BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Nam VỀ CÁC RADICAL TRONG PI ĐẠI SỐ Chuyên ngành Mã số : Đại số lý thuyết số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thàn phố Hồ Chí Minh 2008 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn thành kính đến Thầy PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo trình thực luận văn Tôi xin vô biết ơn Thầy: PGS TS BÙI XUÂN HẢI, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thầy cô khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh trực tiếp hướng dẫn học tập, người đưa đến ngưỡng cửa khoa học giúp hoàn thành luận văn Cho phép kính chúc PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS TS BÙI XUÂN HẢI, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG tất quý thầy cô Khoa Toán, Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh lời chúc sức khỏe, với lòng tri ân sâu sắc Qua đây, xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn học viên cao học khóa 16 tiếp sức giúp đỡ suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn đến toàn thể người gia đình TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2008 Tác giả luận văn NGUYỄN THÀNH NAM MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong thời gian theo học trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, nghe giảng số chuyên đề lý thuyết vành Thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Chủ đề trình bày dựa tảng sách: Introducton to Commutative Algebra M.F ATIYAH I.G.MACDONALD, sách NONCOMMUTATIVE RINGS I.N.HERSTEIN, sách STRUCTURE OF RINGS NATHAN JACOBSON, sách LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION NATHAN JACOBSON Qua tìm hiểu, nhận quan trọng PI Đại số nhiều lónh vực đại số nói chung việc xây dựng câu trúc vành nói riêng Từ đây, sâu tìm hiểu chủ đề nhỏ lý thuyết vành là: Về Radical PI Đại số Luận văn tập nghiên cứu cấu trúc Radical trên vành mối liên hệ chúng cấu trúc đại số khác Mục đích Hệ thống lại toàn khái niệm Radical từ khái niệm nghiên cứu mối quan hệ chúng đại số giao hoán không giao hoán Đối tượng nội dung nghiên cứu Cấu trúc đại số giao hoán không giao hoán Mối quan hệ Radical cấu trúc đại số khác Ý nghóa khoa học thực tiễn Hình thành hệ thống lôgíc cấu trúc Radical vận dụng chúng việc xây dựng cấu trúc đại số Nội dung luận văn Chương Các kiến thức Trong chương này, tác giả luận văn đưa hệ thống kiến thức về: Vành, ideal vành, mô đun vành, đại số vành đồng thức đại số Tất kiến thức đưa vừa đủ để làm kiến thức cho chương 2, Chương Xây dựng loại Radical Trong chương này, tác giả luận văn tiến hành xây dựng loại radical theo chủ đề sau: - Xây dựng Radical vành giao hoán có đơn vò - Xây dựng Radical Jacobson vành không giao hoán - Nghiên cứu Radical Jacobson vành đặc biệt khác - Nghiên cứu Radical đại số A, Có loại radical: Levitzki nil radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical Chương Các Radical Trong PI- đại số Trong chương này, tác giả luận văn tiến hành xây dựng mối quan hệ bao hàm loại radical cấu trúc sau: Trên đại số A, PI-đại số, PI- đại số phổ dụng Từ đây, tác giả đưa số kết tổng quát mối quan hệ bao hàm radical Luận văn hoàn thành cố gắng tác giả luận văn với giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Vì thời gian nghiên cứu luận văn không nhiều nên luận văn có nhiều vấn đề chưa khai thác cách triệt để tránh khỏi sai sót Vì vậy, chân thành ghi nhận ý kiến đóng góp quý thầy khoa toán trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, đồng nghiệp tất người Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Vành, Mun Và Ideal 1.1.1 Đònh nghóa Vành Vành R tập hợp   trang bò hai phép toán hai ngôi, phép cộng phép nhân cho: i/ R với phép toán cộng nhóm Abel  Phần tử trung hòa ký hiệu o   x  A, tồn phần tử đối, ký hiệu –x ii/ phép nhân có tính kết hợp: x(yz) = ( xy)z,  x, y, z  R iii/ phép nhân phân phối phép cộng: ( x +y)z = xz +yz, x(y+z) = xy + xz,  x, y, z  R * Nếu R thỏa mãn thêm hai tính chất: iv/ phép nhân có tính giao hoán: xy = yx,  x, y  R v/ Tồn phần tử đơn vò, ký hiệu 1: x1=1x =x,  x  R Thì R gọi làvành giao hoán có đơn vò Trong luận văn này, không nói thêm, vành xét thuộc lớp vành đơn giản nhất: Vành không giao hoán không thiết phải chứa đơn vò 1.1.2 Đònh nghóa Môđun Một R – môđun nhóm cộng Abel M với tác động từ R vào M, tức ánh xạ từ MxR vào M cho: cặp (m,r) biến thành mr  R cho: i/ m( a+b) = ma +mb ii/ (m+n)a =ma + na iii/ (ma)b = m(ab), với m, n  M a, b  R Nếu R vành có chứa đơn vò m1 = m M gọi môđun Unitary 1.1.3 Đònh nghóa môđun trung thành Một R- môđun M gọi trung thành nếu: Mr = kéo theo r = 1.1.4 Đònh nghóa linh hóa Cái linh hóa R-môđun M, ký hiệu là: annR(M) = r  R / Mr    Nếu M R-môđun trung thành annR(M) = 1.1.5.Đònh nghóa Ideal Một ideal phải(trái) vành R vành vành R cho: R    (hay  R   ) Nghóa là: xy   , x  R , y   (hay yx , x  R , y   ) Một ideal vừa ideal trái vừa ideal phải gọi ideal hai phía 1.1.6 Đònh nghóa môđun bất khả quy M gọi R môđun bất khả quy nếu: MR   M môđun thực 1.1.7 Bổ đề M R- môđun bất khả quy  M  R /  , với  ideal phải, tối đại, quy 1.1.8 Đònh nghóa  ideal phải R, ký hiệu: (  :R ) = x  R / Rx   1.1.9 Bổ đề a/ Nếu  ideal phải quy (  :R ) ideal hai phía lớn R nằm  b/ Nếu  ideal phải, tối đại, quy annR(M)= (  :R ); M = R/  c/ Nếu  ideal phải quy R (   R)  nằm ideal phải, tối đại, quy 1.1.10 Đònh nghóa môđun hoàn toàn khả quy A R – môđun hòan toàn khả quy thỏa mãn mệnh đề sau: a/ A = A iI b/ A= i , với Ai R-môđun bất khả quy A  Ai , với Ai R-môđun bất khả quy A iI c/ với Ai R-môđun A hạng tử trực tiếp A 1.1.11 Đònh nghóa đồng cấu môđun Gọi M, N R- Môđun Một đồng cấu môđun R (hay R-đồng cấu) ánh xạ f: M ->N thỏa mãn: i/ f(x +y) = f(x) + f(y) ii/ f(ax) = af(x)  x, y  M, a  R đó: * nh đồng cấu f tập hợp Imf = f(M) * Hạt nhân đồng cấu f tập hợp: Kerf = f-1( 0 ) = x  M / f ( x )  0 1.1.12.Đònh nghóa Ideal nguyên tố Một ideal P vành R gọi ideal nguyên tố nếu: P  R  x, y  R, ta có: xy  P  x  P y  P Đònh nghóa Ideal tối đại: ideal m vành R gọi ideal tối đại m  R với ideal  R thỏa mãn   R, m    =m 1.1.13 Đònh nghóa Ideal Một ideal  vành R gọi ideal tồn a   , cho  = 1.1.14.Đònh nghóa i/ phần tử a  R gọi lũy linh an = 0, với số n tự nhiên ii/ ideal phải ( trái, hai phía )  R nil ideal phần tử lũy linh iii/ Một ideal phải( trái, hai phía )  R lũy linh tồn số tự nhiên m: a1a2 … am =0, với a1, ….am   Hay: ideal phải R lũy linh  m = với số tự nhiên m  Nhận xét Trong ideal lũy linh nil ideal có nil ideal không thiết lũy linh 1.1.15 Đònh nghóa 1/ phần tử a  R gọi tựa quy phải nếu: tồn phần tử a’  R cho: a + a’ +aa’ = Ta gọi a’ tựa nghòch đảo phải a 2/ Ideal phải R tựa quy phải phần tử tựa quy phải 1.1.16 Đònh nghóa ideal quy Một ideal phải  R gọi quy tồn a  R: x –ax   ,  x  R * Phần tử quy A phần tử ước không bên phải hay bên trái 1.1.17 Đònh nghóa (nil radical vành R) Một ideal m vành R nil radical nếu: * m nil ideal * R/m không chứa ideal lũy linh khác không 1.1.18 Đònh nghóa(Vành nil radical ) Vành R vành nil (hay lũy linh) chứa ideal B cho B R/B nil( hay lũy linh) R nil(hay lũy linh) R gọi nil radical 1.1.19 Đònh nghóa tâm R Cho vành R, tập hợp:C = {c  R / cr = rc,  r  R gọi tâm vành R 1.2 Đại Số Trên Vành Để tiện cho việc trình bày ngắn gọn, ta quy ước: - Vành A hiểu vành không giao hoán, có đơn vò - Vành K vành giao hoán, có đơn vò dùng làm vành sở - I deal không ký hiệu - Ideal hiểu ideal hai phía Thì  f = ( U PI – đại số )  f( x1+I,…,xm+I)=  f( x1, …., xn)+I =I  f( x1, …., xn)  I Vậy I ideal chứa tất thức U 3.2.1.7 Mệnh đề Cho U = K X  /I PI-đại số phổ dụng Khi đó: Radical Jacobson U nil ideal Hay J(U) = Un(U) Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh bổ đề sau: *Bổ đề1: Nếu I T-ideal K X  Radical R I T ideal K X  Upper nil radical N I T-ideal Nếu I’ T ideal, I’ ’  I annK[X](I /I) T –ideal Chứng minh: *Chứng minh ( R T ideal): lấy g(x1, …,xm)  R theo nhận xét III.3.4 ta cần chứng minh rằng:  f1,f2,…., fm  K X  g(f1,f2,…., fm )  R hay  f  K X  , g(f1,f2,…., fm )f + I tựa quy K X  /I Thật vậy: Giả sử f = f(x1,…, xm)  K X  , ta có: g(x1, …,xm)  R nên g(x1, …,xm) f(x1,…, xm) + I tựa quy K X  /I Do tồn l  K X  cho: g(x1, …,xm)f(x1,…, xm)+l-g(x1, …,xm)f(x1,…, xm)l  0( modI)  g(x1, …,xm) f(xm+1,…, x2m) + l - lg(x1, …,xm) f(xm+1,…, x2m)  ( modI) Xét tự đồng cấu:  : K X   K X  đònh bởi: xi  fi xm+i  xi (  i,  m  m) Do I T – ideal nên: g(f1,f2,…., fm )f(x1,…, xm)+l’-g(f1,f2,…., fm ).f(x1,…, xm)l’  (modI) ’  g(f1,f2,…fm) f(x1,…, xm) + l – l’g(f1,f2,…., fm ) f(x1,…, xm)  0)(modI ) Vì vậy: g(f1,f2,…., fm )f + I tựa quy với f  K X   g(f1,f2,…., fm )f  R,  f  K  X   R ideal K  X  R là: g(f1,f2,…,fm )  R Vậy: R T – ideal K X  Chứng minh: N T – ideal Lấy g(x1, …,xm)  N ta cần chứng minh:  f1,f2,…., fm  K X  g(f1,f2,…,fm) lũy linh theo modI Thật vậy: g(x1, …,xm)  N nên g(x1, …,xm) + I lũy linh K X  /I   n: (g(x1, …,xm))n  (modI) Xét tự đồng cấu:  : K X   K X  đònh bởi: xi  fi (  i,1  i  m) ) Do I T–ideal nên (g(f1, …,fm))n  (modI)  g(f1,f2,…, fm) lũy linh theo modI  g(f1,f2,…,fm)  N Vậy N T i-deal * Chứng minh: annK[X](I’/ I) T - ideal Đặt B = annK[X](I’/ I) lấy g(x1, x2, …., xm)  B Chúng ta chứng minh:  f1,f2,…,fm  K X  ,  f  I’:g(f1,f2,…., fm ).f  0(modI) f.g(f1,f2,…,fm)  0(modI) Thật vậy, g(x1, x2, …, xm)  B nên: g(x1, x2, …, xm)f  (mod I) f.g(x1, x2, …, xm)  (mod I) Khi đó, xét tự đồng cấu:  : K X   K X  đònh bởi: xi  fi , (  i,  i  m) Do I T ideal nên: g(f1,f2,…., fm ).f  (mod I) f g(f1,f2,…., fm )  0(mod I) Suy ra: g(f1,f2,…, fm )  B.Vậy, B T ideal Bổ đề Cho A đại số nửa nguyên tố, I ideal A B= annAI (linh hóa tử  bên trái I A) Khi đó: A/B nửa nguyên tố annA/B(I+B)/B= < > Chứng minh Giả sử N ideal A chứa B: N2  B Vì vậy, N2I = (vì B = annAI)  (NI)2 = NI.NI  NI.IN.I  N2I =  NI =  N  B ( B = annAI ) Do đó: N/B ideal A/B:   (N/B)2= < > N/B = < >  A/B nửa nguyên tố Đặt annA/B(I+B)/B = P/B Khi đó: P = p / pI  B  pI  B  PI2 = (do A nửa nguyên tố)  (PI)2 =  PI=  P  B   annA/B(I+B)/B = < > ( đpcm ) Bổ đề Cho A PI đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa: annA(RadC)= Khi đồng thức f A tổng đồng thức hoàn toàn fi cho: htfi  htf fi trộn f trộn Chứng minh d Ta viết: f = f(x1, x2, …, xm)=  f i ( x , , x m ) với deg x1 f i  i , ta chứng i 0 minh: fi đồng thức A Lấy c  RadC, a1, …,am  A Vì f( cja1, …, am ) = (do f phép đồng A) với  j  d Theo kết phép chứng minh đònh lý / trang 52 (tài liệu tham khảo tác giả Dold Eckmann) ta có: ce[1-ch(c)]ui = đó: ui = fi( a1, …, am) h(c)  Z, e = ( d2 – d)/3 Khi đó: ch(c)  RadC  1-ch(c) khả nghòch C Vì vậy: ceui =  (cuiA)e = mà A nửa nguyên tố  cui =  ui  annA(RadC)  ui = ( annA(RadC) = )  fi(a1, …, am) = 0,   A  fi đồng thức A Nếu fi theo x1, ht(fi)  ht(f), fi trộn hay theo xj f có tính chất Lặp lại trình chứng minh với x2, x3, …chúng ta có điều phải chứng minh Bổ đề Cho A PI đại số nửa nguyên tố tâm C thỏa: annARadC = < > H đại số giao hoán K.khi đồng thức A đồng thức AH = H  K A Chứng minh Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử tồn f đa thức có chiều cao tối thiểu thỏa: f đồng thức A f không đồng thức H  K A Chúng ta giả sử f trộn hòan tòan (do bổ đề 3) Giả sử xi có mặt f xj mặt f đó: i jf có chiều cao thấp f i jf đồng thức A vậy: i j làmột đồng thức AH =H  K A(do giả thiết phản chứng) Do đó: Nếu a 1' , a '2 , , a 'm , b i'  A H thì: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' f( a1 , , a i  bi , a i 1 , , a m )  f ( a1 , , a i , , a m )  f ( a1 , , bi , , a m ) ,  i Suy ra: với a1' , a 2' , , a m'  AH f( a1' , a 2' , , a m' ) tổng số hạng có dạng: f( h1  a1 , h2  a , , hm  a m ),  hi  H,  A Vì f hoàn tòan H hoàn toàn giao hoán nên: f( h  a , h  a , , h m  a m ) = h 1r h r2 h rm  f (a , , a m ) m với ri = deg x f Do f đồng thức A f đồng i thức AH (mâu thuẫn với giả thiết phản chứng) *Nhận xét Bổ đề áp dụng với H= K[  ]thì ta có: A[  ]= A K [  ] thỏa mãn tất đồng thức A A[  ] PI-đại số Chứng minh: Mệnh đề 3.2.1.7 Ta có R  N  I với R = Rad(I), N = Un(I) Do bổ đề 1.ta có: R, N B = ann K[ X ] R / N T ideal Hơn nữa, K[X] / N nửa nguyên tố ( Thật vậy, giả sử C/N ideal lũy linh K[X]/N   x  C/N n n n   n: x  N  x + I  x  Un(K[X]/I)   m: (xn)m  I  x  I  N  x =  C/N = < > B/N = ann K [ X ] / N R / N nên theo bổ đề ta có: K[X]/B  (K[X]/N)/(B/N) nửa nguyên tố ann K [ X ] / B ( R  B) / B = < >  Chúng ta cần chứng minh rằng: R = N điều R  B Nghóa là: Khi R  B  R2  BR  N (do B = ann K[ X ] R / N )     R /N=< >  R/N = < > (do U/N không chứa ideal lũy linh khác < >)  R  N  R = N Khi đó: R/I = N/I  Un(K[X]/I) = J(K[X]/I)  J(U) nil ideal (đpcm) *Nhận xét: Rõ ràng đây: (R+B)/B  J(K[X]/B) Nên thay I B ta có thu gọn mệnh đề là: U nửa nguyên tố, N=I, annK[X](R/I) = I Ở ta cần chứng minh: R  B Thật vậy: Gọi C tâm U = K[X]/ I Ta chứng minh annU(RadC) = lấy b  annU(RadC)  b  annU(J(U)  C)( J(U)  C  Rad(C) C  Rad(C) Khi đó: lấy c  C  (J(U))b(J(U)) c  C  c  (J(U))  C  cb =bc = c  ( J (U ))b( J (U ))  J (U )  Do c  C nên c(J(U))b(J(U)) = C tâm U Do đó: [ C  (J(U))b(J(U))]2 =  C  (J(U))b(J(U))= ( U nửa nguyên tố ) Khi theo đònh lý 1.3.18 ta suy ra: (J(U))b(J(U)) =  (bJ(U)) =  bJ(U) = (do U nửa nguyên tố)  b  annJ(U)  b  annU(R+B)/B (vì (R+B)/B  J(K[X]/B)  J(U) )  b = 0( theo bổ đề 2) Vậy, annURadC = Như ta chưng minh U PI đại số nửa nguyên tố có tâm C thỏa mãn annURadC = nên theo kết nhận xét bổ đề Ta có: U[  ] thỏa mãn đồng thức U[  ] nên U U[  ] có đồng thức * Lấy f  R  : K[X]  U[  ] đồng cấu Vì U[  ] tập đếm phần tử sinh nên tồn tòan cấu từ K[X] vào U[  ] giả sử tòan cấu  : K[X]  U[  ] thỏa:  f =  f Lấy g  I đồng thức U  g đồng thức U[  ]   g = Do đó:  (I) = Ta xét toàn cấu cảm sinh:  : K[X]  U[ ] ; y  I  y toàn cấu hạn chế J(K[X]/I) J(U[  ]) ta có: Do U[  ] nửa nguyên thủy nên J(U[  ]) =   (R/I) = < >   (R) = < >   f = 0,  f  R   f=  f=0,  đồng cấu  : K[X]  U[  ]  f đồng thức U  f  I  R  I  R  B (đpcm) 3.2.1.8 Hệ Nếu U PI – đại số phổ dụng Thì: ln(U) = L(U) = Un(U) = J(U)=N(1) 3.2.2 Các Nil Radical Trên PI – Đại Số 3.2.2.1 Đònh lý Đại số A nil thỏa mãn đồng thức quy mạnh A lũy linh đòa phương Chứng minh Đại số A nil thỏa mãn đồng thức quy f, ta giả thiết f đa tuyến tính L Levitzki nil radical A Ta phải chứng tỏ A =L hay A/L = < 0> Khi đó, ta cần chứng minh A chứa ideal trái lũy linh đòa phương I  đủ Chọn phần tử a  A, a  mà a2 = Nếu Aa= linh hóa tử phải A khác ideal luy linh Do đó, ta có điều phải chứng minh Như vậy, ta giả sử Aa  tiếp tục chứng minh ideal trái Aa ideal lũy linh đòa phương Viết f(x1, x2,…,xm) dạng sau: f(x1, x2,…,xm) = x1f1(x2, ,xm) + f2(x1, x2, , xm) đơn thức f2 không bắt đầu x1 Ta giả sử f1(x2, ,xm) khác 0, degf1 = m -1 f1 đa thức quy Nếu x1 a xi  Aa vào f, ta thu a f1(a2, ,am)= 0, hạng tử f2(a1, ,am) chứa nhân tử dạng (ba)a = Điều chứng tỏ với  Aa f1(a2, ,am) linh hóa tử phần tử thuộc Aa phía bên phải Như vậy, gọi Z linh hóa tử phải Aa Aa Aa/Z thỏa mãn đồng thức quy f1 có bậc m – Sử dụng phép quy nạp theo bậc ta giả thiết Aa/Z lũy linh đòa phương Do Z2 = kéo theo Aa lũy linh đòa phương 3.2.2.2 Đònh lý Một đại số A thỏa mãn đồng thức quy mạnh bậc d N(0) tổng ideal lũy linh A đó: a Nếu B nil đại số A B[d/2]  N(0) b ln(A) = L(A) = Un(A) Chứng minh: a Trước tiên ta xét trường hợp B lũy linh Với số nguyên dương ta đònh nghóa: u2i-1 = Bn-1ABi-1; u2i = Bn-1ABi;  i  n Lúc với h < k ta có: u1.u2… uh = (Bn-1A)hB[h/2] (1) Và  j > k >1ta có: uj.uk  (Bn-1ABi-1)(Bn-1ABl-1)  (Bn-1A)(Bn+i-2)(ABl -1)  ABnA ( 2) ( đó:0 < i  n,  l  n, B ideal nên Bn-1A  Bn-1  B  A, Bn+i-2  Bn, ABd-1  Bd-1  B  A ) Vì B lũy linh nên tồn số nguyên dương n nhỏ cho: ABnA lũy linh Mặt khác, A thỏa mãn đồng thức quy mạnh bậc d nên ta giả thiết đồng thức đa tuyến tính Mặt khác, hệ số khác đồng thức khả nghòch nên ta x x d   giả   1 sử   d đồng x  x  d chọn h = d đồng thời thay xi u u d    1    d thức f A có dạng: ( 3) Giả sử n > [d/2] lúc 2n > d, ta u i  ui (3) ta có: u  u  d = Từ (1), (2) h = d ta có: (Bn- A)dB[d/2]  ABnA ( u1 … ud = (Bn-1A)dB[d/2]  uj uk  ABnA) Vì n >[d/2] nên n –1  [d/2] Do đó: n – = [d/2] + t, với t > Do tính kết hợp nên: (ABn-1A)d+1 = A(Bn-1A)dB[d/2]BtA suy ra: (ABn-1A)d+1  ABnA Điều dẫn đến mâu thuẫn với việc chọn n Mâu thuẫn chứng tỏ rằng: AB[d/2] A lũy linh ( n  [d/2]) Suy ra: B[d/2] + B[d/2]A + AB[d/2] + AB[d/2]A ideal lũy linh A (vì B xét lũy linh ) Vậy bò chứa N(0) Do đó: B[d/2]  N(0) Tiếp theo, ta xét B nil đại số: Khi theo bổ đề I.3.11 B đại số  lũy linh đòa phương Do đó, với b1, b2,…, b[d/2]  B b1 , , b[ d / ]  sinh đại số B0 theo trừng hợp ta có B[0d / 2]  N(0) ( B0 lũy linh ) Suy ra: b1…… b[d/2]  N(0) Lúc đó: B[d/2]  N(0) b Đặt N = Un(A) Vì N(0) làtổng tất ideal lũy linh A nên N(0)  N N[d/2]  N(0) ( theo câu a ) N/N(0) lũy linh A/N(0) Suy ra: N  N(1) = ln(A) ( theo đònh nghóa ln(A) ) Suy ra: Un(A)  ln(A) (1) Mặt khác theo III.1.1 ta có ln(A)  L(A)  Un(A)  J(A) ( 2) Từ (1) (2) suy ra: ln(A) = L(A) = Un(A) 3.2.2.3 Hệ Cho A PI đại số Khi đó: (ln(A))[d/2]  N(0) hay ln(A) = N(1) 3.2.2.4 Nhận xét i/ Một vấn đề đặt là: A PI-đại số ln(A) = N(0) hay không? Câu trả lời xảy điều minh họa thông qua ví dụ sau: Ví dụ Cho A đại số giao hoán có đơn vò cho A có nil radical B không lũy linh Khi đó, gọi đại số ma trận vuông Mn(A) (cấp n) có đồng thức chuẩn s m 2n cấp m Gọi U tập hợp Mn(A) bao gồm ma trận có phần tử đường chéo vàbên đường chéo phần tử thuộc B phần tử bên đường chéo phần tử tùy ý thuộc A Khi đó, nhận thấy rằng: * U nil đại số (Vì phần tử lũy thừa lên cấp n cho ma trận có phần tử thuộc B, nghóa phần tử ma trận nil Suy ra: Mỗi phần tử U nil) Khi đó: Un(U) = U * U thỏa mãn đồng thức (vì U nằm Mn(A)) Vấn đề giải U chứa ideal ideal hữu hạn sinh không lũy linh Thật vậy: - Lấy ideal U sinh u = e12 + e23 + … + en-1 n với eij ma trận cấp n có giá trò vò trí ( i,j) vò trí khác Lúc này, < u> ideal sinh u chứa phần tử e11 = e21u hay chứa tất phần tử có dạng ze11, z thuộc B Tập hợp phần tử tạo thành đại số đẳng cấu với B Vì B không lũy linh nên tập hợp không lũy linh Suy ra: không lũy linh chứa U (1) Theo mệnh đề III.1.2.1 ta có: ln(U) =N(1)(Do U nil PI- đại số ) (2) Mặt khác, U nil đại số nên Un(U) = U (3) Từ (1),(2) (3) suy ra: N(1)= ln(U) =Un(U)  N(0) Vậy, nhìn chung lower nil radical chứa nghiêm ngặt N(0) ii / Từ đây, ta nhận thấy trình xây dựng lower nil radical đường quy nạp siêu hạn chương PI đại số A dừng lại  =1 Tức là: ln(A) =N(  ) = N(  +1)= N(1) =N(2) =… 3.2.2.5 Mệnh đề Nếu U PI-đại số nửa nguyên tố J(U[  ])= hay: ln(U[  ]) =L(U[  ]) = Un(U[  ])= J(U[  ])= Chứng minh: Do ln(U)=Un(U) U nửa nguyên tố nên ln(U) =  Un(U)= hay U nil ideal khác không Khi theo đònh lý (Amitsur) ta có:Vì U đại số nil ideal khác < 0> nên U[  ]là đại số nửa nguyên thủy  J(U[  ]) = (1) Mặt khác U[  ] đại số nên ta có: ln(U[  ])  L(U[  ])  Un(U[  ])  J(U[  ]) (2) Tứ (1)và (2) suy ra:ln(U[  ]) = L(U[  ]) = Un(U[  ]) = J(U[  ])= 3.2.3.3 Kết luận Thông qua kết chứng minh trên, có số kết luận sau: - Khi A đại số thì: ln(A)  L(A)  Un(A)  J(A) - Khi A PI- đại số thì: ln(A) = L(A) = Un(A)=N(1)  J(A) - Xây dựng thí dụ PI đại số A, N(1) chứa nghiêm ngặt N(0) - Khi A PI- đại số phổ dụng thì: ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A)=N(1) - Khi A đại số giao hoán thì: {tập tất phần tử lũy linh A}=ln(A)= Un(A)=nil(A)  J(A - Khi A đại số Nguyên thủy, nửa nguyên thủy, nguyên tố, nửa nguyên tố thì: ln(A) = L(A) = Un(A) = J(A)= - Thông qua ví dụ chương 2, cho kết luận rằng: có đại số A để cho: + nil radical, lower nil radical, Lêvitzki nil radical, Upper nil radical chứa nghiêm ngặt Radical Jacobson + N(0) chứa nghiêm ngặt nil radical, lower nil radical, Lêvitzki nil radical, Upper nil radical Radical Jacobson 3.2.4 Bài Toán Mở Như vậy, phạm vi PI- đại số lower nil radical, Lêvitzki nil radical, Upper nil radical trùng Bài toán xây dựng thí dụ đại số không giao hoán mà nil radical tách biệt nhau, rõ ràng phải tìm đại số không giao hoán mà PI- đại số Đối với toán mở để tiếp tục nghiên cứu KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả luận văn có cố gắng việc nghiên cứu hệ thống khái niệm Radical mối quan hệ chúng môi trường khác Mục đích tác giả tổng quát hóa mối quan hệ chúng, đồng thời nêu lên tính chất đặc biệt loại Radical Lẽ trình nghiên cứu, tác giả luận văn cần xây dựng thêm đại số không giao hoán mà loại Radical có khác biệt hoàn toàn, đồng thời tìm hiểu Radical lớp vành không giao hoán đặc biệt khác, thời gian hạn hẹp khả có hạn nên tác giả luận văn chưa thực xin hẹn vào dòp khác Cuối cùng, tác giả luận văn nhận thấy rằng: Luận văn kết cố gắng, tìm tòi nghiên cứu, học hỏi tác giả luận văn tận tâm hướng dẫn thầy Bùi Tường Trí cảm thấy tự hào thành bước đầu đánh dấu cho trình nghiên cứu sau Chính lẽ đó, tác giả luận văn chân thành ghi nhận ý kiến đóng góp hội đồng giám khảo, bạn bè đồng nghiệp, tất người Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2008 Tác giả luận văn NGUYỄN THÀNH NAM TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Huynh Ba(1998), Về Một Lớp Các PI- Đại số, Luận Văn Thạc Sĩ Tốn Học, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Trần Trung Kiệt (2003),Về Các PI- Đại Số Đơn , Luận Văn Thạc Sĩ Tốn Học, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Lê Thi Lan Hương (2007), Về Các PI- Đại Số Phổ Dụng , Luận Văn Thạc Sĩ Tốn Học, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh I.N.herstein(1968), Non Commutative Ring, A.M.S N.Jacobson(1968), Structure Of Rings, A.M.S N.Jacobson(1975), Pi- Algebras An Introduction, Springer- VerlagBerlin-Heidelberg-Newyork M.F Atiyah & I.G.Macdonald(1969), Introduction To Commutative Algebra, Adison-Wesley Publishing Ompany Massachusetts University Of Oxford [...]... Tâm của đại số đơn là một trường 1.2.13 Đại số Artin Đại số A gọi là đại số Artin nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện: a/ mỗi tập con không rỗng các ideal của A đều có phần tử tối tiểu b/ mỗi dãy giảm các ideal của A đều dừng sau một số hữu hạn bước 1.2.14 Đại số đòa phương Đại số dòa phương là đại số có một ideal tối đại duy nhất 1.2.15 Đònh nghóa Cho đại số A khi đó: i/ A được gọi là đại số lũy linh... trung thành 1 2.10.2 Đònh lý Đại số nguyên thủy là đại số nguyên tố 1.2.11 Đại số nửa nguyên thủy 1.2.11.1.Đònh nghóa Một đại số gọi là đại số nửa nguyên thủy khi nó có môđun hoàn toàn khả quy và trung thành 1.2.11.2 Đònh lý Mọi đại số nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp của các đại số nguyên thủy 1.2.12 Đại số đơn 1.2.12.1 Đònh nghóa Đại số A gọi là đại số đơn khi A không chứa ideal... A, B là K- đại số thì A  B cũng là đại số k 1.2.4 Đònh nghóa đại số con Cho đại số A và B  A với 1A  B B được gọi là đại số con của A nếu B là K- đại số với phép toán cảmsinh trên A 1.2.5 Đònh nghóa đồng cấu đại số Cho A, B là k- đại số Ánh xạ f: A -> B gọi là đồng cấu đại số khi f vừa là đồng cấu vành, vừa là đồng cấu môđun 1.2.6 Đònh nghóa tích trực tiếp ( Ai ) i  I là họ k – đại số Tích trực... gọi là đại số lũy linh đòa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh iii/ Một ideal của A được gọi là lũy linh ( lũy linh đòa phương, nil ideal ) nếu xem là đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh đòa phương, nil đại số) 1.3 Đồng Nhất Thức Trên Đại Số Để đònh nghóa khái niệm đồng nhất thức đa thức của một đại số và một PI – đại số trước tiên ta xét đại số tự do trong. .. là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố 1 2.9.3 Đònh lý a/ Mọi đại số nguyên tố đều là đại số nửa nguyên tố b/ Mọi đại số không chứa nil ideal khác là đại số nửa nguyên tố I.2.9.4 Đònh lý A là đại số nửa nguyên tố,  là ideal tối tiểu phải khác Lúc đó: 2   eA , với e   , e  0 , e = e 1.2.10 Đại số nguyên thủy 1.2.10.1 Đònh nghóa Một đại số gọi là đại số nguyên thủy khi nó có môdun... Ai  A/ i Trong đó:  i = Ker  i  1.2.7.3 Đònh lý Cho đại số A và ( i ) i  I là họ các ideal trong A sao cho:   i  0  Lúc đó A đẳng cấu với tích trực tiếp con của( Ai ) i I, với iI Ai  A/ i I.2.8 Đại số nguyên tố 1.2.8.1 Đònh nghóa Một đại số gọi là đại số nguyên tố khi < 0 > là ideal nguyên tố 1.2.8.2 Đònh lý A là đại số Lúc đó các mệnh đề sau là tng đương: a/ A là đại số nguyên tố... cũng là trên đại số A Ở đây, khi nói đến đại số A trên vành K giao hoán có đơn vò ta có thể gọi tắt là đại số A để tiện cho việc trình bày Mặt khác, khi nói đến Radical trên vành không giao hoán hay một đại số nào đó thì ta cũng có thể hiểu là Radical của đại số trên vành cơ sở của nó 2.1 Radical Jacobson & Nil Radical (Trên vành Giao Hoán Có Đơn Vò) 2.1.1 Đònh nghóa nil radical Nil radical của vành... J(R) được gọi là Radical Jacobson phải * Tương tự ta cũng đònh nghóa cho Radical jacobson trái * Gọi A là đại số có đơn vò trên vành giao hoán K có đơn vò Phần giao của tất cả các ideal tối đại phải (hoặc trái ) của đại số A gọi là Radical Jacobson của đại số A, ký hiệu: J(A) hay Rad(A) Hay: J(A) =   =  ' (   ,  ' lần lượt là các ideal phải tối đại, ideal trái tối đại của đại số A ) Ta cũng có...1.2.1 Đònh nghóa đại số A A được gọi là đại số trên vành K giao hoán có đơn vò nếu: - A là K – mun - A là vành - với mọi k  K; với mọi a, b  A : k(ab) =(ka) =a(kb) Từ đây nếu không nói gì thêm, đại số A được hiểu là đại số có đơn vò trên vành K 1.2.2 Đònh nghóa đại số đối A0 Đại số đối của đại số A là đai số: * A0 = A như là K- môđun * Phép nhân trên A0, ký hiệu... Và Đại Số Không Giao Hoán: Nhận xét: Bất kỳ vành R không giao hoán đều có thể xem là đại số trên vành số nguyên Z Tuy nhiên, khi ta gọi đại số A trên vành giao hoán có đơn vò K thì ta đã cố đònh vành K ( gọi là vành cơ sở) và thường được gọi tắt là đại số A Chính vì vậy, khi ta nói Radical trên một vành không giao hoán nào đó cũng có nghóa là Radical của đại số trên vành cơ sở của nó 2.2.1 Xây dựng Radical