Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ toán có mặt hầu hết kỳ thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học Không toán hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, phương pháp vạn để giải toán mà có phương pháp giải nhóm toán mà thôi.Một phương pháp hiệu dung đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Không có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thong qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự tìm cách giải toán cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải riêng cho Vì lí viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến NỘI DUNG Phương pháp đưa biến toán hai biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Thí dụ ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x, y số thực thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x + y ) − 3xy Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết x + y = Có thể đưa toán ẩn không? - Ta nghĩ tới đẳng thức x + y = ( x + y )2 − xy; x3 + y = ( x + y )( x − xy + y ) - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x + y để sử dụng giả thiết - Biến đổi biểu thức P vào x + y = ta có : P = 2( x + y )( x − xy + y ) − xy = 2( x + y )(2 − xy ) − xy - Từ giả thiết ( x + y )2 − xy = ⇒ xy = ( x + y )2 − Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt : t = x+ y ( x + y)2 Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: x + y ≥ 2 Lời giải Ta có : P = 2( x + y )( x − xy + y ) − xy = 2( x + y )(2 − xy ) − xy ( x + y)2 − , sau đặt t = x + y thì: t2 − t2 − P (t ) = 2t (2 − )−3 = −t − t + 6t + 2 2 ( x + y) ⇒ ( x + y ) ≤ ⇒ −2 ≤ t ≤ Ta có x + y ≥ P (t ) = −t − t + 6t + với −2 ≤ t ≤ Xét hàm số 2 Ta có P '(t ) = −3t − 3t + Ta có : xy = Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến t = P '(t ) = ⇔   t = −2 Ta có bảng biến thiên sau t -2 P’(t) + - 13 P(t) -7 Vậy P(t ) = P(−2) = −7 x = y = −1 [ −2;2]  1+ 1− x= ;y=  13 2 max P (t ) = P (1) = ⇔  [ −2;2]  1− 1+ ;y= x =  2 Thí dụ ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x ≥ 0, y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau : S = (4 x + y )(4 y + 3x ) + 25 xy Hoạt động khám phá : - Từ giả thiết x + y = đưa toán ẩn không ? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất x + y để sử dụng giả thiết - Chú ý đẳng thức : x + y = ( x + y ) − xy x + y = ( x + y )( x − xy + y ) Sau khai triển vào x + y = , ta có : S = 16 x y − xy + 12 - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : t = xy - Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức : ≤ xy ≤ Lời giải Ta có : S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy = 16 x y + 12( x + y ) + 34 xy = 16 x y + 12( x + y )( x − xy + y ) + 34 xy = 16 x y + 12[( x + y ) − xy ] + 34 xy, x + y = = 16 x y − xy + 12 Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm ( x + y )2 Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến ( x + y )2 1 t = xy x ≥ 0; y ≥ = ⇒0≤t ≤ Đặt Do nên ≤ xy ≤ 4 Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 với ≤ t ≤ f '( t ) = 32 t − Ta có f '(t ) = ⇔ t = 16 Bảng biến thiên t f’(t) 16 - + 25 12 f(t) 191 16 Vậy : 191 2+ 2− 2− 2+ f (t ) = f ( ) = ;y= ;y= x = x =  1 16 16 0;   4 4  4 25 max f (t ) = f ( ) = x= y=  1 2 0;   4 Thí dụ ( ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + với x, y số thỏa mãn điều kiện : ( x + y )3 + xy ≥ Hoạt động khám phá : - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để sử dụng dễ dàng Chú ý đẳng thức : x + y = ( x + y ) − xy x + y = ( x + y )( x − xy + y ) Và ( x + y ) ≥ xy Khi điều kiện toán trở thành : x + y ≥ Ta biến đổi A sau : Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + 3 = ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + 2 3( x + y ) ≥ ( x + y )2 + − 2( x + y ) + ( x2 + y )2 4 x + y ≥ ( ) Hay A ≥ ( x + y )2 − 2( x + y ) + - Vì ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến cách đặt t = x + y - Tìm điều kiện biến t ta sử dụng bất đẳng thức x + y ≥ ( x + y)2 Lời giải Ta có kết : ( x + y ) ≥ xy , từ ta có : ( x + y )3 + xy ≥ ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) ≥ ( x + y )3 + xy ≥ ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) ≥ ⇒ [ ( x + y ) − 1]  ( x + y ) + ( x + y ) +  ≥ ⇒ ( x + y) − ≥ 1  Do ( x + y ) + ( x + y ) +  = ( x + y ) +  + ≥ 0, ∀x, y 2  Bài toán đưa tìm max, : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + Với x, y thỏa mãn x + y ≥ Ta biến đổi biểu thức A sau : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + 3 = ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + 2 3( x + y ) ≥ ( x + y )2 + − 2( x + y ) + ( x + y )2 ( x + y ≥ ) Hay A ≥ ( x + y )2 − 2( x + y ) + ( x + y )2 ( x + y ≥ ) nên x + y ≥ 2 Đặt t = x + y Ta có hàm số f (t ) = t − 2t + với t ≥ f '(t ) = t − 2 f '(t ) = ⇔ t = Vì x + y ≥ Ta có bảng biến thiên sau : Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến t +∞ f '(t ) + +∞ f (t ) 16 f ( t ) = f ( ) = t= Vậy đạt 16 t≥ 2 9 Mặt khác, ta dễ thấy x = y = A = 16 16 Kết luận : A = x = y = giá trị lớn 16 Suy A ≥ Thí dụ (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức: kiện A= 1 + x3 y Hướng dẫn: 1 x3 + y ( x + y )( x − xy + y ) x+ y 1 + 3= 3 = =( ) = ( + )2 3 x y x y x y xy x y 2 Đặt x = ty Từ gải thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y A= t2 − t +1 t2 − t +1 ; x = ty = Do y = t +t t +1 2  1   t + 2t +  Từ A =  + ÷ =  ÷  x y   t − t +1  t + 2t + −3t + f ( t ) = ⇒ f '( t ) = Xét hàm số t2 − t +1 ( t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A là: 16 đạt x = y = Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến Thí dụ (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b số thực dương thỏa mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị lớn biểu thức  a b3   a b  P =  + ÷−  + ÷ a  b a  b Hướng dẫn: - Biến đổi giả thiết: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a + b ) + ab = a 2b + ab + 2(a + b) a b ⇔  + ÷+ = ( a + b ) + ( a + b ) b a a b 1 1 ⇔  + ÷+ = ( a + b ) +  + ÷ b a a b - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 1 1 1 1 a b  (a + b) +  + ÷ ≥ 2(a + b)  + ÷ = 2  + + ÷ a b a b b a        Suy ra:  + ÷+ ≥ 2  + ÷+ ⇒  + ÷≥ b a b a b a a b a b a b a b b , t ≥ Ta : P = 4(t − 3t ) − 9(t − 2) = 4t − 9t − 12t + 18 a Xét hàm số: f (t ) = 4t − 9t − 12t + 18 f '(t ) = 6(2t − 3t − 2) ≥ 0, ∀t ≥ 23   f (t ) = f  ÷ = − Suy min  2  ;+∞ ÷ Đặt t = + 2  Vậy P = − 23 a b 1 1 đạt đươc + = a + b =  + ÷ b a a b (a; b) = (2;1) (a; b) = (1; 2) Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến Thí dụ (Thi HKI 2010-2011- Khối 12- Sở GD- ĐT Bắc Giang) Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2( x + y ) = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: T= x4 + y4 xy + Hướng dẫn:   - Đặt t=xy từ giả thiết suy xy ≤ xy + ⇔ − ≤ xy ≤ Vậy t ∈  − ;   3 2 Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x y ta x + y ≥ xy - −7t + 2t + Biến đổi biểu diễn theo biến t ta được: T = 8t +  1 −7t + 2t + Xét hàm số f (t ) = , t ∈ − ;   3 8t + - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm max f (t ) = f (0) =  1 − ;     1 1 f (t ) = f  − ÷ = f  ÷ =  1  5   15 − ;    Từ kết luận giá trị lớn giá trị nho T Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm 1 Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến Phương pháp khảo sát biến toán ba biến  Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến lại, toán lúc trở thành bất đẳng thức biến Luôn có tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng công cụ hiệu toán đạo hàm  Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x, y, z P( x, y, z ) với điều kiện T  Bước Xem P( x, y, z ) hàm theo biến x , y, z số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta được: P ( x, y, z ) ≥ g ( y , z ) P ( x, y, z ) ≤ g ( y , z )  Bước Xem g ( y, z ) hàm biến y , z số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta : g ( y, z ) ≥ h( z ) g ( y, z ) ≤ h( z )  Bước Cuối khảo sát hàm số biến h( z ) với điều kiện T ta tìm min, max hàm Ta đến kết luận : P( x, y, z ) ≥ g ( y, z ) ≥ h( z ) ≥ m P( x, y, z ) ≤ g ( y, z ) ≤ h( z ) ≤ M Thí dụ (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + 2x + 3y y + z z + x Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến ? - Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị nhỏ P, tức : P( x, y, z ) ≥ P( x, y ) - Khảo sát hàm P( x, y ) , đưa P( x, y ) hàm số biến không ? - Bằng cách đặt ẩn phụ t = x để đưa P( x, y ) hàm biến Tìm GTLN y hàm số biến - Vậy P( x, y, z ) ≥ P ( x, y ) = P (t ) ≥ 34 33 Lời giải x y z Ta có : P = x + y + y + z + z + x Xem hàm theo biến z ; x, y số Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến −y z ( x − y )( z − xy ) P '( z ) = + = ( y + z ) ( z + x) ( y + z ) ( z + x ) Theo giả thiết x ≥ y ⇒ x − y ≥ P ≥ ⇔ z ≥ xy (do x, y, z ∈ [ 1; 4] ) Z xy P '( z ) P( z ) - + Từ bảng biến thiên: P ≥ P( xy ) = y x + 2x + 3y x+ y x y = + x + 1+ x y y Đặt t = x , x ≥ y, x ≥ z x, y, z ∈ [ 1; 4] nên ≤ t ≤ y t2 + Ta có 2t + + t −2  4t (t − 1) + 3(2t − t + 3)  f '(t ) = < 0, ∀t ∈ [ 1; 2] (2t + 3)2 (1 + t ) Xét hàm f (t ) = Suy f (t ) giảm [ 1; 2] , P ≥ P( xy ) = f (t ) ≥ f (2) = 34 33  z = xy  ⇒ x = 4, y = 1, z = Đẳng thức xảy :  x =2 t = y  34 Vậy P = 33   Thí dụ Cho ba số thực x, y, z ∈  ;3 Tìm giá trị lớn biểu thức: 3  a b c P= + + a+b b+c c+a Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến nào? Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến - Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị lớn P, tức : P(a, b, c) ≤ g (b, c) - Khảo sát hàm g (b, c) hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN g (b, c) , tức g (b, c) ≤ h(b) - Tiếp theo khảo sát hàm h(b) suy h(b) ≤ - Vậy P(a, b, c) ≤ g (b, c) ≤ h(c) ≤ Lời giải: a b c + + a+b b+c c+a Xem hàm số theo biến a , b, c số P (a) = Đặt b c (b − c)(a − bc) − = ( a + b) ( a + c) ( a + b) ( a + c) 1  Trường hợp 1: a ≥ b ≥ c a, b, c ∈  ;3 3  P '(a ) = 1  Suy b − c ≥ 0; a − bc ≥ nên P '(a) ≥ Do P(a) tăng  ;3 3  b c + + = g (c) (xem hàm theo biến c) 3+b b + c c +3 −b (b − 3)(3b − c ) 1  g '(c ) = + = ≤ Do g (c ) giảm  ;3 2 2 (b + c) (c + 3) (b + c) (c + 3) 3  3b + + = h(b) ( xem h(b) hàm số theo biến b) Suy ra: g (c) ≤ g ( ) = 3 + b 3b + 10 3 (1 − b)(1 + b) Ta có: h '(b) = (3b + 2) − (b + 3)2 = (3b + 1) (b + 3) ⇒ P (a ) ≤ P (3) = Ta có bảng biến thiên b h '(b) + - h(b) Suy h(b) ≤ h(1) = a = 3; b = 1; c =   Trường hợp : c ≥ b ≥ a a, b, c ∈  ;3 3  Từ kết trường hợp 1, ta có: P(a, b, c) ≤ Vậy P(a, b, c) ≤ P(3, b, c) ≤ P(3, b, ) ≤ P(3,1, ) = Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến ( a − b)(b − c)(a − c) Mặt khác : P(a, b, c) − P(c, b, a) = (a + b)(b + c)(a + c) ≤ ⇒ P(a, b, c) ≤  1 1    Vậy MaxS = , đạt (a, b, c) =  3;1; ÷,  ;3;1÷,  3; ;1÷ 3 3     Thí dụ Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức : P= 2 − + a +1 b +1 c +1 Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết abc + a + c = b đưa toán ẩn không ? a+c đưa P biến ( a < ) − ac c 2 2(a + c) −2+ (0 < a < ) Khi P = + 2 a + (a + 1)(c + 1) c +1 c - Biến đổi giả thiết a + c = b(1 − ac) > ⇒ b = - - Xem P hàm theo biến a c số 2c + = g (c ) suy f (a) ≤ c +1 c 1+ c 10 Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với < c < +∞ suy g (c) ≤ - Khảo sát hàm biến a f (a) với < a < - Lời giải : a+c a < − ac c 2 2(a + c ) −2+ , (0 < a < ) Thay vào biểu thức P ta : P = + 2 a + (a + 1)(c + 1) c +1 c ( x + c) − với < x < coi c tham số c>0 Xét hàm số : f ( x) = + 2 x + ( x + 1)(c + 1) c −2c( x + 2cx − 1)  1 = ⇔ x0 = −c + c + ∈  0; ÷ Ta có : f '( x) = 2 (1 + x ) (1 + c )  c Theo giả thiết ta có a + c = b(1 − ac) > ⇒ b = Ta có bảng biến thiên x c x0 f '( x ) f ( x) + - f ( x0 ) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) = c + c2 2c S = f (a) + ≤ + = g (c ) c +1 c +1 1+ c Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến Ta có : g '(c) = 2(1 − 8c ) (1 + c ) (3c + + c ) 2 = ⇔ c = c0 = ∈ ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên : c g '(c ) +∞ c0 + - g (c0 ) g (c ) Từ bảng biến thiên suy : g (c) ≤ g (c0 ) 10 10 Vậy với c = , a = , b = MaxS = ⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) = Thí dụ 10 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá P= trị nhỏ biểu thức: + + a b c Hoạt động khám phá: - Hãy suy nghĩ để chuyển toán ẩn mới? - Có thể biểu diễn để biểu thức P giả thiết đơn giản hay không? a b - Nếu đặt : x = , y = , z = toàn nào? c - Có thể chuyển toán cho ẩn không? 2x + y - Từ giả thiết : x + y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ 12 xy − 21 x > y 2x + y - Khi đó: S ≥ x + y + xy − = f ( x) - Khảo sát hàm số f ( x) xem y tham số cố định Ta S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = y + 32 y + 14 + = g ( y) 4y 2y - Tiếp tục khảo sát hàm biến g(y) - Ta đến kết luận : S ≥ f ( x) ≥ g ( y ) ≥ Lời giải : Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm 15 Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến a b c Đặt x = , y = , z = ⇒ x, y, z > 0; x + y + 21z ≤ 12 xyz S = x + y + 3z 2x + y Từ x + y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ 12 xy − 21 x > y 2x + y Từ biểu thức S suy được: S ≥ x + y + xy − = f ( x) ⇒ f '( x) = − ⇔ x = x0 = 14 − 32 y =0 (4 xy − 7) 32 y + 14   + ∈  ; +∞ ÷ 4y 4y  4y  Bảng biến thiên: x 4y +∞ x0 f’(x) - + f ( x) f ( x0 ) Khi từ bảng biến thiên , ta có: 32 y + 14 S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = y + + = g ( y) 4y 2y g '( y ) = (8 y − 9) 32 y + 14 − 28 y 32 y + 14 =0 Đặt t = 32 y + 14 phương trình g '( y ) = ⇔ (8 y − 9) 32 y + 14 − 28 = ⇔ t − 50t − 122 = ⇔ t = ⇔ y = y g’(y) Ta có bảng biến thiên: - g ( y) 15 Từ bảng biến thiên suy : g ( y ) ≥ g ( ) Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm +∞ + [...]...Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến - Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P(a, b, c) ≤ g (b, c) - Khảo sát hàm g (b, c) là một hàm theo biến c, còn b là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g (b, c) , tức là g (b,... 2 y + 4 xy − 7 = f ( x) - Khảo sát hàm số f ( x) xem y như tham số cố định Ta được S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = 2 y + 32 y 2 + 14 9 + = g ( y) 4y 2y - Tiếp tục khảo sát hàm một biến g(y) - Ta đi đến kết luận : S ≥ f ( x) ≥ g ( y ) ≥ Lời giải : Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm 15 2 Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến 1 a 1 b 1 c Đặt x = , y = , z =... Ta có bảng biến thiên x 1 c x0 0 f '( x ) f ( x) + 0 - f ( x0 ) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) = c 1 + c2 3 2c 3 S = 2 f (a) + 2 ≤ + 2 = g (c ) 2 c +1 c +1 1+ c Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Ta có : g '(c) = 2(1 − 8c 2 ) (1 + c ) (3c + 1 + c ) 2 2 2 = 0 ⇔ c = c0 = 1 ∈ ( 0; +∞ ) 8 Bảng biến thiên... khi a = 3; b = 1; c = 3 5 3 1   Trường hợp 2 : c ≥ b ≥ a và a, b, c ∈  ;3 3  8 Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: P(a, b, c) ≤ 5 Vậy P(a, b, c) ≤ P(3, b, c) ≤ P(3, b, ) ≤ P(3,1, ) = Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến ( a − b)(b − c)(a − c) 8 Mặt khác : P(a, b, c) − P(c, b, a) = (a + b)(b + c)(a + c) ≤ 0 ⇒... kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P= 2 2 3 − 2 + 2 a +1 b +1 c +1 2 Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết abc + a + c = b có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không ? a+c 1 có thể đưa P về 2 biến ( a < ) 1 − ac c 2 2 2(a + c) 3 1 −2+ 2 (0 < a < ) Khi đó P = 2 + 2 2 a + 1 (a + 1)(c + 1) c +1 c - Biến đổi giả thiết a + c = b(1 − ac) > 0 ⇒ b = - - Xem P là hàm theo biến a còn c là hằng... (c ) suy ra f (a) ≤ 2 c +1 c 1+ c 10 Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với 0 < c < +∞ suy ra g (c) ≤ 3 - Khảo sát hàm biến a là f (a) với 0 < a < - Lời giải : a+c 1 và a < 1 − ac c 2 2 2(a + c ) 3 1 −2+ 2 , (0 < a < ) Thay vào biểu thức P ta được : P = 2 + 2 2 a + 1 (a + 1)(c + 1) c +1 c 2 1 ( x + c) 1 − 1 với 0 < x < và coi c là tham số c>0 Xét hàm số : f ( x) = 2 + 2 2 x + 1 ( x + 1)(c + 1) c −2c( x... ⇔ c = c0 = 1 ∈ ( 0; +∞ ) 8 Bảng biến thiên : c g '(c ) +∞ c0 0 + 0 - g (c0 ) g (c ) Từ bảng biến thiên suy ra : g (c) ≤ g (c0 ) 10 3 10 1 2 Vậy với c = , a = , b = 2 thì MaxS = 3 2 8 ⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) = Thí dụ 10 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá P= trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 3 + + a b c Hoạt động khám phá: - Hãy suy nghĩ để chuyển bài toán về ẩn... = g (c) (xem đây là hàm theo biến c) 3+b b + c c +3 −b 3 (b − 3)(3b − c 2 ) 1  g '(c ) = + = ≤ 0 Do đó g (c ) giảm trên  ;3 2 2 2 2 (b + c) (c + 3) (b + c) (c + 3) 3  1 3 3b 1 + + = h(b) ( xem h(b) là hàm số theo biến b) Suy ra: g (c) ≤ g ( ) = 3 3 + b 3b + 1 10 3 3 (1 − b)(1 + b) Ta có: h '(b) = (3b + 2) 2 − (b + 3)2 = (3b + 1) 2 (b + 3) 2 ⇒ P (a ) ≤ P (3) = Ta có bảng biến thiên b 1 3 1 h... theo biến c, còn b là hằng số Khảo sát hàm số với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g (b, c) , tức là g (b, c) ≤ h(b) 8 5 - Tiếp theo khảo sát hàm h(b) suy ra h(b) ≤ 8 5 - Vậy P(a, b, c) ≤ g (b, c) ≤ h(c) ≤ Lời giải: a b c + + a+b b+c c+a Xem đây là hàm số theo biến a , còn b, c là hằng số P (a) = Đặt b c (b − c)(a 2 − bc) − = ( a + b) 2 ( a + c) 2 ( a + b) 2 ( a + c) 2 1  Trường hợp 1: a ≥ b ≥ c... +∞ ÷ 4y 4y  4y  Bảng biến thiên: x 7 4y +∞ x0 f’(x) - 0 + f ( x) f ( x0 ) Khi đó từ bảng biến thiên , ta có: 32 y 2 + 14 9 S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = 2 y + + = g ( y) 4y 2y g '( y ) = (8 y 2 − 9) 32 y 2 + 14 − 28 4 y 2 32 y 2 + 14 =0 Đặt t = 32 y 2 + 14 thì phương trình g '( y ) = 0 ⇔ (8 y 2 − 9) 32 y 2 + 14 − 28 = 0 ⇔ t 3 − 50t − 122 = 0 ⇔ t = 8 ⇔ y = y 0 g’(y) 5 Ta có bảng biến thiên: 4 5 4 - 0 g ... kết luận giá trị lớn giá trị nho T Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm 1 Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến Phương pháp khảo sát biến toán ba biến  Đối... kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến NỘI DUNG Phương pháp đưa biến toán hai biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm. .. Xét hàm số t2 − t +1 ( t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A là: 16 đạt x = y = Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều