CỘNG HỒ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đại Phú, ngày tháng năm 201 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2012 - 2013 II Nội dung Đặt vấn đề a Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ở TRƯỜNG THCS ĐẠI PHÚ b Lý chọn sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng HSG mơn Tốn để học sinh đạt giải (đặc biệt giải cao ) kỳ thi học sinh khiếu cấp huyện việc làm khó khăn, vất vả tốn nhiều cơng sức thầy trò Việc tìm phương pháp bồi dưỡng hiệu cần thiết khơng giúp học sinh học tập dễ dàng mà rèn cho em lĩnh kiên cường, tự tin bước vào kỳ thi Phân tích đa thức thành nhân tử chun đề khó rộng, chiếm vị trí quan trọng chương trình bồi dưỡng với dạng tốn như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, tìm nghiệm ngun phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…Do việc tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thơng minh, xác cần thiết giáo viên học sinh Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thực hành thành thạo dạng tốn để tăng số học sinh đạt giải, nâng chất lượng giải kỳ thi chọn học sinh khiếu mơn tốn cấp huyện c Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: -Nhóm Học sinh giỏi Tốn lớp Trường THCS Đại Phú - Sơn Dương –Tun Quang Giải vấn đề a Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Để việc bồi dưỡng đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm q trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là: 1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C) 2) Phương pháp dùng đẳng thức: Dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức đa thức chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức nhằm mục đích: + Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm + Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức + Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức 4) Phối hợp phương pháp bản: Vận dụng phát triển kỹ kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 5)Phương pháp tìm mghiệm đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm ngun f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 ngun Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự 6)Phương pháp thêm, bớt hạng tử: Sử dụng cho tập áp dụng ba phương pháp học để giải 7) Phương pháp tách hạng tử: 8) Phương pháp đặt biến phụ: 9)Phương pháp hệ số bất định: Đó đồng hệ số hai vế để từ suy hệ số cần tìm phân tích đa thức thành nhân tử b) Thực trạng vấn đề: -Học sinh chưa hiểu sâu rộng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt tốn khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo - Khi gặp toán học sinh làm gì? Không biết theo hướng ? Không biết liên hệ cho đề với kiến thức học -Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác -Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic -Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp toán khó c) Các giải pháp thực sáng kiến kinh nghiệm: * Quy trình cách thức: - Xây dựng kế hoạch thực từ đâu năm học - Tổ chức thi tuyển chọn em có khiếu mơn Đặc biệt phải học mơn Tốn - Tổ chức cho học ơn luyện theo chun đề, trao đổi trực tiếp Sau chun đề kiểm tra kiến thức học sinh ( Đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần ) - Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tòi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập khơng lớp mà nhà - Thổi vào học sinh tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường tâm thi đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh khiếu Động viên, khích lệ học sinh thường xun liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh buổi học - Mỗi dạng tốn cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập lần tốn tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng tốn ơn tâp Trong viƯc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n gi¸o viªn cÇn ph¶i rÌn lun cho häc sinh tÝnh t duy, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o vµ linh ho¹t, tù m×nh t×m tßi kiÕn thøc míi, ph ¬ng ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng mµ cßn ph¶i dïng mét sè ph¬ng ph¸p khã h¬n ®ã lµ ph¶i cã thđ tht riªng ®Ỉc trng, tõ ®ã gióp c¸c em cã høng thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o gỈp c¸c d¹ng to¸n khã Ngêi thÇy gi¸o gi¶ng d¹y cÇn rÌn lun cho häc sinh cđa m×nh víi kh¶ n¨ng s¸ng t¹o, ham thÝch häc bé m«n to¸n vµ gi¶i ®ỵc c¸c d¹ng bµi tËp mµ cÇn ph¶i th«ng qua ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư, n©ng cao chÊt lỵng häc tËp, ®¹t kÕt qu¶ tèt c¸c kú thi Tõ ®ã t«i m¹nh d¹n chän ®Ị tµi s¸ng kiÕn kinh nghiƯm " Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư" nh»m gióp gióp häc sinh cđa m×nh n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh ph©n tư, gióp häc sinh ph¸t hiƯn ph¬ng ph¸p gi¶i phï hỵp víi tõng bµi thĨ ë c¸c d¹ng kh¸c * Khảo sát thực tiễn Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực đề tài tơi tiến hành khảo sát lực học sinh thơng qua số kiểm tra kết sau: XÕp lo¹i Tỉng sè HS Giái Kh¸ Trung b×nh Ỹu SL % SL % SL % SL % 0 50 50 0 Thơng qua kết khảo sát tơi suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững u cầu q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Tơi mạnh dạn nêu số biện pháp đây: * Một số biện pháp 1) BiƯn ph¸p thø nhÊt Gi¸o viªn ph¶i trang bÞ cho häc sinh cđa m×nh c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®ỉi dÊu ®a thøc, thËt thc vµ vËn dơng thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí 2) BiƯn ph¸p thø hai Gi¸o viªn cho häc sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cđa viƯc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư §Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư (thõa sè) lµ biÕn ®ỉi ®a thøc thµnh tÝch cđa nhiỊu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c VÝ dơ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) 2.1) C¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng + §Ỉt nh©n tư chung + Dïng h»ng ®¼ng thøc + Nhãm nhiỊu h¹ng tư Trong thùc hµnh gi¶i to¸n thêng ph¶i phèi hỵp c¶ ba ph¬ng ph¸p kĨ trªn ®Ĩ cã thĨ ph©n tÝch ®a thíc thµnh nh©n tư VÝ dơ1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhãm c¸c h¹ng tư) = 3(a - b) + (a - b)2 (®Ỉt NTC vµ dïng h»ng ®¼ng thøc) = (a - b) (3 + a - b) (§Ỉt nh©n tư chung) VÝ dơ 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư M2 = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhãm c¸c h¹ng tư) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Ỉt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (§Ỉt NTC) §Ĩ phèi hỵp nhiỊu ph¬ng ph¸p trªn ®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cÇn chó ý c¸c bíc sau ®©y: + §Ỉt nh©n tư chung cho c¶ ®a thøc nÕu cã thĨ tõ ®ã lµm ®¬n gi¶n ®a thøc + XÐt xem ®a thøc cã d¹ng b»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng ? + NÕu kh«ng cã nh©n tư chung, hc kh«ng cã h»ng ®¼ng thøc th× ph¶i nhãm c¸c h¹ng tư vµo tõng nhãm tho¶ m·n ®iỊu kiƯn mçi nhãm cã nh©n tư chung, lµm xt hiƯn nh©n tư chung cđa c¸c nhãm hc xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc Cơ thĨ c¸c vÝ dơ sau: VÝ dơ 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thÊy M3 kh«ng cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc, c¸c h¹ng tư còng kh«ng cã nh©n tư chung, vËy lµm g× ®Ĩ ph©n tÝch ®ỵc Quan s¸t kü ta thÊy hai h¹ng tư 5a - 5b2 cã nh©n tư chung V× vËy ta dïng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tư ®Çu tiªn: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau ®ã ®Ỉt nh©n tư chung cđa nhãm thø nhÊt ®Ĩ lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sư dơng h»ng ®¼ng thøc ë nhãm ®Çu lµm xt hiƯn nh©n tư chung cđa c¶ hai nhãm lµ (a + b): M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 M3 ®· cã nh©n tư chung lµ: (a + b) Ta tiÕp tơc ®Ỉt nh©n tư chung M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a – 2b) Nh vËy M3 ®· ®ỵc ph©n tÝch thµnh tÝch cđa hai nh©n tư (a + b) vµ (8a - 2b) VÝ dơ 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Tríc hÕt h·y x¸c ®Þnh xem dïng ph¬ng ph¸p nµo tríc ? Ta thÊy c¸c h¹ng tư ®Ịu chøa nh©n tư chung 3xy + §Ỉt nh©n tư chung M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngc cã h¹ng tư h·y xÐt xem cã h»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng? + Nhãm h¹ng tư: M4 = xy[(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2)] + Dïng h»ng ®¼ng thøc: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xÐt hai h¹ng tư ngc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo? + Sư dơng h»ng ®¼ng thøc hiƯu hai b×nh ph¬ng ta cã: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) VËy: M4 ®· ®ỵc ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tư Khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ta cÇn chó ý quan s¸t ®a thøc, linh ho¹t phèi hỵp sư dơng c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®· häc ®Ĩ c¸c bíc ph©n tÝch ®ỵc râ rµng, m¹ch l¹c vµ triƯt ®Ĩ (®a thøc kh«ng thĨ ph©n tÝch ®ỵc n÷a) 2.2) Mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c Gi¸o viªn tríc hÕt cÇn cho häc sinh sư dơng thµnh th¹o c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tư th«ng thêng (®· häc SGK) vµ kÕt hỵp c¸c ph¬ng ph¸p sau ®Ĩ lµm c¸c bµi to¸n khã + Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tư + Ph¬ng ph¸p thªm, bít cïng mét h¹ng tư + Ph¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ + Ph¬ng ph¸p t×m nghiƯm cđa ®a thøc + Ph¬ng ph¸p dïng hƯ sè bÊt ®Þnh a) Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tư Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) VÝ dơ 6: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư ®a thøc sau: N = a2 - 6a + C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tư) = a (a - 4) - (a - 4) (§Ỉt nh©n tư chung) = (a - 4) (a - 2) (§Ỉt nh©n tư chung) Cã thĨ t¸ch h¹ng tư tù t¹o thµnh mét ®a thøc míi cã nhiỊu h¹ng tư ®ã cã thĨ kÕt hỵp lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc hc nh©n tư chung víi c¸c h¹ng tư cßn l¹i C¸ch 2: N = a2 - 6a + - (T¸ch = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (nhãm h¹ng tư - xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc) = (a - 3)2 - (Sư dơng h»ng ®¼ng thøc) = (a - 2) (a + 2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Ỉt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (§Ỉt NTC) C¸ch 3: N = a2 - 4a + - 2a + (T¸ch = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm h¹ng tư) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Ỉt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (§Ỉt NTC - biÕn thµng nh©n tư) Ta thÊy cã ®Ĩ t¸ch mét h¹ng tư thµnh h¹ng tư kh¸c ®ã c¸ch t¸ch sau lµ th«ng dơng nhÊt; - Ph¬ng ph¸p t¸ch 1: T¸ch h¹ng tư tù thµnh h¹ng tư cho ®a thøc míi ®ỵc ®a vỊ hiƯu hai b×nh ph¬ng (c¸ch 2) hc lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc vµ cã nh©n tư chung víi h¹ng tư cßn l¹i (c¸ch 3) - Ph¬ng ph¸p t¸ch 2: T¸ch h¹ng tư bËc nhÊt thµnh h¹ng tư råi dïng ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tư vµ ®Ỉt nh©n tư chung lµm xt hiƯn nh©n tư chung míi (c¸ch 1) VÝ dơ 7: Ph©n tÝch tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c thµnh nh©n tư T¸ch hƯ sè b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thùc hµnh ta lµm nh sau; + T×m tÝch a.c + Ph©n tÝch a.c thõa sè nguyªn víi mäi c¸ch + Chän thõa sè mµ tỉng b»ng b Ngoµi cã thĨ t¸ch ®ång thêi c¶ hai h¹ng tư (h¹ng tư tù vµ h¹ng tư bËc nhÊt) (nh c¸ch 3) b) Ph¬ng ph¸p thªm bít h¹ng tư Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: VÝ dơ 8: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) VÝ dơ 9: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) VÝ dơ 10: Ph©n tÝch ®a thøc P1 = x4 + thµnh nh©n tư P1 = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (thªm 4x2, bít 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhãm h¹ng tư) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dïng h»ng ®¼ng thøc) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) VÝ dơ 11: Ph©n tÝch ®a thøc : P2 = a4 + 64 thµnh nh©n tư P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thªm 16a2, bít 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Nh v©y viƯc thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc rÊt tiƯn lỵi, song ta cÇn xem xÐt thªm, bít h¹ng tư nµo? ®Ĩ xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc nµo? b×nh ph¬ng cđa tỉng hay hiƯu hai b×nh ph¬ng th× míi ph©n tÝch triƯt ®Ĩ ®ỵc Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung VÝ dơ 12: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) VÝ dơ 13: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) c) Ph¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ VÝ dơ 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) VÝ dơ 15: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ≠ ta viết 1 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – x + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] x x x Đặt x - 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 VÝ dơ 16: A = ( x2 + y + z )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx)2 2 2 2 =  ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx)  ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx)   Đặt x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 VÝ dơ 17: B = 2( x4 + y + z ) − ( x2 + y + z )2 − 2( x2 + y + z )( x + y + z )2 + ( x + y + z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 2 2 2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y + y z + z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; 2 2 2 B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 = −4 x2 y − y z − z x + x y + y z + z x2 + x yz + 8xy z + 8xyz = xyz ( x + y + z ) VÝ dơ 18: (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3 ) − 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ) Ta có: C = (m + c)3 – m + 3mn − 4c3 − 3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) VÝ dơ 19: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhãm - lµm xt hiƯn nh©n tư chung) Ta thÊy h¹ng tư ®Çu cã nh©n tư chung lµ (x2+ x), ta cã thĨ ®Ỉt y = x2+ x = x(x + 1) (®ỉi biÕn) Khi ®ã ta cã: D1 = y2 + 4y - 12 Ta cã thĨ dïng ph¬ng ph¸p t¸ch hc thªm bít D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (T¸ch 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (®Ỉt nh©n tư chung) D1 = (y – 2)(y + 6) (®Ỉt nh©n tư chung) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay l¹i biÕn x D ®· ph©n tÝch thµnh nh©n tư (x2 + x- 2) vµ (x2 + x+ 6) ViƯc ph©n tÝch tiÕp c¸c nh©n tư cho triƯt ®Ĩ cã thĨ dùa vµo c¸c ph¬ng ph¸p ®· nªu ë trªn Chó ý cã nh÷ng tam thøc kh«ng thĨ ph©n tÝch tiÕp ®ỵc nh : x2 + x + = (x + ) + Do vËy kh«ng ph©n tÝch tiÕp ®ỵc n÷a Cßn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi ®ã D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) d) Ph¬ng ph¸p t×m nghiƯm cđa ®a thøc Nguyªn t¾c: NÕu ®a thøc ax3 + bx2 + cx+ d (1) cã nghiƯm th× theo ®Þnh lý B¬ du ta cã: NÕu m lµ nghiƯm cđa (1) th× m chøa nh©n tư (x - m), ®ã dïng phÐp chia ®a thøc ta cã: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nh©n tư bËc hai cã thĨ ph©n tÝch tiÕp ®ỵc dùa vµo c¸c ph¬ng ph¸p nªu ë trªn C¸c ph¬ng ph¸p t×m nghiƯm cđa ®a thøc bËc 3: + NÕu tỉng c¸c hƯ sè: a + b + c + d = ®a thøc cã nghiƯm x = ⇒ ®a thøc chøa nh©n tư chung (x - 1) + NÕu tỉng c¸c hƯ sè bËc ch½n b»ng tỉng hƯ sè bËc lỴ tøc lµ a - c = b +d ®a thøc cã x = -1 ⇒ ®a thøc chøa nh©n tư chung (x + 1) + NÕu kh«ng xÐt ®ỵc tỉng c¸c hƯ sè nh trªn th× ta xÐt c¸c íc cđa hƯ sè tù d (hƯ sè kh«ng ®ỉi) NÕu íc nµo cđa d lµm cho ®a thøc cã gi¸ trÞ b»ng th× íc ®ã lµ nghiƯ Ví dụ 20 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = ±1; ±2; ±4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 – x2 – = ( ( x − ) x2 + x + ( x3 − 2x2 ) + ( x2 − 2x ) + ( 2x − 4) = x2 ( x − 2) + x(x − 2) + 2(x − 2) ) Cách 2: ( ) ( ) x3 − x − = x3 − − x2 + = x3 − − x − = ( x − 2)( x2 + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) ( )   = ( x − )  x + x + − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2)   Ví dụ 21 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: ±1, ±5 khơng nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = ( ) ( ) 3x3 − x − x2 + x + 15 x − = 3x3 − x − x − x + ( 15 x − ) = = x (3x −1) − x(3x −1) + 5(3x −1) = (3x −1)( x − x + 5) Vì x − x + = ( x2 − x + 1) + = ( x −1)2 + > với x nên khơng phân tích thành nhân tử Ví dụ 22 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 23 Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích VÝ dơ 24: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư E1 = x3 + 3x2 - xÐt tỉng c¸c hƯ sè ta thÊy a + b + c = + + (-4) = ⇒ x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau ®ã dïng c¸c ph¬ng ph¸p ®· häc ®Ĩ ph©n tÝch tiÕp E1 = (x - 1) (x + 2)2 VÝ dơ 25: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư E2 = x3 - 3x + Ta thÊy tỉng vµ hiƯu c¸c hƯ sè cđa E2 ≠ ®ã lo¹i x = ± XÐt c¸c ¦(2) = ± cã x = -2 lµ nghiƯm cđa E2 ⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 C¸c vÝ dơ trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p ®Ĩ phèi kÕt hỵp víi c¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng gióp häc sinh ph©n tÝch ®ỵc c¸c bµi to¸n khã thµnh nh©n tư gióp cho qu¸ tr×nh rót gän ph©n thøc còng nh gi¶i ph¬ng tr×nh e) Phương pháp hệ số bất định : + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm ngun f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 ngun Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự VÝ dơ 26 x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số ± 1, ± khơng nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd  a + c = −6  ac + b + d = 12    ad + bc = −14  đồng đa thức với đa thức cho ta có: bd = Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = d = hệ điều kiện trở thành  a + c = −6  ac = −8  2c = −  c = −  ⇒ ⇒  a = −2  a + 3c = −14 ac = bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) VÝ dơ 27 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)  a − = −3 b − 2a = −7 a =   ⇒ b = −5  c − 2b = c = −4   − c = = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c ⇒  Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) VÝ dơ 28 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  ac = 12 bc + ad = −10 a =   c = 3 c − a = ⇒   bd = −12 b = −6  d = ⇒ 3d − b = 12 ⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 3) Mét sè bµi tËp ¸p dơng Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư 1a x2 - 4x + b»ng c¸ch (ph¬ng ph¸p t¸ch) Gỵi ý c¸ch lµm C1: T¸ch - 4x = - 3x + (-x) C2: T¸ch = - C3: T¸ch = 12 - C4: T¸ch -4x = -2x + (-2x) vµ = + Sau ®ã cã thĨ nhãm lµm xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc hc nh©n tư chung 1b 81a4 + (thªm bít h¹ng tư) Gỵi ý:Thªm lÇn tÝch cđa 9a2 vµ → H»ng ®¼ng thøc Cơ thĨ: 36x2 1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn) Gỵi ý: ®Ỉt (x2 +x ) = y 1d: x3 - 2x2 - x + (ph¬ng ph¸p t×m nghiƯm) Gỵi ý: XÐt tỉng c¸c hƯ sè a + b + c = Ngoµi cã thĨ sư dơng c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ĩ ph©n tÝch c¸c bµi tËp trªn thµnh nh©n tư Bµi tËp 2: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc M = a3 − 4a − a + víi a = 102 a − a + 14a − Gỵi ý: + Ph©n tÝch tư thøc a3 - 4a2 - a+ b»ng ph¬ng ph¸p nhãm h»ng ®¼ng thøc ®a tư thµnh nh©n tư + Ph©n tÝch mÉu thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Ỉt nh©n tư chung, t¸ch h¹ng tư + Rót gän nh©n tư chung cđa tư thøcvµ mÉu thøc + Thay a = 102 vµo M ®· rót gän Bµi tËp 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 3.a) y2 - 5y + = Gỵi ý: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh c¸c nh©n tư ⇒ ph¬ng tr×nh trë vỊ ph¬ng tr×nh tÝch 3b: y - 2y2 - 9y + 18 = Gỵi ý: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tư, ®a ph¬ng tr×nh ®· cho thµnh ph¬ng tr×nh tÝch ⇒ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng ®a thøc sau a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hÕt cho 24 Víi a lµ mét sè tù nhiªn Gỵi ý: + Tríc hÕt ph©n tÝch ®a thøc ®· cho thµnh nh©n tư A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sư dơng h»ng ®¼ng thøc hiƯu hai b×nh ph¬ng) A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sư dơng ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tư 3a = 2a + a) * LËp ln: + A ®· cho lµ tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chøng tá ba sè tù nhiªn liªn tiÕp ¾t ph¶i cã mét sè chia hÕt cho vËy: A Μ + Trong sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã sè ch½n liªn tiÕp nªn méc hai sè ®ã chia hÕt cho vµ sè cßn l¹i sÏ chia hÕt cho VËy A Μ + Nhng (3 ; 8) = nªn tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 24 b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24 Víi n lµ sè nguyªn d¬ng t ý Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gỵi ý: + Tríc hÕt sư dơng c¸c ph¬ng ph¸p cđa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®Ĩ ph©n tÝch A A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (t¸ch 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhãm h¹ng tư) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * LËp ln V× (x - 2)2 ≥ o vµ (y + 1)2 ≥ 0, dÊu " = "x¶y a = vµ y = - nªn A = (x - 2) + (y + 1)2 + ≥ VËy AMin = x = 2; y = -1 d) KÕt qu¶ ®¹t ®ỵc: Áp dơng s¸ng kiÕn kinh nghiƯm nµy vµo gi¶ng d¹y ë trêng THCS §¹i Phó n¨m häc 2011 - 2012 ®· thu ®ỵc c¸c kÕt qu¶ kh¶ quan KÕt qu¶ häc tËp cđa häc sinh ®ỵc n©ng lªn râ rƯt qua c¸c giê häc, qua mçi kú thi, ®Ỉc biƯt lµ c¸c em høng thó häc to¸n h¬n, sư dơng thµnh th¹o c¸c thđ tht ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ®Ĩ lµm c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn viƯc ph©n tÝch ®a thøc ®¹t kÕt qu¶ tèt Bªn c¹nh ®ã c¸c ph¬ng ph¸p nµy gióp c¸c em dƠ dµng tiÕp cËn víi c¸c d¹ng to¸n khã vµ c¸c kiÕn thøc míi còng nh viƯc h×nh thµnh mét sè kü n¨ng qu¸ tr×nh häc tËp vµ gi¶i to¸n häc bé m«n to¸n HS :§¹t 13,5/20 ®iĨm- §¹t gi¶i khun khÝch HSG To¸n cÊp hun HS2 : §¹t 15,5/20 ®iĨm - §¹t gi¶i ba HSG To¸n cÊp hun KÕt ln a)Bµi häc kinh nghiƯm: Tr¶i qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vËn dơng s¸ng kiÕn kinh nghiƯm trªn ®©y cã kÕt qu¶ h÷u hiƯu cho viƯc häc tËp vµ gi¶i to¸n RÊt nhiỊu häc sinh chđ ®éng t×m tßi vµ ®Þnh híng ph¬ng ph¸p lµm bµi cha cã sù gỵi ý cđa gi¸o viªn, mang l¹i nhiỊu s¸ng t¹o vµ kÕt qu¶ tèt tõ viƯc gi¶i to¸n rót c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư V× lÏ ®ã v¬Ý mçi gi¸o viªn nãi chung vµ b¶n th©n t«i nãi riªng cÇn hiĨu râ kh¶ n¨ng tiÕp thu bµi cđa c¸c ®èi tỵng häc sinh ®Ĩ tõ ®ã ®a nh÷ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cho phï hỵp gióp häc sinh lµm ®ỵc c¸c bµi tËp, g©y høng thó häc tËp, say sa gi¶i to¸n, yªu thÝch häc to¸n Tõ ®ã dÇn dÇn n©ng cao tõ dƠ ®Õn khã, cã ®ỵc nh vËy th× ngêi thÇy gi¸o cÇn ph¶i t×m tßi nhiỊu ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n, cã nhiỊu bµi to¸n hay ®Ĩ híng dÉn häc sinh lµm, ®a cho häc sinh cïng lµm, cïng ph¸t hiƯn c¸c c¸ch gi¶i kh¸c còng nh c¸ch gi¶i hay, tÝnh tù gi¸c häc to¸n, ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiƯn c¸c c¸ch gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiƯn c¸c c¸ch gi¶i: Mét sè kinh nghiƯm ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư ë trªn ®©y gióp häc sinh rÊt nhiỊu qu¸ tr×nh gi¶i to¸n cã sư dơng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư C¸c kinh nghiƯm vỊ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư mµ t«i ®· viÕt trªn ®©y cã lÏ sÏ cßn rÊt nhiỊu h¹n chÕ Mong tỉ chuyªn m«n trêng, ®ång nghiƯp gãp ý ch©n thµnh ®Ĩ t«i cã nhiỊu s¸ng kiÕn kinh nghiƯm tèt h¬n phơc vơ tÝch cùc cho viƯc gi¶ng d¹y nh»m thùc hiƯn tèt ch¬ng tr×nh míi THCS b) Kiến nghị, đề xuất: Đối với Ban Giám Hiệu nhà trường: Nhµ trêng s¾p xÕp ®¶m b¶o hỵp lý, khoa häc vµ hiƯu qu¶ thêi gian båi dìng cïng c¸c c¬ së vËt chÊt phơc vơ cho viƯc d¹y vµ häc cđa c¸c m«n ChÕ ®é thëng ®ỵc nhµ trêng thùc hiƯn kÞp thêi sau cã th«ng b¸o kÕt qu¶ c¸c cc thi häc sinh giái c¸c cÊp, đạt giải Nhµ trêng nªn tËp trung x©y dùng kÕ ho¹ch båi dìng, chän läc qua c¸c n¨m vµ chØ ®¹o c¸c tỉ chuyªn m«n, c¸c gi¸o viªn x©y dùng kÕ ho¹ch båi dìng thĨ, cã tÝnh chÊt t¹o ngn cho nh÷ng n¨m tiÕp theo Nhà trường nªn x©y dùng mét c¬ chÕ hç trỵ xøng ®¸ng t¹o ®iỊu kiƯn cho gi¸o viªn tham gia båi dìng ®éi tun phÊn ®Êu, an t©m h¬n gi¶ng d¹y XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN TỔ TRƯỞNG NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN (ký ghi họ, tên) Ngun Léc V¨n Hµ Phần đánh giá Ban giám khảo Hội thi giáo viên giỏi cấp trường Giám khảo thứ Giám khảo thứ hai [...]... pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức 3 2 M = a3 4a a + 4 với a = 102 a 7 a + 14a 8 Gợi ý: + Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng đẳng thức đa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức + Thay... 5y + 4 = 0 Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử phơng trình trở về phơng trình tích 3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0 Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đã cho thành phơng trình tích giải phơng trình tích Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau a) A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24 Với a là một số tự nhiên Gợi ý: + Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử A = (a2 + 3a... pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá... đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt Bên cạnh đó các phơng pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán HS 1 :Đạt 13,5/20 điểm-... sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực hiện tốt chơng trình mới THCS b) Kin ngh, xut: i vi Ban Giỏm... nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn khụng phõn tớch c na Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x1 = 1 E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + 2 Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 0 do... quả tốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa giải toán, yêu thích học toán Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có... số bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1a x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phơng pháp tách) Gợi ý 4 cách làm C1: Tách - 4x = - 3x + (-x) C2: Tách 3 = 4 - 1 C3: Tách 3 = 12 - 9 C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1 Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung 1b 81 a4 + 4 (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2 Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2 1c: (x2... cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4 Vậy A 8 + Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24 b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24 Với n là số nguyên dơng tuỳ ý Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gợi ý: + Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách... = (x + 2) (x -1)2 Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình e) Phng phỏp h s bt nh : + a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q trong ú p l c ca h s t do, q l c dng ca h s cao nht + Nu f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ f(x) cú mt nhõn t l x