ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: Toán Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) x − y − z − xyz Rút gọn biểu thức: B = ( x + y)2 + ( y − z )2 + ( x + z )2 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 1  3  a)  x + ÷ +  x − ÷ + ( − x ) = 4  4  3− x   − x  b) x  ÷ x + ÷= x +1   x +  Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = 3x + + x + − x + b) B = 14x − 8x + 3x + 6x + Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E trực tâm tam giỏc ABN Cõu (2,0 im): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N à điểm đờng chéo AC cho BNM = 900 Gọi F điểm ®èi xøng cña A qua N Chøng minh r»ng FB ⊥ AC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Mơn : Tốn Lớp Câu Nội dung Ta có: x3 - y3 - z3 - 3xyz = (x - y)3 + 3xy(x - y) - z3 - 3xyz = (x - y - z)3 + 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z) = (x - y - z)[(x - y - z)2 + 3xz - 3yz + 3xy)] = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 -2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy) = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) (x + y)2 + (y - z)2 + (x + z)2 = x2 + 2xy + y2 + y2 - 2yz + z2 + x2 + 2xz + z2 = 2(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) Vậy B = = (x − y − z ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) x− y−z a) HS làm cách sau: Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - Cách f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + = x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + = x + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 cho x2 + 8x + 12 thương x2 + 8x + 10 số dư - Vậy số dư phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 - Cách Bậc đa thức thương nên đa thức dư có dạng ax + b Gọi đa thức thương Q(x), ta có: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + = - 2a + b ⇔ - 2a + b = -6 Cho x = - 6, ta có: - 5.(- 3)(-1) + = - 6a + b ⇔ - 6a + b = - Ta có (-2a + b) – (- 6a + b) = ⇔ a = Do b = - Đa thức dư - Cách f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = [(x2 + 8x + 12)- 5][(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 12)2 - 2(x2 + 8x + 12) – 15 + Điểm 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Mơn thi: Tốn Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015   10 − x   x A = + + : x − + Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: ÷  x2 − − x x + ÷  x+2     a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Bài : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c −a a+c −b a+b−c Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM 3 3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z  2 2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z ) = ( y + z ) 3x + 3xy + 3yz + 3zx = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )  Bài 1: (2 điểm) a) ( ) = ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) (1 điểm) 4 b)x + 2015x + 2014x + 2015 = (x - x) + (2015x +2015x+2015) = x(x3- 1) + 2015 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2015 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x2+x+1) (x2 –x + 2015) (1 điểm)   10 − x   x A = + + : x − + Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức: ÷  x2 − − x x + ÷  x+2     −1 a) Rút gọn kết qủa: A = (0,75 điểm) x−2 1 −1 b) x = ⇒ x = x = (0,25 điểm) 2 ⇒ A= A= c) A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 d) A ∈ Z ⇔ Bài 3: (2 điểm) (0,75 điểm) (0,25 điểm) −1 ∈ Z ⇔ x-2 ∈ Ư(-1) ⇔ x-2 ∈ { -1; 1} ⇔ x ∈ {1; 3} (0,5 điểm) x−2 a) (1đ) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm) ĐKXĐ : x ≠ − 4; x ≠ − 5; x ≠ − 6; x ≠ − (0,25 điểm) Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 (0,25 điểm) 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z  + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  vào ta A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ Từ suy a= Bài 4: (3,5 điểm) a)Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) ⇒ BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) ⇒ BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ ∠ HBC= ∠ KDC CH CB ⇒ ∆ CHB ∽ ∆ CKD(g-g) ⇒ = ⇒ CH CD = CK CB CK CD c)Chứng minh : ∆ AFD ∽ ∆ AKC(g-g) AF AD ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AK AC CF CD Chứng minh : ∆ CFD ∽ ∆ AHC(g-g) ⇒ AH = AC Mà : CD = AB ⇒ CF AB = ⇒ AB AH = CF AC AH AC (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Thay (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (1 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm) H C B F O E A K D GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI Đề Bài 1: a) Thực phép chia: (x - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - a b c Bài 2: a) Tính S = (c − a)(a − b) + (a − b)(b − c) + (b − c)(c − a) 1 1  =  − ÷ (3n + 2)(3n + 5)  3n + 3n +  150 150 150 150 + + + + c) Tính 5.8 8.11 11.14 47.50 b) Chứng minh Bài 3: Giải phương trình x +1 x −1 7−x 5−x MB' MC ' 3− x + + = −3 a) x + x + − x − x + = x(x + x + 1) b) 1993 1995 1997 Bài 4: Cho ∆ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; tứ giác BCE; ACBD hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Bài 5: Cho M điểm nằm ∆ABC , từ M kẻ MA’ ⊥ BC, MB’ ⊥ AC, MC’ ⊥ AB MA ' (A’ ∈ BC; B’ ∈ AC; C’∈ AB) Chứng minh rằng: h + h + h = a b c (Với ha, hb, hc ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ∆ABC ) Bài giải Bài 1: a) Thực phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - Vì ax3 - 2x - chia hết cho x - nên x = nghiệm đa thức ax3 - 2x - , nên ta có: a 23 - 2 - = ⇔ 8a - = ⇔ a = c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - Nghiệm đa thức giá trị x để  x + 2x + = x - 2x - = ⇔ (x + 2x + 2)(x - 2) = ⇔  x − = 2 +) x - = ⇔ x = 2+) x + 2x + ⇔ (x + 2x + 1) + = ⇔ (x + 1)2 + = : Vơ nghiệm Vì (x + 1)2 + > với x Bài 2: a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) (c − a)(a − b)(b − c) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) ab − ac + bc − ab + ac − bc = = =0 = (c − a)(a − b)(b − c) (c − a)(a − b)(b − c) (c − a)(a − b)(b − c) 1 1  =  − b) Chứng minh ÷ (3n + 2)(3n + 5)  3n + 3n +  1 1   3n + − (3n + 2)  − = = Ta có:  ÷=    3n + 3n +   (3n + 2)(3n + 5)  (3n + 2)(3n + 5) (3n + 2)(3n + 5) 150 150 150 150 + + + + c) Tính : 5.8 8.11 11.14 47.50 150 150 150 150 + + + + áp dụng câu b ta tính =9 5.8 8.11 11.14 47.50 a b c a) S = (c − a)(a − b) + (a − b)(b − c) + (b − c)(c − a) = Bài 3: Giải phương trình x +1 x −1 x(x + 1)(x − x + 1) x(x − 1)(x + x + 1) − = ⇔ − = a) (1) 4 4 x + x + x − x + x(x + x + 1) x(x + x + 1) x(x + x + 1) x(x + x + 1) ĐKXĐ: x(x4 + x2 + 1) ≠ ⇔ x ≠ Vì x4 + x2 + > (1) ⇔ x(x + 1)(x2 - x + 1) - x(x - 1)(x2 + x + 1) = ⇔ x(x3 - 1) - x(x3 + 1) = ⇔ x4 - x - x4 - x = ⇔ - 2x = ⇔ x = - − x 5− x 3− x 7−x 5−x 3− x + + = −3 ⇔ +1+ +1+ +1 = b) 1993 1995 1997 1993 1995 1997 ⇔ x = 2000 Bài 4: Cho ∆ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; tứ giác BCE; ACBD hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Giải D · · · a) Chứng minh DAB = 1800 A + BAC + CAE ⇒ D, A, E thẳng haøng M N b) Đặt AB = c, AC = b E BD // AC (cùng vuông góc với AB) MC AM AC AM AC neân MD = MB = BD ⇒ MB + AM = AC + BD B C AM AC AM AC AC AB = ⇒ = ⇒ AM = (1) AB AC + BD AB AC + AB AC + AB ⇒ AM(AC + AB) = AC AB ⇔ 3(4 + AB) = AB ⇔ AB = 12 cm ⇒ MB = cm MC AM MC.MB 5.9 Từ MD = MB ⇒ MD = MA = = 15 cm ⇒ AN AB AN AB c) AB // CE (cùng vuông góc với AC) nên NC = CE ⇒ NC + AN = AB + CE ⇔ AN AB AB AC = ⇒ AN = (2) AC AB + AC AB + AC Từ (1) vaø (2) suy ra: AM = AN Bài 5: Cho M điểm nằm ∆ABC , từ M kẻ MA’ ⊥ BC, MB’ ⊥ AC, MC’ ⊥ AB MA ' MB' MC ' (A’ ∈ BC; B’ ∈ AC; C’∈ AB) Chứng minh rằng: h + h + h = a b c (Với ha, hb, hc ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ∆ ABC ) Giải Kẻ đường cao AH, ta có: A MA ' MA ' SMBC = = (1) AH SABC B' MB ' SMCA MC ' SMBA = = C' Tương tự: (2) (3) hb SABC hc SABC Cộng (1), (2) (3) vế theo vế, ta có: M MA ' MB ' MC ' SMBC SMCA SMBA + + = + + hb hc SABC SABC SABC SMBC + SMCA + SMBA SABC = =1 = SABC SABC B A' H C ĐỀ Câu a) Trong ba số a, b, c có số dương, số âm số 0; ngồi cịn biết thêm a = b (b − c) Hỏi số dương, số âm, số b) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy Câu 2: a) Giải phương trình: x + − = b) Giả sử a, b, c ba số đôi khác Chứng minh rằng: a b c + + =0 b−c c−a a −b a b c + + =0 2 (b − c) (c − a) (a − b) · Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax tia phân giác BAC , Ax cắt BC E Trên tia Ex · · lấy điểm H cho BAE Chứng minh rằng: = ECH a) BE EC = AE EH b) AE2 = AB AC - BE EC Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD E; từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F Chứng minh rằng: EF // DC híng dÉn giải Câu 1: a) Vì a = b (b c) nên a b v× NÕu a = ⇒ b = b = c Vô lí Nếu b = ⇒ a = V« lÝ ⇒ c = ⇒ a = b3 mµ a ≥ víi mäi a ⇒ b > ⇒ a < b) V× x + y = ⇒ A = x3 + y3 + 3xy = x3 + y3 + 3xy (x + y) = (x + y)3 = a b c a b b − ab + ac - c2 c C©u 2: b) Từ b - c + c - a + a - b = ⇒ b - c = a - c + b - a = (a - b)(c - a) a b − ab + ac - c2 = (1) (Nhâ n hai vế vớ i ) (b - c) (a - b)(c - a)(b - c) b-c b c − bc + ba - a c a − ac + cb - b = = Tương tự, ta có: (c - a)2 (a - b)(c - a)(b - c) (2) ; (a - b)2 (a - b)(c - a)(b - c) (3) ⇔ Coäng vế (1), (2) (3) ta có đpcm C©u 3: a) Ta cã ∆ BAE ⇒ b) ⇒ ⇒ ⇒ A ∆ HCE (g.g) BE AE = ⇒ BE.EC = AE.EH (1) EH EC ∆ BAE ∆ HCE (g.g) · · · · ⇒ ABE ABE = CHE = CHA ∆ BAE ∆ HAC (g.g) AE AB = ⇒ AB.AC = AE.AH (2) AC AH C B E H x Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH ⇔ AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2 C©u 4: Gọi O giao điểm AC BD OE OA O a) Vì AE // BC ⇒ OB = OC (1) E OB OF BF // AD ⇒ OD = OA (2) F D OE OF Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OD = OC ⇒ EG // CD ĐỀ Bài 1: Cho phân thức: P= B A C x−4 x + x − 20 a) Tìm TXĐ P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P x − = 1,5 Bài 2: So sánh A B biết: a) A = 2002 2004 B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD BG vng góc với AC Chứng minh: a) ∆ ACE ∆ ABG ∆ AFC ∆ CBG b) AB AE + AD AF = AC2 Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có  = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA DA M N a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị khơng đổi b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 4(x + y) = 11 + xy Giải Bài 1: a) Đkxđ: x2 + x - 20 ≠ ⇔ (x - 4)(x + 5) ≠ ⇔ x ≠ x ≠ - b) P = x−4 x−4 = x + x − 20 (x − 4)(x + 5) 2 x+5 −2 Nếu x < ⇒ P = x+5 Nếu x > ⇒ P =  x − = 1,5;(x > 5)  x = 6,5 ⇔ 5 − x = 1,5;(x < 5)  x = 3,5 c) x − = 1,5 ⇔  2 −2 −2 −2 20 Với x = 6,5 P = x + = 6,5 + = 11,5 = 115 = 23 −2 Với x = 3,5 P = x + = 3,5 + = 8,5 = 17 Bài 2: a) A = 2002 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 20032 - < 20032 ⇒ A < B b) Ta có: A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 - 1)( 24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 - 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 - 1)(232 + 1) = 264 - < 264 ⇒ A < B Bài 3: Ta coù ∆ AGB ∆ AEC ⇒ AE AC = AG AB ⇒ AB AE = AC AG (1) AF CG CG = = ∆ CGB ∆ AFC ⇒ (vì CB = AD) AC CB AD ⇒ AF AD = AC CG (2) Cộng (5) (6) vế theo vế ta coù: AB AE + AF AD = AC AG + AC CG ⇔ AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC Vaäy: AB AE + AD AF = AC2 Bµi 4: MB CM a) BC // AN ⇒ BA = CN (1) 10 b) Tính AC biết MC - MA = 3cm c) Chứng minh AP BN CM =1 PB NC MA Bài 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đường chéo, cắt O Tính diện tích tam giác ABO biết diện tích tam giác BOC 169 cm diện tích tam giác AOD 196 cm2 ĐỀ 25 Câu 1: Cho biểu thức:  − x  − 2x + − : A=  ÷  − x x + 1− x  x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất: a) A = x − x + 17 x2 − x + b) B = x2 - 2xy + 2y2 + 2x – 10y +17 Câu 3: Giải phương trình: a) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 b) |x+1| + |x+2| + |x+3| = 4x     c)  x + ÷− 34  x + ÷+ 51 = x x     Câu 4: Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: P = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b) 1 1 1 Câu 5: Cho biết: x + y + z = 2và x + y + z = Chứng minh rằng: x + y + z = xyz Câu 6: Tính chu vi tam giác ABC vuông A, biết đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác AHB AHC có chu vi theo thứ tự 18cm 24cm Câu 7: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c, đường phân giác AD a) Tính độ dài BD, DC b) Tia phân giác góc B cắt AD I Tính tỉ số AI : ID c) Cho BC trung bình cộng AB AC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: IG // BC 51 ĐỀ 26 Câu 1: Giải phương trình sau: a) |x – 1| - 2|x – 2| + 3|x – 3| = 2  x + 3  x −  7(x − 9) b)  =0 ÷ + 6 x + ÷ − x − x −     Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) b) x3 + y3 + z3 – 3xyz Câu 3: Tìm số a,b cho x3 + ax + b chia cho x + dư chia cho x – dư -5 Câu : Tìm GTNN : B= x − 16 x + 41 x − x + 22 Câu 5: Cho xyz = Rút gọn biểu thức; x y 2z M= + + xy + x + yz + y + xz + 2z + Câu 6: Một ô tô dự định chạy từ A đến B dài 120 km thời gian định Trong nửa đầu quãng đường AB, đường xấu nên xe chạy với vận tốc dự định 4km/h Trên quãng đường lại, đường tốt nên xe chạy với vận tốc nhiều dự định 5km/h nên đên đến B dự định Tính thời gian dự định hết quãng đường Câu 7: Cho tam giác ABC, góc nhọn B C Hai đường cao BE CF cắt H CMR: a) AB.AF = AC.AE b) ∆AEF đồng dạng ∆ABC c) BH.BE + CH.CF = BC2 52 Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 8cm; AC = 12cm; BC = 10cm Gọi I giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác ABC a) CMR: IG // BC b) Tính độ dài IG ĐỀ 27 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x + x + b) x + 2015 x + 2014 x + 2015 Bài 2: Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bài 3: Cho a + b +c = 0; abc ≠ a) Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b) Tính giá trị biểu thức: c2 a2 b2 P= + a + b − c b + c2 − a c2 + a − b Bài 4: Giải phương trình sau: a) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) x4 + x2 + 6x – = Bài 5: Cho biểu thức: a2 b2 a + b2 P= + − ab ab + b ab − a a) Rút gọn P b) Có giá trị a, b để P = 0? c) Tính giá trị P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab a > b > 53 Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh : 1 + = AB CD EF Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, căys tia BA O CMR: a) OA.OB = OC.OH b) Góc OHA có số đo khơng đổi c) BM.BH + CM.CA khơng đổi ĐỀ 28 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) a(a+2b)3 – b(2a+b)3 b) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Bài 2: Cho x y z + + =1 y+z x+z x+ y x2 y2 z2 + + =0 Chứng minh rằng: y+ z x+ z x+ y a +b b+c c +a = = c a b  a  b  c  Tính giá trị biểu thức: M = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  b  c  a  Bài 3: Cho số a,b,c đôi khác Bài 4: Giải phương trình sau: a) x+2 3 + = +1 x +1 x − x − x − b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = c) |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| =4x 54 Bài 5: Một canô tuần tra xuôi khúc xong từ A đến B hết 10 phút ngược dòng từ B A hết 30 phút Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dòng nước 2km/h  x + 3x   6x  + − Bài 6: Cho biểu thức: P =  ÷:  ÷ 2  x + x + x + 27 x +   x − x − 3x + x − 27  a) Rút gọn P b) Với x >0 P khơng nhận giá trị nào? c) Tìm giá trị ngun x để P có giá trị nguyên Bài 7: Cho tam giác ABC vng góc B Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD= CA Vẽ DF ⊥ AB (F∈ AB) Gọi E trung điểm DF CMR: tứ giác BCDE hình thang cân Bài 8: Điểm M cạnh huyền tam giác vng diện tích 100cm có khoảng cách đến hai cạnh góc vng 4cm 8cm Tính độ dài cạnh góc vng ĐỀ 29 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 6x3 + 13x2 + 4x – b) (x2 – x + 1) (x2 – x + 2) - 12 Bài 2: Biết a - b = Tính GT biểu thức: P = a2(a + 1) - b2(b - 1) + ab - 3ab(a - b + 1) Bài 3: Cho biểu thức A = x − 3x x+4 − + x +1 x − x +1 x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - Bài 4: Giải phương trình sau: 55 a) x2 + 2x + x + - = b) x − 3x + + x − = 2 1 1 c)  x + ÷ +  x + ÷ −  x +  ÷ x + ÷ = ( x + ) x x  x  x    + + =0 d) x +1 x − x − x +1 x −1 Bài 5: Chứng minh rằng: Với x ∈ Q giá trị đa thức : M = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 16 bình phương số hữu tỉ Bài 6: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 7: Cho đoạn thẳng AB , gọi O trung điểm AB; vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Lấy điểm C Ax, lấy điểm D By cho góc COD=900 a) Chứng minh ∆ACO đồng dạng với ∆ BOD b) Chứng minh CD=AC+BD c) Kẻ OM vng góc với CD M Gọi N giao điểm AD với BC Chứng minh MN // AC Bài 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm Vẽ đường phân giác AD, BE, CF a/ Tính độ dài EF b/ Tính diện tích tam giác DEF ĐỀ 30 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) b) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y - 10 c) xy(x - y) – xz(x + z) + yz(2x – y + z) Bài 2: Cho a + b + c = a + b + c = Tính giá trị biểu thức: M = a + b + c 56 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + 2xy Bài 3: Cho x, y, z đôi khác Bài 4: Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 b) 17 19 21 23 ( x − a ) ( x − c) + ( x − b) ( x − c) = c) ( b − a ) ( b − c) ( a − b) ( a − c ) Bài 5: Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian nh ất định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian tơ quãng đường AB biết người đến B gi Bài 6: Chứng minh rằng: P= 1 1 + + + + 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 2: Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Câu 3: Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = d) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 Câu 4: Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 Câu 5: Cho ∆ ABC vuông A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đường cao AH Trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? Câu 6: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a) Chứng minh OM = ON b) Chứng minh 1 + = AB CD MN c) Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD 2 Câu 7: Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) Chứng minh 2 a = b = c 58 ĐỀ 32 Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 - (a+b) xy + aby2 b) a2- b2 – 2a + c) a3 – 19a + 30 d) x + 2011x + 2010 x + 2011 e) x + f) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − 24 Câu 2: Giải phương trình: a) x − 30x + 31x − 30 = b) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 c) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 d) 1990 1986 1004 e) 4x – 12.2x + 32 = Câu 3: 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + 2xy Câu 4: a b c a2 b2 c2 + + = Chứng minh rằng: Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Câu 5: Tìm số a b cho x + ax + b chia cho x + dư 7; chia cho x − dư Cho x, y, z đôi khác Câu 6: Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian ô tô quãng đường AB biết người đến B Câu 7: Cho hình vng ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý BD.Từ M kẻ ME ⊥ AB; MF ⊥ AD.Chứng minh a) CF = DE; CF ⊥ DE b) CM = FE ; CM ⊥ FE 59 c) CM,BF,DE đồng qui ĐỀ 33 Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 – x – b) x3 – x2 – 14x + 24 c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a) d) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 Câu 2: Giải phương trình: a) x − + x − + x − =     b)  x + ÷− 34  x + ÷+ 51 = x x     Câu 3: Thực phép tính a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1) b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2   c)  x + −   4x  ÷:  − ÷ 1− 2x   2x −1  Câu 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC 289 đường cao AH 120 Tính hai cạnh AB AC Câu 5: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức B = a4 + b4 + c4 Câu 6: Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ∆ABM đồng dạng ∆ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Câu 7: Cho tam giác ABC, ba đường phân giác AN, BM, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4,7,5 a) Tính NC biết BC = 18 cm b) Tính AC biết MC - MA = 3cm c) Chứng minh AP BN CM =1 PB NC MA 60 ĐỀ 34 Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 b) 4x2 – 8x + c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 d) x + x + e) a(x2 +1) – x(a2 + 1) f) x – + xn + 3- xn   10 − x   x + + Câu 2: Cho biểu thức: A =  ÷:  x − + x + ÷ x −4 2−x x+2   a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 3: a) Cho đa thức f(x) = 2x3 – 3ax2 +2x + b Xác định a b để f(x) chia hết cho x – x + b) So sánh A B biết: 2 16 A = 32 − B = (5 − 4.5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Câu 5:Tìm giá trị x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 2y + 13 Câu 6: Cho abc ≠ a + b+ c ≠ giải phương trình: a+b−x a+c−x b+c−x 4x + + + =1 c b a a+b+c Câu 7: Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN 61 b) So sánh hai tam giác ABC INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC ĐỀ 35 Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 – 3abc b) (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3   10 − x   x A = + + : x − + Câu 2: Cho biểu thức: ÷  x2 − − x x + ÷  x+2     a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 3: Cho biểu thức: 1 1 P= + + + + a − a a − 3a + a − 5a + a − 7a + 12 a − 9a + 20 a) Tìm điều kiện để P xác định b) Rút gọn P c) Tính giá trị P biết a3 - a2 + = Câu 4: Cho tam giác ABC cân A BC = a; AC = b Vẽ đường phân giác BD, CE a) CMR: DE //BC DE a b) Tính DE từ suy ra:= + b Câu 5: a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = x y z b) Cho + + = a b c a b c + + = x y z x2 y z + : + =1 Chứng minh a b2 c Câu 6: Giải phương trình: a) x|x + 3| - |x2 + x + 1| = b) (x2 – 9)2 = 12x + c) (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192 62 Câu 7: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo vng góc với O Biết AB=1/2CD AO=1/3AC Cho diện tích tam giác AOB a 2, tính diện ĐỀ 36 Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x8 + x + b) x2 – y2 + 10x – 6y + 16 c) xy(x + y) – yz(y + z) – zx(z – x) Câu 2: Tìm GTLN của: A = 2x2 + 4x + x2 + 2x + Câu 3: Một sà lan xi dịng từ A đến B 2,5 ngược dòng từ B A Biết vận tốc dòng nước km/h Tính khoảng cách AB Câu 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD M, N Chứng minh rằng: MA MB = ND NC MA MB = b) NC ND a) c) MA = MB, NC = ND Câu 5: Cho biểu thức: 1 1 P= + + + + a − a a − 3a + a − 5a + a − 7a + 12 a − 9a + 20 d Tìm điều kiện để P xác định e Rút gọn P f Tính giá trị P biết a3 - a2 + = Câu 6: Giải phương trình: a) 2x4 – 9x3 + 14x2 – 9x + b) 15 x   − = 12  + ÷ x + 3x −  x + 3x −  c) x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 63 Câu 7: Cho tam giác ABC cân A Đường cao AH Kẻ HD vng góc với AC Gọi M trung điểm HD Chứng minh rằng: AM vng góc BD 64 ... + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x... THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN LỚP – VỊNG Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức... PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN LỚP – VỊNG TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu Hướng dẫn giải (2.0