HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: Trần Thị Xuyến Địa chỉ: Bộ môn Toán, phòng 302, tòa nhà tầng, HVNH Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com Website: xuyentranhvnh.wordpress.com Cellphone: 0915 170 752 Office: 0438 522 969 HÀ NỘI - T9 năm 2015 GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Học phần Toán cao cấp điều kiện tiên môn: Xác suất thống kê, Mô hình toán Kinh tế lượng Số tín chỉ: Phân bố thời gian: Lý thuyết lớp: 27 tiết Thực hành: 18 tiết Tự học, tự nghiên cứu: 30 tiết Kế hoạch giảng dạy: • Chương 1: Hàm số giới hạn ( tiết ) • Chương 2: Đạo hàm ( tiết ) • Chương 3: Hàm số nhiều biến số cực trị hàm nhiều biến ( tiết ) • Kiểm tra kì lần 1: tiết • Chương 4: Tích phân ( tiết ) • Chương 5: Phương trình vi phân ( tiết ) • Chương 6: Phương trình sai phân tuyến tính ( tiết ) • Kiểm tra kì lần 2: tiết GIÁO TRÌNH • Giáo trình toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn • Bài tập toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn • Toán cao cấp cho nhà kinh tế , Lê Đình Thúy, NXB Đại học kinh tế quốc dân • Toán cao cấp ứng dụng phân tích kinh tế, Phùng Duy Quang, NXB Đại học Sư phạm TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Bài kiểm tra kì: chiếm 30 % Bài kiểm tra kì có hình thức tự luận với thời gian 45 phút Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương Thi hết học phần: 60% Bài thi hết học phần có hình thức tự luận với thời gian 90 phút Hình thức khác ( Điểm chuyên cần) : 10 % MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN Câu : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có dạng sau: AC = 31 Q2 − 15Q − 390 + 300 Q , Q sản lượng đơn vị trăm Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD a Tìm hàm chi phí cận biên công ty b Tính M C(45) nêu ý nghĩa kinh tế c Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa Câu : Tính giới hạn sau: 1 + tan x sin3 x a lim x→0 + sin x π b lim 2x tan x − π cos x x→ Câu : Tìm điểm cực trị hàm số z = xy với điều kiện x + y = MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN Câu : Tính tích phân sau +∞ xe−x dx Câu : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên M P C(Y ) = 0, + 0, 1Y −0,5 tiêu dùng C thu nhập Y Y = 100 USD a Tìm hàm tiêu dùng C(Y ) b Cho biết mức tăng lên tiêu dùng thu nhập tăng từ 100 USD lên 200 USD Câu : Giải phương trình y + y tan x = cos x Câu : Giải phương trình yt+2 − 4yt = 2t MẪU ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN Câu : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có dạng sau: AC = 13 Q2 − 15Q − 390 + 15 Q , Q sản lượng đơn vị trăm Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD a Tìm hàm chi phí cận biên công ty b Tính M C(45) nêu ý nghĩa kinh tế c Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa Câu : Tính giới hạn sau: 1 + tan x sin3 x + sin x a lim x→0 π b lim 2x tan x − π cos x x→ Câu : Tìm điểm cực trị hàm số z = xy với điều kiện x + y = Câu : Tính tích phân sau +∞ xe−x dx Câu : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên M P C(Y ) = 0, + 0, 1Y −0,5 tiêu dùng C thu nhập Y Y = 100 USD a Tìm hàm tiêu dùng C(Y ) b Cho biết mức tăng lên tiêu dùng thu nhập tăng từ 100 USD lên 200 USD Câu : Giải phương trình y + y tan x = cos x Câu : Giải phương trình yt+2 − 4yt = 2t CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A Biến số Định nghĩa 1.1.1 Biến số đại lượng mà giá trị thay đổi tập số X = ∅ Ta thường kí hiệu biến số chữ cái: x, y, z X gọi miền biến thiên Các biến số kinh tế hay gặp p: giá Q: Sản lượng Qs : Lượng cung Qd : Lượng cầu π : Lợi nhuận T C : Tổng chi phí V C : Chi phí biến đổi F C : Chi phí cố định AC : Tổng chi phí bình quân AV C : Chi phí biến đổi bình quân T R: Tổng doanh thu K : Số đơn vị Vốn L: Số đơn vị Lao động C : Lượng tiêu dùng S : Lượng tiết kiệm Y : Thu nhập B.Hàm số Định nghĩa 1.1.2 Một hàm số f xác định X ⊂ R quy tắc cho tương ứng số thực x ∈ X với số thực y Kí hiệu: y = f (x) • x gọi biến độc lập • X gọi miền xác định (MXĐ) • y gọi biến phụ thuộc • f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} miền giá trị (MGT) hàm số • Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f (x), x ∈ X} C Các cách cho hàm số Hàm số cho bảng Hàm số cho biểu thức giải tích Ví dụ 1.1.1 − x2 y= y=    x3 − 1, x >   + x, x≤3 Hàm số cho đồ thị hàm số Bài toán: Tìm hàm số từ liệu cho trước Ví dụ 1.1.2 Một công ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000000 VNĐ tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ lên 100000 VNĐ tháng có thêm hộ bị bỏ trống Gọi x (VNĐ/ tháng) số tiền tăng giá cho thuê hộ Tìm số tiền công ty thu theo x D Hàm ẩn Định nghĩa 1.1.3 Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ x y : F (x, y) = y gọi hàm ẩn x Ví dụ 1.1.3 x2 + y − = hay x3 − y + = E Hàm ngược Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số y = f (x) với miền xác định X, miền giá trị Y Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f (x) = y0 có nghiệm thuộc X ta xác định hàm số cho tương ứng y0 ∈ Y x0 ∈ X cho f (x0 ) = y0 Hàm số gọi hàm ngược hàm số y = f (x), kí hiệu là: f −1 Trong toán học, người ta thường kí hiệu x đối số, y hàm số nên viết hàm ngược hàm số y = f (x) thay viết x = f −1 (y) ta quy ước viết y = f −1 (x) Cách tìm hàm ngược B1: Tìm MXĐ MGT hàm số y = f (x) B2: Giải phương trình y = f (x) để tìm nghiệm x theo y B3: Nếu tìm x theo y f (x) có hàm ngược f −1 Với quy ước x biến độc lập, y biến phụ thuộc ta biểu diễn hàm ngược dạng y = f −1 (x) Ví dụ 1.1.4 Tìm hàm ngược hàm sau y = (x − 1)2 , ∀x ≥ Hàm ngược hàm lượng giác hàm mũ Hàm số y = sin x xác định X = − π2 , π2 có MGT [−1, 1] có hàm ngược y = arcsin x xác định [−1, 1] có MGT − π2 , π2 π π y = arcsin x ⇔ sin y = x∀y ∈ − , 2 Hàm số y = cos x xác định X = [0; π] có MGT [−1, 1] có hàm ngược y = arccos x xác định [−1, 1] có MGT [0; π] y = arccos x ⇔ cos y = x∀y ∈ [0; π] Hàm số y = tan x xác định X = − π2 , π2 có MGT R có hàm ngược y = arctan x xác định R có MGT − π2 , π2 π π y = arctan x ⇔ tan y = x∀y ∈ − , 2 Hàm số y = cot x xác định X = (0; π) có MGT R có hàm ngược y = arccot x xác định R có MGT (0; π) y = arccotx ⇔ cot y = x∀y ∈ (0; π) Hàm số y = ax xác định R có MGT (0; +∞) có hàm ngược y = loga x xác định (0; +∞) có MGT R y = loga x ⇔ x = ay ∀y ∈ R F Một số dáng điệu hàm số Hàm số đơn điệu • Hàm số y = f (x) gọi đơn điệu tăng (đồng biến) miền X x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X • Hàm số y = f (x) gọi đơn điệu giảm (nghịch biến) miền X x1 > x2 f (x1 ) < f (x2 ); ∀x1 , x2 ∈ X Ví dụ 1.1.5 : • Hàm số y = x3 − 3x + đồng biến (−∞; −1) (1; +∞) • Hàm số y = x3 − 3x + nghịch biến (−1; 1) Hàm số bị chặn • Hàm số f (x) xác định X gọi bị chặn X ∃M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ X • Hàm số f (x) xác định X gọi bị chặn X ∃m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ X • Hàm số f (x) bị chặn bị chặn gọi bị chặn f (x) bị chặn X ⇔ ∃a : |f (x)| ≤ a, ∀x ∈ X Ví dụ 1.1.6 : • Hàm số y = sin x bị chặn R | sin x| ≤ 1∀x ∈ R • Hàm số y = arcsin x bị chặn [−1; 1] | arcsin x| ≤ π ∀x ∈ [−1; 1] Hàm số chẵn, hàm số lẻ • Hàm số f (x) xác định X gọi hàm số chẵn ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X f (−x) = f (x) • Hàm số f (x) xác định X gọi hàm số lẻ ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X f (−x) = −f (x) Ví dụ 1.1.7 : • Hàm số y = 2x3 − x hàm lẻ; y = 3x4 hàm chẵn • Hàm số y = 2x3 − x2 hàm lẻ, không hàm chẵn Hàm số tuần hoàn Hàm số f (x) xác định X gọi hàm tuần hoàn với chu kì T ∀x ∈ X , ta có x + T ∈ X f (x + T ) = f (x) Khi nói chu kì hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ Ví dụ 1.1.8 : • Hàm số y = sin x hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π • Hàm số y = sin 3x hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π G Các hàm số sơ cấp phép toán sơ cấp Các hàm số sơ cấp f (x) = C, C số Hàm lũy thừa f (x) = xα , α số • α ∈ N hàm số có MXĐ: D = R, MGT: R • α số nguyên âm hàm số có MXĐ D = R\{0}, MGT: R m • α số hữu tỉ, α = hàm số có MXĐ: (0; +∞), MGT: (0; +∞) n • α số vô tỷ hàm số có MXĐ D = (0; +∞) MGT: (0; +∞) √ m Chú ý: x n = n xm x > Lời giải: Qũy vốn thời điểm t K(t) = √ t dt = 25 t8 + C √ 40 t3 dt = 40 √ Vì K(0) = 90 nên 25 08 + C = 90 ⇒ C = 90 √ Vậy K(t) = 25 t8 + 90 Xác định hàm tổng biết hàm giá trị cận biên • Nếu biết hàm M C(Q) T C = M C(Q)dQ Dựa vào chi phí cố định F C = T C(0) để tìm C • Nếu biết hàm M R(Q) T R = M R(Q)dQ Dựa vào điều kiện T R(0) = để tìm C • Nếu biết hàm M P C(Y ) hàm tiêu dùng C(Y ) = M P C(Y )dY Dựa vào điều kiện cho thêm để xác định C • Nếu biết hàm M P S(Y ) hàm tiết kiệm S(Y ) = M P S(Y )dY Dựa vào điều kiện cho thêm để xác định C Ví dụ 4.4.2 Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên M P C = 2e0.2Y −2 mức thu nhập Y = 10 lượng tiêu dùng nửa thu nhập Tìm hàm tiêu dùng Lời giải: Ta có C(Y ) = 2e0.2Y −2 dY = 10 e0.2Y −2 d(0.2Y − 2) = 10e0.2Y −2 + C Vì Y = 10 tiêu dùng nửa thu nhập nên C(10) = ⇒ 10e0,2.10−2 + C = ⇒ C = −5 Vậy C(Y ) = 10e0.2Y −2 − Thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất Tại mức cân thị trường (p0 , Q0 ), Thặng dư người tiêu dùng là: Q0 D−1 (Q)d(Q) − p0 Q0 CS = Thặng dư nhà sản xuất: Q0 S −1 (Q)d(Q) P S = p0 Q0 − 72 Ví dụ 4.4.3 Cho hàm cầu cung mặt hàng sau: Qd = −0, 1p + 50; Qs = 0, 2p − 10 a Xác định giá lượng cân b Tính thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất 73 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 5.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Các khái niệm chung Định nghĩa 5.1.1 Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập, hàm phải tìm đạo hàm vi phân Định nghĩa 5.1.2 Phương trình vi phân thường phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm biến số Ví dụ 5.1.1 y = y + x2 y − 2y = 2x3 sin x x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = Định nghĩa 5.1.3 Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có phương trình Ví dụ 5.1.2 : • y − 2y = 2x3 sin x PTVP cấp • x(y − 3)dx + y(x − 3)dy = PTVP cấp Định nghĩa 5.1.4 Nghiệm PTVP thường hàm số thỏa mãn phương trình 74 5.1.2 Phương trình vi phân thường cấp Các dạng biểu diễn Phương trình vi phân thường cấp có dạng tổng quát sau F (x, y, y ) = (1.1) Các dạng thường gặp dy = f (x, y) dx M (x, y)dx + N (x, y)dy = Nghiệm phương trình vi phân thường cấp • Hàm số y = Φ(x, C), C số tùy ý thỏa mãn phương trình (1.1) gọi nghiệm tổng quát • Nghiệm riêng nghiệm thu cho nghiệm tổng quát giá trị C cụ thể • Nghiệm tổng quát tìm dạng hàm ẩn Φ(x, y, C) = gọi tích phân tổng quát PTVP • Tích phân riêng PTVP thu cho tích phân tổng quát giá trị C cụ thể Bài toán Cauchy Tìm nghiệm phương trình vi phân F (x, y, y ) = thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0 ) = y0 5.2 5.2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng dy + p(x)y = q(x) dx (2.1) Phương trình tuyến tính tương ứng dy + p(x)y = dx 75 (2.2) Nghiệm tổng quát PT (2.2) y = Ce− p(x)dx Ví dụ 5.2.1 Giải phương trình dy 2y − =0 dx x Lời giải: Nghiệm tổng quát pt y = Ce 2dx x = Ce2 ln |x| = Cx2 Định lí 5.2.1 Nếu y0 (x) nghiệm pt (2.1), y(x) nghiệm phương trình liên kết (2.2) y0 (x) + y(x) nghiệm pt (2.1) Ví dụ 5.2.2 Giải phương trình: dy + y = 2ex dx Phương pháp biến thiên số B1: Giải PTVP (2.2) tìm nghiệm tổng quát có dạng y = Ce− C số p(x)dx B2: Tìm nghiệm PTVP (2.1) có dạng (*) với C = C(x) Thay y = C(x)e− p(x)dx vào (2.1), đồng hệ số ta tìm C(x) B3: Thay C(x) tìm vào (*) ta nghiệm tổng quát PTVP (2.1) Ví dụ 5.2.3 Giải phương trình sau dy 2y − = x4 dx x 5.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI Phương trình Bernoulli Dạng dy + p(x)y = y α q(x), (α = 0; 1) dx Cách giải: 76 (3.1) (∗), • Xét y = có nghiệm (3.1) không • y = 0, chia hai vế pt cho y α được: y −α • Đặt z = y 1−α ta có: dz dx dy + p(x)y 1−α = q(x) dx (3.2) dy = (1 − α)y −α dx • Thay vào pt (3.2) ta được: dz dx + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) Đây phương trình tuyến tính với hàm phải tìm z(x) Ví dụ 5.2.4 Giải phương trình sau y − y = xy 5.2.3 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương trình dạng M1 (x)M2 (y)dx + N1 (x)N2 (y)dy = dy dx = f (x)g(y) Cách giải: (4.1) • Chia hai vế pt (4.1) cho M2 (y)N1 (x) để đưa dạng: p(x)dx + q(y)dy = (4.2) • Lấy tích phân hai vế pt (4.2) ta tích phân tổng quát: p(x)dx + q(y)dy = C Lưu ý: trình thực hiện, ta phải tìm nghiệm làm cho M2 (y)N1 (x) = Ví dụ 5.2.5 Giải phương trình: 2x(y − 1)dx + (y − 1)2 (x2 + 1)dy = với điều kiện y(0) = Phương trình đưa dạng phân li biến số Phương trình dy Phương trình dx = f (x, y) gọi phương trình f (tx, ty) = f (x, y)∀t 77 Cách giải: B1:Chuyển phương trình dạng dy dx y = g( )(4.3) x dy dz B2: Đổi biến y = xz ⇒ dx = z + x dx B3: Thay vào phương trình 4.3 đưa phương trình 4.3 dạng phân li biến số với z hàm x B4: Giải phương trình B3 ta tìm z(x) ⇒ nghiệm y(x) cần tìm Ví dụ 5.2.6 Giải phương trình (x − 2y)dy = (x − y)dx dy Phương trình dạng dx = f (ax + by)(4.4) Cách giải: dy dz B1: Đổi biến z = ax + by ⇒ dx = a + b dx B2: Thay vào phương trình (4.4) đưa phương trình (4.4) dạng phân li biến số với z hàm x Ví dụ 5.2.7 Giải phương trình: dy = 2x + y dx Phương trình dạng dy dx =f a1 x+b1 y+c1 a2 x+b2 y+c2 • Nếu a1 b2 = a2 b1 biến đổi dạng dy dx (4.5) = g(a2 x + b2 y) • Nếu a1 b2 = a2 b1 đặt x = x0 + u, y = y0 + v a1 x + b y + c = với (x0 , y0 ) nghiệm hệ a2 x + b y + c = Khi phương trình (4.5) trở thành dv =f du a1 u + b v a2 u + b v Đây phương trình với v = v(u) hàm phải tìm nên ta đặt v = uz để chuyển dạng phân li biến số Ví dụ 5.2.8 Giải phương trình: dy 2x − y = dx 2y − x + 78 5.3 ỨNG DỤNG PT VI PHÂN TRONG KINH TẾ Tìm hàm cầu biết hệ số co giãn Hệ số co giãn cầu theo giá là: = dQ p dQ dp ⇒ = (1) dp Q Q p với cho trước Chuyển phương trình (1) dạng phân ly biến số ta tìm hàm cầu Ví dụ 8.1 trang 101 Sách BT Toán cao cấp Mô hình tăng trưởng Harrod - Domar dI = ρ.I(2) s dt Với s xu hướng tiết kiệm cận biên không đổi (0 < s < 1) ρ số dương I hàm đầu tư phụ thuộc vào thời gian t Chuyển phương trình (2) dạng phân ly biến số ta tìm hàm đầu tư I(t) Bài trang 102 Sách BT Toán cao cấp Mô hình tăng trưởng Solow dk + λk = sak α (3) dt K lượng vốn công nhân L s tỉ lệ tiết kiệm, λ tỉ lệ khấu hao, a, α số , < α < Với k = Phương trình (3) phương trình Bernoulli sau giải ta tìm hàm k(t) Bài 10 trang 102 Sách BT Toán cao cấp Mô hình điều chỉnh giá thị trường Cho hàm cung Qs = −c + dp, hàm cầu Qd = a − bp Giả sử tốc độ biến thiên giá loại hàng hóa theo thời gian tỉ lệ thuận với lượng chênh lệch cầu cung theo tỉ lệ δ > dp dp = δ(Qd − Qs ) ⇔ + δ(b + d)p = δ(a + c)(4) dt dt Phương trình (4) phương trình tuyến tính cấp sau giải ta tìm hàm p(t) Bài 12 trang 103 Sách BT Toán cao cấp 79 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 6.1 KHÁI NIỆM 6.1.1 SƠ LƯỢC VỀ HỆ THỐNG SỐ PHỨC Định nghĩa số phức • Đơn vị ảo, kí hiệu i, số thỏa mãn i2 = −1 • Số phức có dạng z = a + bi, a, b ∈ R a gọi phần thực, kí hiệu Rez ; b gọi phần ảo, kí hiệu Imz • Hai số phức phần thực nhau, phần ảo a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d a + bi = ⇔ a = b = • Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi Các dạng biểu diễn số phức Dạng đại số z = a + bi Dạng hình học: Biểu diễn số phức z = a + bi điểm có tọa độ (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy Dạng lượng giác số phức z = a + bi, z = z = r(cos ϕ + i sin ϕ) r= √ a2 + b , cos ϕ = sin ϕ = √ a a2 +b2 √ b a2 +b2 Phương trình bậc hai x2 + px + q = Nghiệm pt bậc hai Nếu ∆ = p2 − 4q > pt có hai nghiệm thực phân biệt x = − p2 ± √ ∆ 2 Nếu ∆ = p2 − 4q = pt có nghiệm kép x = − p2 Nếu ∆ = p2 − 4q < pt có hai nghiệm phức liên hợp x = − p2 ± i 80 √ −∆ 6.1.2 KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong thực tế, số biến số kinh tế phụ thuộc theo thời gian y = y(t) Việc đo phân tích biến số kinh tế tiến hành rời rạc theo thời gian: theo giờ, ngày, tháng, năm , tức theo thời kỳ đặn Khi biến số t nhận giá trị nguyên: t = 0, 1, 2, 3, Định nghĩa 6.1.1 Hàm số với đối số rời rạc Hàm số yt = y(t) hàm số với đối số rời rạc hay hàm số với đối số nguyên với t = 0, 1, 2, 3, Kí hiệu: yt Định nghĩa 6.1.2 Sai phân Sai phân (sai phân cấp 1) hàm số yt độ chênh lệch giá trị hàm số hai thời điểm Sai phân cấp hàm số yt thời điểm t kí hiệu ∆yt ∆yt = yt+1 − yt Ví dụ 6.1.1 Hàm số yt = t3 có sai phân cấp thời điểm t ∆yt = yt+1 − yt = (t + 1)3 − t3 = 3t2 + 3t + Định nghĩa 6.1.3 Sai phân cấp n Sai phân cấp n hàm số yt sai phân sai phân cấp n − hàm số Sai phân cấp n hàm số yt thời điểm t kí hiệu ∆n yt ∆n yt = ∆(∆n−1 yt ) = ∆n−1 yt+1 − ∆n−1 yt Ta có: ∆2 yt = ∆yt+1 − ∆yt = yt+2 − 2yt+1 + yt Tương tự, ta biểu diễn ∆n yt qua yt , yt+1 , yt+2 , , yt+n Định nghĩa 6.1.4 Phương trình sai phân 81 Phương trình sai phân phương trình với hàm phải tìm hàm đối số nguyên yt , hàm phải tìm xuất dạng sai phân cấp Định nghĩa 6.1.5 Cấp phương trình sai phân Cấp phương trình sai phân cấp cao sai phân có phương trình Định nghĩa 6.1.6 Nghiệm phương trình sai phân Nghiệm tổng quát phương trình sai phân hàm đối số nguyên yt = ϕ(t, C1 , C2 , , Cn ) thỏa mãn phương trình (C1 , C2 , , Cn số bất kì) Nghiệm riêng phương trình sai phân nghiệm thu cho nghiệm tổng quát giá trị cụ thể C1 , C2 , , Cn 6.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 6.2.1 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP Dạng phương trình: yt+2 + pyt+1 + qyt = (2.2) Cách giải: Phương trình đặc trưng tương ứng là: k + pk + q = (2.3) TH1: Nếu (2.3) có nghiệm thực phân biệt k1 , k2 nghiệm tổng quát (2.2) là: yt = C1 k1t + C2 k2t TH2: Nếu (2.3) có nghiệm thực kép k = nghiệm tổng quát (2.2) là: yt = C1 k t + C2 tk t 82 TH3: Nếu (2.3) có nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ, k không thuộc R nghiệm tổng quát (2.2) là: yt = rt (C1 cos ϕt + C2 sin ϕt) r= α , sin ϕ α2 +β α2 + β , cos ϕ = √ β α2 +β =√ Chú ý: Nếu đề cho điều kiện ban đầu: y0 = a, y1 = b sau tìm nghiệm tổng quát yt , ta giải hệ y0 = a, y1 = b để tìm giá trị cụ thể C1 , C2 Ví dụ 6.2.1 Giải phương trình sau yt+2 − 4yt = 0, y0 = 1, y1 = yt+2 + yt+1 + yt = yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 6.2.2 PTSP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP yt+3 + a1 yt+2 + a2 yt+1 + a3 yt = (2.4) Cách giải: PT đặc trưng tương ứng: k + a1 k + a2 k + a3 = (2.5) TH1: Nếu (2.5) có nghiệm thực phân biệt k1 , k2 , k3 nghiệm tổng quát (2.4) là: yt = C1 k1t + C2 k2t + C3 k3t TH2: Nếu (2.5) có nghiệm thực k1 nghiệm kép k2 nghiệm tổng quát (2.4) yt = C1 k1t + C2 k2t + C3 tk2t TH3: Nếu (2.5) có nghiệm thực k bội nghiệm tổng quát (2.4) yt = C1 k t + C2 t.k t + C3 t2 k t TH4: Nếu (2.5) có nghiệm thực k1 nghiệm phức liên hợp k = α±iβ, k không thuộc R t t nghiệm tổng quát  (2.4) là: yt = C1 k1 + r (C2 cos ϕt + C3 sin ϕt)  cos ϕ = √ α2 r= α2 + β , α +β β α2 +β  sin ϕ = √ Ví dụ 6.2.2 Giải phương trình sau yt+3 − yt+2 + 4yt+1 − 4yt = yt+3 + yt = 83 6.3 6.3.1 PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP n LIÊN HỆ VỚI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT Dạng PT: yt+n + a1 yt+n−1 + + an yt = f (t) (2.6) PT tương ứng: yt+n + a1 yt+n−1 + + an yt = (2.7) Định lí 6.3.1 Nếu y t nghiệm tổng quát (2.7), yt1 nghiệm riêng (2.6) nghiệm tổng quát (2.6) yt = y t + yt1 6.3.2 CÁCH GIẢI PTSP TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT CẤP n Cách giải phương trình (2.6) với f (t) = Pm (t)β t , β ∈ R Giải pt (2.7) để tìm y t Tìm nghiệm riêng yt1 (2.6) • Tìm dạng nghiệm riêng yt1 + Nếu PT đặc trưng có tất nghiệm k = β yt1 = β t Qm (t) + Nếu PT đặc trưng có nghiệm k = β (bội s) yt1 = ts β t Qm (t) Qm (t) đa thức bậc m dạng đầy đủ • Thay dạng yt1 vào pt (2.6), đồng hệ số ta tìm yt1 Nghiệm tổng quát (2.6) yt = y t + yt1 Ví dụ 6.3.1 Giải phương trình sau yt+2 − 3yt+1 + 2yt = 2t2 yt+3 + yt = 2.(−1)t Dạng PT: yt+n + a1 yt+n−1 + + an yt = f (t) + g(t) Cách giải: Giải PT tương ứng để tìm nghiệm y t 84 Tìm nghiệm riêng yt1 phương trình yt+n + a1 yt+n−1 + + an yt = f (t) Tìm nghiệm riêng yt2 phương trình yt+n + a1 yt+n−1 + + an yt = g(t) Nghiệm PT ban đầu yt = y t + yt1 + yt2 Ví dụ 6.3.2 Giải phương trình sau yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 2t + t2 (1) Giải: Phương trình tương ứng: yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 0(2) Phương trình đặc trưng: k − 4k + = ⇔ k = 2(Nghiệm kép) Nghiệm tổng quát phương trình (2) là: y t = C1 2t + C2 t2t Tìm nghiệm riêng phương trình: yt+2 − 4yt+1 + 4yt = 2t Vì β = Nghiệm kép phương trình đặc trưng nên dạng nghiệm riêng yt1 = A.t2 2t Thay vào pt (3), ta có A.(t + 2)2 2t+2 − 4A.(t + 1)2 2t+1 + 4A.t2 2t = 2t ⇔ 4A(t2 + 4t + 4)2t − 8A(t2 + 2t + 1)2t + 4A.t2 2t = 2t ⇔ 4A(t2 + 4t + 4) − 8A(t2 + 2t + 1) + 4A.t2 = 1 ⇔ 8A = ⇔ A = Vậy nghiệm riêng phương trình (3) yt1 = t2 2t 85 Tìm nghiệm riêng phương trình: yt+2 − 4yt+1 + 4yt = t2 (4) Vì β = không nghiệm phương trình đặc trưng nên dạng nghiệm riêng yt2 = A.t2 + Bt + C Thay vào pt (4), ta có A.(t + 2)2 + B(t + 2) + C − 4[A.(t + 1)2 + B(t + 1) + C] + 4[A.t2 + Bt + C] = t2 ⇔ At2 + (B − 4A)t + C − 2B = t2 Đồng hệ số ta có:    A=1    A=1   C − 2B =   C=8 B − 4A = ⇔ B=4 Vậy nghiệm riêng phương trình (4) yt2 = t2 + 4t + Vậy nghiệm tổng quát phương trình (1) là: yt = C1 2t + C2 t2t + t2 2t + t2 + 4t + 8 86 [...]... dy = yt dt = yx dx 2.3 2.3.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 2.3.1 Đạo hàm cấp n của hàm số y = f (x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của hàm số đó f (n) (x) = [f (n−1) (x)] Ví dụ 2.3.1 y = e2x y = 2e2x y = 22 e2x y (n) (x) = 2n e2x 31 2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO Định nghĩa 2.3.2 Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của hàm số đó d(n) (y) = d(d(n−1) (y))... }, xn = − • Dãy số {xn }, xn = 100(1 + 0.14)n có các số hạng 114; 129, 96; Bài toán lãi đơn Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì đều lấy lãi chỉ để lại vốn Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu? Cấp số cộng vn = v0 (1 + nr) vn là cấp số cộng với công sai d = v0 r Bài toán lãi gộp (lãi kép) Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong... Các phép toán sơ cấp 1 Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số 2 Phép hợp hàm Giả sử cho các hàm số f : X → R, g : Y → R sao cho ∀x ∈ X, y = f (x) ∈ Y Hàm số h : X → R, x → h(x) = g[f (x)] gọi là hàm hợp của hai hàm f và g Ví dụ 1.1.9 Cho hàm số f (x) = 2x3 và g(x) = sin x Tìm hàm g[f (x)] và f [g(x)] Giải: g[f (x)] = sin(2x3 ) f [g(x)] = 2(sin x)3 Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là hàm... kì lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kì sau Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu? Cấp số nhân vn = v0 (1 + r)n vn là cấp số nhân với công bội q = 1 + r Tổng cấp số nhân: Sn = v1 + + vn = v1 12 1 − qn 1−q Tổng của cấp số nhân vô hạn giảm dần: +∞ vn = v1 + + vn + = n=1 v1 , (q < 1) 1−q Cấp số nhân và ứng dụng trong phân tích tài chính Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ... tại 1 tỷ đồng và sẽ mang về 2 tỷ đồng trong 5 năm Với lãi suất gửi ngân hàng là lãi gộp 10 % một năm Ta có nên thực hiện dự án hay không? Trả lời: N P V = 2.(1 + 0.1)−5 − 1 = 0.2418 > 0 Vậy ta nên thực hiện dự án Ví dụ 1.1.15 Cho lãi suất ngân hàng là 9 % một năm Một công ty đề nghị bạn góp vốn 600 triệu vào đầu năm và cam kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm) 100 triệu liên tục trong 7 năm Bạn có... f [g(x)] = 2(sin x)3 Các hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán số học và phép lấy hàm hợp 3 −1 Ví dụ 1.1.10 Các hàm sơ cấp: lg(x2 + sin x), xx+1 , cos3 5x Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế 1 Hàm cung Qs = S(p) 2 Hàm cầu Qd = D(p) Thị trường hàng hóa cân bằng khi và chỉ khi Qs = Qd 3 Hàm dư cầu g(p) = D(p) − S(p); Hàm dư cung f (p)... tục trái tại b Các phép toán sơ cấp đối với các hàm liên tục Định lí 1.3.2 Nếu hàm số f (x), g(x) liên tục tại x0 thì • Các hàm f (x) + g(x), f (x).g(x), f (x) − g(x) liên tục tại x0 • Hàm số f (x) g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0 ) = 0 Định lí 1.3.3 Nếu hàm số ϕ(x) liên tục tại x0 , f (u) liên tục tại u0 = ϕ(x0 ) thì hàm hợp f [ϕ(x)] liên tục tại x0 Định lí 1.3.4 Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền... x → 0 • x−3 là VCB khi x → +∞ • x2 − 1 là VCB khi x → 1 So sánh hai vô cùng bé Giả sử α(x), β(x) là hai VCB khi x → a 1 Nếu lim α(x) = 0 thì α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) β(x) x→a Kí hiệu là: α(x) = o(β(x)) = L(L = 0) thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp 2 Nếu lim α(x) β(x) x→a 3 Nếu L = 1 thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương Kí hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → a Quy tắc thay thế vô cùng bé Giả sử khi... r 12 % r 365 % 2 Lãi suất theo quý là 4 Lãi suất theo ngày là % 13 −1 Ví dụ 1.1.13 Cho biết lãi gộp 0,9 % một tháng Muốn nhận được 1,2 tỷ đồng sau 3 năm với kỳ tính theo tháng thì hiện tại phải gửi ngân hàng bao nhiêu tiền? Giải: n = 3.12 = 36 Số tiền bây giờ phải gửi là: A = 1, 2.(1 + 0.009)−36 ≈ 0, 8692 tỷ đồng ≈ 869, 2 triệu đồng Giá trị hiện tại ròng dự án (NPV) bằng hiệu giá trị hiện tại của khoản... nhiên hay logarit Nêpe ln x = loge x Ứng dụng kinh tế của số e Lãi gộp liên tục là lãi có tính lý thuyết được sử dụng trong trường hợp các dòng lợi tức là các dòng liên tục Xét tình huống: Cho lãi suất ngân hàng mỗi kì là r , tiền gốc là A Giả sử 1 kì được chia thành m kì nhỏ và lãi suất của từng kì nhỏ là mr Trong trường hợp lý tưởng số lần tính lãi m → +∞ Khi đó, lãi rời rạc trở thành lãi liên tục và ... Giáo trình toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn • Bài tập toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn • Toán cao cấp cho nhà kinh tế , Lê Đình Thúy, NXB Đại học kinh... THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP Học phần Toán cao cấp điều kiện tiên môn: Xác suất thống kê, Mô hình toán Kinh tế lượng Số tín chỉ: Phân bố thời gian: Lý thuyết lớp: 27 tiết Thực hành: 18 tiết Tự học, ... Đại học kinh tế quốc dân • Toán cao cấp ứng dụng phân tích kinh tế, Phùng Duy Quang, NXB Đại học Sư phạm TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN Bài kiểm tra kì: chiếm 30 % Bài kiểm tra kì có hình thức