BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HOÀI PHƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HOÀI PHƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã ngành: 60 46 01.02 Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea không gian mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.2 Một số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, Kannam Chatterjea không gian mêtric Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea co yếu kiểu Chatterjea suy rộng 15 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea 15 2.2 Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng 21 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng giải tích Nó có nhiều ứng dụng toán học nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1992) Người ta mở rộng nguyên lý cho nhiều kiểu ánh xạ nhiều loại không gian Có điều cần lưu ý ánh xạ co (kiểu Banach) không gian mêtric liên tục Từ đó, nảy sinh vấn đề mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho ánh xạ không liên tục Để giải vấn đề này, vào năm 1968, Kannan [3] vào năm 1972, Chatterjea [1] đưa khái niệm ánh xạ co kiểu Kannan ánh xạ co kiểu Chatterjea chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric đầy đủ Sau đó, vào năm 2009, Chondhury [2] đưa khái niệm ánh xạ co kiểu Chatterjea suy rộng (hay ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea) chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric đầy đủ Cũng theo hướng mở rộng nguyên lý Banach kiểu này, vào năm 2003, Krik cộng [6] giới thiệu khái niệm ánh xạ co cyclic nghiên cứu tồn điểm bất động không gian mêtric Từ đến nay, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vào năm 2012, Karapinar cộng [5] đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ co yếu kiểu Chatterjea co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric đầy đủ Tuy nhiên, tác giả [5]đã mắc phải vài sai sót chứng minh Ĉịnh lý 2.2 chứng minh Ĉịnh lý 2.9 Các kết tác giả E Karapinar H K Nashine (2012) [5] mở rộng Từ đó, vấn đề đặt khắc phục sai sót mở rộng kết [5] E Karapinar H K Nashine (2012) Với mục đích luận văn có nhan đề "Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric" trình bày thành hai chương Chương Trình bày tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, Chatterjea,Kannan không gian mêtric có tài liệu tham khảo [2], [6], [7] Trong chương 2, trình bày lại số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chaterjea không gian mêtric, trình bày tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng [5] chỉnh sửa lại sai sót Sau đó, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Định lý 2.2.4 Hệ 2.2.6, 2.2.8 Các kết mở rộng Định lý 2.2 Định lý 2.9 [5] số kết [7] Cuối cùng, đưa ví dụ 2.2.9 chứng tỏ Định lý 2.2.4 mở rộng thực Định lý 2.2 Định lý 2.9 [5] Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh năm 2015 hướng dẫn tận tình PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán quý thầy, cô tổ Giải tích trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ thời gian học tập, rèn luyện hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp Quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO KIỂU BANACH, KANNAN, CHATTERJEA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Chương trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric ánh xạ mà cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X hàm d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = x = y ; (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric d gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho X không gian mêtric, dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với m, n ≥ n0 d(xm , xn ) < > 0, tồn n0 ∈ N∗ cho với Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Tập A ⊂ X gọi đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh Mọi tập đầy đủ không gian mêtric tập đóng, tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.3 Định lý ([1]) Giả sử Y tập không gian mêtric (X, d) Khi đó, Y đóng X dãy {yn } Y mà {yn } hội tụ tới x ∈ X x ∈ Y 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co kiểu Banach (nói gọn ánh xạ co) tồn q ∈ [0, 1) cho d(f x, f y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ X 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f (a) = a 1.1.6 Định lý ([1]) (Nguyên lý co Banach) Mọi ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động 1.1.7 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian mêtric f : X → X 1) ([4]) Ánh xạ f gọi co kiểu Kannan tồn α ∈ [0, 21 ) cho d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)], ∀x, y ∈ X 2) ([3]) Ánh xạ f gọi co kiểu Chatterjea tồn α ∈ [0, 21 ) cho d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)], ∀x, y ∈ X 3) ([1]) Ánh xạ f gọi nửa liên tục X lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn ) n→∞ n→∞ với dãy {xn } ⊂ X 1.2 Một số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co kiểu Banach, Kannam Chatterjea không gian mêtric Mục trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện co không gian mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho A1 , A2 , , Ap , Ap+1 = A1 tập hợp khác rỗng không gian mêtric X ánh xạ T : p i=1 Ai → p i=1 Ai Ánh xạ T gọi p-cyclic (nói gọn cyclic) T (Ai ) ⊂ Ai+1 với i = 1, 2, , p Chú ý Từ định nghĩa suy T ánh xạ p-cyclic T có điểm p i=1 Ai bất động x x ∈ 1.2.2 Bổ đề Nếu X không gian mêtric đầy đủ, F : X → X ánh xạ liên tục tồn k ∈ [0, 1) cho d(F x, F x) ≤ kd(x, F x), ∀x ∈ X F có điểm bất động X Hơn nữa, với x0 ∈ X , dãy {F n (x0 )} hội tụ tới điểm bất động F Chứng minh Lấy x0 ∈ X đặt xn = F xn−1 với n = 1, 2, Khi đó, với n = 1, 2, ta có d(xn , xn+1 ) = d(F xn−1 , F xn−1 ) ≤ kd(xn−1 , F xn−1 ) = kd(F xn−2 , F xn−2 ) ≤ k d(xn−2 , F xn−2 ) ≤ ≤ k n d(x0 , F x0 ) = k n d(x0 , x1 ) Từ sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác ta có d(xn , xn+m ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xn+m−1 , xn+m ) ≤ (k n + k n+1 + + k n+m−1 )d(x0 , x1 ) m kn n1 − k =k d(x0 , x1 ) ≤ d(x0 , x1 ) 1−k 1−k với n = 1, 2, , với m = 0, 1, Vì k ∈ [0, 1) nên kn 1−k d(x0 , x1 ) → n → ∞ Từ suy {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên xn → x ∈ X Vì F liên tục nên xn+1 = F xn → F x Do đó, x = F x 1.2.3 Định lý ([6]) Cho A B hai tập đóng khác rỗng không gian mêtric đầy đủ X Giả sử F : X → X thỏa mãn điều kiện sau 1) F (A) ⊂ B F (B) ⊂ A (tức F ánh xạ cyclic); 2) d(F x, F y) ≤ kd(x, y), ∀x ∈ A y ∈ B , k ∈ (0, 1) Khi đó, F có điểm bất động A Chứng minh Với x ∈ A B B , từ 1) 2) suy d(F x, F x) ≤ kd(x, F x) Mặt khác, A B đóng X nên A X đầy đủ nên A B A A B đóng X Do B đầy đủ Theo cách chứng minh Bổ đề 1.2.2 {f n x} dãy Cauchy A A B A B Do đó, f n x → z ∈ A B = ∅ đầy đủ Từ điều kiện 2) suy F |A B B Như ánh xạ co B Do đó, theo Nguyên lý ánh xạ co Banach F có điểm bất động A B 1.2.4 Hệ ([6]) Cho A B hai tập đóng khác rỗng không gian mêtric đầy đủ X Cho f : A → B g : B → A hai hàm số cho d(f x, gy) ≤ kd(x, y), ∀(x, y) ∈ A × B 19 Do ≤ lim inf d(xrn , xqn +1 ) = n→∞ Điều mâu thuẫn với > Nếu xqn ∈ Ai , xrn ∈ Ai+1 chứng minh tương tự ta có điều mâu thuẫn Như khẳng định chứng minh Bây giờ, ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử > Khi đó, theo chứng minh tồn số tự nhiên n1 cho với r, q ∈ N mà r q ≥ n1 , r − q = 1(mod m) d(xr , xq ) < (2.8) Mặt khác, từ limn→∞ d(xn , xn+1 ) = suy tồn số tự nhiên n2 cho d(xn , xn+1 ) < 2m ∀n ≥ n2 (2.9) Giả sử r, s ≥ max{n1 , n2 } với s > r Khi đó, tồn k ∈ {1, 2, , m} cho s − r = k(mod m) Do s − r + j = 1(mod m) với j = m − k + Từ suy d(xr , xs ) ≤ d(xr , xs+j ) + d(xs+j , xs+j−1 ) + + d(xs+1 , xs ) Kết hợp với (2.8) (2.9) ta có d(xr , xs ) ≤ + j 2m < Điều chứng tỏ {xn } dãy Cauchy Vì (X, d) không gian mêtric đầy đủ nên xn → z ∈ X Từ cách xây dựng {xn } f ánh xạ cyclic suy với i = 1, 2, , m tồn dãy {xin } dãy {xn } cho {xin } ⊂ Ai Vì Ai đóng X xin → z nên z ∈ Ai với i = 1, 2, , m Do z ∈ m i=1 Ai 20 Bây giờ, ta chứng minh z điểm bất động f Vì z ∈ Ai với i = 1, 2, , m nên theo điều kiện (2.1) ta có d(xn+1 , f z) = d(f xn , f z) ≤ α[d(xn , f z) + d(z, xn+1 )] − ϕ(d(xn , f z), d(z, xn+1 )), ∀n = 0, 1, 2, (2.10) Vì xn → z nên từ (2.10) suy d(z, f z) ≤ αd(z, f z) − ϕ(d(z, f z), 0) Từ α ∈ (0, 21 ] suy d(z, f z) = tức f z = z Vậy z điểm bất động f Cuối cùng, giả sử y điểm bất động f Vì f ánh xạ cyclic nên y ∈ m i=1 Ai Do ta có d(y, z) = d(f y, f z) ≤ α[d(y, z) + d(z, y)] − ϕ(d(y, z), d(z, y)) = 2αd(y, z) − ϕ(d(y, z), d(z, y)) Vì 2α ≤ nên ϕ(d(y, z), d(z, y)) = Do đó, d(z, y) = tức y = z Vậy z điểm bất động f 2.1.3 Chú ý Định lý 2.1.2 Định lý 2.2 (Theorem 2.2) [5] chứng minh Định lý tác giả [5] mắc phải vài sai lầm Chẳng hạn, sau có (2.3), tác giả đặt k = khẳng định k < từ suy d(xn , xn+1 ) → Tuy nhiên α α 1−α = 12 k = Trong luận văn này, chỉnh sửa việc chứng minh đoạn vài đoạn khác 2.1.4 Hệ ([5] Corollary 2.3) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , Am tập đóng khác rỗng X cho X = f : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau m i=1 Ai 21 1) f ánh xạ cyclic; 2) Tồn β ∈ [0; 21 ) cho d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)] (2.11) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m, Am+1 = A1 Khi đó, f có điểm bất động z ∈ m i=1 Ai Chứng minh Vì β ∈ [0, 12 ) nên tồn α ∈ (0, 12 ] cho α > β ta xác định hàm ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) công thức ϕ(t, u) = (α − β)(t + u), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 Rõ ràng ϕ liên tục ϕ(t, u) = u = t = Do đó, ϕ ∈ F1 Mặt khác, từ (2.11) suy f thỏa mãn (2.1) Như điều kiện Định lý 2.1.2 thỏa mãn Do khẳng định Hệ suy từ Định lý 2.1.2 2.2 Về tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Ta ký hiệu F2 tập hợp tất hàm ϕ : [0, ∞)4 → [0, ∞) nửa liên tục ϕ(x, y, z, t) = x = y = z = t = 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, d) không gian mêtric, A1 , A2 , , Am tập khác rỗng X f : m i=1 Ai → m i=1 Ai Ánh xạ f gọi ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng 1) f cyclic, tức f (Ai ) ∈ Ai+1 với i = 1, 2, , m, Am+1 = A1 ; 2) Tồn ϕ ∈ F2 , α ∈ (0, 14 ] cho d(f x, f y) ≤α[d(x, f x) + d(x, f y) + d(y, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) (2.12) 22 với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m Am+1 = A1 2.2.2 Định lý ([5] Theorem 2.9) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , Am tập đóng khác rỗng X , X = m i=1 Ai Khi đó, f : X → X ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng f có điểm bất động z ∈ m i=1 Ai 2.2.3 Chú ý Định lý chứng minh đầy đủ [5] tác giả [5] gặp phải vài sai sót tương tự chứng minh Định lý 2.1.2 ([5] Theorem 2.2) Do đó, không trình bày lại chứng minh Định lý mà sau đưa định lý tổng quát Định lý 2.2.2 Ta ký hiệu F3 tập hợp tất hàm ϕ : [0, ∞)4 → [0, ∞) thỏa mãn hai điều kiện i) lim inf ϕ(xn , yn , zn , tn ) ≥ ϕ(lim inf xn , lim inf yn , lim inf zn , lim inf tn ) n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ ii) ϕ(x, y, z, t) = ⇒ x = y = z = t = 2.2.4 Định lý Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , An tập đóng khác rỗng X f : m i=1 Ai → m i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn ϕ ∈ F3 số không âm α1 , α2 , , α5 thỏa mãn α1 + α2 + 2α3 + α5 ≤ 1, (2.13) α1 + α3 + α4 ≤ (2.14) d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f x) + α5 d(y, f y) − ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) (2.15) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m, Am+1 = A1 f có điểm bất động z ∈ m i=1 Ai 23 m i=1 Ai Chứng minh Lấy x0 ∈ xác định dãy {xn } xn = f (xn−1 ), ∀n = 1, 2, Nếu tồn n0 ∈ N cho xn0 = xn0 +1 f (xn0 ) = xn0 +1 = xn0 Như xn0 điểm bất động f Giả sử xn = xn+1 với n = 0, 1, Với n = 0, 1, tồn i ∈ {1, 2, , m} cho xn ∈ Ai Do xn+1 = f (xn ) ∈ Ai+1 Từ đó, sử dụng giả thiết (2.15), với n = 1, 2, ta có d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn ) ≤ α1 d(xn−1 , xn ) + α2 d(xn−1 , xn ) + α3 d(xn−1 , xn+1 ) + α4 d(xn , xn ) + α5 d(xn , xn+1 ) − ϕ(d(xn−1 , xn ), d(xn−1 , xn+1 ), d(xn , xn+1 ), 0) ≤ (α1 + α2 )d(xn−1 , xn ) + α3 [d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )] + α5 d(xn , xn+1 ) − ϕ(d(xn−1 , xn ), d(xn−1 , xn+1 ), d(xn , xn+1 ), 0) (2.16) Do đó, với n = 1, 2, ta có d(xn , xn+1 ) ≤ α1 + α2 + α3 d(xn−1 , xn ) ≤ d(xn−1 , xn ) − α3 − α5 Điều chứng tỏ dãy {d(xn , xn+1 )} dãy số không âm giảm Do đó, tồn lim d(xn , xn+1 ) = α ≥ n→∞ Từ (2.16) tính chất ánh xạ ϕ suy α ≤ (α1 + α2 + 2α3 + α5 )α − ϕ(α, lim inf d(xn−1 , xn+1 ), α, 0) n→∞ Vì α1 + α2 + 2α3 + α5 ≤ nên từ bất đẳng thức suy ϕ(α, lim inf d(xn−1 , xn+1 ), α, 0) = n→∞ 24 Do từ tính chất ϕ suy α = 0, tức lim d(xn , xn+1 ) = (2.17) n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh với > tồn số tự nhiên n cho với r, q ∈ N mà r − q = 1(mod m), r ≥ n , q ≥ n , d(xr , xq ) < > cho với n ∈ N Giả sử điều không Khi đó, tồn tồn số tự nhiên rn , qn cho rn > qn ≥ n, rn − qn = 1(mod m) d(xrn , xqn ) ≥ (2.18) Lấy n > 2m Khi đó, với qn ≥ n ta chọn rn cho rn số tự nhiên nhỏ mà rn > qn , rn − qn = 1(mod m) d(xrn , xqn ) ≥ Do đó, d(xqn , xrn −m ) < Từ đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có m ≤ d(xqn , xrn ) ≤ d(xqn , xrn −m ) + d(xrn −i , xrn −i+1 ) i=1 m < + d(xrn −i , xrn −i+1 ) i=1 Cho n → ∞ bất đẳng thức sử dụng (2.17) ta có lim d(xqn , xrn ) = n→∞ (2.19) Ta có ≤ d(xqn , xrn ) ≤ d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xrn +1 ) + d(xrn +1 , xrn ) ≤ d(xqn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xqn ) + d(xqn , xrn ) + d(xrn , xrn +1 ) + d(xrn +1 , xrn ) = 2d(xqn , xqn +1 ) + d(xrn , xqn ) + 2d(xrn , xrn +1 ) Cho n → ∞ ta lim d(xqn +1 , xrn +1 ) = n→∞ (2.20) 25 Vì rn − qn = 1(mod m) nên tồn i ∈ {1, 2, , m} cho xrn ∈ Ai xqn ∈ Ai+1 xqn ∈ Ai xrn ∈ Ai+1 Nếu xrn ∈ Ai xqn ∈ Ai+1 d(xqn +1 , xrn +1 ) = d(f xrn , f xqn ) ≤ α1 d(xrn , xqn ) + α2 d(xrn , xrn +1 ) + α3 d(xrn , xqn +1 ) + α4 d(xqn , xrn +1 ) + α5 d(xqn , xqn +1 ) − ϕ(d(xrn , xrn +1 ), d(xrn , xqn +1 ), d(xqn , xqn +1 ), d(xqn , xrn +1 )) ≤ α1 d(xrn , xqn ) + α2 d(xrn , xrn +1 ) + α3 [d(xrn , xqn ) + d(xqn , xqn +1 )] + α4 [d(xrn , xqn ) + d(xrn , xrn +1 )] + α5 d(xqn , xqn +1 ) − ϕ(d(xrn , xrn +1 ), d(xrn , xqn +1 ), d(xqn , xqn +1 ), d(xqn , xrn +1 )) Cho n → ∞, sử dụng (2.17),(2.19),(2.20) tính chất ϕ ta ≤ (α1 + α3 + α4 ) − ϕ(0, lim inf d(xrn ,xqn +1 ), 0, lim inf d(xqn ,xrn +1 )) n→∞ n→∞ Vì α1 + α3 + α4 ≤ nên ϕ(0, lim inf d(xrn , xqn +1 ), 0, lim inf d(xqn , xrn +1 )) = n→∞ n→∞ Do limn→∞ inf d(xrn , xqn +1 ) = Mặt khác, ta có ≤ d(xrn , xqn ) ≤ d(xrn , xqn +1 ) + d(xqn +1 , xqn ) Do ≤ lim inf d(xrn , xqn +1 ) = n→∞ Điều mâu thuẫn với > Nếu xqn ∈ Ai xrn ∈ Ai+1 chứng minh tương tự ta có điều mâu thuẫn Bây giờ, ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử > Khi đó, theo chứng minh tồn n1 ∈ N cho với r ≥ n1 q ≥ n1 mà 26 r − q = 1(mod m) d(xr , xq ) < Mặt khác, từ (2.17) ta suy tồn n2 ∈ N cho (2.21) , ∀n ≥ n2 (2.22) 2m Với n ≥ n0 = max{n1 , n2 }, với p = 0, 1, , giả sử p−k = 0(mod m), d(xn , xn+1 ) < k ∈ {1, 2, , m}, k ≤ p Khi đó, (n + p − k + 1) − n = 1(mod m) Do đó, theo (2.21) ta có d(xn , xn+p−k+1 ) < Từ bất đẳng thức tam giác (2.22) suy (2.23) d(xn+p−k+1 , xn+p ) ≤ d(xn+p−k+1 , xn+p−k+2 ) + d(xn+p−k+2 , xn+p−k+3 ) + + d(xn+p−1 , xn+p ) ≤ (k − 1) < (2.24) 2m Từ (2.23) (2.24) suy rằng, với n ≥ n0 p = 0, 1, ta có d(xn , xn+p ) ≤ d(xn , xn+p−k+1 ) + d(xn+p−k+1 , xn+p ) < Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn z ∈ X cho xn → z Từ cách xây dựng dãy {xn } f ánh xạ cyclic suy rằng, với i = 1, 2, , m, tồn dãy {xin } {xn } cho {xin } ⊂ Ai Vì Ai đóng X xin → z với i = 1, 2, , m nên z ∈ Ai với i = 1, 2, , m tức z ∈ m i=1 Ai Bây giờ, ta chứng minh z điểm bất động f Vì z ∈ Ai với i = 1, 2, , m nên áp dụng điều kiện (2.15), với n = 1, 2, ta có d(xn+1 , f z) = d(f xn , f z) ≤ α1 d(xn , z) + α2 d(xn , xn+1 ) + α3 d(xn , f z) + α4 d(z, xn+1 ) + α5 d(z, f z) − ϕ(d(xn , xn+1 ), d(xn , f z), d(z, f z), d(z, xn+1 )) 27 Vì xn → z nên từ bất đẳng thức suy d(z, f z) ≤ (α3 + α5 )d(z, f z) − ϕ(0, d(z, f z), d(z, f z), 0) Kết hợp với α3 + α5 < suy ϕ(0, d(z, f z), d(z, f z), 0) = Do d(z, f z) = tức f z = z Vậy z điểm bất động f Giả sử u ∈ X điểm bất động f Khi đó, f ánh xạ cyclic suy u ∈ Ai với i = 1, 2, , m Do đó, theo điều kiện (2.15) ta có d(u, z) = d(f u, f z) ≤ α1 d(u, z) + α2 d(u, u) + α3 d(u, z) + α4 d(z, u) + α5 d(z, z) − ϕ(0, d(u, z), 0, d(u, z)) = (α1 + α3 + α4 )d(u, z) − ϕ(0, d(u, z), 0, d(u, z)) Từ α1 + α3 + α4 ≤ tính chất ϕ suy d(u, z) = 0, tức u = z Vậy điểm bất động f 2.2.5 Nhận xét Giả sử điều kiện Định lý 2.2.2 thỏa mãn Khi đó, F2 ⊂ F3 nên ϕ ∈ F3 Do ta dễ dàng kiểm tra rằng, f thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2.4 với α1 = 0, α2 = α3 = α4 = α5 = α Như Định lý 2.2.2 (tức Theorem 2.9 [5]) trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.4 2.2.6 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , Am tập đóng, khác rỗng X f : m i=1 Ai → m i=1 Ai ánh xạ cyclic Khi đó, tồn số không âm β1 , β2 , , β5 cho β1 + β2 + 2β3 + β5 < (2.25) β1 + β3 + β4 < (2.26) 28 d(f x, f y) ≤ β1 d(x, y) + β2 d(x, f x) + β3 d(x, f y) + β4 d(y, f x) + β5 d(y, f y) (2.27) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m, Am+1 = A1 f có điểm bất động m i=1 Ai Chứng minh Từ (2.25) (2.26) suy tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho điều kiện (2.13) (2.14) Định lý 2.2.4 thỏa mãn βi < αi với i = 1, 2, , Ta xác định hàm ϕ : [0, +∞)4 → [0, +∞) công thức ϕ(a, b, c, d) = (α2 − β2 )a + (α3 − β3 )b + (α4 − β4 )d + (α5 − β5 )c với (a, b, c, d) ∈ [0, +∞)4 Khi đó, ϕ liên tục từ αi > βi với i = 1, 2, , suy rằng, ϕ(a, b, c, d) = a = b = c = d = Do đó, ϕ ∈ F3 Từ (2.27) suy d(f x, f y) ≤ β1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f x) + α5 d(y, f y) − ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f x) + α5 d(y, f y) − ϕ(d(x, f x), d(x, f y), d(y, f y), d(y, f x)) với x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i=1,2, ,m Như điều kiện Định lý 2.2.4 thỏa mãn Do f có điểm bất động m i=1 Ai 2.2.7 Nhận xét Trong Hệ 2.2.6, lấy 1) β1 = a, β2 = β3 = β4 = β5 = với a ∈ [0, 1); 2) β1 = 0, β2 = β5 = b ∈ [0, 12 ), β3 = β4 = 0; 29 3) β1 = β2 = β5 = 0, β3 = β4 = c ∈ [0, 12 ) ta nhận Định lý 1.2.5 ([7]) 2.2.8 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, f : X → X Khi đó, tồn số không âm α1 , α2 , , α5 cho α1 + α2 + α3 + α4 + α5 < (2.28) d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(x, f x) + α3 d(x, f y) + α4 d(y, f x) + α5 d(y, f y) (2.29) với x, y ∈ X f có điểm bất động X Chứng minh Theo điều kiện (2.29) ta có d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + α2 d(y, f y) + α3 d(y, f x) + α4 d(x, f y) + α5 d(x, f x) ∀x, y ∈ X (2.30) Từ (2.29) (2.30) suy α2 + α5 α3 + α4 d(x, f x) + d(x, f y) 2 α4 + α3 α5 + α2 + d(y, f x) + d(y, f y) ∀x, y ∈ X (2.31) 2 d(f x, f y) ≤ α1 d(x, y) + Đặt β1 = α1 , β2 = β5 = α2 + α5 α3 + α4 , β3 = β4 = 2 Khi đó, từ (2.28) suy β1 + β2 + 2β3 + β5 < β1 + β3 + β4 < 30 Mặt khác, lấy A1 = A2 = = Am = X từ (2.31) suy f thỏa mãn (2.27) Như điều kiện Hệ 2.2.6 thỏa mãn Do f có điểm bất động X Nhận xét 2.2.6 Định lý 2.2.4 mở rộng Định lý 2.9 [5] Ví dụ sau cho thấy Định lý 2.2.4 thực mạnh Định lý 2.9 [5] 2.2.9 Ví dụ Giả sử X = {1, 2, 3, 4}, A1 = {1, 4}, A2 = {2, 3, 4} f : X → X hàm cho f = 2, f = f = f = Trên X ta xét mêtric d cho i) d(x, y) = ⇔ x = y ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X iii) d(1, 2) = d(1, 3) = d(1, 4) = iv) d(2, 3) = d(2, 4) = d(3, 4) = Khi đó, (X, d) không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 tập đóng, khác rỗng X f ánh xạ cyclic Bây giờ, ta xác định hàm ϕ : [0, ∞)4 → [0, ∞) ϕ(a, b, c, d) = a = b = c = d = 0; xảy trường hợp lại Ta thấy ϕ ∈ F3 Đặt α1 = 1; α2 = α3 = α4 = α5 = Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra hàm f thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.2.4 Do Định lí 2.2.4 áp dụng cho f Tiếp theo, ta chứng minh Định lý 2.2 Định lý 2.9 [5]tức Định lý 2.1.2 Định lý 2.2.2 không áp dụng cho f Ta có d(f 1, f 2) = d(2, 4) = > [d(1, f 2) + d(2, f 1)] = 31 Từ suy f không ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Do Định lý 2.2 [5] không áp dụng cho f Ta có d(f 1, f 2) = > [d(1, f 1) + d(1, f 2) + d(2, f 1) + d(2, f 2)] 3 3 − ϕ( ), , 0, 1) = − ϕ( ), , 0, 1) 2 2 với ϕ ∈ F2 Điều chứng tỏ f không ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Do Định lí 2.9 [5] không áp dụng cho f 32 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau 1) Trình bày lại số kết tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea không gian mêtric 2) Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric, Định lý 2.2.4, Hệ 2.2.6 Hệ 2.2.8 Các kết mở rộng số kết [5] [7] 3) Đưa Ví dụ 2.2.9 chứng tỏ Định lý 2.2.4 mở rộng thực Định lý 2.2 Định lý 2.9 tài liệu tham khảo [5] 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Tắc Đắc Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập 1, Nhà xuất giáo dục [2] P Chaipunya, Y J Cho, W Sintunavarat, P Kunmam (2012), Fixed point and common fixed point theorems for cyclic quasi-contractions in metric and ultrametric spaces, Advance in Pure Mathematics, 2, 401-407 [3] S K Chatterjea (1972), Fixed point theorems, C R Acad Bulgre Sci 25, 727-730 [4] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Calcutta Math Soc 60, 71-76 [5] E Karapinar and H K Nashine (2012), Fixed point theorem for cyclic Chatterjea type contraction, Journal of Applied Mathematics Vol 2012, Article ID 165698, 15 pages doi: 10.1155/2012/165698 [6] W A Kirk, S Srimivasan, P Veeramani (2003), Fixed point for mappings statisfying cyclic contractive conditions, Fixed Point Theory, Vol 4, No 1, 79-89 [7] M Petric, B Zlatanov (2010), Fixed point theorems of Kannan type for cyclic contractive conditions, Anniversity International Conference REMIA, Plovdiv, Bulgaria, 187-194 [...]... [0, 21 ) suy ra d(x∗ , y ∗ ) = 0 hay x∗ = y ∗ Vậy điểm bất động của T là duy nhất 15 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA VÀ CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea và co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric Sau... không là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Do đó Định lí 2.9 trong [5] không áp dụng được cho f 32 KẾT LUẬN Luận văn đã thu được các kết quả chính sau đây 1) Trình bày lại một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea trong không gian mêtric 2) Đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy. .. mêtric Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric Kết quả này là sự mở rộng thực sự của một số kết quả trong [5], [7] 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Ta kí hiệu F1 là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) nửa liên tục dưới và ϕ(x, y) = 0... của các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Ta ký hiệu F2 là tập hợp tất cả các hàm ϕ : [0, ∞)4 → [0, ∞) nửa liên tục dưới và ϕ(x, y, z, t) = 0 khi và chỉ khi x = y = z = t = 0 2.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1 , A2 , , Am là các tập con khác rỗng của X và f : m i=1 Ai → m i=1 Ai Ánh xạ f được gọi là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng nếu 1) f là cyclic, ... ([5]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho m i=1 Ai = X và f : X → X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ m i=1 Ai Chứng minh Lấy x0 ∈ X và đặt f xn = xn+1 , ∀n = 0, 1, 2 Nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn0 +1 = xn0 thì ta có xn0 +1 = f xn0 Do đó, xn0 là điểm bất động của f Giả sử xn = xn+1... dưới và ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0 2.1.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric, A1 , A2 , , Am là các tập con khác rỗng của X Ánh xạ f : m i=1 Ai → m i=1 Ai được gọi là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea nếu 1) f là cyclic, tức là f (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , m trong đó Am+1 = A1 ; 16 2) Tồn tại ϕ ∈ F1 và α ∈ (0, 12 ] sao cho d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)] − ϕ(d(x,... quả ([5] Corollary 2.3) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A1 , A2 , , Am là các tập con đóng khác rỗng của X sao cho X = và f : X → X là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau m i=1 Ai 21 1) f là ánh xạ cyclic; 2) Tồn tại β ∈ [0; 21 ) sao cho d(f x, f y) ≤ β[d(x, f y) + d(y, f x)] (2.11) với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 , i = 1, 2, , m, trong đó Am+1 = A1 Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động z ∈ m... Điều này chứng tỏ {xn } là dãy Cauchy Vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên xn → z ∈ X Từ cách xây dựng {xn } và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng với mỗi i = 1, 2, , m tồn tại dãy con {xin } của dãy {xn } sao cho {xin } ⊂ Ai Vì Ai đóng trong X và xin → z nên z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, , m Do đó z ∈ m i=1 Ai 20 Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất động của f Vì z ∈ Ai với mọi i = 1, 2, , m nên theo... khác rỗng của X , và X = m i=1 Ai Khi đó, nếu f : X → X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng thì f có duy nhất một điểm bất động z ∈ m i=1 Ai 2.2.3 Chú ý Định lý này đã được chứng minh đầy đủ trong [5] nhưng các tác giả trong [5] cũng gặp phải một vài sai sót tương tự như chứng minh Định lý 2.1.2 ([5] Theorem 2.2) Do đó, chúng tôi không trình bày lại chứng minh Định lý này mà sau đây chúng... khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ X , ánh xạ T : p i=1 Ai → p i=1 Ai là ánh xạ cyclic và tồn tại a ∈ [0, 1), b ∈ [0, 12 ), c ∈ [0, 12 ) sao cho với mỗi cặp (x, y) ∈ Ai × Ai+1 với 1 ≤ i ≤ p, ít nhất một trong các điều sau đây đúng: 1) d(T x, T y) ≤ ad(x, y); 2) d(T x, T y) ≤ b[d(x, T x) + d(y, T y)]; 3) d(T x, T y) ≤ c[d(x, T y) + d(y, T x)] Khi đó, (i) T có duy nhất điểm bất động x∗ trong p i=1 ... Kannam Chatterjea không gian mêtric Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea co yếu kiểu Chatterjea suy rộng 15 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea. .. kết có tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea co yếu kiểu Chatterjea suy rộng không gian mêtric Sau đó, đưa chứng minh số định lý tồn điểm bất động ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea. .. ∈ [0, 21 ) suy d(x∗ , y ∗ ) = hay x∗ = y ∗ Vậy điểm bất động T 15 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CYCLIC CO YẾU KIỂU CHATTERJEA VÀ CO YẾU KIỂU CHATTERJEA SUY RỘNG Trong chương