Bộ Giáo dục Đào tạo Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh oooOOOooo Báo cáo nghiệm thu đề tài khoa học cấp sở ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN VÀ DUNG LƯỢNG Mã số: CS.2007.19.04 Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Đậu Thế Cấp TP Hồ Chí Minh – 2008 I Giới thiệu đề tài Lý thuyết Độ đo Tích phân có nhiều ứng dụng khơng Giải tích Tốn học mà cịn nhiều ngành Tốn học khác đặc biệt Xác suất – Thống kê Vì lý đó, Độ đo Tích phân mơn học quan trọng sinh viên ngành tốn Là mơn học khó tài liệu tiếng Việt để học tập mơn Độ đo - Tích phân khơng nhiều, tài liệu tập để tham khảo lại Từ thực tế đó, mục đích đề tài biên soạn sách Độ đo Tích phân sử dụng làm giáo trình giảng dạy cho sinh viên, tham khảo cho học viên cao học Quyển sách Nhà xuất Giáo dục phát hành rộng rãi, phục vụ bạn đọc toàn quốc Quyển sách Độ đo Tích phân coi kiến thức chuẩn bị để nghiên cứu Dung lượng, biến dạng Độ đo Trong khuôn khổ đề tài, nghiên cứu dung lượng khơng gian tơpơ tổng qt, đóng góp đưa khảo sát triệt để dung lượng có giá trị rời rạc Kết viết thành báo nhận đăng tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm TP.Hồ chí Minh Chúng tơi bổ sung thêm để gửi cơng bố tạp chí chun ngành Liên quan đến đề tài, hướng dẫn hai học viên cao học làm luận văn tốt nghiệp, người bảo vệ, người lại bảo vệ vào tháng 9/2008 Đề tài thực tiến độ tiêu đăng ký II Các kết thực §1 Các sản phẩm Giáo trình “Độ đo Tích phân” Giáo trình có ba chương: Chương 1: Độ đo; Chương 2: Tích phân; Chương 3: Các vấn đề bổ sung Giáo trình trình bày vấn đề lý thuyết Độ đo Tích phân với chứng minh đầy đủ ngắn gọn Giáo trình có phần tập chọn lọc gồm 95 bài, có hướng dẫn giải tương đương với sách tập Giáo trình Nhà Xuất Giáo dục ấn hành, gồm 164 trang khổ 14.3×20.3 cm Bài báo “ Dung lượng không gian tôpô” (Capacities in topological spaces) Bài báo có cộng tác Th.S.Bùi Đình Thắng, trường Đại học Sài Gịn Bài báo trình bày lý thuyết dung lượng không gian tôpô Hausdorff tổng quát Phần dung lượng có giá trị rời rạc tốn theo chúng tơi có ý nghĩa Cơng việc chúng tơi khảo sát tích phân Choquet theo dung lượng có giá trị rời rạc Bài báo gồm 10 trang nhận đăng Tạp chí Khoa học Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh 3.Luận văn thạc sỹ Theo hướng đề tài hướng dẫn hai luận văn cao học 1) Định lý giới hạn trung tâm ứng dụng Xác suất – Thống kê, học viên cao học Nguyễn Đình ng, bảo vệ trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, bảo vệ năm 2007 Luận văn sử dụng biến đổi Fourier biến diễn tích phân để chứng minh định lý giới hạn trung tâm tổng quát Sau luận văn trình bày ứng dụng định lý Xác suất – Thống kê lý thuyết vấn đề cụ thể 2) Lý thuyết dung lượng không gian tôpô, học viên cao học Phan Phụng Hiệp, bảo vệ trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh năm 2008 Luận văn trình bày lý thuyết dung lượng khơng gian tơpơ, định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng Chứng minh định lý tương tự dung lượng ¡ n Cho nhiều kết dung lượng có giá trị hữu hạn, dung lượng đặc trưng tích phân Choquet theo chúng §2 Địa ứng dụng Giáo trình Độ đo Tích phân phát hành đơng đảo bạn đọc đón nhận Chương chương giáo trình làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên ngành tốn, chương giáo trình làm tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học Bài báo “ Dung lượng không gian tơpơ ” làm tiền đề để nghiên cứu tiếp dung lượng theo hướng III Các văn Trang bìa, lời nói đầu, mục lục sách “Độ đo Tích phân” Tồn văn báo “ Dung lượng không gian tôpô ” in Tạp chí Khoa học Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, số 14(48) Thuyết minh đề tài khoa học công nghệ cấp trường ❉❯◆● ▲×Đ◆● ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❚➷P➷ a ✶✱ ❉❛✉ ❚❤❡ ❈❛♣ a ❯♥✐✈❡rs✐t② b ❇✉✐ ❉✐♥❤ ❚❤❛♥❣ ♦❢ P❡❞❛❣♦❣② ♦❢ ❍♦❈❤✐▼✐♥❤ ❝✐t②✱ ❍♦❈❤✐▼✐♥❤ ❝✐t②✱ ❱✐❡t◆❛♠✳ b ❙❛✐●♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❍♦❈❤✐▼✐♥❤ ❝✐t②✱ ❱✐❡t◆❛♠✳ ❆❜str❛❝t✳ ■♥ t❤✐s ♥♦t❡ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ✐♥ ❍❛✉s❞♦r❢❢ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s♣❛❝❡s✱ t❤❛t ❣❡♥❡r❛❧✐③❡s t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ IRn✳ ❚❤❡ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❢♦r ❞✐s❝r❡t❡ s✉♣♣♦rt s stt ỵ tt ❧÷đ♥❣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ●✳❈❤♦q✉❡t ❬✶❪ ✈➔ ✤÷đ❝ t✐➳♣ tö❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✭①❡♠ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✮✳ ❉✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ①➨t tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤♦ ✤÷đ❝ ❜➜t ❦ý ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❦❤→✐ q✉→t ❝õ❛ ✤ë ✤♦ ✈➔ ❣➛♥ ✤➙② ❧➔ tr♦♥❣ IRn ✈ỵ✐ σ✲✤↕✐ sè ❇♦r❡❧✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ ❍❛✉s❞♦r❢❢ tê♥❣ q✉→t✳ ❙❛✉ ✤â ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❦❤↔♦ s→t ❦❤→ tr✐➺t ✤➸ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝✳ r IRn ụ ợ t trữớ ủ ữủ õ ❣✐→ ❤ú✉ ❤↕♥ ✭①❡♠ ❬✾❪✮✱ ❞♦ ✤â ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ú tổ ợ tr trữớ ủ ổ ❧➔ IRn✳ ✷ ❉✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ ❚r♦♥❣ sốt t ỵ X ởt ổ ❣✐❛♥ tæ♣æ ❍❛✉s❞♦r❢❢✳ K(X)✱ F(X)✱ G(X)✱ B(X) t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❤å ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t✱ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣✱ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ✈➔ t➟♣ ❝♦♥ ❇♦r❡❧ ❝õ❛ X ✳ ❚❛ ❝â K(X) ⊂ F(X) ⊂ F(X) ∪ G(X) ⊂ B(X) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❍➔♠ t➟♣ T : B(X) |→ [0; +∞) ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✭C1✮ T (∅) = 0✳ X ✶ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❛✉t❤♦r✳ ❊✲♠❛✐❧ ❛❞❞r❡ss❡s✿ ❞❛✉t❤❡❝❛♣❅②❛❤♦♦✳❝♦♠ ✭❉❛✉ ❚❤❡ ❈❛♣✮✱ ❜✉✐❞✐♥❤t❤❛♥❣✶✾✼✺❅②❛❤♦♦✳❝♦♠✳✈♥ ✭❇✉✐ ❉✐♥❤ ❚❤❛♥❣✮✳ ✶ ✭C ✮ T ✤❛♥ ❞➜✉ ❝➜♣ ❤ú✉ ❤↕♥✱ tù❝ ❧➔ ✈ỵ✐ ❝→❝ t➟♣ A , A , A ✤➲✉ ❝â n ∈ B(X)✱ n ≥ 2✱ Ai ) ✭✷✳✶✮ n T( i=1 tr♦♥❣ ✤â I(n) = {I : I✳ (−1)#I+1 T ( Ai ) ≤ i∈I I ∈ I(n) I ⊂ {1, n}, I = ∅}✱ #I ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ✭C ✮ T (A) = sup{T (C) : C ∈ K(X), C ⊂ A} ✈ỵ✐ ♠å✐ A ∈ B(X)✳ ✭C ✮ T (A) = inf{T (G) : G ∈ G(X), G ⊃ C} ✈ỵ✐ C K(X) ỵ M ♠ët σ✲✤↕✐ sè tr➯♥ X ✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ ❈❤♦ µ : M |→ [0; +∞) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t➟♣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿ ❱ỵ✐ ♠å✐ A, B ∈ M µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∪ B) ✭✷✳✷✮ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤å ❝→❝ t➟♣ A1, An ∈ M✱ n ≥ t❛ ✤➲✉ ❝â n µ( i=1 (−1)#I+1 µ( Ai ) = I ∈ I(n) ✭✷✳✸✮ Ai ) i∈I ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉✐ ♥↕♣ t❤❡♦ n✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭✷✳✷✮ t❛ ❝â ✭✷✳✸✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 2✳ ●✐↔ sû ✭✷✳✸✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n ≥ 2✱ t❛ s ự õ ú ợ n + ỵ ❤✐➺✉ I(n + 1) = I(n) ∪ {n + 1} ∪ (In , n + 1), ð ✤➙② (In, n + 1) = {I ∪ {n + 1} : I ∈ I(n)}✳ ✷ ✣➦t A = n i=1 Ai ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉✐ ♥↕♣ t❛ ❝â n+1 µ( Ai ) = µ(A An+1 ) i=1 = µ(A) + µ(An+1 ) − µ(A An+1 ) n = µ(A) + µ(An+1 ) − µ ( n = µ( Ai ) Ai ) + µ(An+1 ) − µ( i=1 (−1)#I+1 µ( I ∈ I(n) i∈I Ai ) + µ(An+1 ) i∈I I ∈ I(n) (−1)#I +1 µ( + (−1)#I+1 µ( I ∈ I(n + 1) Ai ) i∈I I ∈ (I(n), n + 1) = (−1)#I+1 µ( Ai ) + µ(An+1 ) − i∈I I ∈ I(n) = (Ai ∪ An+1 )) i=1 (−1)#I+1 µ( = tr♦♥❣ ✤â I An+1 i=1 n Ai ), i∈I = I ∪ {n + 1}✱ I ∈ I(n)✳ ❱➟② ✭✷✳✸✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n + 1✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ▼ët ✤ë ✤♦ µ tr➯♥ B(X) ❣å✐ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❇♦r❡❧ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ E ∈ B(X) ✤➲✉ ❝â ✶✳ µ(E) = inf{µ(U ) : U ∈ G(X), U ⊃ E}❀ ✷✳ µ(E) = sup{µ(C) : C ∈ K(X), C ⊂ E}✳ ❚ø ❜ê ✤➲ ✷✳✶ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ❝õ❛ ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥ IRn t õ ỵ t : B(X) |→ [0, +∞) t❤♦↔ ♠➣♥ ✭C1✮✱ ✭C3✮✱ ✭C4✮ ✈➔ ✭✷✳✷✮ ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ X ✳ ❜✮ ▼å✐ ✤ë ✤♦ ❝❤➼♥❤ q✉✐ tr➯♥n B(X) ✤➲✉ ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣n tr➯♥ X ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ m tr➯♥ B(IR ) ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ IR ✳ ✸ Ai ) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ❍➔♠ t➟♣ T : M |→ [0, +∞) ❣å✐ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ T (A ∪ B) = max{T (A), T (B)} ✈ỵ✐ ♠å✐ A, B ∈ M✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳ ◆➳✉ T ❧➔ ❤➔♠ t➟♣ ❝ü❝ ✤↕✐ t❤➻ ♠å✐ ❤å A1, An ∈ M t❛ ✤➲✉ ❝â (−1)#I+1 T ( Ai ) = min{T (Ai ) : ≤ i ≤ n} i∈I I ∈ I(n) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉✐ ♥↕♣ t❤❡♦ n✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ A1, A2 ∈ M t❛ ❝â T (A1 ) + T (A2 ) − T (A1 ∪ A2 ) = T (A1 ) + T (A2 ) − max{T (A1 ), T (A2 )} = min{T (A1 ), T (A2 )}, tù❝ ❧➔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = 2✳ ●✐↔ sû ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n ≥ 2✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❤å A1, An+1 ∈ M✱ ❦❤æ♥❣ ♠➜t tê♥❣ q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t T (A1 ) = min{T (Ai ) : ≤ i ≤ n + 1} T (An+1 ) = max{T (Ai ) : ≤ i ≤ n + 1} ❇ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉✐ ♥↕♣ t❛ ❝â (−1)#I+1 T ( I ∈ I(n + 1) (−1)#I+1 T ( Ai ) = i∈I I ∈ I(n) + Ai ) + T (An+1 ) i∈I (−1)#I +1 T ( Ai ) i∈I I ∈ (In , n + 1) = T (A1 ) + T (An+1 ) +(−Cn1 + Cn2 − · · · + (−1)n Cnn )T (An+1 ) = T (A1 ) + (1 − 1)n T (An+1 ) = T (A1 ) ❱➟② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n + 1✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳ ❍➔♠ t➟♣ T : B(X) |→ [0, +∞) ❣å✐ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ❤➔♠ t➟♣ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C1)✱ (C3)✱ (C4)✳ ❚ø ❜ê t õ ỵ s ỵ ✷✳✷✳ ▼å✐ ✤ë ✤♦ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ X ❧➔ ❞✉♥❣ ữủ tr X ỵ T ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ X ✳ ❑❤✐ ✤â ❛✮ T ❧➔ ❤➔♠ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠✱ tù❝ ❧➔ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X)✱ A ⊂ B t❤➻ T (A) ≤ T (B)✳ ❜✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X)✱ A ∩ B = ∅ ✤➲✉ ❝â T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ❚❤❡♦ (C3) T (A) = sup{T (C) : C ⊂ A, C ∈ K(X)} ≤ sup{T (C) : C ⊂ B, C ∈ K(X)} = T (B) ❜✮ = T (A ∩ B) ≤ T (A) + T (B) − T (A ∪ B)✳ ❉♦ ✤â T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B)✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ◆➳✉ A✱ B ∈ B(X) ✈➔ T (A) = t❤➻ T (A ∪ B) = T (B)✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✺✳ ❚❛ ữủ T ỵ s T ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ S ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ X s❛♦ ❝❤♦ T (X \ S) = ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳ ợ ữủ T tr X t õ T (s✉♣♣ T ) ≥ T (B) ∀B ∈ B(X) ❜✮ T (s✉♣♣ T ) = T (X)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ✣➦t A = B \ s✉♣♣ T ✱ t❛ ❝â A ⊂ X \ s✉♣♣ T ♥➯♥ T (A) = 0✳ ❱➻ B = A ∪ (B ∩ s✉♣♣ T ) ♥➯♥ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ ✷✳✶ T (B) = T (B ∩ s✉♣♣ T ) ≤ T (s✉♣♣ T ) ❜✮ ❚❤❡♦ ❛✮ t❛ ❝â T (s✉♣♣ T ) ≥ T (X) ✈➔ ❞♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ♥➯♥ T (s✉♣♣ T ) ≤ T (X)✳ ❱➟② T (s✉♣♣ T ) = T (X)✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✻✳ ▼ët ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ T tr➯♥ X ❣å✐ ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ①→❝ s✉➜t ♥➳✉ T (s✉♣♣ T ) = T (X) = 1✳ ✺ ✸ ❉✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â ❣✐→ rí✐ r↕❝ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ❚➟♣ ❝♦♥ D ❝õ❛ X ❣å✐ ❧➔ rí✐ r↕❝ ♥➳✉ x D tỗ t Ux ❝õ❛ x tr♦♥❣ X s❛♦ ❝❤♦ D ∩ Ux = {x}✳ ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳ ❈❤♦ D ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣✱ rí✐ r↕❝ ❝õ❛ X ✳ ❑❤✐ ✤â ❛✮ ▼å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ D ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳ ❜✮ ❚➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ D ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ A ⊂ D t❤➻ A ✤â♥❣ tr♦♥❣ D✳ ❱➻ D ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ♥➯♥ A ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳ ❜✮ ◆➳✉ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✈æ ❤↕♥ ❝õ❛ D t❤➻ C ❦❤æ♥❣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ D ❞♦ ✤â ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ X ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ❍å sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ {t }✱ i ∈ I ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ tê♥❣ ✈➔ ❝â tê♥❣ i ❜➡♥❣ s ♥➳✉ ti , J ⊂ I, #J < +∞} = s < +∞ ti = sup{ i∈I i∈J ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳ ◆➳✉ ti < +∞ t❤➻ t➟♣ I0 = {i ∈ I : ti > 0} ❧➔ ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ i∈I ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t An = {i ∈ I0 : }✳ n ti > ❚❛ ❝â ∞ I0 = An n=1 ◆➳✉ I0 ❦❤ỉ♥❣ ✤➳♠ ✤÷đ❝ t❤➻ tỗ t n0 s An0 ổ õ ti ≥ ti = i∈I i∈I ti = +∞ i ∈ An ❇ê ✤➲ ✸✳✸✳ ◆➳✉ µ : B(X) |→ [0, +∞) ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ✤ë ✤♦✱ ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ D t❤➻ D ❧➔ t➟♣ ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ ✻ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼å✐ x ∈ D ✤➲✉ ❝â à({x}) > tỗ t x D µ({x}) = t❤➻ D = D \ {x} ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✭ ❜ê ✤➲ ✸✳✶ ✮ ✈➔ µ(X \ D ) = 0✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ D ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔②✳ ▼å✐ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ A ⊂ D µ({x}) ≤ µ(D) < +∞ µ(A) = x∈A ♥➯♥ µ({x}) < +∞✳ ❚ø ✤â t❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✸✳✷✱ D ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ x∈D ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳ ❈❤♦ T ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ X ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ D✳ ✣➦t tx = T ({x}) ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ D✱ t❛ ❣å✐ T∞ ✈➔ T1 ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ tr➯♥ B(X) ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ sup{tx : x ∈ A ∩ D} ♥➳✉ A ∩ D = ∅ T∞ (A) = ♥➳✉ A ∩ D = ∅, T1 (A) =     tx ♥➳✉ A∩D =∅ x∈A∩D    ♥➳✉ A ∩ D = ỵ T ởt ❧÷đ♥❣ tr➯♥ X ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ D✳ ❑❤✐ ✤â T∞ ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ X ✈➔ T∞ (A) ≤ T (A) ✈ỵ✐ ♠å✐ A ∈ B(X) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ T∞ t❤ä❛ ♠➣♥ (C1)✱ (C3)✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ C ∈ K(X)✱ G = Ux (X \ D) ❧➔ t➟♣ ♠ð ❝❤ù❛ C ✱ T∞ (C) = T∞ (C ∩ D) = x∈C∩D T∞ (G ∩ D) = T∞ (G) ♥➯♥ ❝â (C4 )✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ T∞ t❤ä❛ ♠➣♥ (C2 )✱ t❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✷✳✷ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ T∞ ❧➔ ❤➔♠ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X) ✤➲✉ ❝â T∞ (A ∪ B) = sup{tx : x ∈ (A ∪ B) ∩ D} = max{sup{tx : x ∈ A ∩ D}, sup{tx : x ∈ B ∩ D}} = max{T∞ (A), T∞ (B)} ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ♠å✐ A ∈ B(X) T∞ (A) = sup{tx : x ∈ A ∩ D} = sup{T ({x}) : x ∈ A ∩ D} ≤ T (A) ✼ ❍➺ q✉↔ ✸✳✶✳ ❈❤♦ D ❧➔ ♠ët t➟♣ rí✐ r↕❝ tr♦♥❣ X ✱ ♠é✐ x ∈ D ❝❤å♥ ♠ët ❣✐→ trà dx > 0✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ A ∈ B(X) ✤➦t ♥➳✉ ♥➳✉ sup{dx : x ∈ A ∩ D} T (A) = A∩D =∅ A ∩ D = ∅ ❑❤✐ ✤â T ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ sup{dx : x D} < ợ ữủ t õ T = T ỵ T ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ D✳ ❑❤✐ ✤â T1 ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ D ữủ tx < ợ A ∈ B(X) x∈D t❛ ❝â T (A) ≤ T1 (A) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆➳✉ T1 ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ t❤➻ T1(D) = tx < ∞ ✈➔ t❤❡♦ ❜ê x∈D ✤➲ ✸✳✷✱ D ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ ◆❣÷đ❝ ❧↕✐ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ T1 t❤ä❛ ♠➣♥ (C1)✱ (C3)✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ C ∈ K(X)✱ ❞♦ G= Ux (X \ D) x∈C∩D ❧➔ ♠ð ❝❤ù❛ C ✈➔ T1 (C) = T1 (C ∩ D) = T1 (G ∩ D) = T1 (G) ♥➯♥ T t❤ä❛ ♠➣♥ (C4)✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X) t❛ ❝â T1 (A ∪ B) = tx x ∈ (A ∪ B) ∩ D = tx − tx + x∈A∩D x∈B∩D = T1 (A) + T1 (B) − T1 (A ∩ B) tx x∈A∩B∩D ❱➟② T1 t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ❞♦ ✤â ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ữủ t ỵ ợ a b D a = b t ỵ T ({a, b}) ≤ T ({a}) + T ({b}) ✽ tø õ t tử sỷ ỵ q✉✐ ♥↕♣ t❤❡♦ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ C t❛ ❝â T (C) ≤ T ({x}) = T1 (C) x∈C ✈ỵ✐ ♠å✐ C ⊂ D, T (A) = = = ≤ = = #C < ∞✳ ❇➙② ❣✐í ✈ỵ✐ ♠å✐ A ∈ B(X) t❛ ❝â T (A ∩ D) sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, C ❝♦♠♣❛❝t} (❞♦ C4 ) sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} ✭❞♦ ❜ê ✤➲ sup{T1 (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} T1 (A ∩ D) T1 (A) ✸✳✶ ❜✮ ❍➺ q✉↔ ✸✳✷✳ ◆➳✉ T ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â ❣✐→ D ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ ✈➔ ∞ T ({x}) < x∈D t❤➻ T∞ ✈➔ T1 ❧➔ ❝→❝ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ✈➔ T∞ (A) ≤ T (A) ≤ T1 (A) ✈ỵ✐ ♠å✐ A ∈ B(X)✳ ❍➺ q✉↔ ✸✳✸✳ ❈❤♦ D ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ ✈➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ D✱ ❝❤å♥ dx > 0✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ A ∈ B(X) ✤➦t T (A) =     dx x∈A∩D    ♥➳✉ A∩D =∅ ♥➳✉ A ∩ D = ∅ ❑❤✐ ✤â T ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â ❣✐→ D ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ D ữủ ợ ữủ t❛ ❝â T = T1✳ ✾ dx < x∈D ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ [1] ●✳❈❤♦q✉❡t✱ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❆♥♥✳■♥st✳❋♦✉r✐❡r ✺✭✶✾✺✸✲✶✾✺✹✮✱ ✶✸✶✲✷✾✺✳ [2] ❙✳●r❛❢✱ ❆ ❘❛❞♦♥✲◆✐❦♦❞②♠ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❏✳❘❡✐♥❡ ✉♥❞ ❆♥❣❡✲ ✇❛♥❞t❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❦ ✸✷✵✭✶✾✽✵✮✱ ✶✾✷✲✷✶✹✳ [3] P✳❏✳❍✉❜❡r✱ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❈❤♦q✉❡t ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ✐♥ st❛t✐st✐❝s✱ ❇✉❧❧✳■♥t❡r♥❛t✳❙t❛t✐st✳ ✹✺✭✶✾✼✸✮✱ ✶✽✶✲✶✾✶✳ [4] P✳❏✳❍✉❜❡r✱ ❱✳❙tr❛ss❡♥✱ ▼✐♥✐♠❛① t❡st ❛♥❞ ◆❡②♠❛♥✲P❡❛rs♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r ❝❛✲ ♣❛❝✐t✐✱ ❆♥♥✳❙t❛t✐st✳ ✶✭✶✾✼✸✮✱ ✷✺✶✲✷✻✸✳ [5] ◆✳❚✳❍✉♥❣✱ ◆✳❚✳◆❤✉✱ ❚♦♥❣❤✉✐ ❲❛♥❣✱ ❖♥ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ✐♥ ✐♥t❡r✲ ✈❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ ■♥t❡r✳❏✳❯♥❝❡rt❛✐♥t②✱ ❋✉③③✐♥❡ss ❛♥❞ ❑♥♦✇❧❡❣❡❞✲❇❛s❡❞ ❙②st❡♠ ✺✭✶✾✾✼✮✱ ✸✺✾✲✸✼✼✳ [6] ◆✳❚✳❍✉♥❣✱ ❇✳❇♦✉❝❤♦♥✲▼❡✉♥✐❡r✱ ❘❛♥❞♦♠ s❡ts ❛♥❞ ❧❛r❣❡ ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ♣r✐♥✲ ❝✐♣❧❡ ❛s ❛ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡s✱ ❙♦❢t ❈♦♠♣✉t✐♥❣ ✽✭✷✵✵✸✮✱ ✻✶✲✼✵✳ [7] ❏✳❇✳❑♦❞❛♥❡✱ ▲✳❲❛ss❡r♠❛♥✱ ❙②♠♠❡t✐❝ ❝♦❤❡r❡♥t✱ ❈❤♦q✉❡t ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❆♥♥✳❙t❛t✐st✳✷✹✭✶✾✾✻✮✱ ✶✷✺✵✲✶✷✻✹✳ [8] ●✳▼❛t❤❡r♦♥✱ ❘❛♥❞♦♠ s❡ts ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛❧ ❣❡♦♠❡tr②✱ ❏✳❲✐❧❡②✱ ✶✾✼✺✳ [9] ◆✳◆❤✉②✱ ▲✳❳✳❙♦♥✱ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ✐♥ IRd ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦q✉❡t ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❆❝t❛✳▼❛t❤✳❱✐❡t♥❛♠✳✷✾✭✷✵✵✹✮✱ ✹✶✲✺✻✳ [10] ◆✳◆❤✉②✱ ▲✳❳✳❙♦♥✱ ❚❤❡ ✇❡❛❦ t♦♣♦❧♦❣② ♦♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❝❛♣❛❝✐✲ t✐❡s ✐♥ IRd✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳▼❛t❤✳✸✸✭✷✵✵✺✮✱ ✷✹✶✲✷✺✶✳ [11] ❚✳◆♦r❜❡r❣✱ ❘❛♥❞♦♠ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✱ Pr♦❜✳❚❤❡♦r② ❘❡✲ ❧❛t✳❋✐❡❧❞s ✼✸✭✶✾✽✻✮✱ ✷✽✶✲✷✾✼✳ ✶✵ ... vệ vào tháng 9/2008 Đề tài th? ?c tiến độ tiêu đăng ký II C? ?c kết th? ?c §1 C? ?c sản phẩm Giáo trình ? ?Độ đo Tích phân? ?? Giáo trình c? ? ba chương: Chương 1: Độ đo; Chương 2: Tích phân; Chương 3: C? ?c vấn... Giới thiệu đề tài Lý thuyết Độ đo Tích phân c? ? nhiều ứng dụng khơng Giải tích Tốn h? ?c mà c? ??n nhiều ngành Tốn h? ?c kh? ?c đ? ?c biệt X? ?c suất – Thống kê Vì lý đó, Độ đo Tích phân mơn h? ?c quan trọng... l? ?c sách ? ?Độ đo Tích phân? ?? Tồn văn báo “ Dung lượng khơng gian tơpơ ” in Tạp chí Khoa h? ?c Tự nhiên trường Đại h? ?c Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, số 14(48) Thuyết minh đề tài khoa h? ?c cơng nghệ c? ??p trường