Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu tham khảo dùng hàm D-GAP giải bài toán cân bằng
Chương DUNG HAM D-GAP GIAI BAI TOAN CAN BANG 3.1 Hàm D-gap toán cân Định nghĩa 3.2.1 Hàm gạg(x): 9” — Khi đó, ta có 9, với < œ < B, gọi D-gap #ap(X) = hạ(x) — hạ(x) Eap(x) = max{- F(x, y)~ H(x, y)}-max{- f(x,y) — BH(x, y)} min{f(x, y) + BH(x,y)}~ min{f(x, y) + a(x, y)} f(x, yp(x)) + BH(x, yg(x)) — f{x, ya(x)) = œHÉx, ya(x)) fx, yp()) — Ñx, ya(x)) + BH(X, yp(x)) = œH(x, ya(X)) Định lí 3.1.1 Giả sử H thoả (C1) - (C4) giả thiệt Định lí 2.5.1 thoả Khi , #ap(.) khả vi liên tục ae) = Ÿ.(x, yạ()) + BH”,Œ, yp(X)) — [Ÿs(X, ya(x)) + œH”(x, va())] Chứng minh Áp dụng Định lí 2.5.1, ta thấy h„(x) h(x) khả vi liên tục Wax) = -P A(X, YalX)) — HAP (X, YalX)), h’a(x) = -Fx(% yp(x)) — BH’xs ya(x)) Vi gap(X) = hạ(x) — hg(x) nên g„;(x) khả vi liên tục ap(x) = h'a(x) — h'a(x) Từ dễ thay dpem a Trang 30 Mệnh đề 3.1.1 Giả sử H thoả (C1) - (C4) Khi đó, V x e 9”, (B - co) H(x, yp(x)) S gap(x) < (B - œ) H(, ya(x)) Chimg minh Ta có ha(x) = - Í, va(x)) — œH(x, Yo(x)) = = max{- ‹ Đông thời, f(x,y)— œH(x, y)} 2 - f(x, yp(x)) -— G(x, yp(x)) hg(x) = - f(x, ya(x)) — BH(x, yg(x)) = = max{-f(x, y)—BH(,y)} > -f(x, Yo(x)) — BH(x, y«(%)) Mat khac, vi gag(x) Do Tức = he(x) — he(x) nén - Í{x, yp()) = œH(x, yp(X)) — hạ(x) < ha(X) — hạ(x) = gap() - Ñx, yp(x)) — A(x, yp(x)) + f(x ye(x)) + BHC, ya(x)) S$ gap(x) ; (B - œ)H(x, yp()) < gag(X), va (12) ap(X) = ha(x) — p(x) < hạ(x) + f{x, vu(x)) + BH(x, ya(x)) Điều tương đương với hay #ap(X) Š -Ñx, ya(x)) — œH(x, ya(x)) + f{x, ya(x)) + BH(x, ya(x)), #ap(x) < (B - œ)HỌx, Yalx)) Kết hợp (12) (13) ta có đpem (13) a Định lí 3.1.2 Giả sử (C1) — (C4) giả thiết Định lí 3.1.1 thoả mãn Khi gap(x) khơng âm, V x e 9†”, gas(x*) =0 x* nghiệm (EP) Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.1 ta có, V x e 9†", g„ (x) (B-a)H(% y, (x)) Trang 31 Do (C2) < œ< B nên, V x e 9”, #ap(X) >0 Nếu g„g(x*)= theo Mệnh đề 3.1.1, > (œH,(x, ya(x)) = BH”,(x, yp(X)), yp(X) — Ya(X) )- Vì f(x,.) lồi nên Œ y(x, ya(X)), Yp(X) — ya(X) ) Š fỌX, ya(x)) — ÍX, ye(X)), Œ(x, yạ(X)) Ya(X) — yg(X) ) < Ñx, ya(X)) — Í{x, yp(x)) Cộng theo (20) (21), ta có Œ”y(X, ya(X)) — fy@X, ypĨ@©), Ya(X) — Ya(X) ) $ (19) (20) (21) (22) Từ (19) (22), ta có , ay > (œH”,(x, yu(x)) — BH”x(x, yạ()), yp(X) — ya(X) ), @ Định lí 3.1.3 Giả sử H thoả (C1) - (C5) giả sử g'4;(x*) = Nêu ,V x e K, P;(x, ) đơn điệu chặt K x* nghiệm (EP) Chứng minh Ta có 8)ap(XŠ)E P(X%,yp(X®)) — P@X*, ya(x*)) + BH2(X*, yạ(X*)) — œH”2(X*, ye(X*)) Do (gu; (X#), yp(XŠ)— ya(x®)) = (PxGÈ}, ve(XŠ)) — Fv(X*, yo(XŠ)), yeXŠ) — Yo(X*)) Trang 33 + @H',(X*, yg(@X*)) — HH? x(x", Yo(X*)), yạ(XŠ) — ya(X#)) Vi f(x, ) đơn điệu chặt K, V x e K, nên, V ys(x*) # yu(x*), (Px(X*, yp(x*)) — P(X*, Yo(X*)), Ye(X*) — Ya(x*)) > (23) Mặt khác , theo Bồ dé 3.1.1, ta có @H”.(x*, yg(x*)) = œH”,(x*, yu(x*)), yp(x*) — ya(x*)) > Cộng theo ta được, V yp(x*) # y„(x*), gu; (X*), Yp(X*) — Ya(X*)) > Vi vay, g',, (x*)=0 thi (gi (X*), Yp(X*) — Ya(x*)) = Do yp(x*) = yo(x*) Vì vay Slug (X*) = (B - ø)H”,(x*, yp(x*)) = 0, hay H”„(x*, yg(x*)) = Từ (C5) ,ta có H”y(x*, yp(x*)) = Theo Bồ đề 2.5.2, ta có x* = yp(x*) Đến Bồ đề 2.5.3 suy x* nghiệm (EP) m 3.2 Giới hạn toàn cục Ta chứng minh H',(x, ) đơn điệu mạnh với số 22 Từ (C3) ta có, V y¡, y; e 9, H(x, y¡) — HŒx, y;) > (Hy, y2), yì — y2) # Alyi — y2|, H(x, yo) — H(x, yi) = (H’y(x, y1), yo -y1) + Ally2—yill’ Cong theo , ta tức = (H’\(x, yo) H'y, y), yì — y2) + 2A|lyi — v3ÍŸ, (H(, yị) = Hy, y2), yị — y›) = 2Ally1 — yall’ Bây ta thêm điều kiện cho H(,, ) ‹C6)H”y(x, ) liên tục Lipschitz, tức L > cho, V yi, y2 € R", IH? y(x, yi) — Hy, y2)ll $ Llly: — yall- Trang 34 Bo dé 3.2.1 Giả sử H thoả (C1) — (C4) va (C6) Gia str f thoa giả thiết Bồ đề 3.1.1 va f(.,.) liên tục Lipschitz với số Lự, có nghĩa là, V(x, y) & (z, t) c9?x 9t, II, y) — Ÿy, Đ|| < LÍ, y) — œ, ĐI Khi đó, e > cho | x — x*|| < e||yp(x) - x||, V x e 9”, x* nghiệm nhât (EP) Chứng minh Vì f đơn điệu mạnh với số ö > nên, V x, y e K, fix, y) + fly, x) $ -8l|x- yl)’, tức f(x, y)— Ñy, x) > ð||x — y| Do d6 ,V x,y EK, fix, x) — f(x, y) - fly, x) + fly, y) 28 |x — yl Trước hết ta cần chứng mỉnh Œ$@, x)— fyỚ, y), x—y) > ð | — y|Ÿ That vậy, f(x,.) lồi theo y ứng với x nên f(x, y) — f(x, x) > (y(, x), y — X), tức -f(x, y) + f(x, x) < Py(x, X), X— y), va (24) fly, x) - fly, y) (Py(y, y), xy), tức -f{y, x) + fly, y) $ CPyQ, y), X-y) (25) Cộng theo (24) (25) , ta f(x, x) — f(x, y) — fly, x) + fly, y) < (Py(x, x) — Ÿy(, y), X— yÒ Do do, V x, y € K, |Ix—yll < (Py(x, x) — Pyly, y), X-y) Viet = argmin f(x*,y) nên, V z e K, ye P(x", x*), Z xs Trang 35 0: (26) Thay z = yp(x) ta Œy(x*, x*), yp(x) — x} > (27) Theo quan hệ yg(x) hạ(x) ta có, V z e K, (Py(X, yp(x)) + BHỶy(x, yg(%)), Z— yạ(x) ) > Thay z = x*, ta Py ya(x)) + BH V(x, yp(x)), x* - yp(x) ) = (28) Cộng theo (27) (28) dẫn đến ; ay (Py(X, yp(x)) — fy(x*, x*), x* - yp(x) ) + BCH’ (x, yg(X)), x* - yp(X) ) > 0, (Py(x, yp(x)) — Py(x, x), x* - yp(x) ) + (Py, x) — Py(*, x*), x* = yp(x) ) + + BH’ s(x, yp(x)), x* - yp(x) ) > (29) Theo (26), ta có ð||x — x*| < Œy(X*, x*) — y(x, x), XỶ - X) (30) Cộng theo (29) (30), ta có ð||x — x*|Ủ < fy(x*, x*) - Py(x, x), yp(x) — x) + + €0, yeŒ)) — ŸJÚX, X), XẾ - x) + + Py Ye) — Py, x), X — Yg(X) } + * (BEDS, yp(x)), x* - x) + ( BH’y(x, yes), x — ya(x) ) G1) Mặt khác, f(x, y) lồi theo y ứng với x nên f(x, yp(x)) — f(x, x) (P(x, x), yp(x) — x), f(x, x) — f(x, ya(x) (Py, yp(x)), x — yp(X) ) Cộng theo ta 0> (P4(x, yạ(X)) — Ÿy(X, X), X — yp(X) ) (32) Theo Bé dé 2.5.2 , tacd (Hy, yp()), X— yp(X) ) = (H’ (x, yp(x)) — H’y(x, x), x — yg(X) ) Vì H”y(x, ) đơn điệu mạnh nên => (H’y(x, ye(x)), x — yp(x) ) = H?, yp(x)) — Hy, x), x— yg(x)) nên I|Py(x*, x*) = Ÿy(x, x)|| < 2Li|x* - x||, lIPyGx, yo(x)) — PyCx, x)I] $ Lallyp(x) — x\ (35) (36) Vì (C6) Bồ đề 2.5.2 nên IIH x, y;(@))|| = ||H”;(x, yạ(x)) — H’yCx, x)|| < L|x — yp@)|| 37) Từ (34), (35), (36) (37), ta ð||x — x*|Ÿ < 3Ldlyg(x) — xỊ| [lx — x*|| + BLllx — yạ()|l ll* - x|| Tức ð||x — x*|| < @L¿+ BL)||x — yạ(x)|l Chọn HE HH EE ta có, V x e 9, llx — x*ll < e|lx ~ ys()|l- i Bỗ đề 3.2.2 Giả sử H thoả (C1) ~(C4) (C6) Khi đó, V x e 9i", A|x- yu()| < HQ, a(x)) < L/2 |Ìx — ya(X)|Ï, À.> L > số (C3) (C6) Hơn nữa, V x e 9†”, A(B - œ)|lx = yạ(X)|lỦ < g„ạ (x) < 1⁄2 (B - œ)||x — ya(x)|Í Chứng minh Vì (C3) (C4) nên, V x e %°, Vœ>0, H(x, ya(x)) = HO, ya(x)) — H(x, x) (A? y(X, x), ya(x) — x) + Allya(x) — xI|? (38) Trang 37 Vì Bồ đề 2.5.2 nên H'y(x, x) = Từ (38) ta có, V x e 9, V œ>0, H(x, ya(x)) > A||x — ya()|Ứ Ta lại có (39) A(x, Yo(x)) = HỌC, Ya(x)) — H(x, x) = II = fx H', (x,x + t(y, (x) —x)), y,(x) — x > dt fe Hy (x,x+t(y„(x)—x))— H, (x,x),y„(x)—x >dt < [LIx~y,G9IÊ tứt=ZIx=y,@9)l, — 0) Kết hợp (39) (40), ta suy ra, V x e 9‡",V œ>0, AJ|x — ya(@)|Ÿ < HŒ, ya(%)) < 1/2 lÌx — ya(%)|Í Kết hợp với Mệnh đề 3.1.1 ,ta suy ra, V x e 9", MB - œ)|x— yạ(%)| < gạy (x) < L⁄2 (B - ø)|x— ya(®)|É Dinh lí 3.2.1 (41) a oe Gia sit H thoa (C1) — (C4) va (C6) Giả sử f thoả giả thiết Bổ đề 3.2.1 Khi đó, Vxe9" x* nghiệm (EP), Ix—x*|l đơn điệu mạnh với p> Giả sử x” điểm 9° Khi đó, p > cho Sap (X) S Sag (X°)} va VOI d(x) =1(x) + p s(x), ta cd ,V xe T(x’) = {x (d(x), 81 (x))< al r(x)|| +P|| s@9 ||)’ Chimg minh Từ Định lí 3.1.1, ta có (d(x), Slap CD) =O), POX ye()) — Px(X, ya(X))) - Œ(X), (x) ) + + p (s(x), P(X a(x) — Px(, va(X)) ) - pIls@S)|Ẻ Vi f’,(x, ) liên tục Lipschitz với số F > nên lf(, ye@)) = Pxœ, ya(@))|| < TlysŒ) — ya(X)|| = Tlr(®)|| Vi f.(x, ) đơn điệu mạnh với p > nén ((x), P(, ya(%)) — PX; yp@®)) ) > H||r(x)|Í (42) / > ((x), P(x, yp(x)) — Ÿs(, ya(%)) } < - Hllr@)|Ủ (43) Theo Bồ đề 3.1.1 -(r(x), s(x) ) ; (A4) fx, y) hàm lồi theo y, với x Trang 40 Thuật toán 3.3.1 Bước I Chọn x? e 9" tham số p > 0,y € (0, 1) Q > Đặtk := Bước Nêu Sa (X" )= dừng Ngược lại qua Bước Bước Dat d* = r(x*) + p s(x‘) Bước - - Tìm m sô nguyên không âm nhỏ nhât cho 8¿¿ (XẺ +y”đ*)—=g„ (x") -y".Q(Irœ®)| + p|ls(x9)|ÙŸ Khi đó, Vm Sap = Ta lại có e (x* +y"d")-g.5 (x*) > Qin + plsce'))? fig Ta > Q(t + liste)? re=(0, nên lim+y” =0 moo Trang 41 Do (dg! (x")) = lim mc Bap (XS + Yd") — Sag (XS) Y m > -Q((jr@')]| + plis&IIY Mặt khác theo Bồ đề 3.3.1 ta có ty oye „ (hú | + pls(x)|ÙŸ Vi vay: > (Ir(x)J+ plls$x9J) > -Q(r(x9J| + plls(9|JŸ Vì xŸ chưa nghiệm (EP) nên > : trái với giả thiết => đpem a Định lí 3.3.1 Giả sử H thoả (C1) ~ (C6) f thoả (A1) — (A4) Giả sử p thoả Bồ dé 3.3.1 Q < 1⁄2 Khi {x"} Thuật tốn 3.3.1 hội tụ nghiệm x* (EP) Chứng minh Do cách xây dựng dãy ={X/ Bap (X)S Sag (X")}- {x"} Thuật toán 3.3.1 nên {x*}\CT(@&°) = Theo Hé qua 3.2.1 thi tap mite T(x°) 1a compact Do ,tén tai day dãy {x") hội tụ Vì {Bop (x*)} la dãy khơng âm giảm nên hội tụ g*,,2 nao Gia str x giới hạn dãy {x } Vì Yal- ) va ya(.) liên tục nên giới hạn ix } dẫn đến giới hạn {r(x*)} {s(x9)} Từ đó, dẫn đến giới hạn {d(x9} Ta giả sử d(xŠ) —> d* Khi đó, r(.) s(.) liên tục, d(x*) = r(x*) + p s(x*) = d* Theo Thuat toan 3.3.1 , ta cé Sap (X* + td) —gap (x*) St, QU] r(x") |] +9 I] s(K*) I) Trang 42 Do { wqIr&9)| + pIls(x9|Ù?} — Ta xét hai trường hợp (a) Gia su t, > Khi Sap (* + ty d‘ ) — Đạp (x*) k >~Q(J|r(x*)||+p IIs(x*) |ÙẺ, đây, t „ = tựy Vì t, —> nên t„ —> Do từ (49) dẫn đến (g„ (x5), đ*) > -Q(Ir@œ*)|| + p|ls(x*)|)Ÿ (49) (50) Vì d* =r(x*) + p.s(x*) nên theo Bồ để 3.3.1 (50) ta có -Q(lr&*)||+ p|ls(x*)|ÙŸ < s Vì Q < H/2 nén tu (51), r(x*) | +p | s(x*) |)’ ta cd lIr(x*)|| + pIls(x*)|| = (b) Nếu ty -0 rõ ràng |Ir(x9J| + plls(x9)|l —> Do Jlr(x*)|| + p|ls(x*)||=0 Cả hai trường hợp (a) (b) suy |Ir(x*)|| + p|ls(x*)||= 0, tức r(x*) = s(x*) = Vì Ta có Ya(X*) = yp(x*) =s(x*) = œ H”,(x*, ya(x*)) — B H?x(x*, ya(x)) = (œ ~ B)H’(x*, Eup (x*) =0 Do đó, theo Định lí 3.1.1, ta có Yo(x*)) Theo Dinh lí 3.1.3, x* nghiệm (EP) Trang 43 G1) 3.4 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đăng thức biến phân phát biểu sau : (VIP): Tim x € S CR" cho, Vy € S, (F(x), yx) 20, F: 9‡" —> 9” khả vi liên tục S c 9† tập lồi đóng khác rỗng Đặt WA(x, y) = (F(x), X—y)- œ HỌC, y), f, (x)= max W(x, 'y)Ta có tinh chất sau (a) Ê,(x)>0,VxeS; (B) f (x*) =0 va x* € S x* nghiệm cua (VIP); (y) f,() kha vi lién tuc va £', (8) = F(x) + F°(x)( = YalX)) - OH? CX, Yol)), y„(x) nghiệm toán min— W(x, y) ye Ham g,, : 2" duge định nghĩa nhu sau , với < œ 9† xác định F@) = & - 3Ÿ + 1, S = [0, +00) va HQy)=2 |x~y : F đơn điệu chặt S F”(x) xác định dương x = Với œ= ⁄ B = g'„ (3)=0 x = nghiệm (VIP), x =2 nghiệm (VIP) Bồ đề 3.4.1 Giả sử H(.,.) thoả (C1) — (C4) (C6) Giả sử F đơn điệu mạnh 9ï” Nếu F liên tục Lipschitz 9†" S compact thi ton tai số c > cho, V x e 9, IIx —x*|| < cllyp(x) — xl], x* nghiệm nhat cua (VIP) Định lí 3.4.4 Cho H(., ) thoả (C1) — (C4) (C6) Giả sử F đơn điệu mạnh 9" Nếu F liên tục Lipschitz 9†" S compact, ø„,; tạo nên cận toàn cục cho (VIP) Bồ đề 3.4.2 Giả sử H thoả (C1)— (C6) Giả sử F đơn điệu ae với modul k 9†” F liên tục Lipschitz 9” S compact Cho x” điểm bắt kì thuộc R".Khi đó, tồn số p>0 cho với x tập mức T(x"): = {x/ g„y (X) < gạy (x9)} ;và d(x) = r(x) + p.s(x) thoả (d(x), Bip (X)) roo + plls(x)|)) Định lí 3.4.5 Giả sử H thoả (C1) — (C6) Giả sử F đơn điệu mạnh với modul p trén 8" va F la lién tuc Lipschitz trén " § compact Giả sử p đủ nhỏ thoả Bỏ đề 3.4.1 Q < p/2 Khi ,day {x"} Thuật toán 3.3.1 hội tụ nghiệm (VIP) Trang 46 ... lIxl->+e tập mức g„„ Trang 38 compact 3. 3 Thuật toán dùng hàm D-gap giải toán cân Ham H(x, y) = ; ||x—y|? thoa ede giả thiết (C1) — (C6) Từ chứng minh Định lí 3. 1 .3 ta nhận thay d(x) = ya(x)... PyCx, x)I] $ Lallyp(x) — x\ (35 ) (36 ) Vì (C6) Bồ đề 2.5.2 nên IIH x, y;(@))|| = ||H”;(x, yạ(x)) — H’yCx, x)|| < L|x — yp@)|| 37 ) Từ (34 ), (35 ), (36 ) (37 ), ta ð||x — x*|Ÿ < 3Ldlyg(x) — xỊ| [lx — x*||... x), x— yg(x))