BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Mã số : ðại số lý thuyết số 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Mã số : ðại số lý thuyết số 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Lời Cảm Ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN - SĐH Trường tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Tôi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số lý thuyết số khóa 19 Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh Tôi biết ơn lãnh đạo đồng nghiệp Trường THPT Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi công tác tất bạn khóa ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân yêu gia đình cho niềm tin động lực để học tập công tác tốt Phạm Đăng Minh i Mở Đầu Cho R vành Noether, I iđêan R, M R−môđun Một vấn đề quan trọng đại số giao hoán xác định tập hợp iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i, HIi (M ) M hữu hạn Nếu R vành địa phương quy chứa trường HIi (R) hữu hạn với i ≥ Điều chứng minh nhà toán học Huneke Sharp (với i > 0) sau Lyubeznik chứng minh với i = Cho đến ngày vấn đề nhiều điều chưa biết, chẳn hạng tập iđêan nguyên tố liên kết HIi (R) có hữu hạn sinh với vành Noether tùy ý với iđêan hay không Trong trường hợp R vành Noether không địa phương Singh ví dụ với iđêan I HI3 (R) không hữu hạn sinh Khi nghiên cứu vấn đề Hartshorne, Huneke Koh đưa định nghĩa tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương Một R−môđun N gọi I − cof inite Supp(M ) ⊆ V (I) ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i ≥ 0, V (I) hiểu tập iđêan nguyên tố chứa I Từ thu kết quan trọng: Nếu R vành quy địa phương đầy đủ M R−môđun hữu hạn sinh ii iii HIi (M ) I − cof inite dim R/I ≤ 1, gần T Marley, K-I Kawasiki, K-I Yoshida, S Yassemi, Trần Tuấn Nam, tiếp tục nghiên cứu cho kết đẹp Nội dung luận văn gồm hai chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm số kết vành môđun, iđêan nguyên tố liên kết giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa phương, đồng điều Koszul Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương Đầu tiên trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm hiểu tính chất môđun Cofinite điều kiện để môđun môđun Cofinite Môđun Cofinite Harshorne định nghĩa [31] sau: Định nghĩa 2.1.1 Cho R vành, I iđêan R M R−môđun, M gọi I−cofinite Supp(M ) ⊂ V (I) ExtiR (R/I, M ) hữu hạn sinh với i D Delfino thiết lập thay đổi vành cho tính cofinite ([5],Proposition 2) Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I iđêan R Một B−môđun M IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) M A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I) Sử dụng định lý trên, D Delfino tổng quát hóa kết trước Harshorne ([5], Theorem 1) Cụ thể: Vành R Neother địa phương, I iđêan nguyên tố R cho iv dim R/I = HIi (M ) I-cofinite với i với R-môđun hữu hạn sinh M Trong mục đưa tiêu chuẩn để môđun môđun cofinite, điều kiện tương đương: Mệnh đề 2.1.9 Cho I iđêan vành R, x ∈ I Supp(M ) ⊂ V (I) Nếu :M x M/xM I−cofinite M I−cofinite Mệnh đề 2.1.15 Cho (R, m) vành địa phương với iđêan tối đại m I iđêan R với số chiều iđêan Cho A R−môđun Artin M R−môđun hữu hạn sinh Thì ExtiR (A, HIj (M )) hữu hạn sinh với i ≥ j ≥ Mệnh đề 2.1.16 Nếu M môđun I−cofinite M có chiều Goldie hữu hạn Mệnh đề 2.1.12 cho điều kiện tương đương môđun cofinite Tiếp theo trình bày khái niệm AF -môđun F Amôđun Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M gọi FA môđun tồn R-môđun hữu hạn sinh N M cho M/N Artin R-môđun M gọi AF môđun tồn R-môđun Artin A M cho M/A hữu hạn sinh Từ định nghĩa với bổ đề 2.2.2 chứng minh định lý 2.2.3, qua đưa tính hữu hạn tập ExtiR (K, HIj (M )) định lý 2.2.5 Định lí 2.2.5 v (i) Nếu M K FA môđun SuppR (K) ⊆ V (I) ExtiR (K, HIj (M )) môđun hữu hạn sinh với i ≥ j > (ii) Nếu M K AF môđun SuppR (K) ⊆ V (I) ExtiR (K, HIj (M )) môđun hữu hạn sinh với i ≥ j > Trong phần tìm hiểu Tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho điều kiện để HIs (M ) Icofinite Về mối liên hệ môđun F A tính cofinite phát biểu chứng minh mệnh đề 2.3.10 sau Mệnh đề 2.3.10 Cho M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan R, s số nguyên dương cho HIi (M ) F A với i < s Khi HIi (M ) I-cofinite với i < s HomR (R/I, HIs (M )) hữu hạn sinh Tiếp ta có mối liện hệ môđun cofinite tính hữu hạn tập HomR (R/I, HIs (M )) phát biểu định lý 2.3.11 Định lí 2.3.11 Cho I iđêan vành Noether R Cho s số nguyên không âm M R-môđun cho ExtiR (R/I, M ) Rmôđun hữu hạn với i ≤ s, chẳn hạng M phải R-môđun hữu hạn Nếu HIi (M ) I-cofinite với i < s HomR (R/I, HIs (M )) hữu hạn Tiếp có mệnh đề 2.3.12 sau: Giả sử M R-môđun cho Ext1R (R/I, M ) Ext2R (R/I, ΓI (M )) môđun hữu hạn Khi HomR (R/I, HI1 (M )) hữu hạn Từ có hệ 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn AssR (HIs (M )) Hệ 2.3.14 Giả sử M R-môđun hữu hạn Gọi s số nguyên vi không âm cho HIi (M ) hữu hạn với i < s Khi AssR (HIs (M )) tập hữu hạn Khi xem xét (R, m) vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15, định lý 2.3.16, hệ 2.3.17, 2.3.18 có định lý 2.3.19 sau Định lí 2.3.19 Cho M R-môđun hữu hạn Khi phát biểu q(I, M ) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM } Cuối nội dung luận văn tiếp tục tìm hiểu điều kiện để AssR (HIs (M )) tập hữu hạn Trong phần xuất phát từ bổ đề 2.4.1 tập {x ∈ R|Mx Rx − môđun hữu hạn sinh} iđêan R, tiếp có bổ đề 2.4.6 phát biểu sau Bổ đề 2.4.6 Cho R vành địa phương ảnh đồng cấu vành Cohen − M acaulay, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Đặt n = dim M r = dim M/IM Giả sử (i) M đẳng chiều (ii) M thỏa điều kiện Serre s Sl với l ≤ n − r − Thì HIi (M ) hữu hạn sinh với i < l + Từ mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 nhận xét 2.4.3 có định lý sau 2.4.12 phát biểu sau Định lí 2.4.12 Cho R vành địa phương, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh có số chiều n Đặt D := D(I, M ) vii giả sử điều kiện đúng: (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R = R miền nguyên chính; (iii) R vành thương vành Cohen−M acaulay, dim M/IM ≤ dim M ≤ thỏa mãn điều kiện Serre s Sn−3 ; (iv) R vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ M thỏa Sd−3 d = dim R = dim M dim R/D ≤ Từ định lý xem xét (R, m) vành địa phương có định lý 2.4.15 phát biểu sau Định lí 2.4.15 Cho R vành địa phương, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh n chiều Giả sử điều kiện thỏa mãn: (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R = m − adic đầy đủ R U F D; (iii) R vành thương vành Cohen − M acaulay, dim R/I ≤ dim M ≤ M thỏa mãn điều kiện Sn−3 ; (iv) R vành quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ M thỏa điều kiện Sd−3 d = dim R = dim M Lúc với R−môđun hữu hạn sinh N cho SuppR N ⊆ V (I) Tập AssR ExtiR (N, HIj (M )) hữu hạn với i, j Đặc biệt AssR HIi (M ) tập hữu hạn với i viii Các kết cho thấy tính không hữu hạn sinh tập HomR (R/I, HId−1 (R)) Xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ trình học tập Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn Tiến sĩ Trần Tuấn Nam, người trực tiếp đề tài hướng dẫn hoàn thành luận văn Do thời gian khả hạn chế, thân vừa giảng dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi thiếu sót, xin ghi nhận chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Phạm Đăng Minh 59 Ix −cofinite với i Vì dim R/D ≤ Xét trường hợp thứ hai htI = Chúng ta giả sử I = √ I, với R U F D, I = K ∩ (f ) htK ≥ ht(K + (f )) ≥ Đặt J = D(K, M ) ∩ (K + (f )) ta có dim R/J ≤ theo trường hợp Với x ∈ J ta có Kx + (f )x = Rx (R/I)x ∼ = (R/K)x ⊕ (R/(f ))x Theo dãy M ayer − V ietoris thu i i (M )x ⊕ H(f HIi (M )x ∼ = HK ) (M )x với i Hơn ta có j j i ExtiR (R/K, H(f ) (M ))x = = ExtR (R/(f ), HK (M ))x với i, j, với iđêan nguyên tố giá chúng chứa Kx + (f )x = Rx Từ tất điều với x ∈ J i, j ta có j j ExtiR (R/I, HIj (M ))x ∼ = ExtiR (R/K, HK (M ))x ⊕ExtiR (R/(f ), H(f ) (M ))x Hạng tử thứ hữu hạn sinh với x ∈ D(K, M ) hạng tử thứ hai hữu hạn sinh theo hệ [2.4.5] Vì J ⊆ D(I, M ) dim R/D(I, M ) ≤ Mệnh đề 2.4.11 Cho R vành địa phương không rẽ nhánh, I iđêan R M R−môđun trung thành hữu hạn sinh Giả sử dim R/I ≤ M thỏa điều kiện Sd−3 với d = dim R Gọi D = D(I, M ), dim R/D ≤ 60 Chứng minh: Theo mệnh đề [2.4.9] giả sử dim R/I = 3, theo bổ đề [2.4.6] HIi (M ) hữu hạn sinh với i < d−3 Ta lại giả sử R/I đẳng chiều lúc ta cần SuppR HId−2 (M ) hữu hạn sinh Lấy Q ∈ SuppR HId−2 (M ) ta có htQ ≥ d − Thật theo định lý Hartshorne−Lichtenbaum V anishing T heorem ta có htQ ≥ d − dim RQ /IQ > Nếu htQ = d − Q ∈ SuppR HId−2 (R), Q tối tiếu SuppR HId−2 (R) nên Q ∈ AssR HId−2 (R) Mà AssR HId−2 (R) tập hữu hạn, lúc cần dim R/Dd−2 (I, M ) ≤ Đặt J = Dd−2 (I, M ) ∩ Dd−1 (I, M ) ∩ Dd (I, M ) Thì ta có dim R/J ≤ với x ∈ J, HIi (R)x hữu hạn sinh với i = d − Vì HIi (R)x Ix −cofinite với i ≥ x ∈ J, theo mệnh đề [2.4.4] Do J ⊆ D(I, M ) Bây ta giả sử R/I không đẳng chiều giả thiết I = √ I xét I = K ∩ L R/K đẳng chiều Chúng ta có dim R/K = 3, dim R/L ≤ dim R/(K + L) ≤ Bây ta đặt J = D(K, M ) ∩ D(L, M ) ∩ (K + L) Thì ta có dim R/J ≤ theo lập luận trước mệnh đề [2.4.9] Với x ∈ J có Kx + Lx = Rx H i (M ) ∼ = H i (M )x ⊕ I K HLi (M )x với i Lập luận theo trường hợp mệnh đề [2.4.10] thu HIi (M )x Ix −cofinite với i x ∈ J Do J ⊆ D(I, M ) dim R/D(I, M ) ≤ Từ nhận xét 2.4.3 mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 có định lý sau: 61 Định lí 2.4.12 Cho R vành địa phương, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh có số chiều n Đặt D := D(I, M ) giả sử điều kiện đúng: (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R = R miền nguyên chính; (iii) R vành thương vành Cohen−M acaulay, dim M/IM ≤ dim M ≤ thỏa mãn điều kiện Serre s Sn−3 ; (iv) R vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ M thỏa Sd−3 d = dim R = dim M dim R/D ≤ Nhận xét 2.4.13 Cho (R, m) vành địa phương, I iđêan R M R−môđun Đặt R m − adic đầy đủ R (i) Nếu AssR (M ⊗R R) hữu hạn AssR M hữu hạn (ii) Nếu SuppR M ⊆ V (I) AssR M = HomR (R/I, M ) Bổ đề 2.4.14 Giả sử (R, m) vành hoàn toàn địa phương {pi }i∈Z+ tập đếm iđêan nguyên tố R không chứa I Khi tồn phần tử x ∈ I cho không thuộc pi với i Chứng minh: Không tính tổng quát cần giả thiết mối quan hệ bao hàm pi Bằng quy nạp xây dựng dãy cauchy {x1 , x2 , x3 , } ⊆ I sau Chọn x1 ∈ I cho x1 ∈ p1 62 Giả sử chọn dãy x1 , x1 , x3 , , xr−1 ∈ I cho với i, s mà i ≤ s ≤ r − ta có xs ∈ pi xs − xi ∈ pi ∩ I i Nếu xr−1 ∈ pr đặt xr = xr−1 Nếu xr−1 ∈ pr chọn yr cho yr ∈ pr yr ∈ p1 ∩ p2 ∩ ∩ pr−1 ∩ I Khi đặt xr = xr−1 + yrr−1 ta có xr ∈ I mà xr ∈ pi , ∀i ≤ r Rỏ ràng ta có xr − xr−1 = yrr−1 ∈ p1 ∩ p2 ∩ ∩ pr−1 ∩ I r−1 Hơn với i ≤ r − ta có xr − xi = xr − xr−1 + xr−1 − xi ∈ pi ∩ I i Ta có dãy {xr }∞ r=1 dãy cauchy R, R hoàn toàn địa phương nên dãy có giới hạn x Do iđêan đóng m − adic tôpô suy x ∈ I Tương tự vậy, cố định i ≥ dãy {xs − xi }∞ s=i dãy cauchy pi Vì x − xi ∈ pi với i rõ ràng x ∈ pi Định lí 2.4.15 Cho R vành địa phương, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh n chiều Giả sử điều kiện thỏa mãn: (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R = m − adic đầy đủ R U F D; (iii) R vành thương vành Cohen − M acaulay, dim R/I ≤ dim M ≤ M thỏa mãn điều kiện Sn−3 ; 63 (iv) R vành quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ M thỏa điều kiện Sd−3 d = dim R = dim M Lúc với R−môđun hữu hạn sinh N cho SuppR N ⊆ V (I) Tập AssR ExtiR (N, HIj (M )) hữu hạn với i, j Đặc biệt AssR HIi (M ) tập hữu hạn với i Chứng minh Theo nhận xét [2.4.13] cần giả thiết R đầy đủ Giả thiết phản chứng AssR ExtiR (N, HIj (M )) tập vô hạn với i, j Theo định lý [2.4.12] dim R/D ≤ D = D(I, M ) Do tồn tập vô hạn đếm pl AssR ExtiR (N, HIj (M )) cho D ⊂ pl với l Theo bổ đề [2.4.14] tồn x ∈ D cho x ∈ pl với l Do x ∈ D, ExtpR (R/I, HIq (M ))x Rx −môđun hữu hạn sinh với p, q Vì theo [[3], Lemma 4.2] có ExtiR (N, HIj (M ))x Rx −môđun hữu hạn sinh Nhưng x ∈ pi với i AssRx ExtiR (N, HIj (M ))x tập vô hạn, điều dẫn đến mâu thuẫn Định lí 2.4.16 Cho (R, m) vành địa phương, I iđêan R, M R−mođun hữu hạn sinh n chiều Giả sử điều kiện thỏa mãn (i) dim M ≤ 3; (ii) dim R/I ≤ 2; (iii) dim R = R U F D; (iv) R vành quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 64 M thỏa điều kiện Sd−3 d = dim R = dim M Lúc HIi (M )p Ip −cofinite với p iđêan nguyên tố p R Hơn sở µi (p, HIi (M )) hữu hạn với i, j iđêan nguyên tố p R Chứng minh: Trường hợp (ii) Theo [[5], Theorem 1] ta có dim RQ /IQ ≤ với Q = m Trường hợp (i), (iii), (iv) Theo định lý [2.4.12] có dim R/D ≤ với D = D(I, M ) Vì V (D) tập hữu hạn với p ∈ V (D), HIi (M )p Ip −cofinite với i Từ kết hợp với [[3], Lemma 4.2] có µi (p, HIi (M )) hữu hạn với i, j iđêan nguyên tố p R Bổ đề 2.4.17 Cho Cho (R, m) vành hoàn toàn địa phương, I iđêan R, N R−môđun cho SuppR N ⊆ {m} Giả sử HomR (R/I, N ) hữu hạn sinh Khi N Artin, I + annR N m−nguyên sơ ExtiR (R/I, N ) có độ dài hữu hạn với i Chứng minh: Từ HomR (R/m, N ) đẳng cấu với môđun HomR (R/I, N ) có HomR (R/m, N ) hữu hạn sinh Do SuppR N ⊆ {m}, N Artin môđun đối ngẫu N ∗ N R−môđun hữu hạn sinh Bây theo [[13], Theorem 11.57] ExtiR (R/I, N )∗ ∼ = T oriR (R/I, N ∗ ) Như HomR (R/I, N ) hữu hạn sinh Artin có độ dài 65 hữu hạn Do R/I ⊗R N ∗ có độ dài hữu hạn I + annR (N ∗ ) m−nguyên sơ Điều cho T oriR (R/I, N ∗ ) có độ dài hữu hạn với i Mệnh đề 2.4.18 Cho (R, m) miền nguyên Cohen − M acaulay địa phương, chuẩn giải tích, có d−chiều Giả sử (i) dim R/I ≥ 2, (ii) dim R/Q = với Q ∈ MinR R/I Khi HomR (R/I, HId−1 (R)) không hữu hạn sinh Chứng minh: Chúng ta giả thiết R miền nguyên Cohen − M acaulay chuẩn đầy đủ Giả sử phản chứng HomR (R/I, HId−1 (R)) hữu hạn sinh √ Với I = I đặt I = J ∩ K với dim R/J = dim R/p ≥ √ với p ∈ MinR R/K J + K = m Theo Hartshorne − d Lichtenbaum V anishing T heorem ta có HJd (R) = HK (R) = h−1 Vì SuppR HK (R) ⊆ {m}, với iđêan nguyên tố chiều p chứa K có dim(R/K)p Rp bất khả quy Theo dãy M ayer − V ietoris có d−1 d −→ HJd−1 (R) ⊕ HK (R) −→ HId−1 (R) −→ Hm (R) −→ Từ có dãy khớp dài d−1 −→ HomR (R/J, HJd−1 (R)) ⊕ HomR (R/J, HK (R)) −→ d HomR (R/J, HId−1 (R)) −→ HomR (R/J, Hm (R)) −→ d−1 Ext1R (R/J, HJd−1 (R)) ⊕ Ext1R (R/J, HK (R)) −→ 66 Do HomR (R/J, HJd−1 (R)) hữu hạn sinh đẳng cấu môđun HomR (R/I, HJd−1 (R)), theo định lý [[5], Theorem 1] ta dim R/J = Ext1R (R/J, HJd−1 (R)) hữu hạn sinh với d−1 (R)) hữu hạn sinh i Hơn HomR (R/J, HK d−1 (R) ⊆ {m}, áp dụng bổ đề 2.4.17 ta có ta có SuppR HK d−1 (R)) có độ dài hữu hạn với i ExtiR (R/J, HK d Vì HomR (R/J, Hm (R)) hữu hạn sinh Cũng theo bổ đề 2.4.17 d có J + annR Hm (R) m−nguyên sơ Điều dẫn đến d (R) = mâu thuẫn annR Hm Ví dụ: Cho R = k[x, y, z](x,y,z) với k trường Đặt I = ((x) ∩ (y, z))R Khi HomR (R/I, HI2 (R)) không hữu hạn sinh Vì HIi (R) không I−cofinite với i = 1, theo mệnh đề [2.4.4] Ví dụ: Cho R = k[x, y, z, u, v](x,y,z,u,v) với k trường Đặt I = ((x)∩(y, z))R P = (x, y, z)R Khi HomR (R/I, h2I (R))P không RP -môđun hữu hạn sinh theo mệnh đề [2.4.18] Vì HomR (R/I, h2I (R))Q không RQ -môđun hữu hạn sinh với iđêan nguyên tố Q R chứa P Định lí 2.4.19 Cho (R, m) miền nguyên Cohen − M acaulay địa phương, chuẩn giải tích I iđêan R cho dim R/I ≥ Nếu SpecR/I − {m/I} không rời rạc HomR (R/I, HId−1 (R)) không hữu hạn sinh 67 Chứng minh: Chúng ta giả thiết R miền nguyên Cohen − M acaulay chuẩn đầy đủ Theo mệnh đề [2.4.18] giả sử dim R/Q ≥ với Q ∈ MinR R/I Do SuppR HId−1 ⊆ {m} Vì iđêan nguyên tố p có độ cao d − chứa I ta có dim(R/I)p > Rp bất khả quy Lại SpecR/I − {m/I} không rời rạc theo dãy M ayer − d (R) V ietoris ta thu toàn cấu HId−1 −→ Hm d (R) = có annR HId−1 (R) = Vì Từ annR Hm HomR (R/I, HId−1 (R)) không hữu hạn sinh theo bổ đề [2.4.17] Ví dụ: Cho k trường R = (k[x, y, u, v]/(xu − yv))(x,y,u,v) Đặt I = (x, y)R ∩ (u, v)R Khi HomR (R/I, HI2 (R)) không hữu hạn sinh Kết Luận Trong luận văn này, trình bày số kết chủ yếu sau: ♦ Định nghĩa số tính chất môđun cofinite trình bày mệnh đề 2.1.2, 2.1.5, 2.1.7, 2.1.12, 2.1.16,2.1.17 ♦ Định nghĩa số tính chất F A AF môđun trình bày định lý 2.2.3, 2.2.5 ♦ Một số đặc trưng tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương trình bày mệnh đề 2.3.4, 2.3.7, 2.3.10, 2.3.12 định lý 2.3.11, 2.3.19 ♦ Xét iđêan nguyên tố liên kết tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương trình bày định lý 2.4.12 2.4.15 ♦ Luận văn số trường hợp tập HomR (R/I, HId−1 (R)) không hữu hạn sinh Vì thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh 68 Tài liệu tham khảo [1] Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann, Publishers in Arts and Science, 1972 [2] R Belshoff, S -P Slattery and C.Wickham, The local cohomology modules of Matlis reflexive modules are almost cofinite, Proc Amer Math Soc., 124 (1996), 2649Ọ2654 [3] C Huneke, J Koh, Cofiniteness and vanishing of local cohomology modules, Math Proc Cambridge Philos Soc 110 (1991) 421-429 [4] C U Jensen, Les functeurs Dérivés de lim et leurs Applications en Théories des Modules, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1972 [5] D Delfino, T Marley, Cofinite modules and local cohomology, J.Pure Appl.Algebra 121 (1997) 45-52 [6] D G Northcott, Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1966 [7] D G Northcott, Homological Algebra, Cambridge University Press, 1973 69 70 [8] D G Northcott, Multilinear algebra, Cambridge University Press, 1984 [9] E Matlis, Injective modules over Noertherian rings, Pac J Math 8, 511-528 (1958) [10] H Cartan, S Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, Princeton, 1956 [11] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press 1986 [12] H Matsumura, Commutative Algebra-Second Edition, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc 1980 [13] J Rotman, An introduction to Homological Algebra, Academic Press, San Diego, 1979 [14] Jan R Strooker, Homological Questions in Local Algebra, Cambridge University Press, 1990 [15] K-I Kawasaki, Cofiniteness of local cohomology modules for principal ideals, Bull London Math Soc 30 (1998) 241-246 [16] K-I Yoshida, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of dimension one, Nagoya Math J 147 (1997) 179-191 [17] K Bahmanpour, R Naghipour, On the cofiniteness of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 136 (2008) 23592363 71 [18] K Bahmanpour, R Naghipour, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, Journal of Algebra 321 (2009) 1997Ọ2011 [19] L Melkersson, P Schenzel The co-localization of artinian modules, Proceedings of Edinburgh Mathematical Society (1995) 38, 121-131 [20] L Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Cambridge Philos Soc 107 (1990) 267-271 [21] L Melkersson, Some applications of a criterion for artinianess of a modules, J Pure Appl Algebra 101 (1995) 291-303 [22] L Melkersson, Properties of cofinite modules and applications to local cohomology, Math Proc Cambridge Philos Soc 125 (1999) 417-423 [23] L Melkersson, Modules cofinite with respect to an ideal, J Algebra 285 (2005) 649-668 [24] M.T Dibaei, S Yassemi, Associated primes and cofiniteness of local cohomology modules, arXiv:math.AC/0405499 v3 31 May 2004 [25] T.Marley and J.C Vassilev, Cofiniteness and Associ- ated primes and cofiniteness of local cohomology modules, arXiv:math.AC/0209216 v1 17 Sep 2002 72 [26] M Brodmann, R Y Sharp, Local cohomoly: An introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1998 [27] M F Atiyah, I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Inc 1969 [28] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, The I -adic completion and local homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc (2001), 131, 61 [29] Nguyen Tu Cuong, Tran Tuan Nam, A local homology theory for linearly compact modules, Journal of Algebra 319 (2008) 4712Ọ4737 [30] R Hartshorne, Cohomological dimension of algebra varieties, Ann of Math 88 ( 1996) 403-450 [31] R Hartshorne, Affine duality and cofiniteness, Invent Math (1970) 145-164 [32] R Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag New York Inc, 1977 [33] R Y Sharp, On the attached prime ideals of certain artinian local cohomology modules [34] S D Mac Lane, Homology, Academic Press, New York 1963 [35] S Greco, P Salmon, Topics in m-adic Topologies, SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York, Inc 1971 [36] S Lang, Algebra, Springer-Verlag New York, Inc 2002 73 [37] S T Hu, Homology theory, Holden-Day, San Francissco, 1964 [38] S Yassemi, Coassociated primes, Comm Algebra 23 (4) (1995) 1473-1498 [39] S Yassemi, Cofinite modules, Comm Algebra 29 (6) (2001) 2333-2340 [40] T Marley, The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscripta Math 104, 519-525 (2001) [41] T Marley, J Vassilev, Cofiniteness and associated primes of local cohomology modules, J Algebra 256 (2002) 180-193 [42] Tran Tuan Nam, Ideal co-transforms of linearly compact modules, East-West J of Mathematics: Vol 6, No (2004) pp.173183 [43] Tran Tuan Nam, On the finiteness of co-associated primes of local cohomology modules, J Math Kyoto Univ (JMKYAZ) 00-0 (2008), 000-000 [44] Tran Tuan Nam, Co-support and Coartinian Modules, Algebra Colloquium 15 : (2008) 83Ọ96 [45] W Vasconcelos, Divisor Theory in Module Categories, NothHolland, Amsterdam, 1974 [...]... về vành và môđun 1 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá 4 1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu 9 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 12 1.5 Đồng điều Koszul 16 2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 19 2.1 Môđun Cofinite 19 2.2 FA and AF môđun 37 2.3 Tính cofinite. .. một iđêan nguyên tố liên kết với M ; (ii) M = 0 và với mọi a ∈ R, đồng cấu aM hoặc là đơn cấu hoặc là lũy linh địa phương Khi thỏa các điều kiện đó, tập các phần tử a ∈ R sao cho aM lũy linh địa phương trùng với iđêan nguyên tố liên kết với M Mệnh đề 1.2.17 Giả sử M là R -môđun và N là môđun con của M Khi đó (i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N cũng liên kết với M (ii) Một iđêan nguyên tố bất kỳ liên. .. cofinite của môđun đối đồng điều địa phương 40 2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 51 ix x Kết Luận 68 Tài Liệu Tham Khảo 69 Chương 1 Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Các khái niệm về vành và môđun Định nghĩa 1.1.1 Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số nguyên m ≥ 1 sao cho am = 0 ∈ R Bổ đề 1.1.2 Giả sử S là tập con nhân của R và S không... đi, các môđun nguyên sơ thuộc vào các iđêan nguyên tố cô lập được xác định duy nhất Định lí 1.1.18 Mọi môđun con N của R -môđun Noether M đều có sự phân tích nguyên sơ 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá Định nghĩa 1.2.1 Cho M là một R -môđun Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan liên kết với M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M mà annR (x) = p Để ý p = R nên x = 0 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M... kỳ liên kết với M cũng liên kết hoặc với N hoặc M/N Định lí 1.2.18 Giả sử R và M đều là Noether Môđun con Q của M là nguyên sơ khi và chỉ khi có đúng một iđêan nguyên tố p liên kết với M/Q Trong trường hợp đó p tương ứng với Q, tức là Q là p -nguyên sơ 9 Định lí 1.2.19 Giả sử R và M đều là Noether Các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M đúng là các iđêan nguyên tố tương ứng với các môđun nguyên sơ... Khi đó các điều sau là tương đương: (i) depth(I, M ) = n 18 (ii) Hi (x1 , , xn ; M ) = 0, ∀i > 0 (iii) H1 (x1 , , xn ; M ) = 0 (iv) x1 , x2 , , xn là M −dãy chính quy Chương 2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 2.1 Môđun Cofinite Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là R môđun, M được gọi là I cofinite nếu Supp(M ) ⊂ V (I) và ExtiR (R/I,... = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R Cho I là một iđêan của vành R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất của các iđêan nguyên tố chứa I, htI = inf{htp|p ∈ V (I)} Số chiều của vành R cũng có thể được định nghĩa là sup của chiều cao của tất cả các iđêan nguyên tố của R dim R = sup{htp|p ∈ SpecR} 11 Số chiều này còn được gọi là số chiều Krull của R Số chiều của R môđun M , kí... chỉ khi a không nằm trong một iđêan nguyên tố nào liên kết với M 8 Mệnh đề 1.2.15 Giả sử R là vành Noether và M là R -môđun và a ∈ R Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i) aM lũy linh địa phương; (ii) a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố liên kết với M ; (iii) a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố p mà Mp = 0 Hệ quả 1.2.16 Giả sử R là vành Noether và M là R -môđun Khi đó các điều kiện dưới đây là tương... là iđêan nguyên tố liên kết của M Hay Ass(M ) = ∅ (ii) Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M Mệnh đề 1.2.6 Cho R là vành Noether, M là một R môđun hữu hạn sinh, N là một R môđun bất kì Khi đó Ass(HomR (M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M ) Mệnh đề 1.2.7 Cho R là một vành Noether, M là một R môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R Khi đó Supp(M ) ⊂ V (I) khi và chỉ... l(M ) = 0 Định nghĩa 1.3.6 Số chiều của một vành R, kí hiệu dim R là chiều dài lớn nhất n của dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn các iđêan nguyên tố của R Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu dim R = ∞ Định nghĩa 1.3.7 Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan nguyên tố của R Chiều cao của iđêan nguyên tố p là độ dài lớn nhất của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = p, kí hiệu là