Thông tin tài liệu
TRƯỜNG THPT TIÊN DU SỐ ************************** CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ GIÁO VIÊN: VŨ THỊ THẢO Bắc Ninh, tháng năm 2012 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Giới hạn hữu hạn lim f ( x) L ( xn ) : xn x0 ; lim xn x0 lim f ( xn ) L Định nghĩa: x x0 Giới hạn đặc biệt: lim C C ; lim C C ; lim x x0 ; lim x k x0k x x0 x x0 x x0 x x0 Nếu giới hạn: lim f ( x) L ; lim g ( x) M thì: Định lý: x x0 x x0 lim [ f ( x) g ( x )] lim f ( x) lim g ( x ) ; x x0 x x0 lim f ( x ) f ( x ) x x0 lim x x0 g ( x ) lim g ( x ) lim f ( x ).g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x) x x0 x x0 x x0 x x0 lim f ( x) lim f ( x) ( M ); x x0 x x0 x x0 lim x x0 f ( x) lim f ( x ) ; lim x x0 x x0 f ( x) lim f ( x ) ( f ( x ) ) x x0 Nguyên lý kẹp giữa: Cho f(x), h(x) g(x) xác định khoảng K chứa điểm x0 (có thể trừ điểm x0 ) g ( x ) f ( x ) h( x); x K \ x0 Nếu lim g ( x) lim h( x) L lim f ( x) L x x0 x x0 x x0 lim f ( x) L ( x n ) : xn x0 ; lim xn x0 lim f ( xn ) L Giới hạn bên: x x0 lim f ( x ) L ( xn ) : xn x0 ; lim xn x0 lim f ( xn ) L x x0 lim f ( x) L lim f ( x ) lim f ( x ) L x x0 x x0 x x0 II) Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Định nghĩa: lim f ( x ) L ; lim f ( x) ; lim f ( x ) x x x x0 Giới hạn đặc biệt: lim c c x x c 0; x x c 0 x x k lim ; k 2n lim x k x ; k 2n lim x k ; (c 0) lim lim x 0 ; x lim x 0 x lim x 0 1 lim x x 0 x Định lý: lim f ( x) L x x0 Nếu lim f ( x).g ( x) x x0 lim g ( x ) x x0 lim f ( x ) L f ( x ) x x Nếu lim x x0 g ( x ) lim g ( x ) x x0 L. lim g ( x) f ( x) x x0 0 ; lim x x0 g ( x) L. lim g ( x ) x x0 khi khi L.g ( x) L.g ( x ) B MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I) CÁC DẠNG XÁC ĐỊNH DẠNG lim f ( x ) (với f(x) xác định x0) x x0 Phương pháp: + Nếu f(x) cho công thức lim f ( x) f ( x0 ) x x0 + Nếu f(x) cho đa công thức ta tính lim f ( x ) lim f ( x) x x0 Ví Dụ Tính giới hạn sau: x3 x a) lim x 3 x x 4 x x 2 b) lim f ( x) f ( x ) x 2 x x 2 Giải: x x (3) 31 = x 3 x x (3) 3(3) 18 a) lim b) Ta có: lim f ( x ) lim (4 x ) 8 x ( 2 ) x ( 2 ) lim f ( x) lim x 8 x ( 2 ) x ( 2 ) Do lim f ( x ) lim f ( x) 8 lim f ( x) 8 x ( 2 ) x ( 2 ) x 2 x x0 Bài tập tương tự Tính giới hạn sau: a) lim (2 x 3x 1) b) lim ( x x 2) x 1 x 2 x 5.3 x x 1 x3 x c) lim x x3 d) lim f ( x) f ( x ) x1 2 x khi x 1 x 1 DẠNG lim f ( x ) g( x ) L ( ) với L x x0 Phương pháp: lim f ( x) L x x0 + Nếu lim f ( x).g ( x) x x0 lim g ( x ) x x0 khi L. lim g ( x) x x0 L. lim g ( x ) x x0 Ví Dụ 2.Tính giới hạn sau: 2x a) lim x 1 ( x 1) x c) lim x b) lim ( x k x k 1 x 1) , k N * x 3x x d) lim x x 3x Giải: 2x , lim 3 nên x 1 ( x 1) x 1 x a) Vì lim b) lim ( x k x k 1 x 1) = lim x k (1 x x *) Nếu k chẵn : 1 1 k 1 k ) x x x x lim x k , lim (1 1 1 k 1 k ) x x x x x x lim x k (1 1 1 k 1 k ) x x x x x *) Nếu k lẻ: 2x lim x 1 ( x 1) x lim x k , lim (1 x x lim x k (1 x 1 1 k 1 k ) x x x x 1 1 k 1 k ) x x x x c) lim 3x x lim x x x x x 3x lim x d) lim x x Vì lim x lim x x 3 2 x 4 lim x ; lim x x x x x x Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau: 4x a) lim x ( x 2) 4 x 6 x b) lim x ( x 3) 7x c) lim ( x x 5) d) lim (2 x x 1) x x e) lim ( x k x k 1 x 1) , k N * f) lim x x 3x x3 x 3x g) lim x DẠNG lim x x0 f ( x) L với L g( x ) 0 Phương pháp: lim f ( x ) L f ( x ) x x + Nếu lim x x0 g ( x ) g ( x) xlim x0 khi L.g ( x) L.g ( x ) Ví Dụ 3.Tính giới hạn sau: x2 x a) lim x 3 x3 c) lim x 3 b) lim 4x ( x 1)7 d) lim 2x x 1 1 x x 1 x 1 ( x 3)( x x 3) x 1 Giải: a) lim ( x x 3) 9 lim ( x 3) , x 0, x ; lim x 3 x 3 x 3 x2 x x3 b) Vì lim (4 x 5) 1 lim ( x 1)7 , ( x 1)7 0, x nên lim x 1 x 1 x 1 4x ( x 1)7 x 1 x 1 lim lim 2 x 3 ( x 3)( x x 3) x 3 ( x 3) ( x 1) x 3 ( x 3) c) lim d) lim x 1 2x 2x lim x 1 x 1 1 x x [ x 2] 2x lim 0 x 1 [ x 2] 1 x Vì lim x 1 Bài tập tương tự : Tính giới hạn sau: a) lim x2 x x3 d) lim 3x ( x 2)( x 8) x 3 x 2 f) lim x ( 4 ) 2x x 2 ( x 2) c) lim b) lim e) lim x 3 x 3x x x 1 4x ( x 1)7 x 1 ( x 3)( x x 6) 0 II) CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH: ; ; ; 0 0 DẠNG lim x x0 f ( x) 0 đó: P ( x ) Q ( x ) g( x ) 0 Phương pháp: + Nếu f(x), g(x) đa thức ta phân tích tử mẫu thành nhân tử để rút gọn + Nếu f(x), g(x) chứa thức bậc ta nhân đại lượng liên hợp tử mẫu + Nếu f(x), g(x) chứa thức không bậc ta thêm bớt số (biểu thức) viết tổng giới hạn đơn giản Ví Dụ Tính giới hạn sau: x 27 x 18 x a) lim b) lim x x3 x x 1 x x3 x x x4 x ( 1) x c) lim x n a n na n 1 ( x a) x a ( x a )2 x x x n n , n N x 1 x 1 e) I lim d) lim Giải: x 27 ( x 3)( x x 9) x 3x 9 a) Ta có lim lim lim x 18 x x 3 x 2(3 x )(3 x) 2( x 3) b) lim x x4 x ( 1) x ( x )( x )( x 2) ( x )( x 2) lim 8(2 ) x x 1 ( x 2)( x 1) 1 lim x x3 x ( x 1)( x x 2) x2 2x lim lim x 1 x x x x x 1 ( x 1)( x x 2) x 1 x x c) lim x x x n n ( x 1) ( x 1) ( x n 1) lim x 1 x 1 x 1 x 1 d) lim ( x 1)[1 ( x 1) ( x n 1 x n 1)] x 1 x 1 lim ( x 1)[1 ( x 1) ( x n 1 x n 1)] x 1 x 1 lim lim[1 ( x 1) ( x n 1 x n 1)] n x 1 n(n 1) x n a n na n 1 ( x a) ( x a )[( x n 1 x n a xa n a n 1 ) na n 1 ] lim x a x a ( x a) ( x a) e) I lim ( x n 1 x n 2a xa n a n 1 ) na n 1 xa xa lim ( x n 1 a n 1 ) ( x n 2a a n 1 ) ( xa n a n 1 ) lim xa xa ( x n 1 a n 1 ) a( x n a n ) a n ( x a) lim xa xa ( x n 1 a n 1 ) a( x n a n ) a ( x n3 a n3 ) a n ( x a) lim lim lim lim xa xa xa x a xa xa xa xa I I1 I I n Vì I lim ( x n x n 3a xa n a n ) (n 1)a n xa I1 lim a( x n x n 4a xa n a n ) (n 2)a n xa I lim a ( x n x n 5a xa n a n ) (n 3)a n xa I n lim a n a n xa I I I1 I I n [(n 1)a n (n 2)a n (n 3)a n a n ] [1 (n 3) (n 2) (n 1)]a n Ví Dụ Tính giới hạn sau: a) lim x32 x2 b) lim c) lim 3x x x2 4x d) lim x 1 x 3 x a xa x2 a x a , với a>0 x 1 x 1 4x Giải: a) Nhân liên hợp ta có lim x 1 x32 ( x 2)( x 2) x 1 lim lim 2 x x x 1 x 1( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) 1 x 1 ( x 1)( x 2) lim b) lim x a xa x a lim ( x a) x a x 3 lim x 3 x a ( x a )( x a ) xa c) lim x a lim 2 lim x a x a x a lim xa xa x2 a2 , xa 1 lim x a xa ( x a) x a 2a 2a 3x x ( x x 1)( x x 1) lim x 3 x 4x ( x x 3)( 3x x 1) 2( x 3) lim x ( x 1)( x 3)( x x 1) ( x 1)( 3x x 1) x 1 (3 x 1)(3 x x 1)( x 1) d) lim lim x 1 x x 1 ( x 1)( x 1)(3 x x 1) lim x 1 lim x 1 (3 x 1)(3 x x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)(3 x x 1) 4x 3 4( x x 1) lim x 1 ( x 1) x 1) 4( x 1)(3 x x 1) n(n 1)a n 2 Ví Dụ Tính giới hạn sau: 1 x x x0 x c) L lim x 0 x 3x x2 b) J lim a) I lim x 0 x 3x x Giải: a) Ta có 1 x x 1 x 23 8 x lim lim I1 I x 0 x0 x 0 x x x I lim 1 x (2 x 2)(2 x 2) 2x lim lim lim 1 x 0 x 0 x x( x 1) x 0 x x x ( x 2) I1 lim (2 x )(4 23 x (8 x) ) 23 8x lim x 0 x 0 x x (4 23 x (8 x ) ) I lim lim x0 x lim x(4 23 x (8 x ) ) I 1 x 0 23 x (8 x )2 12 13 12 12 b) Ta có x ( x 1) ( x 1) x x ( x 1) ( x 1) x lim lim J1 J x0 x0 x2 x2 x2 J lim x 0 x ( x 1) x ( x 1)2 J1 lim lim x 0 x 0 x2 x2 x ( x 1) lim x 0 x x2 lim x ( x 1) x 1 1 x ( x 1) ( x 1) x ( x 1)3 (1 3x ) J lim lim x0 x 0 x2 x [( x 1)2 ( x 1)3 3x (1 x) ] lim x 0 x3 [( x 1) ( x 1)3 3x (1 3x )2 ] Do J 1 1 2 1 x 3x 1 x x x 3x lim x0 x x c) Ta có L lim x 0 x x x x 1 2x 1 x (3 x 1) lim lim x 0 x 0 x 0 x x x L1 L2 lim L1 lim 2x 2x lim lim x x x x x0 L2 lim x (3 x 1) 3x x lim x x x (1 3x (1 x ) ) x0 x 0 2x 1 x x (1 x ) lim n Tổng quát: Tính L lim x 0 1 2x Vậy L=2 ax m bx , x m n nguyên dương ; a 0, b Ví Dụ Tính giới hạn sau: a) I lim x 1 n c) L lim x 0 x 1 x 1 b) J lim x 1 2x x x 1 ax , n N , a x Giải :( Dùng phương pháp đổi biến) a) Đặt x t12 x t12 t x t12 t Khi x t Do I lim x 1 b) * J lim x 1 x 1 t3 1 t2 t 1 lim lim t t t 1 (t 1)(t 1) x 1 2x 1 x 2x x 1 lim lim J1 J x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 t4 1 t4 1 2x x t ( t ) x x * J1 lim đặt 2 x 1 x 1 x 1 t 1 Do J1 lim t 1 t 1 lim t t 1 (t 1)(t 1) 2 10 * J lim x 1 Đặt x 1 x 1 x y x y ; x y 1 Do J lim y 1 Vậy J y 1 1 lim y y 1 y y y y 1 1 10 Bài tập tương tự: BÀI 4.1 Tính giới hạn sau: x 27 x 18 x x 5x x x3 x x x n nx n x 1 ( x 1) a) lim b) lim e) lim x x2 c) lim x2 x x x x3 3 d) lim x 3 x m f) lim , m N x 1 x m 1 x (1 mx) n (1 nx ) m , với m, n số nguyên dương lớn x0 x g) lim (1 x)5 (1 x) x0 x2 x5 ( x h)3 h h h h) lim m) lim BÀI 4.2 Tính giới hạn sau: a) lim x 3 x 2x x3 c1) lim x2 2x x e) lim x 1 b) lim 27 x 3 x c2) lim x9 x6 7 x x 3 x0 x32 x2 x 3 d) lim g) lim x2 i) lim x 3 3x j) lim x x x 18 x x3 3x x 1 x x2 h) lim x0 1 x 1 x m) lim x 1 c) lim k) lim x 1 x 1 x 1 x x 1 x x2 2 x 7 3 x2 2x x2 x x2 4x x2 x x x4 x x 3x x 2 x2 2x x52 x2 n) lim 11 x 1 4x 1 p) lim x 1 BÀI 4.3 Tính giới hạn sau: x x2 x a) lim x 0 x x2 x 1 b) lim x 1 x x2 c) lim x 1 x2 1 d) lim x 3 3 9 x 5 e) lim x 1 x 1 2x x g) lim x 1 x 1 x0 x0 4 x 13 x x h) lim j) lim 1 x x x 0 x x0 x x x 10 x x DẠNG lim x x0 x 3x x2 i) lim k) lim x0 27 x 81x x 1 f ( x) đó: f(x), g(x) đa thức biểu thức chứa thức g( x ) Phương pháp: + Nếu f(x), g(x) đa thức ta chia tử mẫu cho lũy thừa cao x + Nếu f(x), g(x) chứa thức ta chia tử mẫu cho lũy thừa cao x nhân thêm đại lượng liên hợp + Chú ý: A B với A 0; B A B A B A2 B với A 0; B Ví Dụ : Tính giới hạn sau: x 3x x x2 1 a) lim (2 x 1)( x 3) x c) lim x 3x x 3x x x x3 x b) lim d) lim x 3x lim x x x2 1 Giải : a) lim x 4x2 x x 3x x x2 1 x 2 12 e) lim x x 3x 5x x2 2x 1 2 3x x x 0 b) lim lim x x x x x x 1 x (2 x 1)( x 3) x (2 x 1)( x 3) x (2 x 1)( x 3) x lim lim x x x 3x x 3x x 4x c) lim (2 )(1 ) x x x lim x 1 4( ) x x 1 1 Vì lim (2 )(1 ) ; lim 4( ) >0 với x x x x x x x x x x d) lim x 4x x x lim x 3x 4 lim x e) lim x 1 1 x2 x 4 x2 x x x x lim x 3x 3x 1 1 x x x 1 3 x x 3x x x 4 x2 2x 3 5x x 5x 4 5 x x x lim lim x x 2 x.3 x.3 x x x x x x x 4 lim x Vì lim 3 ; lim x x x x x 1 2 1 0, x x x x x Bài tập tương tự : BÀI Tính giới hạn sau: 4x3 2x x x2 x 3x x x x x a) lim b) lim 5x x x x 10 x x (2 x 5)(1 x) x 3x x c) lim e) lim x d) lim x x 3x ( x 1)(3x 1) g) lim x x 13 2x 1 4x x2 3 h) lim (1 x) x (2 x 1) x x x 5x x 1 x x2 1 i) lim 2x j) lim (1 x) x x x2 k) lim x 3x x x x 3x 2x2 m) lim x 4x2 x n) lim x x x 2x2 x2 DẠNG lim f ( x ) g ( x ) đó: f(x), g(x) đa thức chứa thức x x0 Phương pháp: + Nếu f(x), g(x) đa thức ta nhóm lũy thừa cao x thừa số chung + Nếu f(x), g(x) chứa thức ta nhân thêm đại lượng liên hợp Ví Dụ : Tính giới hạn sau: x x x b) lim x x x a) lim x x x 3x c) lim x x x 1 x2 x Giải : a) lim x lim x x x b) lim x x x lim 2x x 2x x x x x lim x 2x x x2 2x x 2x x 1 x 1 x x 3x x lim x x x x x 3x x ( x x x).( x x x ) ( x 3x x ).( x x x ) lim x ( x x x) ( x x x) ( x x x).( x x x ) ( x 3x x ).( x x x ) lim x ( x x x) ( x x x) 3 x 3x 1 x lim xlim 2 x ( x x x ) ( x x x) ( x 1) ( x x 2) 14 x x c) lim x 1 1 x x lim x.4 x x x x x x x 1 1 lim x. x x x x x x 1 1 Vì lim x , lim 1 x x x x x x x Bài tập tương tự : BÀI 6.1 Tính giới hạn sau: a) lim x 1 x x 1 c) lim x x 1 b) lim x 3 x x x x x 1 d) lim x e) lim x x x x x x 3x 1 7 3 g) lim 64 x 3x x x x BÀI 6.2 Tính giới hạn sau: a) lim x c) lim 3x x x e) lim x 5x x x3 x 3 h) lim x x x x x x 1 d) lim x x x lim x x x b) lim x x x x 8x x g) 3 x x x 3 BÀI 6.3 Tính giới hạn sau: 1) lim x x3 x2 x3 x2 2) lim x x x x 2 x 320 3x 230 x 2 x 150 3) lim 5) lim x x x x 4) lim x 8) lim 9) lim x x x 10) lim x x x n 2 6) lim x x n x x x x x 9x 7) lim x x x 3x x x 15 x x 2x x x x a x b x n 12) lim x x x x 13) lim 3x 3x 3x 3x x 15) lim 16) lim x x 3x x 17) lim 18) lim x x x x x x 19) lim 14) lim x x x 2x x x x x x 1 x 24) lim x x x 22) lim x x 26) lim x 2x 2x x2 2x x2 1 x x 21) lim x x x x x x2 2x x x x x x x 2x x x 20) lim x 23) lim x x x 25) lim x x x x x 3 27) lim x x x x DẠNG lim f ( x ) g( x ) 0. đó: f(x), g(x) đa thức biểu thức chứa x x0 thức Phương pháp: + Ta viết lim f ( x).g ( x ) lim x x0 x x0 f ( x) g ( x) 0 lim ; x x0 0 g ( x) f ( x) Ví Dụ : Tính giới hạn sau: a) lim ( x 2) x2 x x ( x 2) lim lim x x2 ( x 2)( x 2) x2 x ( x 2) 0 ( x 2) 1 2 2 2x 1 1 x x b) lim ( x 1) lim ( x 1) lim (1 ) x x x 2 x x2 x 1 x 1 x2 x3 x x Bài tập tương tự : BÀI Tính giới hạn sau: a) lim ( x 3) x 3 c) lim x x x 9 1 1 b) lim x 5 x ( x 5) 2x x2 x2 3x 2x x2 4x x x x 1 d) lim 16 DẠNG Giới hạn hàm số lượng giác Phương pháp: + Sử dụng công thức lượng giác: cos a sin a ,… để đưa giới hạn dạng: sin f ( x ) sin x 1 lim x 0 f ( x ) 0 x f ( x) lim Ví Dụ : Tính giới hạn sau: 1) lim x0 sin x sin x 1 2) lim lim x x sin x sin 3x x0 3x sin x sin x lim 5 x x 5x 2 ax ax 2 sin sin cos ax a2 a 3) lim lim lim x0 x0 ax x2 x2 x 0 tan x sin x sin x sin x cos x sin x(1 cos x ) sin x sin x lim lim lim x 0 x0 x 0 x 0 x3 x cos x x cos x x cos x 7) lim lim x 0 sin x sin x 4.1.1 2x x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x lim x0 x0 x x2 8) lim cos x cos x(1 cos x) lim x0 x 0 x x2 lim x x sin 2 2 lim cos x sin 3x lim lim cos x sin x x 0 x 0 x 0 x2 x2 x2 x2 sin lim x 0 x sin 1 37 sin x lim lim 18 cos x. 18 x 0 x x 2 3x Ví Dụ : Tính giới hạn sau: 1) lim x 0 x sin x x 0 3x x sin x x3 2) I lim 17 3) lim 5 x tan x 5 cos x x 10 4) J lim x x Giải : sin x 1) lim x3 x0 lim x 0 ( x ) sin x ( x 3) ( x 3) lim x 0 5( x ) sin x 10 5x x sin x 2x sin x lim lim I1 I x 0 x0 3x x x x x 0 x x 2) I lim I1 lim x 0 lim x 0 (1 x 1) (1 x 1)( 3x x) ( x x)( x x )(1 x 1) 2( x x ) ( x 1)(1 x 1) I lim x 0 sin x 3x x (2 x )( 3x x) x0 ( x )( x 1)(1 x 1) lim 4 lim x0 ( 3x x ) sin x ( x x)( 3x x ) lim x 0 ( x x ) sin x 4 ( x 1) x Vậy I=0 3) lim 5 x tan x 5 x 10 Đặt t=5-x suy x =5-t Khi x t Ta có lim 5 x tan x 5 x (5 t ) t lim t tan lim t cot t 0 10 t 0 10 10 t t 10 10 lim 10 cos t 10 lim t t 0 t sin t 10 sin t 0 10 10 cos cos x cos x cos x 2 lim 4) J lim x x 3 3 2 4 x x cos x cos x 2 18 cos x lim x lim x 3 x cos x cos x x 3 x cos x lim cos x cos x lim x cos x 3 2 x cos x x 2 Đặt t x Khi x J lim x 2t x x 2t cos x cos( 2t ) sin 2t 2 t Do đó: cos x cos x 3 2 x 2 lim t 0 sin 2t 1 1 (1) 2t sin 2t 2 Bài tập tương tự : BÀI 8.1 Tính giới hạn sau: sin 3x x 0 x 2) lim sin x x 0 sin x tan 3x sin x 4) lim 1) lim 3) lim x 0 x 0 cos x cos x x 0 x2 cos x cos 3x x 0 sin x 5) lim 7) lim x 0 6) lim tan x sin x x3 8) lim x 0 cos x cos x cos 3x x 0 x2 x0 cos x cos x x2 cos x cos x cos nx ; n N* x0 x2 9) lim 11) lim cos x x2 10) lim sin x cos x [CĐBN.98] sin x cos x 12) lim x 0 cos x [ĐHĐĐ.00] sin 11x x3 1 13) lim x 1 sin( x 1) BÀI 8.2 Tính giới hạn sau: cos x x0 x2 2) lim 1) lim x 0 19 cos x 1 x2 3) lim x 0 cos x 1 1 x [ĐHQG.96] 4) lim cos x [CĐBN.99] x2 x0 5) lim x cos x [ĐHTM.99] x2 6) lim cos x x x x2 7) lim tan x sin x x3 8) lim 2x 1 x2 [ĐHLN.00] sin x x 3x 1 cos x 10) lim x 0 x0 9) lim x 0 x 0 x0 cos x x0 x2 cos( x ) 12) lim x0 cos x cos x cos x x 0 x2 11) lim x2 13) lim x x sin x cos x BÀI 8.3 Tính giới hạn sau (bằng phương pháp đổi biến) 1) lim x 3 sin x 2) lim x tan x x x 3) lim tan x tan x x 4 4) lim 5) lim tan x x cos x 6) lim x sin x x cos x 6 cos cos x 2 7)* lim x 0 costan x 9)* lim x 1 cos x sin x 4 cos x cos x cos x x 0 x2 8)* lim cos cos x x2 x 10) lim x 1 x2 sin x2 x x 12) lim x sin x [HVBCVT.99] x sin x x sin x cos x x x x 1 11) lim x BÀI 8.4 Tính giới hạn sau: 1) lim sin x x 0 2) lim x x 0 20 tan x 3x sin x n x sin x m 3) lim x 4) lim cos x 5) lim sin x sin 33 x sin x x0 45 x 6) lim sin x sin xn sin nx x 0 n! x sin x sin a 8) lim xa xa 10) lim x x sin x x 7) lim tan x sin x x 0 sin x 9) lim cos x cos b x b xb cos x x0 x sin x tan x tan c 11) lim x c xc 12) lim 13) lim cot x cot c 2 14) lim sin x2 sin2 a xc xc x a x a cos x cos x 17) lim x 0 x2 x 16) lim 1 x tan x 1 sin x sin x 15) lim x 0 sin x 18) lim x x 2 tan( x 2) 19) lim cos x cos x cos x a x sin a 20) lim sina 2x sin x 0 cos x tan a x tan a x tan a 21) lim x 0 x2 x x0 23) lim x 0 cos ax cos bx cos cx 22) lim x 0 x2 24) lim sin ax tan bx (a b 0) x 0 (a b) x sina x sina x tana x tana x 25) lim x x (GHN’00) cos x sin x 26) lim x 0 sin x cos( a x) cos( a x ) 27) lim x x x 0 28) lim sin x 3 tan x x 0 29) lim sin x cos x sin x x sin x 30) lim x 0 x sin 31) lim cos x x 0 cos x x (QG–KB 97) cos x 34) lim tan x tan x (SPHN ‘00) x 4 tana x tan a x tan a x0 x2 cos x cos x 35) lim x0 sin 11x 37) lim sin x sin x x 0 x x1 sin 2 x sin x 33) lim sin x sin 39) lim x 2 cos x (TM’99) x 0 40) lim tan x 3 sin x (HH’00) x 0 32) lim x 36) lim x sin x tan x x 0 38) lim x sin x x x 21 x cos ax x 0 x2 cos x 44) lim x x 2 cos x 46) lim x sin x 4 sin x cos x 48) lim 4x x 41) lim x x (DLHP’00) x 1 42) lim tan( x 1) 43) lim x 0 sin x tan x 45) lim x cos x x 2 47) lim cos 3x cos2 x cos x x 0 x 49) lim x 51) lim x sin x sin x 50) lim cos x tan x 52) lim tan x sin x x x 0 cos ax (a 0) x 0 x2 cos ax 55) lim x cos bx sin( x 1) 57) lim x 1 x x 53) lim 54) lim x0 sin x cos x x tan x sin x x sin ax cos ax cos 2 x x 0 x sin x 56) lim cos x x x 2 sin x 60) lim x cos x 58) lim sin x x x 6 cos5 x 61) lim x 0 cos 3x 59) lim 62) lim sin x sin x x0 sin x sin x 4 x sin x 63) lim ============================= Hết ============================ 22 [...]... 5) 3 2 2x 1 x2 x2 3 3x 2 2x 3 x2 4x 3 x 5 x 2 1 x 1 d) lim 16 DẠNG 8 Giới hạn của các hàm số lượng giác Phương pháp: + Sử dụng các công thức lượng giác: 1 cos a 2 sin 2 a ,… để đưa về giới hạn dạng: sin f ( x ) sin x 1 1 hoặc lim x 0 f ( x ) 0 x f ( x) lim Ví Dụ 8 : Tính các giới hạn sau: 1) lim x0 sin x sin x 1 1 2) lim lim x x 0 sin 3 x 3 sin 3x 3 x0 3x sin... trong đó: f(x), g(x) là các đa thức hoặc chứa căn thức x x0 Phương pháp: + Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì ta nhóm lũy thừa cao nhất của x là thừa số chung + Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức thì ta nhân thêm đại lượng liên hợp Ví Dụ 6 : Tính các giới hạn sau: x 2 x x b) lim x x 4 x 2 a) lim x 2 x 2 3 x 1 3x c) lim x x x 4 3 2 1 x2 x 6 Giải : a)... x x x x Bài tập tương tự : BÀI 6.1 Tính các giới hạn sau: 3 1 a) lim 3 x 1 x 1 x 1 c) lim x x 2 1 1 b) lim 2 2 x 3 x 4 x 3 x 5 x 6 3 2 x 1 d) lim x e) lim 5 x 3 4 x 2 3 1 8 x 3 x x x 1 3x 1 2 7 3 g) lim 64 x 3 3x 2 x x x BÀI 6.2 Tính các giới hạn sau: a) lim x c) lim 3x x 4 x 3 ... x0 1 0 g ( x) f ( x) Ví Dụ 7 : Tính các giới hạn sau: a) lim ( x 2) x2 x x ( x 2) 2 lim lim x 2 4 x2 ( x 2)( x 2) x2 x ( x 2) 0 ( x 2) 1 1 2 2 2x 1 1 1 x x b) lim ( x 1) 3 lim ( x 1) lim (1 ) 2 x x x 1 2 1 2 x x2 x 1 x 1 2 3 x2 x3 x x Bài tập tương tự : BÀI 7 Tính các giới hạn sau: a) lim ( x 3) x 3 c) lim x ... Phương pháp: + Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x + Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức thì ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x hoặc nhân thêm đại lượng liên hợp + Chú ý: A 2 B với A 0; B 0 A B A B A2 B với A 0; B 0 Ví Dụ 5 : Tính các giới hạn sau: 2 x 2 3x 1 x x2 1 a) lim (2 x 1)( x 3) x c) lim x 4 3x x... 1 7 2 5 10 Bài tập tương tự: BÀI 4.1 Tính các giới hạn sau: x 3 27 x 3 18 2 x 2 x 2 5x 6 x 2 x3 x 2 x 2 x n nx n 1 x 1 ( x 1) 2 a) lim b) lim e) lim x 4 2 x2 8 c) lim 3 x2 x x 2 4 x 4 x3 3 3 d) lim 2 x 3 3 x 1 m f) lim , m N x 1 1 x m 1 x (1 mx) n (1 nx ) m , với m, n là các số nguyên dương lớn hơn 2 x0 x g) lim (1 x)5 (1... , m N x 1 1 x m 1 x (1 mx) n (1 nx ) m , với m, n là các số nguyên dương lớn hơn 2 x0 x g) lim (1 x)5 (1 5 x) x0 x2 x5 ( x h)3 h h 0 h h) lim m) lim BÀI 4.2 Tính các giới hạn sau: a) lim x 3 x 3 6 2x x3 8 c1) lim 2 x2 2x x e) lim x 1 b) lim 27 x 3 3 x c2) lim x9 x6 7 x x 3 x0 x32 x2 1 x 3 d) lim g) lim x2 i) lim x 3 3x 2 2 j) lim 2 x... lim x 2 x 2 x x 1 x x 1 d) lim 5 x x 4 x 5 lim x x x 2 b) lim 2 x 2 x x 2 3 x 3 8x 2 x g) 3 2 3 x x 1 x 3 3 BÀI 6.3 Tính các giới hạn sau: 1) lim 3 x x3 x2 1 3 x3 x2 1 2) lim x x x x 2 x 320 3x 230 x 2 x 150 3) lim 5) lim x x 2 1 x 2 2 x 4) lim x 8) lim 9)... x x x x x x 4 lim x 1 2 3 Vì lim 4 5 3 0 ; lim 3 2 0 và x x x x x 3 1 2 1 2 2 3 1 0, x 0 x x x x Bài tập tương tự : BÀI 5 Tính các giới hạn sau: 4x3 2x 9 x x2 x 1 3x 2 2 x 1 x 2 x 2 3 x 5 a) lim b) lim 5x 4 x 2 x x 10 x 5 3 x 1 (2 x 5)(1 x) 2 x 3x 3 x 1 c) lim e) lim x d)... x 1 x x 1 2 1 x x2 2 x 7 3 x2 2x 6 x2 2 x 6 x2 4x 3 x2 x 2 1 x x4 x x 3 2 3x x 2 x2 2x x52 x2 9 n) lim 11 3 x 1 4x 3 1 p) lim x 1 BÀI 4.3 Tính các giới hạn sau: 2 x 1 3 x2 1 x a) lim x 0 x 7 5 x2 x 1 3 b) lim x 1 3 5 x x2 7 c) lim x 1 x2 1 d) lim x 3 3 9 x 5 e) lim x 1 x 1 2x 1 5 x 2 g) lim x 1 x 1 x0 x0 4 4 x ...GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Giới hạn hữu hạn lim f ( x) L ( xn ) : xn x0 ; lim xn x0 lim f ( xn ) L Định nghĩa: x x0 Giới hạn đặc biệt: lim C ... g ( x) L. lim g ( x ) x x0 khi khi L.g ( x) L.g ( x ) B MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I) CÁC DẠNG XÁC ĐỊNH DẠNG lim f ( x ) (với f(x) xác định x0) x x0 Phương pháp:... BÀI Tính giới hạn sau: a) lim ( x 3) x 3 c) lim x x x 9 1 1 b) lim x 5 x ( x 5) 2x x2 x2 3x 2x x2 4x x x x 1 d) lim 16 DẠNG Giới hạn hàm số lượng
Ngày đăng: 16/01/2016, 12:00
Xem thêm: CHUYÊN đề GIỚI hạn của hàm số , CHUYÊN đề GIỚI hạn của hàm số
