ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Kiến thức hình học giải tích phận quan trọng chương trình môn Toán bậc THPT Bài toán cực trị hình học giải tích toán khó, gây nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh tìm hướng giải Đạo hàm công cụ tốt cho việc giải toán tìm cực trị hàm số Các hàm số xuất toán cực trị hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách, hàm số liên quan đến công thức tính góc hầu hết hàm số mà học sinh dễ dàng khảo sát tìm cực trị Khó khăn học sinh việc thiết lập hàm số Thông qua việc giải toán cực trị, học sinh có thêm định hướng phương pháp giải toán khác hình học giải tích Oxyz: Bài toán viết phương trình mặt phẳng, toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước Nhằm giúp em học sinh có định hướng tốt tìm lời giải, giải toán cực trị cách trọn vẹn, rõ ràng mạch lạc, chọn nghiên cứu chuyên đề: “ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ” Mục đích nghiên cứu Chuyên đề cung cấp cho học sinh phương pháp để giải toán cực trị hình học Oxyz, rèn luyện cho học sinh kĩ chuyển đổi toàn toán cực trị hình học sang toán cực trị giải tích Từ đó, với công cụ đạo hàm học sinh giải trọn vẹn toán cực trị Đồng thời, chuyên đề nhằm giúp học sinh giải tốt toán khác hình học giải tích Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học + Tập hợp vấn đề nảy sinh, băn khoăn, lúng túng học sinh trình giải toán cực trị hình học giải tích Oxyz Từ đó, đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm Phạm vi nghiên cứu Trong toán cực trị hình học giải tích Oxyz: Cực trị liên quan đến khoảng cách Cực trị liên quan đến góc không gian Song đây, tập trung nghiên cứu toán cực trị giải phương pháp khảo sát hàm số Trong chuyên đề, tổng hợp đúc rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề cho học sinh lớp 12 ôn thi ĐH – CĐ Điểm chuyên đề + Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ dùng đạo hàm để giải toán cực trị hình học Oxyz + Đặc biệt, chuyên đề xây dựng phương pháp giải toán hiệu lượng lớn toán cực trị giải hầu hết dạng toán đặt + Ngoài ra, chuyên đề cung cấp cho học sinh phương pháp tiếp cận khác toán cực trị rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải toán khác hình học giải tích (Thông qua nhận xét sau ví dụ) B NỘI DUNG I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH 1.1 Kiến thức sở Các công thức khoảng cách: • Khoảng cách hai điểm: Cho hai điểm A ( xA ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; zB ) Khi đó: uuu r 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M ( xM ; yM ; zM ) mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó: AxM + ByM + CzM + D d ( M ,( P) ) = A2 + B + C • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: uuuu r r  MN , u    d ( M ,∆) = r u r Trong đó, N điểm thuộc đường thẳng ∆ u VTCP đường thẳng ∆ • Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ur uu r uuu r u1 , u2  AB   d ( ∆1 , ∆ ) = ur uu r u1 , u2    Trong đó, A , B điểm thuộc đường thẳng ∆1 ∆ ur uu r u1 , u2 VTCP hai đường thẳng ∆1 ∆ 1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) x = − t  đường thẳng ∆ :  y = −2 + t Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức  z = 2t  P = MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải Điểm M thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm M có dạng: M ( − t ; −2 + t ;2t ) Ta có: MA2 = t + ( − t ) + ( − 2t ) = 6t − 20t + 40 2 MB = ( t − ) + ( − t ) + ( − 2t ) = 6t − 28t + 36 Do đó, 2 P = MA2 + MB = 12t − 48t + 76 Xét hàm số f ( t ) = 12t − 48t + 76 , với t ∈ R Ta có: f ' ( t ) = 24t − 48 Khi đó, f ' ( t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên: t −∞ +∞ − + f ′( t ) f ( t) +∞ +∞ Từ bảng biến thiên suy GTNN f ( t ) = f ( ) = 28 t = Vậy P có GTNN t = , tức M ( −1;0;4 ) Nhận xét Việc tìm GTNN hàm số f ( t ) = 12t − 48t + 76 sử dụng kiến thức hàm b số bậc hai: “ Hàm số y = ax + bx + c đạt GTNN x = − (khi a > ) đạt 2a b GTLN x = − (khi a < )’’ 2a Bài toán mở rộng cho biểu thức P có dạng: P = aMA2 + bMB , uuur uuur P = aMA + bMB P = k , với k số thỏa mãn điều kiện k ≥ P0 GTNN P Bài toán 1.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) đường thẳng x = − t  ∆ :  y = −2 + t Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức P = MA2 − 2MB  z = 2t  đạt giá trị lớn Gợi ý P = −6t + 36t − 32 Đạt GTLN t = Khi đó, M ( −2;1;6 ) Bài toán 1.2 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1;0;2 ) , B ( −2;1;0 ) , C ( 0;0;3) x y −1 z = Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho: đường thẳng ∆ : = −2 MA2 + 2MB − 3MC = 96 Dựa theo biểu thức MA2 MB mở rộng toán với hình thức sau: Bài toán 1.3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) đường thẳng x = − t  MA ∆ :  y = −2 + t Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức P = đạt giá trị MB  z = 2t  lớn 309 − 10 MA2 6t − 20t + 40 2 P > = P = Gợi ý Nhận xét Xét P = Kết max MB 6t − 28t + 36 309 − 14 Trong toán 1.3, phương pháp sử dụng hàm số thể rõ ràng tính hiệu x y z Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = hai điểm A ( 0;0;3) , 1 B ( 0;3;3) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức P = MA + MB đạt giá trị nhỏ Lời giải Điểm M thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm M có dạng M ( t ; t ; t ) ( − t) Ta có: P = MA + MB = = ( + ( − t) + ( 3− t) + 2 ) ( − t) + ( 3− t) + ( 3− t) t − 2t + + t − 4t + Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + + t − 4t + , với t ∈ R t −1 t−2 ′ f t = + ( ) Ta có: 2 ( t − 1) + ( t − ) + Khi đó, f ' ( t ) = ⇔ Xét hàm số g ( u ) = t −1 ( t − 1) + u u2 + = − ( t − 2) (*)  − ( t − )  + 2 , với u ∈ R   u ′ ( u ) =  u + − u g = ÷ Ta có: u + u +2  (u +2 ) > , với u ∈ R Do đó, (*) ⇔ g ( t − 1) = g  − ( t − )  ⇔ t − = − ( t − ) ⇔ t = Bảng biến thiên: −∞ t f ′( t ) f ( t) − +∞ + +∞ +∞ Từ bảng biến thiên, suy GTNN P 3 Đạt t = Khi 3 3 M  ; ; ÷ 2 2 Nhận xét Việc tìm GTNN P sử dụng bất đẳng thức sau: a + b2 + c + d ≥ Ta có: f ( t ) = ( t − 1) + ( ) + ( a + c ) + ( b + d ) ⇔ ( ad − bc ) ≥ ( − t) + ( ) ( ≥ 12 + 2 ) Bài toán phát biểu hình thức khác sau: Bài toán 2.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z ∆: = = Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác ABC có −1 chu vi nhỏ Gợi ý Chu vi tam giác ABC nhỏ P = CA + CB đạt giá trị nhỏ P = 9t + 20 + 9t − 36t + 56 Bài toán 2.2 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z ∆: = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB = 29 −1 Bài toán 2.2 có bề toán cực trị Nếu giải theo cách thông thường việc giải phương trình: 9t + 20 + 9t − 36t + 56 = 29 không dễ Ở đây, để ý giá trị 29 giá trị nhỏ biểu thức MA + MB ta có t = nhờ việc giải toán cực trị toán 2.2 x −1 y z − = = 2 chứa đường thẳng d cho khoảng Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : điểm A(2;5;3) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) lớn Lời giải Lấy điểm M ( 1;0;2 ) thuộc đường thẳng d Do mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d nên điểm M thuộc mặt phẳng ( α ) Phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M ( 1;0;2 ) có VTPT r n( A; B; C ), A2 + B + C > có dạng : A( x − 1) + By + C ( z − 2) = uu r uur Ta có : d ⊂ (α ) ⇒ ud nα = ⇔ B = −2 A − 2C Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) là: A+C ( A + C )2 d ( A,(α )) = = A2 + AC + 5C A2 + AC + 5C Xét hai trường hợp: • TH1: C = Khi d ( A,(α )) = A2 = A2 A ( t + 1) • TH2: C ≠ Đặt t = Khi đó, d ( A,(α )) = C 5t + 8t + (t + 1) Xét hàm số f (t ) = , với 5t + 8t + f '(t ) = ⇔ t = ±1 Bảng biến thiên: −∞ t − f '( t ) f '( t ) t∈R −1 Ta có: + −2t + f '( t ) = 5t + 8t + ( − ) +∞ Từ bảng biến thiên, suy d ( A, ( α ) ) lớn t = Khi đó, A = C ⇒ B = −4 A So sánh TH1 TH2 ta thấy d ( A, ( α ) ) lớn rơi vào trường hợp Do đó, phương trình mặt phẳng cần tìm : x − y + z − = Nhận xét Phương pháp giải toán áp dụng cho toán viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước: x −1 y z − = = Bài toán 3.1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : điểm 2 A(2;5;3) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) Bài toán 3.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z = điểm A ( 1;2; −1) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua gốc tọa độ O , vuông góc với mặt phẳng ( P ) cách điểm A khoảng Trong toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có ba biến A, B, C biểu thức lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép A đổi biến t = thu hàm số biến t Điều thuận C lợi cho việc khảo sát hàm số Các toán chuyên đề sử dụng phương pháp Ví dụ (ĐH – B 2009) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Trong đường thẳng qua điểm A song song với mặt phẳng ( P ) , viết phương trình đường thẳng ∆ mà khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ nhỏ Lời giải r Giả sử VTCP đường thẳng ∆ u = ( A; B : C ) Điều kiện: A2 + B + C > Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( P ) nên A − B + 2C = ⇔ A = B − 2C uuu r r uuu r Ta có: AB = ( 4; −1;2 ) Khi đó,  AB, u  = ( −C − B;2 A − 4C ;4 B + A ) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ là: uuu r r 2  AB, u  C + B ) + ( A − 4C ) + ( A + B ) ( 56 B − 84 BC + 69C   d ( B, ∆ ) = = = r A2 + B + C 5B − 8BC + 5C u Xét hai trường hợp: • TH1: C = Khi đó, d ( B, ∆ ) = 56 B 56t − 84t + 69 Khi đó, d ( B, ∆ ) = C 5t − 8t + 56t − 84t + 69 Xét hàm số: f ( t ) = , với t ∈ R 5t − 8t +  t = −28t − 130t + 132 f ' t = Ta có: ( ) f ' ( t ) = ⇔  11 ( 5t − 8t + ) t = −  Bảng biến thiên: −∞ t 11 − − + 0 f '( t ) • TH2: C ≠ Đặt t = +∞ − 21 56 f '( t ) 100 Từ bảng biến thiên, suy d ( B, ∆ ) nhỏ 56 10 11 , đạt t = − Khi đó, B 11 =− C So sánh hai trường hợp, ta thu phương trình đường thẳng cần tìm là: x + y z −1 = = 26 11 −2 Nhận xét Trong đáp án Bộ GD – ĐT, giải phương pháp sử dụng tính chất hình học: “Độ dài đường xiên không nhỏ độ dài đoạn hình chiếu nó” Lời giải tương đối ngắn gọn Tuy nhiên, việc phát điều không dễ Hơn nữa, thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ nhỏ nhất” thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ lớn nhất” phương pháp tỏ rõ hiệu Bài toán 4.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Trong đường thẳng qua điểm A song song với mặt phẳng ( P ) , viết phương trình đường thẳng ∆ mà khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ lớn Phương pháp giải toán áp dụng vào toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước: Bài toán 4.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − 3z + = điểm M ( 0; −2;0 ) Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( P ) , qua điểm M 14 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; −1;2 ) hai đường thẳng x +1 y z − x−5 y z , ∆2 : ∆1 : = = = = −1 −2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , cắt ∆1 điểm B , đồng thời khoảng cách hai đường thẳng d ∆ lớn Lời giải Điểm B thuộc đường thẳng ∆1 nên tọa độ điểm B có dạng: B ( −1 + 2t ; t ;2 − t ) uuu r d AB = ( −1 + 2t ;1 + t ; −t ) VTCP đường thẳng r VTCP đường thẳng ∆ u = ( 2; −2;1) uuu r r  AB Ta có:  , u  = ( − t ;1 − 4t ; −6t ) uuur C 5;0;0 ) ⇒ AC = ( 5;1; −2 ) Khoảng cách hai đường thẳng d ∆ là: Lấy điểm ( uuu r r uuur  AB, u  AC 3t +2 t + 2) (   d ( d , ∆2 ) = = =3 uuu r r 2 2 53 t − 10 t +  AB, u  − t + − t + 36 t ( ) ( )   cho khoảng cách từ điểm N ( 1;2;3) đến d (t + 2) Xét hàm số f (t ) = , với t ∈ R 53t − 10t + Ta có: f ' ( t ) = −222t − 420t + 48 ( 53t − 10t + )  t = −2 f ' ( t ) = ⇔  t =  37 Bảng biến thiên: 10 t −∞ −2 − f '( t ) 53 + 37 +∞ − 26 f '( t ) Từ bảng biến thiên, suy d ( d , ∆ ) lớn t = 53 uuu r  29 41  Khi đó, AB =  − ; ; − ÷ 37  37 37 37   x = 29t  Do đó, phương trình đường thẳng d :  y = −1 − 41t  z = + 4t  Nhận xét Với toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ tối ưu 1.3 Một số toán tương tự x y +1 z + = = hai điểm A ( 2; −1;1) , B ( 1; −1;0 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ x −1 y − z −1 = = Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : điểm 1 M ( 2;1;4 ) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ cho đoạn MH có độ dài nhỏ x − y +1 z = = Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : mặt phẳng −1 ( P ) : x + y + z − = Viết phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) , đồng thời d cắt trục Ox đường thẳng ∆ A B cho AB ngắn x −1 y + z + = = Bài Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 4;3;1) , đường thẳng d : −2 −1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng d1 nằm mặt phẳng ( P ) , vuông góc với đường thẳng d cách M khoảng nhỏ Bài Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : 11 Bài Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;2;0 ) , B ( 1;2; −5 ) đường thẳng  x = + 2t uuur uuur  ∆ :  y = + 2t Tìm tọa độ điểm M đường thẳng ∆ cho tổng MA − 3MB nhỏ  z = −t  12 II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC 2.1 Kiến thức sở Các công thức góc không gian: • Góc hai đường thẳng: ur uu r u1.u2 cos ϕ = ur uu r u1 u2 ur uu r Trong đó, ϕ góc hai đường thẳng u1 , u2 VTCP hai đường thẳng • Góc hai mặt phẳng: ur uu r n1.n2 cos ϕ = ur uu r n1 n2 ur uu r ϕ Trong đó, góc hai mặt phẳng n1 , n2 VTPT hai mặt phẳng • Góc đường thẳng mặt phẳng: rr u.n sin ϕ = r r u n r r Trong đó, ϕ góc đường thẳng mặt phẳng, u VTCP đường thẳng, n VTPT mặt phẳng  π Chú ý Hàm số y = cos ϕ nghịch biến đoạn  0;   2  π Hàm số y = sin ϕ đồng biến đoạn  0;   2 2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = đường thẳng x +1 y +1 z − d: = = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d tạo với 1 mặt phẳng ( P ) góc nhỏ Lời giải Cách Phương pháp hàm số Lấy điểm M ( −1; −1;3) thuộc đường thẳng d Vì mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d nên M ∈( Q) ur Giả sử VTPT mặt phẳng ( Q ) n1 = ( A; B; C ) Điều kiện: A2 + B + C > r d u Ta có: VTCP đường thẳng = ( 2;1;1) 13 Lại do, mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d nên A + B + C = ⇔ C = −2 A − B uu r P ( ) VTPT mặt phẳng n2 = ( 1;2; −1) Góc hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) là: ur uu r n1.n2 A + 2B − C A + B) ( cos ϕ = ur uu = r = A2 + AB + B n1 n2 A2 + B + C Xét hai trường hợp: • TH1: B = Khi đó, cos ϕ = 30 A t + ( ) • TH2: B ≠ Đặt t = Ta có: cos ϕ = B 5t + 4t + (t + 1) Xét hàm số f (t ) = , với t ∈ R 5t + 4t + −6t − 6t  t = −1 f ' ( t ) = ⇔  Ta có: f ' ( t ) = 5t + 4t + t = ( Bảng biến thiên: ) t f '( t ) −∞ −1 − + 0 − +∞ f '( t ) Từ bảng biến thiên, suy ≤ cos ϕ ≤  π Do hàm số y = cos ϕ nghịch biến đoạn  0;  nên ϕ nhỏ cos ϕ  2 lớn So sánh hai trường hợp trên, suy cos ϕ lớn , đạt t = Khi đó, A = Chọn B = , A = ⇒ C = −1 B Phương trình mặt phẳng ( Q ) : y − z + = Cách Sử dụng tính chất hình học không gian 14 Gọi N giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( P ) Ta có phương trình: −1 + 2t + ( −1 + t ) − ( + t ) + = ⇔ t =  10  Tọa độ điểm N  − ; − ; ÷  3 3 Gọi ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) Lấy I ( −1; −1;3) ∈ d Gọi H , K hình chiếu vuông góc điểm I mặt phẳng ( P ) đường · thẳng ∆ Khi đó, HK ⊥ ∆ Do đó, góc hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) góc IKH IH IH · = ≥ Ta có: IN ≥ IK nên sin IKH IK IN  π · Do hàm số y = sin ϕ đồng biến đoạn  0;  nên góc IKH nhỏ K trùng N  2 Gọi ∆ ' đường thẳng qua điểm I vuông góc với mặt phẳng ( P ) Phương trình  x = −1 + u  đường thẳng ∆ ' :  y = −1 + 2u z = − u   17  Tọa độ điểm H  − ; − ; ÷  6 uuur  1  r HN = ;0; Ta có:  ÷ VTCP đường thẳng d u = ( 2;1;1) 2 2 uur uuur r Suy ra, VTCP đường thẳng ∆ u∆ =  HN , u  = ( 1;1;1) uur uur r VTPT mặt phẳng ( Q ) nQ = u∆ , u  = ( 0;1; −1) Từ thu lại phương trình mặt phẳng ( Q ) cách Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = điểm A ( −1;2;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , song song với mặt phẳng ( Oyz ) tạo với mặt phẳng ( P ) góc lớn Lời giải r Giả sử VTCT mặt phẳng ∆ u = ( A; B; C ) Điều kiện: A2 + B + C > ur uu r Oyz P ) ( ) là: n1 = ( 1;0;0 ) n2 = ( 1; −2;2 ) Ta có: VTPT mặt phẳng ( Do ∆ song song với mặt phẳng ( Oyz ) nên A = Góc đường thẳng ∆ mặt phẳng ( P ) là: 15 r uu r u.n2 A − B + 2C ( B − C) sin ϕ = r uu = r = 2 u n2 A2 + B + C B + C Xét hai trường hợp: • TH1: C = Khi đó, sin ϕ = • TH2: C ≠ Đặt t = B Ta có: sin ϕ = C ( t − 1) t2 +1 (t − 1) Xét hàm số f (t ) = , với t ∈ R t +1 2t −  t = −1 f ' t = f ' t = ⇔ ( ) Ta có: ( ) t = t2 +1  ( Bảng biến thiên: ) t f '( t ) −∞ −1 + − + +∞ f '( t ) 2  π Do hàm số y = sin ϕ đồng biến đoạn  0;  nên ϕ lớn sin ϕ lớn  2 2 So sánh hai trường hợp trên, suy sin ϕ lớn , đạt t = −1 Khi đó, B = −1 Chọn C = −1 , B = C  x = −1  Phương trình mặt phẳng ∆ :  y = + t z = − t  Từ bảng biến thiên, suy ≤ sin ϕ ≤ 16 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng x − y +1 z ∆: = = Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O , song song với −1 mặt phẳng ( P ) tạo với đường thẳng ∆ góc nhỏ ur Giả sử VTCP đường thẳng d u1 = ( A; B; C ) Điều kiện: A2 + B + C > r Ta có: VTPT mặt phẳng ( P ) n = ( 1; −1;1) Do mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng d nên A − B + C = ⇔ B = A + C uu r VTCP đường thẳng ∆ u2 = ( 1; −1;2 ) Góc hai đường thẳng d ∆ là: ur uu r u1.u2 A − B + 2C C2 cos ϕ = ur uu = r = u1 u2 A2 + B + C 2 A + AC + C Xét hai trường hợp: • TH1: C = Khi đó, cos ϕ = • TH2: C ≠ Đặt t = A 1 Ta có: cos ϕ = C t + t +1 , với t ∈ R t + t +1 −2t − 1 f ' t = ( ) f ' ( t ) = ⇔ t = − Ta có: t + t +1 Xét hàm số f (t ) = ( Bảng biến thiên: ) t −∞ f '( t ) − + +∞ − f ( t) 0 Từ bảng biến thiên, suy < cos ϕ ≤ 17  π Do hàm số y = cos ϕ nghịch biến đoạn  0;  nên ϕ nhỏ cos ϕ  2 lớn 1 So sánh hai trường hợp trên, suy cos ϕ lớn , đạt t = − Khi đó, A = − Chọn C = −2 , A = ⇒ B = −1 C x y z = Phương trình đường thẳng d : = −1 −2 Nhận xét Cả ví dụ cho thấy rõ hiệu phương pháp hàm số xét toán cực trị liên quan đến góc so với phương pháp sử dụng tính chất hình học không gian để giải 3.3 Một số toán tương tự Bài Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;0;5 ) , B ( 1; −2;3) đường thẳng x = t  ∆ :  y = − t Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A, B tạo với đường  z = 2t  thẳng ∆ góc lớn Bài Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 1;4;2 ) hai đường thẳng x −1 y + z x −1 y +1 z −1 d: = = ; d1 : = = −1 2 1 a) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) song song với đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( Oxy ) góc nhỏ b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d1 tạo với đường thẳng d góc lớn 18 III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy nảy sinh số vấn đề cần ý sau 1/ Phương pháp sử dụng đạo hàm có giải hết toán cực trị hình học giải tích không? Còn dạng toán mà phương pháp hàm số chưa giải được? Mỗi toán có nhiều cách giải khác Phương pháp sử dụng đạo hàm cung cấp cho phương pháp có hiệu để giải toán cực trị Trong chuyên đề chưa xét tới toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn tính chất cực trị Tuy nhiên, lưu ý tới hướng giải khác mà chuyên đề có trình bày mục nhận xét sau ví dụ 2/ Qui trình giải toán cực trị phương pháp sử dụng đạo hàm nào? Qua ví dụ cụ thể chuyên đề, trình bày qui trình việc giải toán cực trị cách sử dụng đạo hàm sau: Bước Dựa vào gia thiết toán thiết lập điều kiện tương đương Từ đó, dẫn đến hàm số cần khảo sát để tìm cực trị Bước Khảo sát hàm số tìm bước để tìm cực trị Bước Chuyển toán cực trị hàm số xét trở lại toán cực trị hình học IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ Trong chuyên đề đề cập đến biểu thức thường gặp toán cực trị Chuyên đề nghiên cứu để mở rộng theo hướng thay đổi biểu thức để tìm cực trị, thay đổi giả thiết viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn tính chất cực trị 19 C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY Trong trình giảng dạy, đem vấn đề áp dụng vào buổi dạy tăng cường dành cho học sinh ôn thi ĐH – CĐ Kết cụ thể sau: Lớp 12B9 (Chưa học tăng cường) Trong không gian Oxyz , cho Không có học sinh giải trọn vẹn toán x = − t  đường thẳng ∆ :  y = −2 + t 25/40 học sinh tính  z = 2t  diện tích tam giác MAB theo tham số t không hai điểm A ( 2;3;0 ) , B ( 0; −1;5 ) Xác định tọa độ biết đánh giá để diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có 15/40 học sinh không xây diện tích nhỏ dựng công thức diện (Thời gian: 15 phút) tích tam giác MAB mà thời gian tìm vị trí điểm M từ hình vẽ Nội dung kiểm tra 20 Lớp 12B10 (Đã học tăng cường) 30/42 học sinh giải trọn vẹn toán 7/42 học sinh tính diện tích tam giác MAB theo công thức SVMAB = d ( M , AB ) AB Nhưng không đưa toán tìm giá trị nhỏ d ( M , AB ) 35/42 học sinh chuyển toán tìm giá trị nhỏ d ( M , AB ) 30/42 học sinh giải trọn vẹn toán nhờ xét hàm số f ( t ) = 46t − 212t + 686 D KẾT LUẬN Chuyên đề hoàn thành với tổng hợp, tham khảo tài liệu đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy Về chuyên đề hoàn thành mục tiêu đề Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao sát thực tiễn kính mong Thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp tiếp tục thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề coi tài liệu tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán nói chung kĩ giải toán cực trị hình học Oxyz nói riêng Xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, tháng năm 2013 21 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU ………………………………………………………………1 B NỘI DUNG ……………………………………………………………3 I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH………3 II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC……………………13 III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ………………….19 IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ………………………19 C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY…………………… 20 D KẾT LUẬN…………………………………………………………… 21 22 [...]... bày qui trình của việc giải bài toán cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm như sau: Bước 1 Dựa vào gia thiết bài toán thiết lập các điều kiện tương đương Từ đó, dẫn đến hàm số cần khảo sát để tìm cực trị Bước 2 Khảo sát hàm số tìm được trong bước 1 để tìm cực trị Bước 3 Chuyển bài toán cực trị của hàm số đã xét trở lại bài toán cực trị trong hình học IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ Trong chuyên đề chỉ mới... III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một số vấn đề cần chú ý như sau 1/ Phương pháp sử dụng đạo hàm có giải quyết hết các bài toán cực trị của hình học giải tích không? Còn dạng toán nào mà phương pháp hàm số chưa giải quyết được? Mỗi bài toán đều có nhiều cách giải quyết khác nhau Phương pháp sử dụng đạo hàm chỉ cung cấp cho chúng... nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các bài toán nói chung và kĩ năng giải bài toán cực trị trong hình học Oxyz nói riêng Xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2013 21 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU ………………………………………………………………1 B NỘI DUNG ……………………………………………………………3 I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH………3 II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC……………………13 III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ………………….19... pháp có hiệu quả để giải quyết bài toán cực trị Trong chuyên đề còn chưa xét tới các bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn tính chất cực trị nào đó Tuy nhiên, hãy lưu ý tới những hướng giải quyết khác mà chuyên đề đã có trình bày ở mục nhận xét sau mỗi ví dụ 2/ Qui trình giải bài toán cực trị bằng phương pháp sử dụng đạo hàm là thế nào? Qua các ví dụ cụ thể trong chuyên đề, chúng... pháp hàm số khi xét bài toán cực trị liên quan đến góc so với phương pháp sử dụng tính chất của hình học không gian để giải quyết 3.3 Một số bài toán tương tự Bài 1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;0;5 ) , B ( 1; −2;3) và đường thẳng x = t  ∆ :  y = 2 − t Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua hai điểm A, B và tạo với đường  z = 2t  thẳng ∆ một góc lớn nhất Bài 2 Trong không gian Oxyz. .. diện tích nhỏ nhất dựng được công thức diện (Thời gian: 15 phút) tích tam giác MAB mà mất thời gian đi tìm vị trí điểm M từ hình vẽ Nội dung kiểm tra 20 Lớp 12B10 (Đã được học tăng cường) 30/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán 7/42 học sinh tính được diện tích tam giác MAB theo công thức 1 SVMAB = d ( M , AB ) AB 2 Nhưng không đưa được về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của d ( M , AB ) 35/42 học. .. các biểu thức thường gặp trong bài toán cực trị Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng theo hướng thay đổi các biểu thức để tìm cực trị, thay đổi các giả thiết khi viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn tính chất cực trị nào đó 19 C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY Trong quá trình giảng dạy, tôi đã đem vấn đề trên áp dụng vào một buổi dạy tăng cường dành cho các học sinh ôn thi ĐH – CĐ Kết... được học tăng cường) Trong không gian Oxyz , cho Không có học sinh nào giải quyết trọn vẹn bài toán x = 1 − t  đường thẳng ∆ :  y = −2 + t 25/40 học sinh tính được  z = 2t  diện tích tam giác MAB theo tham số t nhưng không và hai điểm A ( 2;3;0 ) , B ( 0; −1;5 ) Xác định tọa độ biết đánh giá để diện tích tam giác này đạt giá trị nhỏ điểm M thuộc đường thẳng nhất ∆ sao cho tam giác MAB có 15/40 học. .. đường thẳng d1 nằm trong mặt phẳng ( P ) , vuông góc với đường thẳng d và cách M một khoảng nhỏ nhất Bài 1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ : 11 Bài 5 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;2;0 ) , B ( 1;2; −5 ) và đường thẳng  x = 1 + 2t uuur uuur  ∆ :  y = 3 + 2t Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng ∆ sao cho tổng MA − 3MB nhỏ  z = −t  nhất 12 II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC... 35/42 học sinh chuyển được về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của d ( M , AB ) 30/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán nhờ xét hàm số f ( t ) = 46t 2 − 212t + 686 D KẾT LUẬN Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy Về cơ bản chuyên đề hoàn thành các mục tiêu đề ra Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn ... trung rèn luyện cho học sinh kĩ dùng đạo hàm để giải toán cực trị hình học Oxyz + Đặc biệt, chuyên đề xây dựng phương pháp giải toán hiệu lượng lớn toán cực trị giải hầu hết dạng toán đặt + Ngoài... cấp cho học sinh phương pháp tiếp cận khác toán cực trị rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải toán khác hình học giải tích (Thông qua nhận xét sau ví dụ) B NỘI DUNG I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN... tìm bước để tìm cực trị Bước Chuyển toán cực trị hàm số xét trở lại toán cực trị hình học IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ Trong chuyên đề đề cập đến biểu thức thường gặp toán cực trị Chuyên đề