S GIO DC V O TO H TNH TRNG THPT NGHẩN SNG KIN KINH NGHIM MễN TON GIP HC SINH HC TT NI DUNG PHNG PHP TNH TH TCH KHI A DIN (HèNH HC LP 12) Giỏo viờn: Phm Th Vit Thỏi NM HC A T VN I LI M U Trong chng trỡnh ụn thi tt nghip THTP v i hc Cao ng hin nay, bi toỏn v tớnh th tớch ca mt a din xut hin khỏ ph bin Bi toỏn hỡnh hc khụng gian núi chung v bi toỏn v tớnh th tớch a din núi riờng l mt phn kin thc khú i vi hc sinh THPT a s hc sinh bõy gi ang cũn hc theo kiu lm nhiu ri quen dng, lm nhiu ri nh, nu hc nh th s khụng phỏt trin c t sỏng to, s khụng linh hot ng trc mt tỡnh mi l hay mt bi toỏn tng hp Vỡ lớ ú, giỳp hc sinh thỏo g nhng vng mc trờn, nhm nõng cao cht lng dy v hc, ỏp ng nhu cu i mi giỏo dc v giỳp hc sinh cú thờm phng phỏp gii toỏn, tụi ó quyt nh chn ti: Giỳp hc sinh hc tt ni dung phng phỏp tớnh th tớch a din (Hỡnh hc lp 12) Mc tiờu ca sỏng kin kinh nghim l nghiờn cu phng phỏp tớnh th tớch a din mt cỏch h thng v sỏng to giỳp giỏo viờn trang b kin thc c bn nht v phng phỏp tớch th tớch a din cho hc sinh, t ú phỏt trin t sỏng to gii quyt cỏc bi toỏn khú II THC TRNG CA VN NGHIấN CU Thc trng Trong chng trỡnh ph thụng, phn kin thc v tớnh th tớch a din c a vo ging dy lp 12 õy l phn kin thc rt hay v khú i vi hc sinh quỏ trỡnh lm bi tp; õy cng l phn kin thc xut hin t nhu cu thc t v c ng dng rt nhiu thc t gii bi toỏn v tớnh th tớch a din cú hai phng phỏp c bn l phng phỏp tớnh trc tip v phng phỏp tớnh giỏn tip Phng phỏp tớnh trc tip l da vo vic tớnh chiu cao v din tớch ỏy t ú suy th tớch a din; phng phỏp tớnh giỏn tip tc l ta chia a din thnh nhiu nh xỏc nh th tớch ng trc mt bi toỏn hc sinh thng lỳng tỳng v t cõu hi: Phi nh hng li gii bi toỏn t õu? Mt s hc sinh cú thúi quen khụng tt l c cha k ó vi lm ngay, cú th nghim ú s dn n kt qu, nhiờn hiu sut gii toỏn nh th l khụng cao Vi tỡnh hỡnh y giỳp hc sinh nh hng tt hn quỏ trỡnh gii toỏn, ngi giỏo viờn cn to cho hc sinh thúi quen xột bi toỏn di nhiu gúc , khai thỏc cỏc yu t c trng ca bi toỏn tỡm li gii Trong ú vic hỡnh thnh cho hc sinh kh nng t theo cỏc phng phỏp gii l mt iu cn thit Vic tri nghim qua quỏ trỡnh gii toỏn s giỳp hc sinh hon thin k nng nh hng v gii toỏn c bit i vi bi toỏn v hỡnh hc khụng gian núi chung v bi toỏn tớnh th tớch a din núi riờng thỡ i vi hu ht hc sinh, k c nhng hc sinh khỏ gii cng gp rt nhiu khú khn gii bi Nguyờn nhõn ca thc trng trờn l hc sinh cha trang b cho mỡnh mt kin thc v phng phỏp tớnh y v h thng nờn rt lỳng tỳng ng trc mt bi toỏn Kt qu ca thc trng Trc ỏp dng nghiờn cu ny vo ging dy tụi ó tin hnh kho sỏt cht lng hc ca hc sinh hai lp 12A3, 12A4 trng THPT Nghốn (v tớnh th tớch a din) v thu c kt qu nh sau: Gii Khỏ TB Yu Kộm SL % SL % SL % SL % SL % s 12A3 45 18 24 53 10 22 12A4 45 0 21 47 16 36 10 Nh vy s lng hc sinh nm bt cỏc dng ny khụng nhiu cha Lp S nm vng c ngun kin thc v k nng cn thit thc hin ti vo ging dy, trc ht tụi nhc li cụng thc tớnh th tớch cỏc a din, tip ú a cỏc phng phỏp tớnh v vớ d c th hng dn hc sinh thc hin, cui cựng tụi a bi tng hp hc sinh rốn luyn phng phỏp tớnh B GII QUYT VN I GII PHP T CHC THC HIN Thc hin nghiờn cu v ng dng vo thc tin ging dy tụi chia ni dung thnh phn dy cho hc sinh vo bui, mi bui tit; mi bui cú cỏc thớ d minh v bi cho hc sinh t rốn luyn v phng phỏp tớnh Sau õy l ni dung c th: Phn I tớnh th tớch a din, phng phỏp quan trng nht v c ng dng rng rói nht quỏ trỡnh tớnh toỏn l tớnh trc tip, tc l da vo chiu cao ca cỏc v din tớch ỏy Nh vy mu cht ca phng phỏp ny l phi xỏc nh c chiu cao v din tớch ỏy, ta xột mt s vớ d minh nh sau: Cỏc thớ d minh ã = 900 , ãACB = Mt phng Thớ d Cho chúp S ABC cú BC = 2a , BAC ( SAB ) vuụng gúc vi mt phng ( ABC ) , tam giỏc SAB cõn ti S v tam giỏc SBC vuụng Tớnh th tớch ca chúp S ABC Li gii (h.1) s Tam giỏc ABC cú AB = 2a sin , AC = 2a cos nờn S ABC = a sin Vỡ ( SAB) ( ABC ) v SA = SB nờn SH ( ABC ) vi H l trung im cnh AB Bõy gi ta xỏc nh tam giỏc SBC vuụng ti nh no A C H K B Hỡnh Nu SBC vuụng ti nh B thỡ CB BA (theo nh lớ ba ng vuụng gúc), iu ny vụ lý vỡ ABC vuụng A ã = 900 (Vụ lớ) Tng t, nu SBC vuụng C thỡ HCB T ú suy SBC vuụng ti S Gi K l trung im cnh BC thỡ 1 BC = a, HK / / AC v HK = AC = a cos 2 2 2 SH = SK HK = a sin SH = asin SK = T ú: VS ABC = S ABC SH = a sin asin = a sin sin Nhn xột: vớ d trờn d dng nhn thy SH l chiu cao ca chúp t gi thit ( SAB) ( ABC ) v SA = SB v vic cũn li l xỏc nh SH Thớ d Cho hỡnh lp phng ABCD A1B1C1D1 cú cnh bng a Gi M , N theo th t l trung im ca cỏc cnh A AB, BC v O1 , O2 th t l tõm cỏc mt A1 B1C1 D1 , ADD1 A1 Tớnh th tớch t D M E O N B C din MNO1O2 O2 Li gii (h.2) A1 E1 Ta cú mp( NO1O2 ) mp( ABCD) v chỳng ct theo giao tuyn NE ( E l trung D1 N1 O1 B1 C1 Hỡnh im cnh AD ) Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD thỡ MO NE Suy MO l ng cao ca hỡnh chúp M NO1O2 Ta cú: S NO1O2 = S NEE1N1 ( S NN1O1 + S E1O1O2 + S ENO2 ) a2 a2 a2 = a2 ( + + ) 2 2 3a = Nờn VM NO1O2 = S NO1O2 MO 3a a = a3 = 16 Nhn xột: Khi gp bi toỏn ny nhiu hc sinh ngh n phng phỏp tớnh giỏn tip, nhiờn cỏc bự vi MNO1O2 l quỏ nhiu v phc Nu ý mt phng ( NO1O2 ) nm mt phng ( NEE1 N1 ) thỡ vic xỏc nh chiu cao v din tớch ỏy ca hỡnh chúp M NO1O2 tr nờn n gin Thớ d Cho chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi s H l trung im cnh AB v hai mt phng ( SHC ), ( SHD) cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy Tớnh th tớch chúp nu hỡnh chúp cú ba mt bờn l tam giỏc vuụng Li gii (h.3) Vỡ ( SHC ) v ( SHD) cựng vuụng gúc S vi ỏy ( ABCD) nờn SH l ng cao ca chúp Hai tam giỏc SAD v SBC ln lt vuụng ti A v B (theo nh lớ ba ng vuụng gúc) C B Tam giỏc SCD cú SC = SD (vỡ H HC = HD ) nờn nú khụng th vuụng A ti C hoc D D Hỡnh Nu SCD vuụng ti S thỡ SC < CD = a Nhng SBC vuụng ti B nờn SC > SB = a T ú SCD khụng l tam giỏc vuụng T gi thit suy SAB phi l tam giỏc vuụng a Do SA = SB , (vỡ HA = HB ) nờn SAB vuụng ti S, suy SH = AB = 1 a a3 V = S SH = a = Vy S ABCD ABCD 3 Thớ d Xột cỏc chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh vi AB = a, SA = SB = SC = SD = a Khi chúp no cú th tớch ln nht v tớnh giỏ tr ln nht ú Li gii (h.4) S Vỡ chúp S ABCD cú cỏc cnh bờn bng nờn ỏy phi ni tip Suy ABCD l hỡnh ch nht B Gi H l giao ca AC v BD thỡ C a SH ( ABCD) t x H BC = x ( x > 0) thỡ A D Hỡnh S ABCD 4a x = ax, SH = SA AH = ( x < 2a ) 2 4a x a VS ABCD = ax = x (4a x ) Vỡ x + (4a x ) = 4a nờn theo BT Cauchy VS ABCD t giỏ tr ln nht v ch x = 4a x x = a Lỳc ú MaxVS ABCD a3 = Bi t luyn Bi ( thi H A nm 2012) Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a Hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn mt phng ( ABC ) l im H thuc cnh AB cho HA = HB Gúc gia ng thng SC v mt phng ( ABC ) bng 600 Tớnh th tớch chúp S ABC v tớnh khong cỏch gia hai ng thng SA v BC theo a ã Bi Cho hỡnh hp ABCD A ' B ' C ' D ' cú ỏy l hỡnh thoi cnh a v BAD = 600 Hai mt chộo ( ACC ' A ') v ( BDD'B ') cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy Gi M , N ln lt l trung im ca CD, B ' C ' v MN BD ' Tớnh th tớch ca hỡnh hp Bi Cho chúp S ABC cú ã B = 600 , AS ã C = 900 , BSC ã SA = 1, SB = 2, SC = 3, AS = 1200 Tớnh th tớch chúp ú Bi Cho chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng a v ã BAD = 600 Cỏc mt phng ( SAB ), ( SBD), ( SAD) nghiờng u vi ỏy ( ABCD) mt gúc Tớnh th tớch chúp ú Bi Cho chúp S ABCD cú ỏy l hỡnh thang cõn, ỏy ln AB bng ln ỏy nh CD , chiu cao ca ỏy bng a Bn ng cao ca bn mt bờn ng vi nh S cú di bng v bng b Tớnh th tớch ca hỡnh chúp Bi Cho chúp S ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Tam giỏc SAB cõn ti nh S v mt phng ( SAB) ( ABC ) Gi s E l trung im SC v hai mt phng ( ABE ), ( SCD) vuụng gúc vi Tớnh th tớch ca kh chúp ú Bi Hỡnh chúp S ABC cú SA = a , SA to vi ỏy mt gúc , ãABC = 90o , ãACB = G l trng tõm ABC Hai mt phng ( SGB ), ( SGC ) cựng vuụng gúc vi mt phng ( ABC ) Tớnh th tớch ca chúp S ABC Bi Cho hỡnh lng tr ABC A ' B ' C ' cú ỏy l tam giỏc u cnh a Cỏc cnh A ' A, A ' B, A ' C nghiờng u trờn ỏy mt gúc Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca lng tr Bi Cho hỡnh chúp S A1A An (n 3) cú din tớch ỏy bng D , chu vi ỏy bng P Cỏc mt bờn nghiờng u trờn ỏy mt gúc Hỡnh chiu ca S lờn mt phng ỏy nm a giỏc A1A An Tớnh th tớch hỡnh chúp ú Phn Trong cỏc bi toỏn tớnh th tớch a din ụi vic xỏc nh chiu cao v din tớch ỏy gp rt nhiu khú khn, ú chỳng ta cú th tớnh mt cỏch giỏn tip bng cỏch chia cn tớnh thnh nhiu nh hoc tớnh th tớch cỏc bự vi cn tớnh T ú bng cụng thc cng th tớch ta cú th suy th tớch cn tớnh Sau õy l mt s thớ d minh cho phng phỏp th Thớ d minh S Thớ d Cho chúp S ABC vi tam giỏc ABC vuụng cõn ti B , AC = 2a , SA ( ABC ) v SA = a Gi I s I l im thuc cnh SB cho SI = SB Tớnh th tớch t A C din SAIC Li gii (h.5) Hỡnh B Tam giỏc ABC vuụng cõn ti B cú AC = 2a nờn AB = BC = a Do ú S ABC = AB.BC = a Vỡ SA ( ABC ) nờn SA l chiu cao ca hỡnh chúp S ABC Suy VS ABC = SA.S ABC = V a3 SA SI SC S AIC = = Mt khỏc V SA SB SC S ABC 1 a3 a3 V = V = = Vy S AIC S ABC 3 Nhn xột: Trong bi toỏn trờn ta hon ton cú th tớnh trc tip, nhiờn vic tớnh giỏn tip da vo t l th tớch thỡ tớnh toỏn tr nờn n gin hn rt nhiu Thớ d Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = 2a, BC = a; SA = SB = SC = SD = a Gi s E l im thuc cnh SC cho SE = SC , F l im thuc cnh SD S F cho SF = FD Tớnh th tớch a din SABEF Li gii (h.6) E A D O B Ta cú S ABCD = AB.BC = 2a C Hỡnh p dng nh lý Pythagore cho tam giỏc vuụng ABD ta cú BD = AB + AD = a a Gi O = AC BD thỡ BO = BD = 2 Xột tam giỏc SBD cõn ti S cú SO l trung tuyn nờn SO ng thi l ng cao ca tam giỏc SBD Suy SO BD Chng minh tng t SO AC Suy SO ( ABCD) hay SO l ng cao ca hỡnh chúp S ABCD Ta cú SO = SB BO = (a 2)2 ( a a ) = 2 1 a a3 VS ABCD = S ABCD SO = 2a = 3 V SA SB SE S ABE = = Mt khỏc V SA SB SC S ABC VS ABE a3 = VS ABC = VS ABCD = 3 3 (1) 10 VS AEE SA SE SF 1 = = = VS ACD SA SC SD 1 a3 VS AEF = VS ACD = VS ABCD = 12 12 (2) T (1) v (2) ta cú: VSABEF = VS ABE + VS AEF = a3 a3 5a 3 + = 36 3 12 Nhn xột: Khi a din cn tớnh th tớch khụng thuc cỏc quen thuc (khụng cú cụng thc tớnh trc tip), nờn ta phi tỡm cỏch chia thnh cỏc nh quen thuc, v ta cú th tớnh giỏn tip mt cỏch d dng da vo t l th tớch Thớ d Chi hỡnh lp phng ABCD A ' B ' C ' D ' cnh a Gi M l trung im ca cnh BB ' Mt phng ( A ' MD) A' chia hỡnh lp phng thnh hai D' B' C' a din Tớnh t s th tớch ca hai a din trờn M Li gii (h.7) D A B Gi N l giao im ca A ' M v K C Hỡnh AB , K l giao im ca DN v BC N Mt phng ( A ' MD) chia hỡnh lp phng ABCD.A ' B ' C ' D ' thnh hai a din A ' MKDAB v din A ' B ' C ' D ' MKCD Do A ' B '/ / BN nờn A ' B ' MB ' = = BN = A ' B ' = a BN MB Do BN / /CD nờn BK BN AB a = = = BK = CK = CK CD CD Ta cú VB.MNK = BM BN BK = VA A ' ND = a3 ; 24 a3 AA' AN AD = 11 VA ' MKDAB = VA A ' ND VB.MNK = a a 7a = 24 24 Th tớch lp phng ABCD A ' B ' C ' D ' bng a3 T VABCD A' B 'C ' D ' = VA ' MKDAB + VA ' B 'C ' D ' MKCD VA ' B ' C ' D ' MKCD = VABCD A ' B 'C ' D ' VA ' MKDAB 7a 17a =a = 24 24 V A ' MKDAB = Suy V 17 A ' B ' C ' D ' MKCD Nhn xột: Trong hai thớ d u, ta ch yu da vo t l th tớch thỡ thớ d ny ta da vo vic tớnh th tớch cỏc bự vi cn tớnh Thớ d Chi hỡnh chúp O ABC cú OA, OB, OC G ụi mt vuụng gúc vi nhau, OA = a, OB = b, OC = c ; OA ', OB ' OC ' ln lt l ng cao ca cỏc tam giỏc OBC , OAC , OAB Tớnh th tớch A B' C chúp O.A ' B ' C ' C' A' Li gii (h.8) Hỡnh B Ta cú VO ABC = OA.OB.OC = abc Do OA OB, OA OC , OB OC , nờn cỏc tam giỏc OAB, OBC , OAC vuụng ti O p dng nh lý Pythagore ta cú: AC = a + c , AB = a + b , BC = b + c Xột tam giỏc OBC vuụng ti O cú OA ' l ng cao nờn: 1 b c OB OC 2 = + OA ' = = OA '2 OB OC OB + OC b + c p dng nh lý Pythagore tam giỏc vuụng OA ' C ta cú OC = OA '2 + CA '2 CA ' = OC OA '2 = c2 b2 + c Chng minh tng t ta cú: 12 CB ' = c2 ; AB ' = a2 + c2 a2 a2 + c2 ; AC ' = a2 a + b2 ; BC ' = b2 a + b2 ; BA ' = b2 b2 + c Mt khỏc VO.CA ' B ' VC OA ' B ' CO CA ' CB ' c4 = = = VO ABC VC OBA CO CB CA (b + c )(a + c ) Suy VO.CA ' B ' c4 = 2 2 VO ABC (b + c )(a + c ) Chng minh tng t, ta c: VO AB ' C ' = a4 VO ABC ; (a + b )(a + c ) VO.BA ' C ' = b4 VO ABC (a + b )(b + c ) Do ú VO A ' B ' C ' = VO ABC (VO.CA ' B ' + VO AB 'C ' + VO BA 'C ' ) = [1 ( a4 b4 c4 abc + + )] 2 2 2 2 2 2 (a + b )(a + c ) (a + b )(b + c ) (b + c )(a + c ) Nhn xột: Trong thớ d ta ó ỏp dng vic tớnh th tớch cỏc bự vi cn tớnh thỡ thớ d ta thy phng phỏp ny rt hiu qu Bi t luyn Bi Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, ng thng SA vuụng gúc vi mt phng ( ABCD) , G l trng tõm ca tam giỏc SBD , mt phng ( SBG ) ct SC ti M , mt phng ( ABG ) ct SD ti N Tớnh th tớch chúp S ABMN ; bit rng SA = AB = a , gúc gia ng thng AM v mt phng ( ABCD) bng 300 Bi Cho hỡnh chúp O ABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc vi nhau; OA = a, OB = b, OC = c; OA ', OB ', OC ' ln lt l cỏc ng phõn giỏc ca cỏc tam giỏc OBC , OCA, OAB Tớnh th tớch ca chúp O A ' B ' C ' Bi Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , SA = a , SA ( ABCD) Gi H , K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn cỏc 13 cnh SB, SD Mt phng ( AHK ) ct SC ti I Tớnh th tớch ca chúp S AHIK Bi Cho hỡnh chúp SABCD ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a Cho AB = a Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca A trờn SB, SD CM: SA (AHK) Tớnh th tớch hỡnh chúp OAHK Bi Cho lng tr tam giỏc ABC.A 1B1C1 cú hỡnh chúp A1ABC l hỡnh chúp tam giỏc u cnh ỏy AB = a, AA1 = b Gi l gúc gia hai mt phng (ABC) v (A1BC) Tớnh tan v th tớch hỡnh chúp A1BB1C1C Phn Trong cỏc bui trc, chỳng ta ó c rốn luyn phng phỏp tớnh th tớch l tớnh trc tip v tớnh giỏn tip tớnh th tớch a din, cỏc bi toỏn thi i hc v hc sinh gii cũn s dng mt phng phỏp rt hiu qu ú l phng phỏp ta húa, ni dung phng phỏp ny gm bc: Bc 1: Chn h trc ta Bc 2: Xỏc nh ta cỏc im liờn quan, chuyn bi toỏn hỡnh hc khụng gian thụng thng thnh bi toỏn hỡnh hc ta Bc 3: Tớnh toỏn da vo cỏc cụng thc hỡnh hc ta khụng gian Bc 4: Kt lun Sau õy l mt s thớ d minh v cỏc bi rốn luyn: Thớ d minh Thớ d Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc vi mt phng ỏy, ỏy ABCD l hỡnh ch nht, SA=AB=a, AD= a , gi M, N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC a) CMR: ( SAC ) ( SMB ) b) Tớnh th tớch t din ANIB 14 Li gii (Hỡnh 9) Chn h ta vi Axyz vi D Ax, B Ay , S Az Khi ú: a a a a N ; ; ữ A(0;0;0), B(0; a;0), C(a 2; a;0), S (0;0; a), M ( ;0;0), 2 2 ur a) Ta cú:mp(SAC) cú vtpt l n1 = (1; 2;0) mp(SMB) cú vtpt l uur Hỡnh n2 = ( 2;1;1) ur uur ur uur n1 n2 = n1 n2 Hay ( SAC ) ( SMB) b) Ta cú mp(SAC) cú phng trỡnh: x y = , BM cú phng trỡnh: x = t y = a 2t z = uuur uur uuur a3 a a I = BM ( SAC ) Vỡ I( ; ;0) VANIB = AN, AI AB = 3 36 Thớ d Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, ỏy cú cnh bng a Gi M, N ln lt l trung im ca SB, SC Bit rng ( AMN ) ( SBC ) Tớnh th tớch hỡnh chúp Li gii (Hỡnh 10) Chn h ta Oxyz nh hỡnh v (h.10) t SO = h Khi ú ta cú: C( a a a ;0;0), A( ; ;0), 3 15 B( a a a a h a h ; ; ), N( ;0; ) ; ;0), S (0;0; h) , M ( 4 2 2 Hỡnh 10 uuur a 3a h uuur a a h ; ; ), AN = ( ; ; ) Ta cú AM = ( 4 2 uuuur uuur ah 3ah 5a AM , AN = ( ; ; ) 8 uur 5a mp ( AMN ) co vecto pha p tuye n l`a: n1( h ; h 3; ) a a ;0) , Ox ti C( ;0;0) , Oz ti S(0;0;h) 3 nờn cú phng trỡnh theo on chn l: mp(SBC) i ct Oy ti K (0; uur 3 x y z 3 + + =1 x y + z = mp( SBC) có vectơ pháp tuyến là: n ( ; ; ) a a h a a h a a h 3 Ta cú ur uur 3 5a ( AMN ) ( SBC) n1 n2 = ( h) + h 3.( ) + =0h=a a a 12 h Vy VS ABC 1 a2 a3 = SO.SABC = a = 3 12 24 Thớ d Cho hỡnh lng tr ng ABC A ' B ' C ' cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti C, cnh ỏy AB bng 2a v ãABC bng 300 Tớnh th tớch ca lng tr ABC A ' B ' C ', bit khong cỏch gia hai ng thng AB v CB ' bng a Li gii (H.11) Gi M, N ln lt l trung im ca AB v AB Ta cú MN l ng cao ca lng tr Gi s MN = h Chn h trc ta Oxyz cho O trựng vi M, cỏc im A, C, N ln lt thuc cỏc tia Ox, Oy, Oz (Hỡnh 11) 16 Khi ú: A(a;0;0), B(a;0;0), B' (a;0; h) Hỡnh 11 D cú: CM = a a a2 C (0; ;0) nờn v SABC = CM AB = 3 Ta cú uuuuruuuur [ AB,CB '] = (0; 2ah; uuuuruuuur uuuur 2a h 2a ), [ AB,CB '].BB ' = 3 uuuuruuuur uuuur Suy ra: d(AB, CB') = [ AB,CB '].BB ' uuuuruuuur [ AB,CB '] = ah a + 3h2 T gi thit khong cỏch gia hai ng thng AB v CB bng a Ta suy h = a Vy: VABC A' B 'C ' = MN S ABC a3 = Nhn xột: Qua cỏc vớ d trờn ta thy vic gn h trc ta a bi toỏn hỡnh hc khụng gian thụng thng thnh bi toỏn hỡnh hc ta giỳp vic gii bi toỏn tr nờn n gin hn rt nhiu, nh vớ d nu khụng dựng ta thỡ vic tớnh chiu cao h l rt khú khn iu quan trng l cn xỏc nh c nhng yu t vuụng gúc hỡnh la chn h trc ta hp lý Bi t luyn Bi Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a () l mt phng qua A v vuụng gúc vi SC, () ct SB, SC, SD ln lt ti H, I, K CM: AH SB, AK SD Tớnh th tớch chúp AHIKBCD Bi Cho hỡnh lp phng ABCDA ' B ' C ' D ' cnh a , M , N ln lt l trung im ca AA ' v BC ; P, Q ln lt l trng tõm ca tam giỏc A ' AD v C ' BD Tớnh th tớch t din MNPQ theo a Bi ( A nm 2011) Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = 2a , hai mt phng ( SAB) v ( SAC ) cựng vuụng gúc vi mt phng ( ABC ) Gi M l trung im ca AB; mt phng qua SM v song 17 song vi BC, ct AC ti N Bit gúc gia hai mt phng ( SBC ) v ( ABC ) bng 600 Tớnh th tớch chúp S BMCN v khong cỏch gia hai ng thng AB v SN theo a II KT QU NGHIấN CU V KIN NGH XUT Kt qu nghiờn cu Trong nm hc 2010 2011, tụi c nh trng phõn cụng dy mụn toỏn ti cỏc lp 12A3, 12A4 ng trc thc trng hc sinh rt ngi i mt vi nhng bi toỏn hỡnh hc khụng gian, tụi ó mnh dn a vo chng trỡnh bi dng phng phỏp tớnh th tớch a din V thc t sau c hc mt cỏch cú h thng v y cỏc phng phỏp tớnh th tớch thỡ hc sinh ó hng thỳ hn cỏc gi hc hỡnh hc khụng gian, hc sinh gii tt cỏc bi toỏn v tớnh th tớch núi riờng v bi toỏn hỡnh hc khụng gian núi chung Qua ú hc sinh cũn rốn luyn c cỏch trỡnh by bi gii mt cỏch khoa hc, cht ch, y ; c bit cũn rốn luyn cho hc sinh v t logic, t sỏng to, cng c c nhng kin thc c bn Kt qu c th Lp 12A3 12A4 S s 45 45 Gii SL % 10 22 11 Khỏ SL % 18 40 17 38 TB SL 17 22 % 38 49 Yu SL % 0 Kộm SL % 0 0 Kin ngh, xut - T chuyờn mụn cn t chc nhng din n trao i v chuyờn mụn giỏo viờn cú th hc hi kinh nghim v ph bin cỏc sỏng kin kinh nghim ca cỏ nhõn - Nh trng cn tng cng hn na nhng trang thit b h tr cho ging dy - S Giỏo dc v o to cn m nhng lp chuyờn hng dn giỏo viờn s dng nhng phn mm cụng tỏc ging dy 18 C KT LUN Trong quỏ trỡnh thc hin v ỏp dng sỏng kin trờn, mc dự ó thu c nhng kt qu nht nh, hc sinh ó hng thỳ hn i vi cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian, kt qu hc mụn toỏn c nõng lờn rừ rt; nhiờn sỏng kin c s dng hiu qu v rng hn thỡ rt cn nhng ý kin úng gúp ca ng nghip khc phc nhng thiu sút, hon thin hn na ti nghiờn cu Tụi xin chõn thnh cm n! H Tnh, ngy 25 thỏng 03 nm 2015 Phm Th Vit Thỏi 19 MC LC A T VN Trang I.LI M U .Trang II.THC TRNG CA VN NGHIấN CU Trang Thc trng Trang 2 Kt qu ca thc trng .Trang B GII QUYT VN Trang I GII PHP T CHC THC HIN Trang II KT QU V KIN NGH XUT Trang 17 1.Kt qu nghiờn cu .Trang 17 2.Kin ngh, xut Trang 17 C KT LUN Trang 18 20 [...]... 12A4 ng trc thc trng hc sinh rt ngi khi i mt vi nhng bi toỏn hỡnh hc khụng gian, tụi ó mnh dn a vo chng trỡnh bi dng phng phỏp tớnh th tớch a din V thc t sau khi c hc mt cỏch cú h thng v y cỏc phng phỏp tớnh th tớch thỡ hc sinh ó hng thỳ hn trong cỏc gi hc hỡnh hc khụng gian, hc sinh gii tt cỏc bi toỏn v tớnh th tớch núi riờng v bi toỏn hỡnh hc khụng gian núi chung Qua ú hc sinh cũn rốn luyn c cỏch... A1BB1C1C Phn 3 Trong cỏc bui trc, chỳng ta ó c rốn luyn 2 phng phỏp tớnh th tớch l tớnh trc tip v tớnh giỏn tip tớnh th tớch khi a din, trong cỏc bi toỏn thi i hc v hc sinh gii cũn s dng mt phng phỏp rt hiu qu ú l phng phỏp ta húa, ni dung phng phỏp ny gm 4 bc: Bc 1: Chn h trc ta Bc 2: Xỏc nh ta cỏc im liờn quan, chuyn bi toỏn hỡnh hc khụng gian thụng thng thnh bi toỏn hỡnh hc ta Bc 3: Tớnh toỏn... pha p tuye n l`a: n1( h ; h 3; ) 3 a a ;0) , Ox ti C( ;0;0) , Oz ti S(0;0;h) 3 3 nờn cú phng trỡnh theo on chn l: mp(SBC) i ct Oy ti K (0; uur 3 3 1 x y z 3 3 1 + + =1 x y + z = 1 mp( SBC) có vectơ pháp tuyến là: n 2 ( ; ; ) a a h a a h a a h 3 3 Ta cú ur uur 3 3 5a 1 5 ( AMN ) ( SBC) n1 n2 = 0 ( h) + h 3.( ) + =0h=a a a 12 3 h Vy VS ABC 1 1 5 a2 3 a3 5 = SO.SABC = a = 3 3 12 4 24 Thớ d 3... gian, hc sinh gii tt cỏc bi toỏn v tớnh th tớch núi riờng v bi toỏn hỡnh hc khụng gian núi chung Qua ú hc sinh cũn rốn luyn c cỏch trỡnh by bi gii mt cỏch khoa hc, cht ch, y ; c bit cũn rốn luyn cho hc sinh v t duy logic, t duy sỏng to, cng c c nhng kin thc c bn Kt qu c th Lp 12A3 12A4 S s 45 45 Gii SL % 10 22 5 11 Khỏ SL % 18 40 17 38 TB SL 17 22 % 38 49 Yu SL % 0 0 1 2 Kộm SL % 0 0 0 0 2 Kin ngh, ... ging dy - S Giỏo dc v o to cn m nhng lp chuyờn hng dn giỏo viờn s dng nhng phn mm trong cụng tỏc ging dy 18 C KT LUN Trong quỏ trỡnh thc hin v ỏp dng sỏng kin trờn, mc dự ó thu c nhng kt qu nht nh, hc sinh ó hng thỳ hn i vi cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian, kt qu hc tp mụn toỏn c nõng lờn rừ rt; tuy nhiờn sỏng kin c s dng hiu qu v rng hn thỡ rt cn nhng ý kin úng gúp ca ng nghip khc phc nhng thiu sút, ... giỳp hc sinh thỏo g nhng vng mc trờn, nhm nõng cao cht lng dy v hc, ỏp ng nhu cu i mi giỏo dc v giỳp hc sinh cú thờm phng phỏp gii toỏn, tụi ó quyt nh chn ti: Giỳp hc sinh hc tt ni dung phng... khụng gian núi chung v bi toỏn v tớnh th tớch a din núi riờng l mt phn kin thc khú i vi hc sinh THPT a s hc sinh bõy gi ang cũn hc theo kiu lm nhiu ri quen dng, lm nhiu ri nh, nu hc nh th s khụng... hc sinh nh hng tt hn quỏ trỡnh gii toỏn, ngi giỏo viờn cn to cho hc sinh thúi quen xột bi toỏn di nhiu gúc , khai thỏc cỏc yu t c trng ca bi toỏn tỡm li gii Trong ú vic hỡnh thnh cho hc sinh