ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LỤC TRƯỜNG GIANG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM XÂY DỰNG TỪ ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục Lời cảm ơn MỞ ĐẦU Chương Định lý Lagrange phương trình hàm 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.2 Áp dụng vào phương trình hàm 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy phương trình hàm 19 Chương Định lý Pompeui phương trình hàm 20 2.1 Định lý giá trị trung bình Pompeui 20 2.2 Phương trình hàm kiểu Stamate 21 2.3 Phương trình hàm kiểu Kuczma 25 2.4 Phương trình hàm theo quy tắc Simpson 31 2.5 Một số mở rộng 41 KẾT LUẬN 57 Tài liệu tham khảo 58 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Trần Nguyên An Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Học viên: Lục Trường Giang MỞ ĐẦU Định lý Giá trị trung bình Lagrange kết quan trọng Giải tích, bắt nguồn từ Định lý Rolle chứng minh nhà toán học Pháp Michel Rolle (1652-1719) cho đa thức năm 1691 Định lý Rolle xuất lần sách "Methode pour resoudre le égalitez" mà chứng minh Định lý Rolle quan tâm Joseph Lagrange (1763-1813) trình bày định lý giá trị trung bình mà ta gọi Định lý Giá trị trung bình Lagrange sách "Theorie des functions analytiques" năm 1797 ông Định lý Rolle quan tâm nhiều Augustine Louis Cauchy (1789-1857) sử dụng chứng minh định lý giá trị trung bình mà ta gọi Định lý Giá trị trung bình Cauchy sách "Equationnes differentielles ordinaires" Hầu hết kết sách Cauchy suy trực tiếp gián tiếp từ Định lý Rolle Gần nhiều phương trình hàm nghiên cứu nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Mục đích luận văn trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ số định lý giá trị trung bình (Định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeui) Luận văn bao gồm chương Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Lagrange số dạng phương trình hàm nảy sinh Định lí giá trị trung bình Cauchy - mở rộng trực tiếp Định lí giá trị trung bình Lagrange áp dụng trình bày chương Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Pompeui ứng dụng vào phương trình hàm Một số lớp phương trình hàm đặc biệt phương trình hàm kiểu Stamate, phương trình hàm kiểu Kuczma số mở rộng trình bày phần cuối Chương Chương Định lý Lagrange phương trình hàm 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange Một định lý quan trọng phép tính vi phân định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý khám phá Joseph Louis Lagrange (1736-1813) việc ứng dụng định lý Rolle Để chứng minh định lý Rolle dựa vào hai kết đơn giản sau Mệnh đề 1.1.1 Nếu hàm khả vi f : R → R đạt cực trị điểm c thuộc khoảng mở (a, b) f (c) = Mệnh đề 1.1.2 Một hàm liên tục f : R → R đạt giá trị khoảng đóng bị chặn [a, b] Định lý 1.1.1 (Định lí Rolle) Nếu f liên tục [x1 , x2 ], khả vi (x1 , x2 ) f (x1 ) = f (x2 ), tồn điểm η ∈ (x1 , x2 ) cho f (η) = Định lý 1.1.2 (Định lý giá trị trung bình Lagrange) Với hàm giá trị thực f khả vi khoảng I với cặp x1 = x2 I , tồn điểm η phụ thuộc x1 x2 cho f (x1 ) − f (x2 ) = f (η (x1 , x2 )) x1 − x (1.1) Trong mục này, thiết lập số kết phép tính vi phân tích phân sử dụng định lý giá trị trung bình Lagrange Hệ 1.1.1 Nếu f (x) = với x khoảng (a, b) f [a, b] Hệ 1.1.2 Nếu f (x) = g (x) với x ∈ (a, b) f g sai khác số [a, b] Hệ 1.1.3 Nếu f (x) > ( 0, với x ∈ (a, b) f lõm khoảng [a, b] 1.2 Áp dụng vào phương trình hàm Trong mục này, trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Lagrange Trước hết ta cần số khái niệm sau Định nghĩa 1.2.1 Với số thực phân biệt x1 , x2 , , xn tỉ sai phân hàm f : R → R định nghĩa f [x1 ] = f (x1 ) f [x1 , x2 , , xn ] = f [x1 , x2 , , xn−1 ] − f [x2 , , xn ] ,n x1 − xn Dễ thấy f (x1 ) − f (x2 ) x1 − x2 (x3 − x2 )f (x1 ) + (x1 − x3 )f (x2 ) + (x2 − x1 )f (x3 ) f [x1 , x2 , x3 ] = (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ) f [x1 , x2 ] = Như công thức định lí giá trị trung bình biểu diễn sau f [x1 , x2 ] = f (η(x1 , x2 )) (1.2) Trong η phụ thuộc x1 , x2 Từ đó, phương trình (1.2) xuất phương trình hàm với hàm chưa biết f giá trị cho trước η Định lý Aczél (1963) Haruki (1979) đưa độc lập Việc chứng minh định lý Aczél (1985) Định lý có liên quan tới phương trình (1.2) Định lý 1.2.1 Các hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm f [x, y] = h(x + y), x = y, (1.3) f (x) = ax2 + bx + c h(x) = ax + b, a, b, c số thực tùy ý Chứng minh Từ định nghĩa tỉ sai phân f , viết lại sau f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), x = y (1.4) Nếu f thỏa mãn phương trình (1.4), f + b thỏa mãn, với b số tùy ý Vì không tính tổng quát ta giả sử f (0) = Đặt y = phương trình (1.4) ta có f (x) = xh(x) (1.5) xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y) (1.6) Từ (1.4) ta có Ngược lại h thỏa mãn phương trình (1.6) h + c thỏa mãn,với c số tùy ý Giả sử h(0) = 0, đặt x = −y (1.6), ta −yh(−y) = yh(y) (1.7) Do h hàm lẻ, cho y = −y (1.6), ta có xh(x) − yh(y) = (x + y)h(x − y) (1.8) So sánh (1.8) (1.6), ta có (x − y)h(x + y) = (x + y)h(x − y) (1.9) thay u = x + y, v = x − y vào (1.9), ta vh(u) = uh(v),∀u, v ∈ R Do ta có h(u) = au Nếu giả sử h(0) = ta có h(u) = au + b Từ (1.5) có f (x) = x(ax + b), f (0) = f (x) = ax2 + bx + c Như ta có điều phải chứng minh Hệ 1.2.1 Hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = (x − y)f x+y ,x = y f (x) = ax2 + bx + c, với a, b, c số thực tùy ý Định lý 1.2.2 Nếu đa thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, với a = 0, nghiệm phương trình hàm f (x + h) − f (x) = hf (x + θh), (0 < θ < 1) (1.10) với x ∈ R, h ∈ R\{0} θ = Đảo lại, hàm f thỏa mãn phương trình hàm với θ = nghiệm đa thức có bậc nhiều hai Chứng minh Giả sử f (x) = ax2 + bx + c (1.11) thỏa mãn (1.10) Thay (1.11) vào (1.10) ta có a(x + h)2 + b(x + h) + c − ax2 − bx − c = h(2a(x + θh) + b) hay ah2 (1 − 2θ) = Vì a, h = nên ta có θ = Ngược lại, cho θ = h = y − x từ (1.10), ta có x+y ), x = y f (x) − f (y) = (x − y)f ( Từ Hệ 1.2.1, f ta có định lý chứng minh Kết sau Kannappan, Sahoo Jacobson (1995) Định lý 1.2.3 Với tham số thực s, t hàm f, g, h : R → R thỏa mãn f (x) − g(y) = h(sx + ty) x−y (1.12) với x, y ∈ R, x = y   ax + b s = = t     ax + b s = 0, t =     ax + b s = 0, t = f (x) =  αtx + ax + b s = t =    A(tx)  +b s = −t =  t    βx + b s2 = t2           (1.13) s = = t ay + b s = 0, t = ay + b s = 0, t = αty + ay + b s = t = A(ty) s = −t = t +b βy + b s2 = t2 (1.14)   tùy ý, h(0) = a s = = t     a s = 0, t =      a s = 0, t = h (y) = αy + a s = t =    (c − b)t  A(y)  s = −t =  y +  y    β s2 = t2 (1.15) g (y) =          ay + b A : R → R hàm cộng tính a, b, c, α, β số thực tùy ý Chứng minh Ta xét trường hợp xảy s t Trường hợp Giả sử s = t = 0, (1.12) có dạng f (x) − g(y) = h(0) x−y tức f (x) − ax = g(y) − ay a = h(0), ta f (x) = ax + b g(y) = ay + b (1.16) b số tùy ý Thay (1.16) vào (1.12), ta thấy h hàm với a = h(0) Trường hợp Giả sử s = 0, t = Thì từ (1.12) ta có f (x) − g(y) = h(ty) x−y (1.17) f (x) = ax + b, x = (1.18) Cho y = 0, ta có với a = h(0) b = g(0) Thay (1.18) vào (1.17), ta ax + b − g(y) = (x − y)h(ty) (1.19) với x = y, x = Đồng hệ số (1.19) biến x, ta có h(ty) = a g(y) = h(ty)y + b = ay + b, ∀y ∈ R (1.20) Cho x = (1.17) từ (1.20), ta có f (0) = b Do (1.18) với x ∈ R Vì từ (1.18) (1.20) nên ta có (1.12) Trường hợp Giả sử s = = t Cho x = (1.12) ta có g(y) = yh(ty) + b (1.21) với số thực y = (b=f(0)) Tương tự cho y = (1.12) ta có f (x) = xh(sx) + c (1.22) với x = (c=g(0)) Thay (1.21) (1.22) vào (1.12) ta xh(sx) − yh(ty) + c − b = (x − y)h(sx + ty) (1.23) y x y = (1.23), ta có s t x y x y h(x) − h(y) + c − b = ( − )h(x + y) (1.24) s t s t với số thực x, y = x = y Thay x = với số thực x, y = tx = ty Trường hợp 3.1 Giả sử s = t (1.24) trở thành xh(x) − yh(y) = (b − c)t + (x − y)h(x + y) (1.25) Thay x y ngược lại cộng vào (1.25) ta b = c Khi ta có xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y) (1.26) 44 a, b, c, d số tùy ý Trường hợp Giả sử s = 0, t = ( Trường hợp t = 0, s = chứng minh tương tự) Thì (2.128) có f (x) − f (y) = (x − y)[h(ty) + g(x) + g(y)] (2.140) Cho y = (2.140) ta f (x) = f (0) + x[h(0) + g(x) + g(0)] (2.141) Từ (2.141), (2.140) ta có xg(x) − yg(y) = (x − y)[h(ty) + g(x) + g(y) − g(0) − h(0)] (2.142) Thay x , y (2.142) ta yg(y) − xg(x) = (y − x)[h(tx) + g(y) + g(x) − g(0) − h(0)] (2.143) Cộng (2.142), (2.143), ta có h(tx) = h(ty) (2.144) với x, y ∈ R, x = y Từ (2.144), ta có h(x) = d, ∀x ∈ R, (2.145) d số tùy ý Thay (2.145) vào (2.140) ta f (x) − f (y) = (x − y)[d + g(x) + g(y)], tức (2.135) Từ trường hợp 1, (2.145) (2.139) ta có  f (x) = ax2 + (b + d) x + c    b g (x) = ax +     (2.146) (2.147) h (x) = d a, b, c, d số tùy ý Trường hợp Giả sử s, t = Cho y = x = tách riêng tương ứng (2.128) ta có f (x) = f (0) + x[h(sx) + g(x) + g(0)] (2.148) 45 f (y) = f (0) + y[h(ty) + g(y) + g(0)] (2.149) So sánh f (2.148) (2.149), ta có (2.150) h(sx) = h(tx) với x ∈ R\{0} Thay (2.148), (2.149) vào (2.128), ta có y[h(sx) + g(x) − g(0)] − x[h(ty) + g(y) − g(0)] = (x − y)[h(sx + ty) − h(sx) − h(ty)] (2.151) với x, y ∈ R Ta xét trường hợp Trường hợp 3.1 Giả sử s = t Thì (2.151) có dạng xφ(y) − yφ(x) = (x − y)[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] (2.152) φ(x) = h(tx) + g(x) − g(0), ψ(x) = −h(tx) (2.153) Từ Định lý 2.4.2 ta có (2.152) hay  φ (x) = 3ax + 2bx + cx + d  ψ (x) = −ax3 - bx2 − A(x) − d (2.154) A : R → R a.b.c số Từ (2.154), (2.153) (2.148), ta có  f (x) = 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β) x + α    g (x) = 2ax + bx + cx − A(x) + β (2.155)    x x x  h (x) = a t +b t +A t +d A : R → R cộng tính a, b, c, d, α, β số tùy ý Trường hợp 3.2 Giả sử s = −t Từ (2.150), ta có h(tx) = h(−tx) h chẵn, từ (2.151), ta có y[h(tx) + g(x) − g(0)] − x[h(ty) + g(y) − g(0)] = (x − y)[h(tx − ty) − h(tx) − h(ty)] (2.156) 46 với x, y ∈ R Đặt G(x) = h(tx) + g(x) − g(0), H(x) = −h(tx) (2.157) xG(y) − yG(x) = (x − y)[H(x − y) − H(x) − H(y)] (2.158) ta có từ (2.156) Chú ý H hàm chẵn (2.157) Thay y = −y (2.158), ta có xG(−y) + yG(x) = (x + y)[H(x + y) − H(x) − H(y)] (2.159) Cho x = y (2.159), ta có G(−x) + G(x) = 2[H(2x) − 2H(x)] (2.160) với x = Từ (2.157), (2.160) với x = Cộng (2.158) (2.159), từ (2.160), ta có (x + y)H(x + y) + (x − y)H(x − y) = 2xH(x) + 2x[H(2y) − H(y)] (2.161) Thay x, y (2.161), ta có (x + y)H(x + y) + (y − x)H(x − y) = 2yH(y) + 2y[H(2x) − H(x)] (2.162) Cộng (2.161), (2.162), ta (x + y)H(x + y) − xH(x) − yH(y) = y[H(2x) − H(x)] + x[H(2y) − H(y)] (2.163) Phương trình (2.163) có dạng φ(x + y) − φ(x) − φ(y) = yψ(x) + xψ(y), (2.164) φ(x) = xH(x), ψ(x) = H(2x) − H(x) (2.165) Chú ý (2.165) H hàm chẵn, φ lẻ, ψ chẵn Thay x = x − y , y = −y (2.164) có φ(x) − φ(x − y) − φ(y) = yψ(x − y) + (x − y)ψ(y) (2.166) 47 φ(x − y) − φ(x) − φ(−y) = −yψ(x) + xψ(−y) (2.167) Cộng (2.166) (2.167), φ lẻ ψ chẵn ta có y[ψ(x − y) − ψ(x) − ψ(y)] = −2xψ(y) (2.168) Thay y = −y (2.168) ta có y[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] = 2xψ(y), tức xy[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] = 2x2 ψ(y) (2.169) với x = Thay x, y trog (2.169), ta có xy[ψ(x + y) − ψ(x) − ψ(y)] = 2y ψ(x) (2.170) Từ (2.169), (2.170) ta có 2x2 ψ(y) = 2y ψ(x) với x, y ∈ R\{0} Vì ta có ψ(x) = 3ax2 , ∀x ∈ R\{0}, (2.171) a số Từ (2.165), (2.171) với x = Thay (2.171) vào (2.164) φ(x + y) − φ(x) − φ(y) = 3ax2 y + 3axy (2.172) với x, y ∈ R\{0} Điều cho phương trình Cauchy φ(x + y) − a(x + y)3 = φ(x) − ax3 + φ(y) − ay (2.173) φ(x) = ax3 + A(x) (2.174) 48 A : R → R hàm cộng tính Từ (2.174), (2.165) ta có xH(x) = ax3 + A(x) (2.175) Từ (2.175), (2.158), ta có x[G(y) + A(y) A(x) − 2ay ] = y[G(x) + − 2ax2 ] y x (2.176) với x, y ∈ R\{0}, x = y Có G(x) = 2ax2 + cx − A(x) , x = 0, x c số Từ (2.148), (2.157), (2.175) (2.177) ta có  f (x) = 2ax3 + cx2 + 2βx − A(x) + α    g (x) = 3ax + cx + β    x x t  h (x) = −a t − A x t (2.177) (2.178) , x = 0, A : R → R cộng tính a, c, α, β số tùy ý Trường hợp 3.3 Giả sử s2 = t2 hay det s t = Chú ý x, y độc t s lập tuyến tính, u = sx + ty v = sy + tx độc lập Giả sử ngược lại, a, b số (không đồng thời 0), ta có = au + bv = (as + bt)x + (at + bs)y Vì x, y độc lập tuyến tính ta có Do det s t t s s t a t s b = 0 = có nghĩa a, b = mâu thuẫn với giả thiết Trở lại với phương trình (2.151) Từ (2.150), (2.151) ta có y[h(sx) + g(x) − g(0)] − x[h(sy) + g(y) − g(0)] = (x − y)[h(sx + ty) − h(sx) − h(sy)] (2.179) với x, y ∈ R Thay x, y (2.179) ta có x[h(sy) + g(y) − g(0)] − y[h(sx) + g(x) − g(0))] = (y − x)[h(sy + tx) − h(sy) − h(sx)] (2.180) 49 Cộng (2.179), (2.180), ta (2.181) h(sx + ty) = h(sy + tx) với x, y ∈ R\{0}, x = y Khi h(x) = d, x ∈ R\{0}, (2.182) d số Từ (2.182), (2.147) ta có f (x) − f (y) = (x − y)[d + g(x) + g(y)] Khi đó, chứng minh tương tự Trường hợp 1, ta có  f (x) = ax + (b + d) x + c    g (x) = ax + b h (x) = d (2.183) (2.184)     a, b, c, d số tùy ý Định lý chứng minh Bổ để sau sử dụng để tìm lời giải tổng quát phương trình (2.129) Bổ đề 2.5.2 Cho α số thực khác Các hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = (x − y)[αxy + g(x) + g(y)] với x, y ∈ R   f (x) = ax3 + βx2 + 2γx + δ  g(x) = αx2 + βx + γ, (2.185) (2.186) β, γ, δ số tùy ý Chứng minh Dễ dàng kiểm tra (2.186) thỏa mãn (2.185) Cho y = 0, từ (2.185),ta có f (x) = δ + x[g(x) + γ], (2.187) 50 Trong δ = f (0), γ = g(0) Từ (2.186),(2.185) ,ta có y[g(x) − αx2 − γ] = x[g(y) − αy − γ] với x, y ∈ R Hay g(x) = αx2 + βx + γ (2.188) f (x) = αx3 + βx2 + 2γx + δ (2.189) Từ (2.188), (2.187), ta có Bổ đề chứng minh Định lí sau cho lời giải tổng quát phương trình (2.129) Định lý 2.5.2 Cho s t tham số thực Các hàm giá trị thực f, g, h, φ, ψ : R → R thỏa mãn phương trình hàm (2.129) x, y ∈ R g(x) = f (x) f (x) =                    φ(x) =                            ax2 + (b + d)x + c s = t = ax2 + bx + c s = 0, t = ax + bx + c s = 0, t = 3ax4 + 2bx3 + cx2 + (d + 2β)x + α s = t = 2ax + cx + (2β − d)x − A(x) + α s = −t = −2bstx3 + βx2 + (2γ + α − d)x + δ = s2 = t2 = b−δ s = t = b+δ ax + s = 0, t = b+δ ax + s = 0, t = δ s = t = 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β + 3ax2 + cx − A0 (x) + β s = −t = bs(s − 2t)x2 + βx + A(sx) + γ + α = s2 = t2 = ax + 51 ψ(x) =                            h(x) =            b+δ ax + s = t = b−δ − h(xt) s = 0, t = ax + b−δ ax + − h(sx) s = 0, t = δ 2ax3 + bx2 + cx − A(x) + β − s = t = 3ax2 + cx + A0 (x) + β − d s = −t = bs(t − 2s)x2 + βx + A(tx) + γ = s2 = t2 = tùy ý với h(0) = d, tùy ý tùy ý x x s = t = s = 0, t = s = 0, t = s = t = x a( ) + b( ) + A( ) + d   t t t   x x t x   −a( ) − A( ) + A0 ( ), x =   t x t t   −bx − A(x) − d s = −t = = s2 = t2 = A0 , A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d, α, β, γ, δ số tùy ý Chứng minh Cho x = y (2.129) ta thấy f (x) = g(x) (2.190) với x ∈ R Thay (2.190) vào (2.129) có f (x) − f (y) = (x − y)[h(sx + ty) + φ(x) + ψ(y)] (2.191) Thay x, y (2.191) cộng phương trình có từ (2.191), ta có h(sx + ty) + φ(x) + ψ(y) = h(sy + tx) + φ(y) + ψ(x) (2.192) với x, y ∈ R.x = y Nhưng (2.192) với x = y Ta xét trường hợp Trường hợp Giả sử s = t = (2.192) có dạng φ(x) = ψ(x) − δ, (2.193) 52 δ số Thay (2.193) vào (2.191), ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(sx + ty) + ψ(x) + ψ(y) − δ] (2.194) Từ Định lý 2.5.1, (2.190), (2.193) ta có           f (x) = ax2 + (b + d) x + c   g (x) = f (x) b−δ    b+δ   ψ (x) = ax +      h (x) = tùy ý với h(0) = d φ (x) = ax + a, b, c, d, δ số tùy ý Trường hợp Giả sử s = 0, t = (s = 0, t = tương tự) Từ (2.192) ta có h(ty) + ψ(y) − φ(y) = h(tx) + ψ(x) − φ(x) (2.195) ψ(x) = φ(x) − h(tx) − δ (2.196) với x, y ∈ R Có δ số Thay (2.196) vào (2.191) với s = 0, ta có f (x) − f (y) = (x − y)[φ(x) + φ(y) − δ] (2.197) Từ Định lý 2.4.3, (2.190), (2.196) ta có f (x) = ax2 + bx + c g (x) = f (x)             b+δ    b−δ  ψ (x) = ax + − h(tx)       h (x) = tùy ý φ (x) = ax + a, b, c, d, δ số tùy ý Trường hợp Giả sử s, t = Ta xét trường hợp sau Trường hợp 3.1 Giả sử s = t Từ (2.192) ta có h(tx + ty) + φ(x) + ψ(y) = h(ty + tx) + φ(y) + ψ(x) (2.198) 53 Ta có φ(x) = ψ(x) − δ (2.199) δ số Thay (2.199) vào (2.191) ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(tx + ty) + ψ(x) + ψ(y) − δ] (2.200) Từ Định lý 2.5.1, (2.199), (2.190), ta có  f (x) = 3ax + 2bx + cx + (d + 2β)x + α        g (x) = f (x)    δ  φ (x) = 2ax + bx + cx − A(x) + β +  δ    ψ (x) = 2ax + bx + cx − A(x) + β −       x x x   h (x) = a +b +A +d t t t a, b, c, d, α, β, δ số tùy ý A : R → R hàm cộng tính Trường hợp 3.2 Giả sử s = −t Từ (2.192) ta có h(ty − tx) + φ(x) + ψ(y) = h(tx − ty) + φ(y) + ψ(x) (2.201) với x, y ∈ R Hay h(tx − ty) − h(ty − tx) = H(x) − H(y) (2.202) H(x) = φ(x) − ψ(x) Cho x = (2.202) ta có h(−ty) − h(ty) = d − H(y) (2.203) d = H(0) Từ (2.203), (2.202) ta có H(x − y) + d = H(x) + d − H(y) − d (2.204) tức H(x) + d cộng tính tập số thực Khi ψ(x) = φ(x) + A0 (x) − d (2.205) A0 : R → R cộng tính Trừ (2.205) cho (2.191) ta có f (x) − f (y) = (x − y)[h(ty − tx) + φ(x) + φ(y) + A0 (y) − d] (2.206) 54 hay F (x) − F (y) = (x − y)[K(tx − ty) + Φ(x) + Φ(y)] (2.207)      F (x) = f (x) + dx x K (x) = h(−tx) − A0 t     Φ (x) = φ (x) + A0 (x) (2.208) Từ Định lý 2.5.1, (2.190), (2.205), (2.208) ta có f (x) = 2ax3 + cx2 + (2β − d)x − A(x) + α g (x) = f (x) φ (x) = 3ax2 + cx − A0 (x) + β 2 ψ (x) = 3ax + cx + A0 (x) + β − d x x x t h (x) = −a − A + A0 ,x = t x t t a, b, c, d, α, β số tùy ý A, A0 : R → R hàm cộng tính Trường hợp 3.3 Giả sử s2 = t2 Cho y = (2.192) ta có g(sx) + φ(x) + ψ(0) = h(tx) + φ(0) + ψ(x) (2.209) Thay (2.209) vào (2.192) ta có h(sx + ty) − h(sx) − h(ty) = h(sy + tx) − h(tx) − h(sy) Thay x = x y y = (2.191), ta có s t x y xt − ys x y f( ) − f( ) = ( )[h(x + y) + φ( ) + ψ( )] s t st s t (2.210) (2.211) Đặt x F (x) = f s x Φ (x) = φ s y Ψ (x) = ψ t            (2.212) 55 từ (2.212),(2.211) ta có F (x) − F ( sy ) = (xt − ys)[h(x + y) + Φ(x) + Ψ(y)] t (2.213) Cho y = 0, x = tương ứng (2.213)ta có F (x) = F (0) + xt[h(x) + Φ(x) + Ψ(0)] (2.214) F( sy ) = F (0) + ys[h(y) + Φ(0) + Ψ(y)], t (2.215) Thay (2.214), (2.215) vào (2.213) ta có xt[Ψ(0) − Ψ(x) − h(y)] − ys[Φ(0) − Φ(x) − h(x)] = (xt − ys)[h(x + y) − h(x) − h(y)] (2.216) Thay x, y (2.216) ta có yt[Ψ(0) − Ψ(y) − h(x)] − xs[Φ(0)] − Φ(y) − h(y) = (yt − xs)[h(x + y) − h(x) − h(y)] (2.217) Trừ (2.217) cho (2.216), ta có xP (y) − yP (x) = (x − y)(s + t)[h(x + y) − h(x) − h(y)], (2.218) P (x) = t[Φ(0) − Φ(x) − h(x)] + s[Ψ(0) − Ψ(x) − h(x)] (2.219) Từ Định lý 2.4.2 ta có (2.218) hay P (x) = 3ax3 + 2bx2 + cx + d   (2.220) (s + t)h(x) = −ax − bx − A(x) − d A : R → R hàm cộng tính a, b, c, d số tùy ý Thay h(x) (2.220) vào (2.210), ta 3astxy(s − t)(x − y) = 56 với x, y ∈ R Khi a = 0, = s2 = t2 = Ta có (s + t)h(x) = −bx2 − A(x) − d (2.221) Từ (2.221), (2.209), ta có φ(x) = ψ(x) + b(s − t)x2 + A(sx − tx) + α, s+t (2.222) α = φ(0) − ψ(0) Thay (2.221), (2.222) vào (2.191), ta có k(x) − k(y) = (x − y)[α0 xy + Γ(x) + Γ(y)], (2.223)  k (x) = f (x) + d  − α x    s+t   A (tx) bt2 x2 Γ (x) = ψ (x) − − s+t s+t     2bst   α0 = − s+t (2.224) k(x) = α0 x3 + βx2 + 2γx + δ, Γ(x) = α0 x2 + βx + γ (2.225) Từ Bổ đề 2.5.2 ta có β, γ, δ số tùy ý Từ (2.225), (2.224), (2.222), (2.221) ta có f (x) = − 2bstx3 + βx2 + s+t 2γ + α − d s+t x+δ bs (s − 2t) x2 A(sx) φ (x) = + βx + +γ+α s+t s+t bs (s − 2t) x2 A(tx) ψ (x) = + βx + +γ s+t s+t −bx2 A(x) d h (x) = − − s+t s+t s+t b d A(x) Đổi tên số b, d hàm cộng tính A(x), ta có s+t s+t s+t f (x) = −2bstx3 + βx2 + (2γ + α − d) x + δ φ (x) = bs (s − 2t) x2 + βx + A(sx) + γ + α ψ (x) = bt (s − 2t) x2 + βx + A(tx) + γ h (x) = −bx2 − A(x) − d 57 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số định lí giá trị trung bình hàm biến lớp phương trình hàm Luận văn đạt số kết cụ thể sau: Trình bày cách hệ thống định lí giá trị trung bình: Định lí giá trị trung bình Lagrange, định lí Pompeui Trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ Định lí giá trị trung bình Luận văn tìm hiểu số lớp phương trình hàm đặc biệt: Phương trình hàm kiểu Stamate, phương trình hàm kiểu Kuczma, phương trình hàm theo quy tắc Simpson Trình bày hệ thống ví dụ trình bày dạng bổ đề, định lí tương ứng với định lí giá trị trung bình Một số phân tích, so sánh kết luận văn Định lí giá trị trung bình nghiên cứu cho hàm hai biến, từ nảy sinh lớp phương trình hàm hai biến Tuy nhiên khuôn khổ luận văn nên không trình bày 58 Tài liệu tham khảo [1] Aczél J (1996), Lectures on Functional Equations and Their Applications Academic Press, New York-London [2] Bao-lin Z (1997), "A note on the mean value theorem for integrals" Amer Math Monthly, 104, pp 561-562 [3] Nguyễn Văn Mậu (2008), Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo dục [4] Sahoo P K and Riedel T (1998), Mean value theorems and functional equations, World Scientific [...]... [g(x) − g(y)]h(x + y) Cho tới nay đây vẫn là một vấn đề mở 20 Chương 2 Định lý Pompeui và phương trình hàm 2.1 Định lý giá trị trung bình Pompeui Năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu Định lý 2.1.1 Với mỗi hàm f giá trị thực khả vi trên một khoảng [a, b] không chứa 0 và với mọi cặp x1 = x2 trong [a, b], tồn... trung bình Cauchy và phương trình hàm Augustine - Louis Cauchy (1789 - 1857) đưa ra một suy rộng sau đây của định lý giá trị trung bình Lagrange mà hiện nay mang tên ông Định lý 1.3.1 (Định lí giá trị trung bình Cauchy) Với mọi giá trị thực f, g khả vi trên một khoảng số thực I và với mọi cặp x1 = x2 trong I , tồn tại một điểm η phụ thuộc vào x1 và x2 sao cho [f (x1 ) − f (x2 )]g (η) = [g(x1 ) − g(x2... là các hàm ẩn η là giá trị cho trước ta được dạng phương trình hàm Phương trình hàm dạng này được nghiên F (x1 ) + F (x2 ) ),trong đó 2 F là liên tục và đơn điệu thực sự Nếu ta lấy η(x + y) = x + y và f , g được thay cứu bởi Aumann (1936) bằng việc đặt η(x1 , x2 ) = F −1 ( bởi các hàm chưa biết ta được phương trình hàm [f (x) − f (y)]k(x + y) = [g(x) − g(y)]h(x + y) Cho tới nay đây vẫn là một vấn... x1 − x2 Từ đó ta có điều phải chứng minh 2.2 Phương trình hàm kiểu Stamate Biểu thức đại số (2.1) cho một phương trình hàm Ở đây dạng chính xác của vế phải là không cần thiết Vế phải của (2.1) chỉ phụ thuộc vào ξ mà không phụ thuộc trực tiếp vào x1 và x2 Vì vậy, ta có phương trình hàm xf (y) − yf (x) = h(ξ(x, y)), ∀x, y ∈ R, x = y x−y (2.5) Tương tự như tỉ sai phân, một biến thể của nó được định nghĩa... của phương trình hàm f (x) − g(y) = (x − y)[h(x + y) + ψ(x) + φ(y)] (2.64) với mọi x, y ∈ R Trong mục này, chúng ta định nghĩa nghiệm tổng quát của phương trình (2.64) Hai phương trình hàm sau đây là công cụ trong việc giải phương trình hàm (2.64) g(x) − g(y) = (x − y)f (x + y) + (x + y)f (x − y), xf (y) − yf (x) = (x − y)[g(x + y) − g(x) − g(y)] (2.65) Phương trình đầu của (2.65) có thể xem như là một. .. x Phương trình tích phân (2.62) đúng với mọi x, y ∈ R nếu f là một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng ba Tuy nhiên, không hiển nhiên nếu (2.62) đúng với 32 mọi x, y ∈ R thì nghiệm duy nhất f là một đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng ba Phương trình tích phân (2.62) dẫn đến phương trình hàm g(y) − g(x) = y−x x+y [f (x) + 4f ( ) + f (y)] 6 2 (2.63) trong đó g là một nguyên hàm của f Phương trình trên là một. .. và vế phải là hàm ξ phụ thuộc trung bình số học, ta được phương trình hàm g(x)f (y) − g(y)f (x) = [g(x) − g(y)]h( x+y ), ∀x, y ∈ [a, b], 0 ∈ / [a, b] 2 Kuczma (1991) đưa ra lời giải cho phương trình tương tự Ta trình bày lời giải của phương trình trên theo phương pháp của Kuczma Để chứng minh bớt kỹ thuật và dễ hiểu hơn ta thay đoạn [a, b] bởi R, hơn nữa giả sử tồn tại δ sao cho g(δ) = 0 Định lý 2.3.2... hay h(0) = b và ta có h(x) = b với mọi x ∈ R 2.3 Phương trình hàm kiểu Kuczma Boggio (1947) đã đưa ra một kết quả tổng quát của Định lí giá trị trung bình Pompeui sau 26 Định lý 2.3.1 Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng [a, b] không chứa 0 và với mọi cặp x1 = x2 trong [a, b] tồn tại một điểm ξ ∈ (x1 , x2 ) sao cho g(x1 )f (x2 ) − g(x2 )f (x1 ) g(ξ) = f (ξ) − f (ξ) g(x1 ) − g(x2 ) g... và x = 0, y, y1 , , yn−2 Phương trình trên có thể viết lại như sau n−3 l(x) − l(y) = (x − y)g x+y+ yk , (1.88) k=1 f (x) , với x, y = 0, y1 , , yn−3 Từ Bổ đề 1.2.1 và x(y1 − x) (yn−3 − x) x, y = 0, y1 , yn−3 tùy ý ta có g tuyến tính Từ (1.87) f là đa thức có bậc nhiều trong đó l(x) = nhất là n Định lý được chứng minh 19 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy và phương trình hàm Augustine - Louis Cauchy... Khi ω(t) = 0, ∀t ∈ R Từ (2.51) ta có H(t) = 0, ∀t ∈ R Từ (2.38) và G liên tục với G(1) = 1 ta có f (x) = αg(x) 2.4 Phương trình hàm theo quy tắc Simpson Quy tắc Simpson là một phương pháp số sơ cấp để ước lượng tích phân xác định b f a (t)dt Phương pháp này bao gồm việc phân hoạch [a, b] thành các khoảng con có độ dài bằng nhau và rồi xấp xỉ đồ thị của f trên mỗi khoảng con với một hàm bậc hai Nếu a = ... nhiều phương trình hàm nghiên cứu nảy sinh từ định lý giá trị trung bình Mục đích luận văn trình bày số lớp phương trình hàm nảy sinh từ số định lý giá trị trung bình (Định lý giá trị trung bình. .. Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Lagrange số dạng phương trình hàm nảy sinh Định lí giá trị trung bình Cauchy - mở rộng trực tiếp Định lí giá trị trung bình Lagrange áp dụng trình bày... Chương trình bày Định lí giá trị trung bình Pompeui ứng dụng vào phương trình hàm Một số lớp phương trình hàm đặc biệt phương trình hàm kiểu Stamate, phương trình hàm kiểu Kuczma số mở rộng trình