GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2014 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx x x +x +1 √ Tính tích phân suy rộng I = GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ dx x x +x +1 √ Tính tích phân suy rộng I = 1 dt ⇒ x = ⇒ dx = − x t t x +∞ Đổi cận t Đặt t = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Khi − dt t2 I = t 1 t2 = ln + 34 dt = 1+t +t √ = ln t + + t + t + √ + − ln 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) √ = + 1t + d t + 21 t + 21 1 = ln + √ GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ arctan x dx x2 Tính tích phân suy rộng I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ arctan x dx x2 Tính tích phân suy rộng I =    du =  dx  u = arctan x + x2 Đặt ⇒ dx  dv =   v = − x x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Khi I = − arctan x x +∞ dx = x(1 + x 2) + 1 +∞ dx − x π = + +∞ +∞ xdx π = + ln |x| − ln(1 + x ) 1+x π x = + ln √ + x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ = +∞ = π π ln + ln − ln √ = + 4 2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vô hạn gới hạn x = a, trục Ox đồ thị hàm f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Chú ý Từ ý nghĩa hình học tích phân suy rộng, ta tồn giới hạn hữu hạn khác lim f (x) = A = x→+∞ f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) +∞ f (x)dx phân kỳ tích phân suy rộng a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Nếu α > I = +∞ dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ xα hội tụ GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn Câu Tính tích phân suy rộng loại 2 dx √ (x − 1) x − x + I = dx √ + (x − 1) x − x + I = dx √ = I1 +I2 (x − 1) x − x + 1 Tích phân I hội tụ hai tích phân I1 , I2 hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 24 / 36 Tích phân suy rộng loại Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn 1 x→1+ √ √ ∼ (x − 1) x − x + (x − 1) 12 − + 1 (x − 1)1 Tích phân I1 phân kỳ Vậy I phân kỳ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 25 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Câu 10 π Tìm α để tích phân sau hội tụ I = − cos x dx xα TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 26 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Câu 10 π Tìm α để tích phân sau hội tụ I = − cos x dx xα − cos x x→0+ x2 ∼ = xα x α 2x α−2 Để tích phân I hội tụ α − < ⇔ α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 26 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Câu 11 Tìm α để tích phân sau hội tụ 1√ e + x − e cos x I = dx xα TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 27 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Câu 11 Tìm α để tích phân sau hội tụ 1√ e + x − e cos x I = dx xα √ e + x − e cos x xα + x→0 ∼ e + 12 xe − − x2 xα + e2 = 2e x α−2 Để tích phân I hội tụ α − < ⇔ α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 27 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Câu 12 Tìm α để tích phân sau hội tụ I = x α dx (x − 1)(x − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2)2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 28 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Trường hợp 1: α > 3/2 α x dx I = (x − 1)(x − + 2)2 + x α dx (x − 1)(x − x α dx (x − 1)(x − 2)2 2)2 + 3/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 29 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ xα 3 x→1+ (x − 1)(x − 2)2 xα (x − 1)1/3 x→1− (1 − x)(x − 2)2 xα (x − 1)1/3 x→2− (x − 1)(x − 2)2 ∼ ∼ 2α ∼ (x − 2)2/3 Do đó, tích phân I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 30 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Trường hợp 2: α = 3/2 dx I = (x − 1)(x − 2)2 dx + (x − 1)(x − 2)2 + + dx (x − 1)(x − 2)2 3/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 31 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ x→1+ (x − 1)(x − 2)2 1 (x − 1)1/3 x→1− (1 − x)(x − 2)2 1 (x − 1)1/3 x→2− (x − 2)2/3 3 (x − 1)(x − 2)2 ∼ ∼ ∼ Do đó, tích phân I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 32 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Trường hợp 3: α < 1/2 dx I = x −α (x − 1)(x − 2)2 (x − 1)(x − 2)2 + dx x −α 1/2 3/2 + dx + x −α (x − 1)(x − 2)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + dx x −α (x − 1)(x − 2)2 3/2 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 33 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ 4.x −α x −α (x − 1)(x − 2)2 1 x→1+ ∼ (x − 1)1/3 x −α (x − 1)(x − 2)2 1 x −α x −α 3 (1 − x)(x − 2)2 (x − 1)(x − 2)2 x→0+ ∼ √ x→1− ∼ (x − 1)1/3 2α ∼ (x − 2)2/3 x→2− Do đó, tích phân I hội tụ −α < ⇔ α > −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 34 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ Vậy để tích phân I hội tụ α ⇒ α > −1 −1 < α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 35 / 36 Tích phân suy rộng loại Tìm α để tích phân suy rộng loại hội tụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 36 / 36 [...]... Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 13 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 6 Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ −e −x + ln x dx (1 + x α )α−2 I = 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 14 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 6 Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞... GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 16 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 7 Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ e αx dx (x − 1)α ln x I = 2 Trường hợp 1: α > 0 e αx (x − 1)α ln x x→+∞ ∼ e αx x→+∞ −→ +∞ x α ln x Do đó, tích phân I phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 16 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích. .. α+1/3 Để tích phân I hội tụ thì α + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 2 >1⇔α> 3 3 GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 10 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Trường hợp 2: α = 0 2 (2x + 3) x→+∞ 2x √ = ∼ 5.x 4/3 5x 1/3 (4 + x α ) 3 1 + x 4 1 I phân kỳ vì < 1 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 11 / 36 Tích phân suy rộng loại... x→+∞ ∼ GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 9 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 4 Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ I = 1 (2x + 3)dx √ α (4 + x ) 3 1 + x 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 10 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 4 Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ I = 1 (2x +... (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 8 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 1 2 1 2 Nếu α > 1 thì I = Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ +∞ dx hội tụ α x a +∞ dx Nếu α 1 thì I = phân kỳ α x a +∞ dx Nếu α > 1 thì I = hội tụ α lnβ x x 2 +∞ dx Nếu α < 1 thì I = phân kỳ β α 2 x ln x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 8 / 36 Tích phân suy rộng loại... để tích phân sau hội tụ I = 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG dx √ xα 3 1 + x2 TP HCM — 2014 9 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 3 +∞ Tìm α để tích phân sau hội tụ I = 1 1 1 = x α x 2/3 x α+2/3 xα 2 1 Để tích phân I hội tụ thì α + > 1 ⇔ α > 3 3 √ 3 1 1 + x2 dx √ xα 3 1 + x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x→+∞ ∼ GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY. .. TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 12 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Câu 5 Tìm α để tích phân sau hội tụ +∞ (3−x + 4x)dx (5 + x α )α−1 I = 1 Trường hợp 1: α > 0 (3−x + 4x) (5 + x α )α−1 x→+∞ ∼ 4x x α(α−1) = 4 x α(α−1)−1 Để tích phân I hội tụ thì α(α − 1) − 1 > 1 ⇔ α > 2 ∨ α < −1 ⇒ α > 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG.. .Tích phân suy rộng loại 1 1 Nếu α > 1 thì I = 2 Nếu α Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ +∞ dx hội tụ α x a +∞ dx 1 thì I = phân kỳ α x a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 8 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 1 2 1 Nếu α > 1 thì I = Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ +∞ dx hội tụ α x a +∞ dx Nếu α 1 thì I = phân kỳ α x a +∞ dx Nếu... α(α−2) ln−1 x Để tích phân I hội tụ thì α(α √ − 2) > 1 √ ⇔ α > 1 + 2 ∨ α < 1 − 2 ⇒ α > 1 + 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 14 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Trường hợp 2: α = 0 −e −x + ln x (1 + x α )α−2 x→+∞ ∼ ln x 1 = 2−2 2−2.x 0 ln−1 x I phân kỳ vì 0 < 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM... 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng loại 1 hội tụ Trường hợp 2: α = 0 −e −x + ln x (1 + x α )α−2 x→+∞ ∼ ln x 1 = 2−2 2−2.x 0 ln−1 x I phân kỳ vì 0 < 1 Trường hợp 3: α < 0 −e −x + ln x (1 + x α )α−2 x→+∞ ∼ ln x 1 = 0 −1 1 x ln x I phân kỳ vì 0 < 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 15 / 36 Tích phân suy rộng loại 1 Tìm α để tích phân suy rộng .. .Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx x x +x +1 √ Tính tích phân suy rộng I = GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG... ln + √ GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ arctan x dx x2 Tính tích phân suy rộng I =... (BK TPHCM) GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2014 / 36 Tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Tính tích phân suy rộng loại Câu +∞ arctan x dx x2 Tính tích phân suy rộng I =