SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỚNG THPT LẾ QUY ĐÔN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Lam rri Á rri r Tô Toán Trường THPT Lê Quý Đôn Năm học: 2011 -2012 L TÊN ĐÈ TÀI: RÈN LUYÊN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II ĐẶT VẤN ĐÈ: Bài toán tính thể tích khối đa diện thể tích khối ừòn xoay chiếm phần lớn thời lượng kiến thức ừong chương ừình Hình học lớp 12 Tuy nhiên, học sinh lớp 12, gặp dạng toán đa số em gặp nhiều lúng túng giải Nguyên nhân sâu xa làm cho em ngại dạng toán em bị hỏng số kiến thức hình học phẳng lớp kiến thức Hình học không gian lớp 11 Đặc biệt, ừong đề thi - Đại học Cao đẳng - THCN em gặp lớp toán thể tích mà có số em biết phương pháp giải trình bày lủng củng, chưa gọn gàng sáng sủa, chí mắc số sai lầm không đáng có ừong trình bày Trong sách giáo khoa Hình học lớp 12, phần tập thể tích khối đa diện tập phần ôn chương có tập dạng hầu hết tập khó đa số học sinh Do đó, dạy phần giáo viên không củng cố kiến thức hình học phẳng lớp hình học không gian lớp 11 cung cấp cho học sinh tập dạng học sinh gặp nhiều khó khăn ừong việc giải toán dạng Hơn nữa, việc phân loại tập tính thể tích theo dạng việc làm quan trọng, nhờ em khắc sâu kiến thức cũ vận dụng dạng tập, tránh sai lầm trình giải Giới hạn nghiên cứu đề tài: - Thể tích khối đa diện: Các dạng toán nâng cao nằm chương trình Hình học 12 - Một số toán tính thể tích đề thi Tốt nghiệp Đại học - Cao đẳng III Cơ SỞ LÍ LUẬN: Nhiệm vụ ừọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt kiến thức thuộc môn Toán học việc làm cần thiết Muốn học tốt môn Toán, em phải nắm vững tri thức khoa học môn Toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, ttrong trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học nghiên cứu môn Toán cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, biết phân dạng tập giải tập với nhiều cách khác IV Cơ SỞ THựC TIỄN: GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Trường THPT Lê Quý Đôn Đối với học sinh lớp 12, đa số em ngại gặp toán Hình học không gian nói chung toán tính thể tích nói riêng Trong đó, tập tính thể tích khối đa diện sách Hình học lớp 12 phần lớn tập khó Hơn nữa, nhiều học sinh học yếu hình học không gian lớp 11 kiến thức hình học phẳng chưa vững làm dạng toán Vì vậy, việc hệ thống lại kiến thức phân dạng lớp tập tính thể tích từ dễ đến khó việc làm thiết thực nhằm giúp em có kĩ giải toán tính thể tích V NỘI DUNG: THẺ TÍCH KHỐI CHÓP - KHỐI LĂNG TRỤ Bài toán khối chóp thường gặp hai dạng sau: Hỉnh chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng Hình chóp đáy B Đa giác đáy: - Tam giác vuông - Tam giác cân - Tam giác - Hình vuông, hình chữ nhật - Hình chóp tam giác - Hình chóp tứ giác GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Trường THPT Lê Quý Đôn A I Lăng ừụ đứng ABC.A1B1C1 AiA (ABC) Lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 AiG (ABC) HỆ THÓNG KIÉN THỨC BẢN A A Các tính chất hình học phẳng: a Tam giác : Diện tích tam giác: A S^^ịBC.AH - Các tam giác đặc biệt: o Tam giác vuông: o + Định lý pitago: BC2 =AB2 + AC2 rr,J_ X _: / X X _ L cosH o Tam giác cân: íílilĩelí ,1 Đoi tiĩỉiB = - = - b Re c + Diện tích tam giác vuông: SầẢBC=ị.AB.AC + Đường cao AH đường trung tuyến GV: Ngứyễn Thị Thàhh Lam - Tẻ Toán - Trường THPT Lê Quỷ Đôn C1 + Tính đường cao diện tích A T í n r r X Tv, J1 /! i i = n i i t n r L n SầABC = l-.BC.AH GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn o Tam giác + Đường cao tam giác /7 h=AM = AB,— s (đường cao h = cạnh X —) + Diện tích: S&ASC = (ABý £ + Diện tích hình vuông: Sabcd=(AB)2 + Đường chéo hình vuông AC = BD = AB.JĨ {đường chéo hình vuông cạnh X X ~ J Ĩ ) + OA = OB = oc = OD B + Diện tích hình vuông: SABCD = AB.AD (Diện tích dài nhân rộng) +Hai đường chéo hình chữ nhật OA - OB = oc = OD B Thể tích khối chóp: Các khối chóp đặc biệt: Khối tứ diện đều: + Thể tích khối chóp Trong đó: B diện tích đa giác đáy h đường cao hình chóp + Tất cạnh + Tất mặt tam giác + o trọng tâm tam giác đáy AO (BCD) s - Khối chóp tư giác + Tất cạnh bên + Đa giác đáy hình vuông tâm o + SO (ABCD) C.Góc: Cách xác định góc: - Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): o Tìm hình chiểu d' d lên mặt phang (P) o Khi góc d (P) góc dvà d\ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) góc sc với (ABCD) 45° Hãy xác định góc Giải: Ta có: AC hình chiếu sc mp(ABCD) > { S C Â A C D ) i S C ^ Ã C ) /2, AC = ãj3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB = aS Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải ■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy,vẽ đường cao SA (ABC) đường thẳng đứng - Sử dụng định lý pitago tam giác vuông ■ Lời giải: ■-((55C),(_45C£0) ISĨToM') SĨỈO 60 Ta có: AB = ajĩ, AC = âj3 SB = ayỈ3 * A ABC vuông B nên: BC = JAC2-AB2 =a 1 r ầ.yì2 => Saabc = -BA.BC = ị.a^ỉĩ.a = ^ s c A , * A SAB vuông A có SA = yjsB2-AB2 = a * Thể tích khối chóp S.ABC B Bài toán 1.2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = aV2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB = a\l3 Tính thể tích khối chóp s ABC Giải ■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC vuông cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago ừong tam giác vuông ■ Lời giải: Ta Bài toán 1.4: có : AC = SL^IĨ, SB = a1ỉĩ * A ABC vuông, cân B nên Uc1 BA = BC = J—-— = a V2 =* S^c = \BA.BC = ị.a.a = ị * A SAB vuông A có SA = \jsB2-AB2 = a * Thể tích khối chóp S.ABC: *SJÌBC ~ ABC— a~ Bài toán 1.3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB = a-ỊĨ Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải ■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC có ba góc 60° sử dụng định lý pitago tam giác vuông SAB ■ Lời giải: 1A ABC cạnh 2a nên: AB = AC = BC = 2a => SAABC = —BA.BC.S,m6ồữ = ~.2a.2a.— = a2.yjĩ * A SAB vuông A có SA = yỊsB1 -AB1 = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a3.yỊ3 , — —.S^ịgg.SẢ — —.ct \3.ct — - BM _ ~ ayỊỈ ~ 2~ , BO=—,BM = 3 a2.V3 J aS gyj3 ABCD * A AOB vuông o có D a^Ỉ6 A0 = slAB2 -B02 = l(a) * Thể tích khối chóp S.ABC q3.>/2 12 Bài toán 1.10: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C’ CÓ đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AC = a>/3, cạnh A B = 2a Tính thể tích khối lăng trụ Giải: * Tam giác ABC vuông B _I c ^ 3' V CD- A!A = 'JA'B1 AB2 =ayỉĩ *v =s ABC.A'B'Ờ ABC A'A= (!-^- Dạng THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - KHỐI LÃNG TRỤ LIÊN QUAN ĐÉN GÓC Bài toán 2.1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a, ACB = 60°, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 45° Tính thể tích khối chóp S.ABC - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thắng đứng - Xác định góc SB (ABC) góc SB với hình chiểu lên (ABC) ■ Lời giải: s * Ta cóò: AB = a= a , : Ats AB hình chiếu SB lên mp(ABC) { S B A A B C ' ) ) { S % A S ) Ĩ B A - 15° * A ABC vuông B có AB = a, Bcs = 60° BC = tan 60 V3 = -BA.BC = 2 * A SAB vuông A có AB= a,3 -ĩ 5Ũ => SA = AB.tan 45° = a „ * Thê tích khối chóp S.ABC: Ví Bài toán 2.2: úr= s/3 SAABC -,a = - 18 „ _ ABCD hình vuông cạnh a, cạnh Cho hình chóp S.ABCD có đáy bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy sc tạo với mặt đáy góc a.yjĩ a.JĨ 60° Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) vẽ thẳng đứng - Xác định góc (ABCD) góc với hình chiểu AC sc lên (ABCD) ■ Lời giải: * Ta có: ABCD hình vuông cạnh a, AC = hc sc sc sc (ABCD) [ S C , Ỉ I B C D Ỵ ) [5C~4Cj C A 60° * Diện tích hình vuông ^ABCD — a g A SAC vuông A có AC= aj2 , & = 60° SA = AC tan 60° = ỡa/ó * Thê tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = ị-SABCD-SA = \.a\a4ẽ = iẠ Bài toán 2.3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = ciyỊĨ, BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC ■ Sai lầm học sinh: Giải 20 s - Gọi M trung điểm BC - Ta có AM BC SM BC => (^SẩC), {ABC)) = Ẹầt,AM) = ^MA = 60' c A (Hình vẽ sai) B ■ Lời giải đúng’ * Ta có : AB = ứs/3, (SBC) n (ABC) = BC AB BC ( A ABC vuông B) SB BC (vì AB = hc SB) A A ABC vuông B có AB = ajs ,BC =a -BA.BC = -.aS.a = ^AABC2 22 * A SAB vuông A có AB= a, ố = 60° => SA = AB tan 60° = 3a * Thể tích khối chóp S.ABC: VS^BC = ~.Sabc.SA = — 3a = a ■ Nhận xét: - Học sinh không lý luận để góc 60°, đỏ điểm - Học sinh xác định góc hai mặt phang bị sai đa sổ học sinh không nắm rõ cách xác định góc nghĩ góc SMA với M trung điểm BC o Nếu đáy tam giác vuông B Ợĩoặc C) hình vuông SA vuông góc với đáy góc mặt bên mặt đáy góc xác định hai vị frí đầu mút cạnh giao tuyển o Nếu đáy tam giác cân (đều) SA vuông góc với đáy hình chóp góc mặt bên mặt đáy góc vị frí trung điểm cửa cạnh giao tuyển Bài toán 2.4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh BC = ayj2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳnp đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 45° Tính thê tích khối chóp S.ABC GV: Nguyễn Thị Thanh Lam - Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn Giải Sai lầm học sinh: :■ (ÍSBC), (ABC)) SSA -15° Lời giải đúng: * Ta có : AB = ayỊĨ , (SBC) n (ABC) = BC Gọi M trung điểm BC AM BC (vì A ABC cân A) SM BC (vì AM = hc SM (ABC) ■ ịỊ S B C l Ĩ A S C) ' ) ( S Ĩ Í^ A X ' ) Ĩ Ĩ ỈA 45° A ABC vuông cân A có 3C = ayj2 AB = BC = a AM = Saabc = ịAB.AC = ị a a = Ỷ * A SAM vuông A có AM= a^ỉĩ ct SA = AB.hm45°=^- = 45° a * Thể tích khối chóp S.ABC: VS.BC = -.S^.SA = V s^sc ABC 2 12 Bài toán 2.5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = ayỊĨ, mặt bên (A’BC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 30° Tính thể tích khối lăng trụ ' A/ d Giải * Ta có A7A (ABC) (A'BC)n(ABC) = BC ABlBC Mà AB = hc(ABC)A'B nên A7B BC C(.4'SỐ7C45í:J) 30° Tam SABC=-AB.BC = 2 * Tam giác A7AB vuông A => AỈA = AB tan 30° = Ĩ~BA giác ABC vuông B *y ABC.AỈtíờ Bài toán 2.6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh 2a- Jĩ , hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, cạnh A A hợp với mặt đáy (ABC) góc 30° Tính thể tích khối lăng trụ c / Giải: * Gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Ta có A’G (ABC) GA hình chiếu A’ A lên mp(ABC) A :■ iÄÄAABC')) Ấ^AG 30° => AỈG = Dạng AG.\Z.n30° = ^^ Vậy V TỶ SỐ THẺ TÍCH - Việc tỉnh thể tích khổi chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ ” khối chóp cho Khi học sinh thực cách sau: + Cách 1; o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao (phải chứng minh đường cao vuông góc với mặt phẳng đáy), o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách 2: o Xác định đa giác đáy o Tình tỉ số độ dài đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho + Cách 3: Dùng tỉ số thể tích: Hai khối góc chóp S.MNK S.ABC có chung đỉnh s đỉnh s Cả hai chương trình chuẩn nâng cao A có c đề “nhỏ” liên quan đến s B cập đến tính thể tích khối chóp kiện khối chóp lớn Bài toán 3.1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = ayj3 Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải ■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ ” dựa frên kiện liên quan đến khối chóp cho ■ Lời giải: Cách 1: (dùng công thức thể tích V = -.s.h) * Khối chóp S.AMN có - Đáy tam giác AMN - Đường cao SA -\/3 SAẨMW=-^/u4^.sm60 =—.a.a.—— = —:— 2 * SA = a-ji * Thê tích khối chóp S.ABC „,1 a2.yỈ3 ỊT a3 S^ĨMN = “ -SAMN-SA - ệ' .a.yị3 = - JSỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỚNG THPT LẾ QUY ĐÔN .1 RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN Uc1 .9 theo a (ĐS : ^2) 26 —soẼQỊca - 30 _ _ ^ y S~AMN y A.SMN Ta có: V SABC 'v vnr’ = 1-.Sabc.SA V Vâv V = g^c = — [...]... SA = 2a Gọi I là trung điểm sc Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải ■ Giảo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ ” dựa frên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho 2 3 Gọi o là giao điểm AC và BD Ta có : lố // SA và SA 1 (ABCD) => IO 1 (ABCD) Bài tập về thể tích khối đa diện Bài 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy... thức căn bản, các em có thể giải được các bài tập nâng cao cũng như dễ dàng hơn trong việc giải bài toán thể tích của các khối tròn xoay VIII KIÉN NGHỊ: Nhằm giúp học sinh học tốt hơn phần thể tích khối đa diện, bản thân tôi có kiến nghị: - Trong phân phối chương ừình môn Toán lớp 12, các cấp có thẩm quyền nên tăng cường thêm số tiết cho nội dung này - Đối với học sinh lớp 12, giáo viên nên dành một... điểm cua SB và SC Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM Giải ■ Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tỉnh thể thể tích một khối chóp “nhỏ ” dựa frên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho ■ tích) Lời giải: {Dùng công thức tì số thể Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh s và góc ở đỉnh s Do đó theo công thức tỉ số thể tích, ta có: 1A AMN có... THPT LẾ QUY ĐÔN .1 RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỚI ĐA DIỆN 1 Uc1 .9 theo a (ĐS : ^2) 26 —soẼQỊca - 30 Bài 1.22 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và BAC = 120 °, cạnh AA’ = a Gọi I là trung điểm của CC’ a) Chứng minh rằng Tam giác AB’I vuông tại A b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C\ ...1 L TÊN ĐÈ TÀI: RÈN LUYÊN HỌC SINH LỚP 12 KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN II ĐẶT VẤN ĐÈ: Bài toán tính thể tích khối đa diện thể tích khối ừòn xoay chiếm phần lớn thời... Quý Đôn Đối với học sinh lớp 12, đa số em ngại gặp toán Hình học không gian nói chung toán tính thể tích nói riêng Trong đó, tập tính thể tích khối đa diện sách Hình học lớp 12 phần lớn tập khó... Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải ■ Giảo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ ” dựa frên kiện liên quan đến khối