Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Phần Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN PHẦN : ĐỀ BÀI Câu 1: Giải phương trình ( x − 1) = (x − x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có BC = 2AB Điểm M(2; -2) trung 4 8 điểm cạnh AC Gọi N điểm cạnh BC cho BC = 4BN Điểm H  ;  giao điểm AN 5 5 BM Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết N thuộc đường thẳng x + 2y – =  x + y + + x − y = y + Câu 3: Giải hệ phương trình  2 12 xy + x = x + y + 15 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng BD E, F trung điểm đoạn CD BH Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF 3x – y – 10 = điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh B, C, D 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Câu Giải hệ phương trình   y + − x = Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A với M trung điểm AB, đường thẳng qua A vuông góc với MC cắt BC H, biết phương trình đường thẳng AB : x − y + =  14  trung điểm HB K  5;  Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết B có hoàng độ lớn  3  x2 + y + + x + = y + + y +  Câu 7: Giải hệ phương trình  3x3 + y − + 2x − y −1  2x −1 + y − =  Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông B có phân giác AD với  15  D  ;  thuộc BC Gọi E, F điểm thuộc cạnh AB AC cho AE = AF Đường  2  11  thẳng EF cắt BC K Biết điểm F  ;  , E có tung độ dương phương trình đường thẳng  2 AK : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC 2x x + 3y  + =3  2 2 x − xy + y x − xy + y Câu 9: Giải hệ phương trình  2   x − y − x + x + y = ( ) ( ) PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Giải phương trình ( x − 1) = (x − 2x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) Lời giải Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình tương đương x − x − − ( x − x − ) + = − x + x Ta có Đặt ( − x2 + x ) = + x − x2 ≥ ⇒ − x2 + x ≥ t = x − x − = t thu t − t + ≥ ⇔ t ( t − 1) ≥ ⇔  t ≥ t = ⇔ x − x − = ⇔ x ∈ + 3;1 − { } x ≥ t ≥ ⇒ t ≥ ⇔ x − x − ≥ ⇔ ( x − 3)( x + 1) ≥ ⇔  ⇒ x = −1  x ≤ −1 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x = −1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có BC = 2AB Điểm M(2; -2) trung 4 8 điểm cạnh AC Gọi N điểm cạnh BC cho BC = 4BN Điểm H  ;  giao điểm AN 5 5 BM Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết N thuộc đường thẳng x + 2y – = Lời giải: Gọi E trung điểm BC F = AN ∩ ME Ta có: EF = AB = ME ⇒ HM MF 3 = = ⇒ HM = − HB HB AB 2 6 3 4  = −  xB −     ⇔ ⇒ B ( 0; ) 18   − = −  yB −   2 5 Gọi N ( − 2t ; t ) ⇒ E (12 − 4t ; 2t − ) Lại có: EM EB =  E ( 4; ) t =   ⇔ (12 − 4t )(10 − 4t ) + ( 2t − )( 2t − ) = ⇔ ⇒   14  17 t = E − ;   5   Với E ( 4; ) ⇒ C ( 8; −4 ) ⇒ A ( −4;0 )  −8 14   −16   36 −28  Với E  ;  ⇒ C  ;  ⇒ A ;   5  5  5   x + y + + x − y = y + Câu 3: Giải hệ phương trình  2 12 xy + x = x + y + 15 Lời giải  x + y + ≥ 0; x − y ≥ x ≥ Điều kiện  ⇔ x ≥ y 2 y + ≥ 0; xy + x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x + y +1 − y +1 + x − y = ⇔   x− y + x− y =0⇔ x− y + 1 =  x + y +1 + y +1  x + y +1 + y +1   x− y +1 > ⇒ x − y = ⇔ x = y x + y +1 + y +1 ⇔ x − y Ta có x− y + x− y =0 x + y +1 + y +1 x− y Phương trình thứ hai hệ tương đương 12 x3 + x = x + x + 15 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực không âm ta có + x + x + x + x + 15 x ( x + ) = 8.8 x ( x + ) ≤ = ⇒ 12 x3 + x ≤ x + x + 15 3 Do phương trình ẩn x có nghiệm x = x + = ⇔ x = Kết luận hệ có nghiệm x = y = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng BD E, F trung điểm đoạn CD BH Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF 3x – y – 10 = điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Lời giải: Gọi K trung điểm AB AKED hình vuông, gọi I tâm hình vuông Khi KF / / AH ⇒ KF ⊥ DF điểm A,K,F,E,D thuộc đường tròn đường kính KD Suy AF ⊥ EF ⇒ AF : x + y − = 32  17  ⇒ F  ;  ⇒ AF =  5 Ta có: ∆AFE ∼ ∆DCB ⇒EF = AF = t = ⇒ E ( 3; −1) 2 51   17    Gọi E ( t ;3t − 10 ) ⇒ EF = ⇔  t −  +  3t −  = ⇔  19  19  5  5 t = ⇒ E  ;  ( loai )    5 Khi đó: AE : x + y − = 0; I ( 2; ) ⇒ KD : x − y − = Gọi D ( d ; d − ) ta có:  d =  D ( 3;1) DA.DE = ⇔ ( d − 1)( d − 3) + ( d − 3)( d − 1) = ⇔  ⇒  d =  D (1; −1) Vì D F nằm khác phía so với AE nên ta có D (1; −1) ⇒ C ( 5; −1) ; B (1;5 ) Vậy B (1;5 ) ; C ( 5; −1) ; D (1; −1) 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Câu Giải hệ phương trình   y + − x = Lời giải Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn  y ≥ 0; − x ≥ Điều kiện   x + y − ≥ 0;3x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x + y )( x − y ) − x + y + + 3x − − x + y − = ⇔ ( x + y − )( x − y − 1) + 2x − y −1 =0 3x − + x + y −   ⇔ ( x − y − 1)  x + y − + =0  x − + x + y −   Vì x + y − + > ⇒ y = x − Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x − + x + y − Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x − + − x = (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có + x −1 + − x2 + x − x2 + = x − + − x = 1( x − 1) + 1( − x ) ≤ 2 + x − x − ( x − 1) = ≤ = ⇒ x − + − x2 ≤ 2 2 2 x − = Do phương trình (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức  ⇔ x =1 2 − x = Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A với M trung điểm AB, đường thẳng qua A vuông góc với MC cắt BC H, biết phương trình đường thẳng AB : x − y + =  14  trung điểm HB K  5;  Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết B có hoành độ lớn  3 Lời giải: CI  AC  =  = CM  CM  Dễ thấy MK đường trung bình tam giác ABH ta CH có MK / / IH = HK = BK CK Do KC = BK Ta có: d ( K ; AB ) = KB sin 450 ⇒ KB = t = ⇒ B ( 5; ) 2  11  16  ⇔  11 Gọi B ( t ; t + 1) ta có: KB = ( t − ) +  t −  =  11 14  3 t = ⇒ B  ;  ( loai )   3 3 Ta có: CI CM = AC ⇒  xC − = 6.0  Khi đó: BC = BK ⇔   14  ⇒ C ( 5; −2 )  yC − =  −     Phương trình đường thẳng qua C vuông góc với AB x + y − = Do A = AB ∩ AC ⇒ A (1; ) Kết luận: A (1; ) ; B ( 5; ) ; C ( 5; −2 ) điểm cần tìm Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn  x2 + y + + x + = y + + y +  Câu 7: Giải hệ phương trình  3x3 + y − + 2x − y −1  2x −1 + y − =  Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x + − y + + x2 + y + − y + = ⇔ ( x − y )( x + y ) x− y + x+2 + y+2 x + y2 + + y2 +   ( x + y) ⇔ ( x − y)  +  =0⇒ x= y x + y + + y +   x + + y + Phương trình thứ hai hệ trở thành x − + 3x3 − = 3x3 + x − + x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x − + 3x − + 3x + x − 3x3 + x − x − + 3x3 − ≤ + = ≤ + x −1 2 2 Do phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x − = x − = ⇔ x = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông B có phân giác AD với  15  D  ;  thuộc BC Gọi E, F điểm thuộc cạnh AB AC cho AE = AF Đường  2  11  thẳng EF cắt BC K Biết điểm F  ;  , E có tung độ dương phương trình đường thẳng  2 AK : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC Lời giải: Gọi I giao điểm AD EF Do tam giác AEF cân A có phân giác AI nên: AI phân giác đồng thời đường cao trung tuyến  KE ⊥ AD Ta có:  ⇒ DE ⊥ AK Do đương thẳng DE qua  AB ⊥ KD  15  D  ;  vuông góc với AK Khi ta có phương trình  2 31  31  DE : x + y − = Vì E thuộc DE nên ta gọi E  t ; − 2t    2  15  Dễ thấy DE = DF ⇔  t −  + (15 − 2t ) = 2   17  17  t = ⇒ E  ; −  ( loai )   ⇔ ( 2t − 15 ) = ⇔   13  13  t = ⇒ E  ;  ⇒ I ( 6; ) ⇒ AD : x + y − =  2  Khi A = AD ∩ AK ⇒ A ( 5;3) ⇒ AC : x + y − 18 = 0; AB : x + y − 14 = 0; BC : 3x − y − 22 =  20  Do A ( 5;3) ; B ( 8; ) ; C  ; −2  toạ độ điểm cần tìm   Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x + 3y 2x  + =3  2 2 x xy y x xy y − + − + Câu 9: Giải hệ phương trình  2  x − y − x + x + y =4  Lời giải x ≥ x ≥  Điều kiện  ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x  y ≥  ( ) ( ) 2 2 2  5 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y )  x − xy + y ≥ x + y = x + y Nhận xét  ⇒ 2 2 x xy y x y x y x y − + = + + − ≥ + ( ) ( ) ( )  x − xy + y ≥ x + y = x + y  2x x + 3y 2x x + y 3( x + y ) Dẫn đến + ≤ + = = x+ y x − xy + y x − xy + y x + y x + y Đẳng thức xảy x = y Phương trình thứ hai trở thành ( )(  x + x =  x − =4⇔ ⇔  x ≥  x ≥ Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = ( x+x ) ) x +2 =0 ⇔ x = ⇔ x = Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016 ... THPT Quốc gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn  x2 + y + + x + = y + + y +  Câu 7: Giải hệ phương trình  3x3 + y − + 2x −... gia 2016 Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x + 3y 2x  + =3  2 2 x xy y x xy y − + − + Câu 9: Giải hệ phương trình  2  x − y...Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình tương đương x − x − − ( x − x −