt hơn các không gian có số chiều khác 7 Chương 2: Đơn cực SO(8) trong không gian chín chiều Trong chương này, chúng tôi xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng trong trường hợp cuối cùng với số chiều lớn nhất 16  9 với việc đưa ra 7 biến số phụ Từ đó, phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz mở rộng. .. Hurwitz mở rộng Sử dụng phép biến đổi kết nối bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán nguyên tử hydro 9 chiều làm xuất hiện thế đơn cực SO(8) là dạng mở rộng của đơn cực Dirac và Yang - Đưa thế đơn cực SO(8) vào bài toán nguyên tử hydro 9 chiều ta có bài toán MICZ-Kepler 9 chiều Từ đó ta tìm hàm sóng và năng lượng của bài toán Kết quả này cho chúng ta hiểu rõ hơn tác động của trường đơn cực. .. chất cơ bản của đơn cực từ Chúng ta còn biết hai hướng tiếp cận khác cũng có thể xây dựng nên bộ thế đơn cực không chỉ trong không gian 5 chiều mà còn có thể xây dựng thế đơn cực ở những không gian có số chiều khác Hướng tiếp cận đầu tiên là sử dụng phân thớ Hopf Nhiều công trình đã nghiên cứu và phát hiện rằng đơn cực Dirac, Yang và mở rộng của nó có liên hệ mật thiết với phân thớ không gian Hopf [102, ... đơn cực Dirac, Chen Ning Yang mở rộng đơn cực từ Dirac cho không gian chiều vào năm 1978 Thế đơn cực Yang có nhóm đối xứng SU(2) Bộ đơn cực Yang có dạng tính chất với đơn cực Dirac Đây dạng đơn. .. gian chiều chứa đơn cực khác không (ii) trường có đối xứng cầu O(5) Chúng ta gọi đơn cực mở rộng đơn cực Dirac đơn cực Yang có tính chất tương tự Với kết Yang, mở rộng đơn cực từ cho không gian. .. nhiều chiều làm xuất đơn cực Dirac đơn cực Yang Từ đường xây dựng tổng quát hóa đơn cực nêu không gian chiều Lý giải không gian chiều, chiều chiều đặc biệt không gian có số chiều khác Chương 2: Đơn