SỞ GD&ĐT BẮC NINH ĐỀ KHẢO SÁT THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Cho hàm số : y  co m Câu 1(2,5 điểm) 2x  (C ) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ 4x  4x  f(0) = 2x  HV b) Tìm hàm số f(x) biết f’(x)= N 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x  3x  x  đoạn [- 2; 2] Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: 4sinx + cosx = + sin2x Câu (1,5 điểm) a) Giải phương trình: x  24.5 x 1   Câu (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc toạ độ O, đỉnh B(1;1;0), D( 1;-1;0) Tìm tọa độ đỉnh A’ biết A’ có cao độ dương viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ AT Câu (0,5 điểm) Trường trung học phổ thông Thuận Thành số có tổ Toán gồm 15 giáo viên có giáo viên nam, giáo viên nữ; Tổ Lý gồm 12 giáo viên có giáo viên nam, giáo viên nữ Chọn ngẫu nhiên tổ giáo viên dự tập huấn chuyên đề dạy học tích hợp Tính xác suất cho giáo viên chọn có nam nữ M Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  ( ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) với M trung điểm CD biết góc SC mặt phẳng chứa đáy  với tan   ww w Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác hạ từ đỉnh A D(1;-1) Phương trình tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương  13   ;  trung điểm BD Tìm tọa độ điểm A,C biết A 5  trình x + 2y – =0.Giả sử điểm M  có tung độ dương Câu (1,0 điểm).Giải hệ phương trình sau x  x  2x   y   y     x  x   y   xy  y  x    y  x  Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ; c  a  b  c   b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) 1 a 1 b - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm! Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Họ tên thí sinh Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN I, NĂM 2015-2016 Môn thi: Toán 12 Ý Nội dung 1.Cho hàm số : y  Điểm 2x  (C ) x 1 co m Câu Câu (2,5 điểm) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) TXĐ: R \  1 0,25 N y'   , x  1 ( x  1) 1,0 Hàm số đồng biến khoảng (;1) va  (1; ) HV Hàm số cực trị lim y   đồ thị có tiệm cận ngang y = x   lim y   ; lim y    đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 x  1 x  1 - Bảng biến thiên X  + * Đồ thị: 0,25  0,25 M  +  Y Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ ww w b) 0,75 AT ' -1 0,25 Với y   x   x   x  ; y ' (4)  1 Phương trình tiếp tuyến điểm A(4;1) là: y  ( x  4)   y  x  5 (0,75 điểm) 0,5 0,25 Tìm GTLN, GTNN hàm số y  x3  3x  x  đoạn  2; 2 Xét đoạn  2; 2 ta có: f’(x) = 3x2 + 6x -9  x   (l ) f’(x) =   x  0,25 0,25 Ta có: f(-2) = 23, f(1) = - , f(2) = Vậy: max f( x )  f (2)  23 , f( x)  f (1)  4  2;2  2;2 Giải phương trình: 4sinx + cosx = + sin2x Phương trình tương đương:  4sinx + cosx = + sinx.cosx  2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) =  (2 – cosx) ( 2sinx -1) = Ta có: x  24.5 x 1    x  Câu (1,5 điểm) x Đặt t = , ( t > 0) AT Ta M b) 24 x   t  24 Phương trình trở thành:  t  t      t   (l ) 5  Với t  ta có x =1 Vậy phương trình có nghiệm x = a) (k  z ) HV     cosx  0(VN )  x   k 2    sinx   x  5  k 2   N Câu (0,5 điểm) co m 0,25 0,25 0,25 1,5 0,25 0.25 0,25 0,5 có f (x)   4x  4x    dx=   x   dx  x  x  ln x   c 2x  x    Mà f(0)=1  c   f ( x)  x  x  ln x   ww w Câu4 (1điểm) 0.25 Ta có: AB = Gọi A’(x;y;z), Vì ABCD.A’BC’D’là hình lập phương ta có AÂ ' AB  0; AÂ'.AD  x  y   Và AA’= nên ta có hệ  x  y   A' (0;0; ) Do A’ có tung độ dương x  y  z   Lại có đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương AC’ mà   AC '  AB  AD  AÂ '  C ' 2;0;  I 1;0;  trung điểm AC’ bán kính 2   mặt cầu R = AI=  0,25 0,25 0,25   Phương trình mặt cầu là:  x  1  y   z    2  Số phần tử của không gian mẫu: n()  C152 C122 2 0,25 0,25 n( A) 197  n() 495 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , AD  2a , SA  ( ABCD) SA  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) với M trung điểm CD 1,00 Ta có hình chiếu SC mặt phẳng đáy AC góc SCA góc SC mặt phẳng đáy  SA  AC tan   a 0,25 Ta có S ABCD  AB.AD  2a N Câu (1,0 điểm) P(A) = HV Câu (0,5 điểm) co m Gọi A biến cố: “Các giáo viên chọn có nam nữ” n(A)= C 82 C 72  C 52 C 72  C81C 71C 71C 51 2a (dvtt) Do đó: VS ABCD  SA.S ABCD  3 0,25 M AT Ta có d(D,(SBM)=d(C,(SBM)= 1/2 d(A,(SBM)) Dựng AN  BM ( N thuộc BM) AH  SN (H thuộc SN) Ta có: BM  AN, BM  SA suy ra: BM  AH Và AH  BM, AH  SN suy ra: AH  (SBM) Do d(A,(SBM))=AH 0,25 2a 4a AN BM  a  AN   BM 17 1 4a    AH  Trong tam giác vuông SAN có: 2 AH AN SA 33 2a Suy d(D,  SBM   33 Câu (1,0 điểm) ww w Ta có: S ABM  S ABCD  2S ADM  a ; S ABM  1,00 Gọi E giao cuả tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với BC, PT BC: x-2y-3=0  E(5;1) chứng minh ED =EA Từ A(7-2a;a)  d x+2y-7=0 Từ EA=ED ta có (2-2a)2+(a-1)2=20  A(1;3) ( tung độ A dương)  21   16  12  M trung điểm BD  B ;   AB ;   5 5   0,25    Gọi C(2c+3;c) ta có cos AB; AD  cos AC; AD  C  15;9 0,25 0,25 0,25 0,25 ( Học sinh sử dụng phương tích EB EC  EA ) Giải hệ phương trình sau 1,00 ĐK: y  2;( x  2)( y  1)  co m Câu (1,0 điểm) Phương trình (1)  x  ( x  1)   y  y  2t Xét hàm f(t) = t  t  có f ' (t )   , t  R  f ' (t )   t  t2  f ' (t )  0, t  1; f ' (t )  0, t  HV N Từ điều kiện ta có -Nếu x    y   hay x    y  mà pt (1) có dạng f(x-1)=f(y)  y  x  -Nếu x    y   hay x    y  pt (1)  y  x  Vậy ta có y=x-1 vào pt (2) ta có: x 1  x  x   (1  x)  x  (3)   x 1 4x  x  1  2x  x    x  1   x  x    x  x  (4) 0,25 0,25 0,25 M AT  2 x  Kết hợp (3) (4) ta x   x    x 2 4 x  x    2 Thử lại ta có: Phương trình cho có nghiệm: x  1; x  Vậy hệ có 2 7   nghiệm (x;y) = (-1;-2)  ;  2   ( học sinh bình phương để giải pt ẩn x) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ; c  a  b  c   0,25 ww w Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b  2c a  2c   6ln( a  b  2c) 1 a 1 b a  b  2c  a  b  2c    ln(a  b  2c) 1 a 1 b     a  b  2c  1     ln(a  b  2c)  1 a 1 b  P2 Câu (1,0 điểm) 1,00 0,25 Ta chứng minh BĐT quen thuộc sau: 1   (1)  a  b  ab ab  ) ab  (2) 1      a  b   ab  1  a 1  b  Thật vậy, )  a  b  ab )    a b   ab   ab  Dầu “=” a=b ab=1 ) ab   ab     ab   Dấu “=” ab=1 0,25 1 2      a  b  ab  ab   ab 4 16    Đặt t  a  b  2c, t  ta ab  bc  ca  c  a  c  b  c   a  b  2c 2 có: P   f (t )  16  t  1  ln t , t  0; t2 16  t   6t  16t  32  t   6t   f '(t )     t t3 t3 t3 BBT - + HV f(t)  N t f’(t) 5+6ln4 Vậy, GTNN P 3+6ln4 a=b=c=1 M AT Chú ý: Đây hướng dẫn chấm, số học sinh phải giải chi tiết Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng ww w co m Do đó, 0,25 0,25