Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC chủ đề lớn chương trình toán phổ thông Nó có mặt tất môn Số học, Hình học, Đại số Các toán bất đẳng thức tỏ có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo phương pháp giải chúng Chính bất đẳng thức chuyên đề người quan tâm đến nhiều.Việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si, Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức vấn đề khó học sinh THCS Chương trình toán THCS hành, học sinh tiếp cận với bất đẳng thức thông qua tập so sánh hai số, chứng minh lớn hơn, bé hơn… Trong bất đẳng thức Bunyakovsky vấn đề học sinh Chương trình tự chọn nâng cao bồi dưỡng toán 8, toán chủ đề “Bất đẳng thức” học từ đến tiết Với thời lượng nên giáo viên dạy dừng việc cung cấp tính chất bất đẳng thức số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức, chưa ý đến việc rèn kỹ vận dụng bất đẳng thức Cô – si, Bunyakovsky …để giải toán bất đẳng thức cực trị Sách tham khảo tài liệu liên quan đến bất đẳng thức thầy cô, tác giả viết sách tìm hiểu, viết nhiều chủ yếu trình bày dạng đưa tập giải hướng dẫn giải Điều thiếu công đoạn quan trọng giúp học sinh suy nghĩ, tìm tòi dự đoán để đến lời giải làm cho học sinh đọc có nhiều hạn chế mặc tư nên gặp toán bất đẳng thức thường lúng túng không tìm hướng giải cách hợp lí Hơn tài liệu tìm hiểu chuyên sâu việc rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải toán cho học sinh Trong năm gần kì thi học kỳ, thi khảo sát chất lượng đầu năm, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp thường xuất toán bất đẳng thức, cực trị nhằm tìm học sinh có khiếu toán Đối với học sinh học toán, thường thấy “ngại” nhắc đến bất đẳng thức, cho bất đẳng thức toán khó giải Nguyên nhân học Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức sinh cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải Vì toán đơn giản trở nên “vô khó” em Vì học sinh không trang bị tốt kiến thức phương pháp giải hợp lí không tự tin gặp toán bất đẳng thức Cùng với thực trạng thực tế giảng dạy toán THCS nhận thấy sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức cực trị cách giải ngắn gọn, hay độc đáo tạo nhiều hứng thú cho học sinh, nên chọn lọc tích lũy viết thành đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” Với mong muốn trao đổi kinh nghiệm bạn đồng nghiệp để có thêm chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hoàn thiện Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI Trang bị cho giáo viên học sinh số kỹ sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức cực trị Học sinh sử dụng hợp lí bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh toán bất đẳng thức chương trình toán THCS, qua giúp học sinh sử dụng hợp lí giải pháp để giải toán cực trị, phương trình, bất phương trình toán hình học Học sinh giỏi nhận dạng giải toán bất đẳng thức có sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky đề thi học sinh giỏi cấp, toán bất đẳng thức chương trình toán THPT đề thi tuyển sinh vào trường Đại học – Cao đẳng Giáo viên có thêm tài liệu tham khảo, sử dụng để bồi dưỡng đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn toán cấp Dựa giải pháp người dạy sáng tác toán bất đẳng thức cực trị phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, phạm vi đề tài nghiên cứu cách sử dụng hợp lí bất đẳng thức Bunyakovsky để giải bất đẳng thức thuộc phạm vi chương trình toán THCS ứng dụng phương pháp để giải số toán cực trị Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a) Cơ sở lí luận Bất đẳng thức Bunyakovsky mảng kiến thức hay khó toán học phổ thông Nhưng vận dụng Bunyakovsky để giải toán, người học toán hiểu kĩ sâu sắc phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giải biện luận nghiệm phương trình, mối liên hệ yếu tố tam giác, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Trong trình giải tập lực suy nghĩ, sáng tạo học sinh phát triển đa dạng, mạnh mẽ, toán bất đẳng thức toán khó nhận dạng xác định hướng giải Đối với học sinh muốn giải đòi hỏi phải trang bị kiến thức tốt phương pháp giải hợp lí b) Cơ sơ thực tiễn Qua thực tế giảng dạy chủ đề nâng cao môn Toán tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số trường phân công.Tôi tổng hợp đề thi học sinh giỏi cấp hàng năm kết hợp với giáo viên tổ phân tích sai lầm tìm phương pháp giải tối ưu cho toán bất đẳng thức Đặc biệt sử dụng BĐT Bunyakovsky Phân tích hướng dẫn học sinh giỏi sử dụng BĐT Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm theo nhiều hướng khác để phát cách giải hay độc đáo Gợi ý định hướng học sinh giỏi sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải toán bất đẳng thức, toán cực trị phương trình… đăng tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ”; “TOÁN TUỔI THƠ 2” Tham khảo tài liệu viết bất đẳng thức, chọn lọc, xếp viết thành chuyên đề làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, xây dựng thành sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP a) Các biện pháp tiến hành Dựa vào: - Thực tế giảng dạy nhiều năm môn toán 8, toán bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số đặc biệt chuyên đề “ Bất đẳng thức ” - Sách nâng cao phát triển toán 8, toán Vũ Hữu Bình - Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi liên quan đến bất đẳng thức - Các chuyên đề viết bất đẳng thức đăng tải tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ”; tạp chí “TOÁN TUỔI THƠ 2” - Những viết chuyên đề chứng minh bất đẳng thức có sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky đăng tải trang mạng toán học - Kết thi học sinh giỏi từ năm học 2010 – 2011 đến năm học 2013 – 2014, đặc biệt dạng toán bất đẳng thức cực trị để phân tích, so sánh, rút kinh nghiệm b) Thời gian tạo giải pháp - Viết dạng chuyên đề dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi từ năm học 2008 – 2009 - Xây dựng thành chuyên đề hoàn chỉnh áp dụng giảng dạy đầu năm học 2009 – 2010 - Được nhà trường công nhận tài liệu dùng cho giáo viên tổ làm chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi từ tháng 12/ 2010 - Triển khai áp dụng toàn trường năm học 2010 - 2011 - Áp dụng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện dự thi cấp tỉnh từ năm học 2011 - 2012 - Viết thô sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 10/ 2013 - Hoàn thiện vào tháng 02/2014 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Tên đề tài : “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ” I MỤC TIÊU Đề tài giới thiệu khái quát BĐT Bunyakovsky trường hợp đặc biệt Đưa số giải pháp giúp học sinh sử dụng hợp lí BĐT Bunyakovsky để chứng minh BĐT Đặt cho giải pháp tên giúp học sinh dễ nhớ dễ vận dụng chứng minh bất đẳng thức, từ khơi dậy niềm đam mê sáng tạo giải toán Trong giải pháp xây dựng hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, với giải pháp trước tiên giới thiệu cách phân tích định hướng việc tìm tòi lời giải, vận dụng lí thuyết để giải nhiều lớp toán sau tập vận dụng Nhằm giúp học sinh dễ tiếp cận với số phương pháp mà tài liệu viết chưa hoàn chỉnh, thông qua rèn luyện khả tư vận dụng kiến thức cách linh hoạt tạo hứng thú tìm tòi khám phá học sinh giải toán bất đẳng thức Rèn luyện kỹ vận dụng BĐT Bunyakovsky giải số toán cực trị giúp học sinh thành thạo với việc vận dung BĐT Bunyakovsky giải toán Giáo viên có thêm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dường học sinh giỏi Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI GIỚI THIỆU BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY: Với hai số (a1, a2, a3, , an) (b1, b2, b3, , bn), ta có (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn ) , đẳng thức xảy tồn số thực k cho = kbi, với i = 1, 2, , n Trong thực tế áp dụng giải toán, điều kiện để đẳng thức xảy = kbi phức tạp khó sử dụng Vì người ta sử dụng dạng mà sử dụng dạng khác tương đương a a1 a2 = = = n (Ở qui ước mẫu tử 0) b1 b2 bn Ngoài ta suy hệ thường sử dụng để chứng minh toán bất đẳng thức cực trị dạng phân thức gọi bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức (Một số tài liệu gọi bất đẳng thức Svácxơ) Bất đẳng thức phát biểu sau: Với (a1, a2, a3, , an ) số thực (b 1, b2, b3, , bn) số thực a12 a12 a12 (a1 + a2 + + an ) + + + ≥ dương, ta có Đẳng thức xảy b1 b1 b1 b1 + b2 + + bn a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Chứng minh: Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho hai số  a1 a2 a  , , , n ÷   b b1 ÷  b1  ( b1 , b2 , , bn )  a1  a12 a22 an2  + + + ( b + b + + b ) ≥   ÷ n  b bn   b1 b2  ta có a b1 + b2 a b2 + + n bn  bn ÷ = (a1 + a2 + + an ) ÷  a12 a12 a12 (a1 + a2 + + an ) + + + ≥ Từ suy b1 b1 b1 b1 + b2 + + bn Ta có đẳng thức xảy Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức a1 b1 b1 = a2 b2 b2 = = an bn bn a a1 a2 = = = n ⇔ b1 b2 bn Tuy nhiên chương trình toán THCS ta quan tâm nhiều đến hai trường hợp n = n = Với n = 2, ta có - Nếu a, b, x, y số thực (a + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Đẳng thức xảy a b = x y a b (a + b) + ≥ - Nếu a, b số thực x, y > Đẳng thức xảy x y x+ y a b = x y Vói n = 3, ta có - Nếu a, b, c, x, y, z số thực (a + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2 Đẳng thức xảy a b c = = x y z a b c (a + b + c) + + ≥ - Nếu a, b, c số thực x, y, z > Đẳng thức xảy x y z x+ y+z a b c = = x y z THUYẾT MINH TÍNH MỚI Để giúp học sinh vận dụng tốt BĐT để chứng minh bất đẳng thức tổng hợp đưa giải pháp sau: Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức 1.1 KỸ NĂNG VẬN DỤNG TRỰC TIẾP BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY Khi sử dụng trực tiếp BĐT Bunyakovsky ta cần rèn luyện cho học sinh vận dụng hai chiều "thuận" "nghịch" bất đẳng thức Cụ thể Rèn kỹ biến đổi dạng (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn ) ta cần rèn cho học sinh làm xuất biểu thức (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) , từ đánh giá biến đổi qua biểu thức (a1b1 + a2b2 + + anbn ) ta xét toán sau: Bài 1: Cho a, b, c số thực thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ≥ (1) (Đề thi HSG lớp cấp trường năm học 2010 - 2011) Nhận xét: (1) ⇔ 3(a2 + b2 + c2 ) = 1, kết hợp với giả thiết a + b + c = HS sử dụng trực tiếp BĐT Bunyakovsky GIẢI: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số (1; 1; 1) (a2 ; b2 ; c2 ), ta có ( + + 1)(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 = Suy a2 + b2 + c2 ≥ a b c  = = 1 1 ⇔ a = b = c = Đẳng thức xảy  a + b + c = Phân tích: toán giải cách biến đổi tương đương sau: a2 + b2 + c2 ≥ ⇔ 3(a2 + b2 + c2 ) = ⇔ 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ (đúng) Vậy BĐT (1) chứng minh Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương không dễ áp dụng cần vận dụng linh hoạt giả thiết (a + b + c) = ⇔ (a + b + c)2 = , lời giải sử dụng BĐT Bunyakovsky ngắn gọn, dễ hiểu dễ áp dụng Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Bài 2: Cho x + y = 10 Chứng minh x + y ≥ 20 (Đề KSCL đầu năm Toán - Năm học 2012 - 2013) GIẢI: Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho số (1; 2) ( x ; y ) ta có: (1 x + y ) ≤ (12 + 22 )( x + y ) ⇔ 100 ≤ 5(x + y) ⇔ x + y ≥ 20 Phân tích: Bài toán HS giải cách khác sau: x + y = 10 ⇔ x = 10 − y ⇔ x = 100 - 40 y + 4y Suy x + y = 100 - 40 y + 5y = ( y − 5) + 20 ≥ 20 ( đpcm) Với lời giải biến đổi tương đương giả thiết cách bình phương hai vế HS thường mắc sai lầm không đặt điều kiện x ≥ y ≥ Bước biến đổi khó để HS nhận Rõ ràng lời giải vận dụng BĐT Bunyakovsky ngắn gọn, gây ấn tượng đối vói học sinh Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = CMR: a + b + c ≥ 16 Nhận xét: Trước hết ta cần ý xuất a + b4 + c4 vế trái BĐT cần chứng minh giả thiết ab + bc + ca = Điều làm cho ta suy nghĩ việc hạ bậc BĐT cần chứng minh để vận dụng giả thiết HS nghĩ đến việc vận dụng BĐT Bunyakovsky GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : (1 )( ) ( ) ( )( + 12 + 12 a + b + c ≥ 1.a + 1.b + 1.c = a + b + c b + c + a ≥ ( ab + bc + ca )( ab + bc + ca ) = 16 ⇒ a4 + b4 + c4 ≥ ) 16 (đpcm) Với số toán chứng minh Bất đẳng thức, BĐT Bunyakovsky tỏ rõ ưu điểm việc dễ áp dụng, linh hoạt biến đổi, dễ hiểu cho ta lời giải ngắn gọn, súc tích Đặc biệt biểu thức dạng phân thức thức Sau ta xét thêm số toán Bài 4: Cho x, y, z số dương thoả mãn 4x + 9y + 16z = 49.chứng minh Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức A= 25 64 + + ≥ 49 Đẳng thức xảy nào? x y z GIẢI: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski cho sáu số ( x ;3 y ; z ), ( ; ; ) x y z 49A = 2      25 64    2 ÷ + (4x + 9y +16z)  + + ÷ =  (2 x ) + (3 y ) + (4 z )   ÷ + ÷  z   x   y ÷ z    x y     ≥  x + y + z = 49 ÷  ÷ x y z   Vậy: A = 25 64 + + ≥ 49 x y z  x = 1  =  =  ⇔ y = Đẳng thức xảy  x y z  x + y + 64 z = 49   z =   Bài 5: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh a3 b3 c3 d3 a + b2 + c2 + d + + + ≥ b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c GIẢI: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski cho số  a3 b3 c3 d3  ; ; ;  ÷;  b+c+ d a+c+d a+c+d b+c+a ÷   ( a (b + c + d ); b(c + d + a ); c(d + b + a ); d (a + b + c ) Ta có: (a2 + b2 + c2 + d2)2 ≤ P[a(b + c + d) + (c + d + a) + c(d + a + b) + d(a + b + c) ⇔ (a2 + b2 + c2 + d2)2 ≤ P[(a + b + c + d)2 - (a2 + b2 + c2 + d2)] (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski cho số : (a; b; c; d); ( 1; 1; 1; 1) ta có: (a + b + c +d)2 ≤ 4(a2 + b2 + c2 + d2) (2) Từ (1) (2) suy (a2 + b2 + c2 + d2)2 ≤ 3P(a2 + b2 + c2 + d2) ⇔ (a2 + b2 + c2 + d2) ≤ 3P a3 b3 c3 d3 a + b2 + c2 + d + + + ≥ Vậy : b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c 10 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh ) Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức 2  2008 2008    + + y 2008 + = 2010 (x+y)( ) ≥  x = ÷  ÷  x 2008 y x 2008 y ÷ 2008 ÷ 2008    Suy S ≥ 2010 2009 : = 2009 2008 2008 Vậy MinS = 2009 đạt x =1 ; y = 2008 Bài (Đề thi khảo sát HSG lớp năm học 2012 - 2013) Cho a > c, b c c > Chứng minh c(a − c) + c (b − c) ≤ ab (2) * Lời giải cách dùng phép biến đổi tương đương c (a − c ) + c (b − c ) ≤ ab ⇔ c(a - c)+c(b - c) + 2c (a − c)(b − c) ≤ ab ⇔ 2c (a − c )(b − c ) ≤ ab + c − ac − cb + c ⇔ 2c (a − c )(b − c ) ≤ c + (a − c)(−c) ⇔ c − 2c (a − c)(b − c) + (a − c )(b − c ) ≥ ⇔ (c − (a − c)(b − c)) ≥ * Lời giải thay bất đẳng thức Bunyakovsky ( c(a − c) + c(b − c ) ) ≤ (c + b − c )(a − c + c) = ab (đpcm) Bài 4: (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp năm học 2010 – 2011) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y2 z2 + + y+z x+z x+ y * Lời giải cách áp dụng BĐT Cô – si cho số dương x2 y+z x2 y + z + ≥2 =x y+z y+z z x+ y y2 x+ z + ≥z + ≥y ; Tương tự: x+ y x+z Suy P ≥ x+ y+z = 2 Vậy MaxP = Đạt x = y = z = 47 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức * Lời giải thay cách vận dụng BĐT Bunyakovsky x2 y2 z2 ( x + y + z )2 x + y + z + + ≥ = = P= y + z x + z x + y 2( x + y + z ) 2 Vậy MaxP = Đạt x = y = z = Rõ ràng qua toán trên, chứng minh cách vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky toán trình bày ngắn gọn hơn, dễ hiểu gây bất ngờ giải toán Kích thích phát triển tư tạo nhiều hứng thú cho học sinh 2.3 Khả áp dụng: Đề tài “Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức” áp dụng hiệu trường THCS TT Phù Mỹ từ năm học 2010 – 2011.Các giải pháp triển khai áp dụng rộng rãi cho giáo viên học sinh giỏi tất trường THCS huyện.Giáo viên THPT dùng làm tư liệu ôn luyện chủ đề “Bất đẳng thức ” cho học sinh lớp 10 THPT Học sinh THPT sử dụng làm tài liệu trình tự học để ôn thi Đại học – Cao đẳng Học sinh THCS trang bị tốt kiến thức, học sinh vận dụng linh hoạt giải pháp nêu để giải toán bất đẳng thức cực trị mà giải tốt toán hình học, phương trình, chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức đại số Các bạn tham khảo số ví dụ sau: * Áp dụng để giải phương trình Bài T4/403(THCS) - Tạp chí Toán học tuổi trẻ: x + x + 17 − x + 17 − x = 34 Giải phương trình Lời giải em Nguyễn Nhất Trọng học sinh lớp năm học 2010 - 2011: Điều kiện: ≤ x ≤ 17 Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho số không âm ta có x + 17 − x ≤ (12 + 42 )( x + 17 − x) = 17 (1) x + 17 − x ≤ (12 + )( x + 17 − x ) = 17( x + 17 − x ) (2) Cộng theo vế bất đẳng thức (1) (2) ta x + x + 17 − x + 17 − x ≤ 34 48 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Đẳng thức xảy x 17 − x = ⇔ x =1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = * Áp dụng chứng minh đẳng thức Đề thi tuyển sinh THPT chuyên lê Quý Đôn năm học 2012 - 2013 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 =1 Lời giải em Nguyễn Mạnh Hậu học sinh lớp - Năm học 2013 - 2014 Ta có : x − y + y − x = ( ≤ x, y ≤ ) Áp dụng BĐT Bunyakovsky ( x − y + y − x ) ≤ ( x + y )(1 − y + − x ) ⇔ ≤ ( x + y )(2 − x − y ) (1) Đặt x2 + y2 = t (t ≥ 0) (1) ⇔ ≤ t(2 - t) ⇔ t2 - 2t + ≤ ⇔ (t - 1)2 ≤ Mặt khác ta có (t - 1)2 ≥ 0, suy t - = ⇔ t = Vậy x2 + y2 =1 Khi x = y = Apa dụng tính giá trị biểu thức Tính x2 + y2 theo tham số a dương , biết x a − y + y a − x = a Lời giải em Phạm Ngọc Sang học sinh lớp năm học 2013 - 2014 Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky, ta a = x a − y + y a − x ≤ ( x + a − x )(a − y + y ) = a Đẳng thức xảy xy = a − y a − x ⇔ x2 + y2 = a * Áp dụng vào toán hình học Đề thi HSG cấp huyện Phù Mỹ năm học 2011 - 2012 Cho ∆ ABC Điểm M nằm ∆ ABC Kẻ MA1 ⊥ BC , MB1 ⊥ CA , MC1 ⊥ AB Tìm vị trí điểm M để biểu thức: BC CA AB + + có giá trị nhỏ MA1 MB1 MC1 A Lời giải em Võ Thế Duy học sinh lớp năm học 2011 - 2012: Ta có: C1 MA1.BC = 2SMBC, M B1 49 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh B A1 C Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức MB1.CA = 2SMAC, MC1.AB = 2SMAB Do đó: MA1.BC + MB1.CA + MC1.AB = 2SMBC + 2SMAC + 2SMAB = 2SABC Mặt khác: BC CA AB + + = MA1 MB1 MC1 BC CA2 AB + + MA1.BC MB1.CA MC1 AB Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức ta có: ( BC + CA + AB ) ( BC + CA + AB ) = Const BC CA AB + + ≥ = MA1 MB1 MC1 MA1.BC + MB1.CA + MC1 AB 2S ∆ABC 2 Suy ra: BC CA AB ( BC + CA + AB ) + + đạt giá trị nhỏ khi: MA1 MB1 MC1 S ∆ABC MA1 = MB1 = MC1 ⇔ M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tóm lại giải pháp đề tài đưa không áp dụng để giải toán bất đẳng thức cực trị mà áp dụng rộng rãi để giải dạng toán khác có hiệu 50 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức LỢI ÍCH KINH TẾ - XÃ HỘI 3.1 Lợi ích đạt trình giáo dục, công tác: Đề tài "Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức" triển khai áp dụng thể rõ lợi ích đạt giáo dục góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giáo dục hàng năm Thể tinh thần tự học, tự nâng cao trình độ cho thân giáo viên tổ Đối với học sinh, học sinh giỏi, giải pháp phương tiện hỗ trợ thật cần thiết cho cho em trình tự học tự rèn Nó khơi dậy phần tiềm ẩn khuất học sinh tiếp cận với giải pháp giáo viên hướng dẫn.Những sai lầm HS mắc phải khắc phục, tạo hứng thú tự tin gặp toán bất đẳng thức cực trị Học sinh hoàn thiện phương pháp chứng minh bất đẳng thức, làm tảng cho học sinh tiếp tục học THPT Em Nguyễn Tuấn Tú học sinh lớp trường đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp tỉnh năm học 2010 - 2011 Hiện học lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đạt giải nhì môn toán lớp 12 cấp tỉnh đạt giải khuyến khích học sinh giỏi toán quốc gia năm học 2013 - 2014, giáo viên bồi dưỡng trường đánh giá học sinh vận dụng tốt bất đẳng thức Cô - si Bunyakovsky giải toán Em Võ Thế Duy học sinh lớp trường đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp tỉnh năm học 2011 - 2012 , học lớp 11A1 trường THPT số Phù Mỹ đạt giải khuyến khích học sinh giỏi môn toán lớp 12 năm học 2013 - 2014 Được giáo viên trường nhận xét vận dụng thành thạo bất đẳng thức Bunyakovsky giải toán bất đẳng thức cực trị Đặc biệt em Võ Thế Duy nhiều lần nêu tên tạp chí toán học tuổi trẻ 51 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức với toán bất đẳng thức, cực trị, phương trình toán hình học giải theo cách vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky Mọi giáo viên toán THCS dùng làm tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi toán dự thi cấp huyện, cấp tỉnh, thi vào trường chuyên, lớp chọn thi vào trung học phổ thông Ngoài ra, giải pháp nguồn kiến thức bổ trợ quan trọng nhằm góp phần nâng cao lực chuyên môn, tay nghề - hình thức tự học sáng tạo cần thiết để bồi dưỡng lực cho giáo viên Dựa giải pháp trình bày, giáo viên có khả sáng tác toán từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với đối tượng học sinh lớp giảng dạy Tiết kiệm thời gian công sức để đầu tư, chuyên sâu vào lĩnh vực khác 3.2 Chất lượng, hiệu sử dụng: Bằng cách áp dụng lồng ghép giải pháp nêu trình bồi dưỡng học sinh giỏi, trường nhiều năm qua Giáo viên bớt khó khăn mặt thời gian phương pháp nghiên cứu tài liệu để dạy chuyên đề “Bất đẳng thức" Học sinh vận dụng thành thạo bất đẳng thức Bunyakovsky để giải toán bất đẳng thức cực trị Năm học 2013 - 2014, bốn học sinh đội tuyển học sinh giỏi môn toán trường tham gia dự thi cấp huyện đề đạt giải cao xếp thứ toàn huyện nhờ giải toán bất đẳng thức sau: Bài 2:(3,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc = Chứng minh a b c + + ≥1 a+2 b+2 c+2 Lời giải em Từ Kim Ngân - Giải nhì môn toán x y y z Vì abc = 1, đặt a = ; b = ; c = Ta có bất đẳng thức z (x, y, z > 0) x x y z + + ≥1 x + y y + 2z z + 2x x y z x2 y2 z2 ( x + y + z )2 + + = + + ≥ = (đpcm) Ta có: x + y y + z z + x x + xy y + yz z + xz ( x + y + z ) Đẳng thức xảy x = y = z hay a = b= c Lời giải em Nguyễn Mạnh Hậu - Giải ba môn toán x y y z Vì abc = 1, đặt a = ; b = ; c = z (x, y, z > 0) x 52 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Ta có bất đẳng thức x y z + + ≥1 x + y y + 2z z + 2x Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có [x(x + 2y) + y(y + 2z) + z(z + 2x)].( Suy x y z + + ≥ ( x + y + z )2 x + y y + 2z z + 2x x y z + + ≥ (đpcm) x + y y + 2z z + 2x Đẳng thức xảy x = y = z hay a = b= c Đặc biệt học sinh vận dụng chuyên đề cách thành thạo tìm nhiều cách vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải toán Tôi giới thiệu toán sau để bạn tham khảo Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x.y.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức E = 1 + + x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) ( Đề thi GVDG Phù Mỹ - Năm học 2013 - 2014) Đối với toán học sinh đội tuyển môn toán trường năm học 2013 - 2014 em đưa cách sau: Cách 1: Lời giải em Trần Công Tuấn 1 2 1 y x z2 + + = + + x3 ( y + z ) y ( z + x ) z ( x + y ) x( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) 1 ( + + )2 ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx z y z ≥ = = 2( xy + yz + zx) 2( xy + yz + zx) Ta có : xy + yz + zx ≥ 3 xy yz.zx = ( x.y.z = 1) Vậy Giá trị nhỏ E Đạt x = y = z = Cách 2: Lời giải em Nguyễn Mạnh Hậu Từ x.y.z = , suy x2y2z2 = 1 1 y2 z2 x2 z z x2 + + = + + ≥ x3 ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y ) x( y + z ) y ( x + z ) z ( x + y ) ( xy + yz + zx ) = ( xy + yz + zx) ≥ 2( xy + yz + zx) 2 Vậy Giá trị nhỏ E Đạt x = y = z = 53 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Cách 3: Lời giải em Từ Kim Ngân 1 a2 b2 c2 ; b = ; c = + + Đặt a = Ta có E = với a, b, c> a.b.c = x y z b+c c+a a +b Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức ta có: a2 b2 c2 (a + b + c ) a + b + c 3 abc + + ≥ = ≥ = E= b + c c + a a + b 2(a + b + c) 2 Vậy Giá trị nhỏ E Đạt x = y = z = Đáp án đề thi 1 a2 b2 c2 ; b = ; c = + + Đặt a = Ta có E = x y z b+c c+a a +b Chứng minh : a b c + + ≥ Nhân hai vế với a + b + c > ta b+c a+c b+a a2 b2 c2 a + b + c 3 abc + + ≥ ≥ = E= b+c c+a a +b 2 Vậy Min E = ⇔ a = b = c =1⇔ x = y = z =1 Từ áp dụng chuyên đề vào bồi dưỡng học sinh giỏi trường đội tuyển học sinh giỏi huyện dự thi cấp tỉnh kết đạt theo ý muốn Năm học 2009 – 2010 (Chưa dạy theo SKKN) 2010 – 2011 Cấp huyện SL dự thi Đạt giải (khuyến khích) (Dạy theo SKKN) 2012 – 2013 (Dạy theo SKKN) 2013 - 2014 (Dạy theo SKKN) Cấp tỉnh SL dự thi Đạt giải 2 4 (1giải nhì, giải 3, (1 giải nhì, giải 3, giải khuyến khích) giải khuyến khích) 3 (1giải nhất, giải nhì, (2 giải 3, giải giải ba) khuyến khích) 4 chưa có kết (1giải nhì, giải 3, giải khuyến khích) * Kết đội tuyển học sinh giỏi huyện dự thi cấp tỉnh Năm học Cấp tỉnh Số lượng dự thi Đạt giải 54 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức 2010 - 2011 2011 - 2012 10 2012 - 2013 10 2013 - 2014 10 Chưa có kết Hiệu nhiều học sinh sử dụng hợp lí BĐT Bunyakovsky tham gia chuyên mục “Giải kì trước” tạp chí toán học tuổi trẻ thi “giải toán qua thư” tạp chí toán tuổi thơ Có học sinh nêu tên em Nguyễn Trọng Nhất lớp 9A8 khen nêu tên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 407 tháng 5/2011, có lời giải hay độc đáo cho Toán – Lí chuyên mục “Giải kì trước” với toán giải phương trình theo cách sử dụng BĐT Bunyakovsky (bài giải toán trình bày phần 2.3) Tóm lại đề tài đưa vào áp dụng, số lượng học sinh giỏi cấp tăng lên rõ rệt, tác động trực tiếp đến môi trường giáo dục tạo tâm lí tự tin giáo viên đựơc phân công bồi dưỡng học sinh giỏi 3.3 Tác động đến điều kiện lao động Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “Bất đẳng thức” chuyên đề mà giáo viên làm công tác bồi dưỡng ngại phân công phụ trách.Học sinh thường bỏ qua toán đề thi học sinh giỏi toán cấp huỵện, cấp tỉnh, thi vào THPT chuyên Lê Quý Đôn Khi áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy, giáo viên tích lũy cho vốn kiến thức quý báu, có hội để trao đổi kinh nghiệm lẫn trình giảng dạy, tiết kiệm thời gian công sức để đầu tư thêm vào chuyên đề khác trình bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp.Với học sinh trạng thái thiếu tự tin gặp dạng toán không nữa.Ý thức học tập môn toán học sinh nâng lên rõ rệt Học sinh giỏi thi tìm giải toán bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, đề thi vào THPT Lê Quý Đôn hàng năm toán đăng tạp chí toán học tuổi trẻ toán tuổi thơ Phần lớn học sinh tự đọc hiểu tài liệu cách rõ ràng, lôgich tự sáng tác thêm toán xây dựng toán tổng quát từ toán ban đầu phục vụ cho việc tự học Bản thân tích luỹ cho vốn kiến thức vô quý báu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Phong trào viết chuyên đề nâng cao giáo viên tổ nhân rộng góp phần hoàn thiện chuyên đề phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi cấp 55 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Nhà trường có thêm tư liệu quý góp phần làm phong phú thêm kho tư liệu tích luỹ chuyên môn trường hàng năm, nhờ mà tổ đỡ vất vả việc phân công giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi Một điều thành công 10 giáo viên Toán trường dạy tốt chuyên đề “Bất đẳng thức” phân công bồi dưỡng Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp Là người thầy đứng bục giảng hiểu được, dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học.Trong hoạt động đó, học sinh cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thông qua học sinh học sinh tự khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần này, để áp dụng đề tài cách có hiệu giáo viên người tổ chức đạo cho học sinh tiến hành hoạt động học tập Khi gặp dạng toán bất đẳng thức cực trị đề thi học sinh giỏi cấp cần phân tích sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cách hợp lí Khi giảng dạy cần lưu ý em toán bất đẳng thức hay cực trị nhất sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky hay Cô -si mà có toán sử dụng phương pháp khác đơn giản Tóm lại giáo viên không cung cấp, không áp đặt kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành kĩ vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết suy luận, biết cách tự tìm lại điều quên, biết cách tự tìm tòi phát kiến thức mới.Các tri thức phương pháp thường quy tắc, quy trình, nói chung phương pháp có tính chất thuật toán.Tuy nhiên, cần coi trọng phương pháp có tính chất tìm đoán (ví dụ phương pháp tổng quát Polya để giải tập toán) Học sinh cần rèn luyện thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ quen Việc nắm tri thức phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh tự đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân 56 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Nghiên cứu kỹ chương trình toán học trung học sở, sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo, tài liệu liên quan, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, kể chương trình toán học trung học phổ thông giúp cho giáo viên định hướng tốt cho trình thực tiết lên lớp xây dựng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp Muốn nâng cao chất lượng đào tạo phải nâng cao trình độ chuyên môn cho giáo viên.Vì vậy, để có hiệu mong muốn, giáo viên nên thực đảm bảo tính xuyên suốt, liên tục việc xây dựng kế hoạch giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Nếu giáo viên biết cách tự sáng tạo, tự học tự rèn điều kiện cho phép nổ lực cố gắng thân số giải pháp khởi đầu niềm đam mê toán học Có thể sử dụng giải pháp để sáng tác toán phát triển tư cao hơn, mở rộng tầm nhận thức người công trình nghệ thuật giáo viên dạy toán mãi người yêu thích toán Sự thành công giáo viên đường dạy học góp phần tạo hứng thú tự tin cho học sinh Vận dụng giải pháp giáo viên xây dựng chuyên đề tương tự phục vụ cho công tác dưỡng học sinh giỏi.Ví dụ “ Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Cô – si toán cực trị” “ Sử dụng hợp lí bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức”….Có thể vận dụng giải pháp nêu để tiếp tục phát triển sâu hơn, rộng số phương pháp khác hệ thống tập bất đẳng thức dạng tập tương tự Đề xuất, kiến nghị Để có kết mong muốn yêu cầu chung giáo viên phải có lực chuyên môn sư phạm vững vàng đòi hỏi giáo viên phải có lòng say mê, nhiệt tình tâm huyết với nghề nghiệp Dành nhiều thời gian đầu tư cho công tác soạn giảng, nghiên cứu kĩ chương trình toán THCS, đọc nhiều sách tài liệu tham khảo liên quan đến vấn đề trực tiếp giảng dạy để tích luỹ số kinh nghiệm cần thiết, vững vàng tự tin đứng lớp làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi … giúp học sinh hoàn thiện kiến thức tạo cho em hứng thú đến học toán say mê sáng tác thêm toán 57 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Nhà trường mặt phải có biện pháp kích thích, nuôi dưỡng lòng nhiệt tình giáo viên lớn tuổi đồng thời phải có kế hoạch bồi dưỡng lớp giáo viên trẻ có lực để kịp thời bổ sung vào lực lượng giáo viên cốt cán nhà trường.Xuất phát từ đặc điểm tâm sinh lí lứa tuổi, thấy giáo viên lớn tuổi thường giàu kinh nghiệm, chuyên môn vững vàng, có nhiều tâm huyết, gắn bó với nghề dễ lòng, muốn nghỉ ngơi Còn giáo viên trẻ nhiệt tình, động, sáng tạo, ham học hỏi, muốn khẳng định thường thiếu kinh nghiệm hay nóng vội Do nhà trường cần phải biết cách hai lực lượng bổ sung, hỗ trợ cho nhau, tạo nên tiềm lực đủ mạnh, đủ bền động để nâng cao chất lượng dạy học Ban giám hiệu kết hợp với tổ chuyên môn hàng năm phân công giáo viên nhóm giáo viên chọn lọc, tích luỹ viết chuyên đề nâng cao dùng làm tư liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi Sau tổ chức thẩm định đưa vào làm tư liệu chuyên môn cho trường hàng năm hoàn chỉnh thành sáng kiến kinh nghiệm Bộ phân chuyên môn phòng giáo dục chọn lọc xếp phân công cho tổ toán trường viết chuyên đề nâng cao hàng năm có đội ngũ cốt cán thẩm định để từ có thêm số tài liệu cho giáo viên tham khảo giảng dạy thực công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hiệu Trên số kinh nghiệm nhỏ mà thân tích luỹ trình giảng dạy, mong muốn trao đổi bạn đồng nghiệp học sinh yêu tóan Hi vọng sáng kiến kinh nghiệm góp phần hoàn thiện thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức cho bạn em học sinh giỏi muốn tìm hiểu sâu thêm kiến thức toán trung học sở, làm tảng cho kiến thức toán trung học phổ thông Các bạn học sunh chưa thật học tốt chuyên đề bất đẳng thức trang viết dìu dắt bước tiến Các bạn ham tìm tòi có gợi ý để tự đào sâu sáng tạo Các nhà giáo thấy giải pháp ý đồ sư phạm tinh tế mang lại hiệu cao tiết lên lớp Mong muốn có ủng hộ góp ý chân thành tất bạn đề tài hoàn thiện hơn.Xin chân thành cám ơn Phù Mỹ, ngày 02 tháng năm 2014 58 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Người viết Nguyễn Văn Thanh NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC CẤP …………………………………………………………………………………………… ……… …………………………………………………………………………………………… ……… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……………………………………… 59 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đề phát triển Toán – Vũ Hữu Bình Một số vấn đề phát triển Toán – Vũ Hữu Bình Một số chuyên đề liên quan đến bất đẳng thức Bunyakovsky đăng tạp chí Toán học & tuổi trẻ tạp chí Toán tuổi thơ Một số viết liên quan đến bất đẳng thức Bunyakovsky đăng tải trang mạng Toán học số tác giả Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học môn Toán THCS (Tôn Thân – Phan Thị Luyến - Đặng Thị Thu Thuỷ) Một số đề thi học sinh giỏi cấp hàng năm MỤC LỤC Trang PHẦN A: MỞ ĐẦU……………………………………………………………… 60 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức I Đặt vấn đề ………………… ………………………………………… 1 Thực trạng vấn đề ……… …………………………………………1 Ý nghĩa tác dụng giải pháp ………………………………… Phạm vi nghiên cứu đề tài … ………………………………………2 II Phương pháp tiến hành ………………… Cơ sở lí luận thực tiễn ……………………………………………… Các biện pháp tiến hành thời gian tạo giải pháp …………………… PHẦN B: NỘI DUNG ……………… ………………………………… I Mục tiêu ………………………………………………………………….5 II Mô tả giải pháp đề tài …… ………………………………… ….6 *Gíới thiệu bất đẳng thức Bunyakovsky 1.Thuyết minh tính ……………………… …………………… 1.1 Kỹ vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunyakovsky ………… 1.2 Kỹ sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức…… 17 Kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky kết hợp với tách ghép số 26 Kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky kết hợp với kiểm tra dấu 32 Kỹ đổi biến kết hợp với bất đẳng thức Bunyakovsky 39 Khả áp dụng …………………………………………………… 44 Lợi ích kinh tế xã hội ……………………………………………………50 PHẦN C: KẾT LUẬN …………………………………………………………… 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………… 59 MỤC LỤC ………………………………………………………………………… 60 61 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh [...]... dương Chứng minh rằng: bc 2 ca 2 ab 2 + + ≥1 a 2 (b + 2c ) b 2 (c + 2a ) c 2 (a + 2b) Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: a4 b4 ab 2 + + ≥1 b3 (c + a) c3 (a + 2a ) c 2 (a + 2b) 16 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức 1.2 KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY DẠNG PHÂN THỨC Để rèn luyện học sinh kỹ năng vận dụng. .. 3( a + 2) Do đó ta chỉ cần chứng minh 1 + ÷ 2   Bất đẳng thức này tương đương với  (b + c) 2  (b − c ) 2 2 ≥ 3 1 + ⇔ ( bc − 1) + ≥ 0 (đúng) (b + 2)(c + 2)  ÷ 2  2  2 2 Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = ± 1 12 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số thực a,... 2.2 + 1 = 12 Bài toán chứng minh xong 33 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Bài 2: Cho a, b là các số dương có tổng bằng 1 Chứng minh 1 3 + 2 ≥8 ab a + b 2 + ab Nhận xét: Giống như bài toán 1, ta thấy sự liên hệ giữa các mẫu thức ab + a2 + b2 + ab = (a + b)2 = 1 Do đó ta nghĩ đến việc vận dụng Bunyakovsky để giải Nhưng ở đây cũng... viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ Bài 6: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh: a + 2b b + 2c c + 2a 3 GIẢI: Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta có a3 b3 c3 a4 b4 c4 (a 2 + b 2 + c 2 )2 + + = 2 + 2 + 2 ≥ a + 2b b + 2c c + 2a a + 2ab b + 2bc c + 2ca (a + b + c ) 2 Ta quy về chứng minh (a 2 + b 2 + c... 1 c − 1 ) 2 ( ) ≤  1 + ( ab ) 2 (1 + ( c − 1) 2  = c(ab + 1)   Vậy bài toán được chứng minh 13 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Bài 11: Cho các số thực dương a, b,c CMR : a+b b+c c+a + + ≤ 6 a+b+c a+b+c a+b+c GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky : 2  a+b b+c c+a  b+c c+a   a +b + + ≤ 12 + 12 + 12  + +  ÷ ÷= 6 ÷... 4z + x + y 2 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng a2 b2 a2 + + ≥1 b+c c+a a +b a2 b2 a2 (a + b + c ) 2 + + ≥ =1 HD: b + c c + a a + b 2(a + b + c) 24 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức 3 2 Bài 2: Cho Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng 1 2009 + ≥ 670.. .Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức Bài 6: Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện a + b + c + d = 1 Chứng minh : a 4 + b4 + c4 + d 4 1 ≥ a 3 + b3 + c 3 + d 3 4 GIẢI: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có: 1 = (a + b + c + d)2 ≤ 4(a2 + b2 + c2 + d2) Suy ra (a2 +... CMR: + + ≥ b+c c +a a +b 2 (1) a6 b6 c6 + + HD: Ta có: VT = 2 a (b + c ) b 2 (c + a ) c 2 (a + b) 25 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức (a 3 + b3 + c3 ) 2 VT ≥ 2 Để chứng minh BĐT (1), ta phải chứng minh: a (b + c) + b 2 (c + a) + c 2 (a + b) (a 3 + b3 + c 3 )2 a 3 + b3 + c3 ≥ a 2 (b + c ) + b 2 (c + a) + c 2 (a + b) 2 ⇔ 2(a3... BĐT cần chứng minh ta làm xuất (a1 + a2 + + an ) 2 a12 a12 a12 + + + hiện biểu thức , từ đó biến đổi về dạng b1 + b2 + + bn b1 b1 b1 Bài 12: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 + + = 4 Chứng minh x y z 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z 2 y + z + x 2z + y + x ( Đề thi ĐH khối A- năm 2005) 22 Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức 1... Giáo viên: Nguyễn Văn Thanh Rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh bất đẳng thức a b  c  = ( a + b + c) + + − 1 a+b b+c c+a  a b c 3 + + ≥ Theo bất đẳng thức Nesbit thì: b+c c+a a+b 2 2 2 2 c a b 3  a+b+c + + ≥ ( a + b + c )  − 1 = Do đó (đpcm) a+b b+c c+a 2 2  Với lời giải bằng BĐT Cô - si như trên đã thêm bớt a + b + c kết hợp với kỹ thuật tách ghép Do đó lời ... giải toán bất đẳng thức cực trị Học sinh sử dụng hợp lí bất đẳng thức Bunyakovsky để chứng minh toán bất đẳng thức chương trình toán THCS, qua giúp học sinh sử dụng hợp lí giải pháp để giải toán. .. bất phương trình toán hình học Học sinh giỏi nhận dạng giải toán bất đẳng thức có sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky đề thi học sinh giỏi cấp, toán bất đẳng thức chương trình toán THPT đề thi... học sinh giỏi sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải toán bất đẳng thức, toán cực trị phương trình… đăng tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ”; “TOÁN TUỔI THƠ 2” Tham khảo tài liệu viết bất đẳng thức,