Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là chuyên đề Luyện thi đại học phần Hình học không gian tổng hợp Tài liệu này được biên soan rất công phu, các bài tập được phân dạng. Các bài tập được giải đầy đủ, chi tiết. tài liệu này hỗ trợ rất tốt cho các em luyện thi kỳ thì THPT quốc gia. Tài liệu này cũng dùng làm tài liệu tham khảo rất tốt co giáo viêndạy toán. Đặc biệt có thể in tài liệu này làm tài liệu dạy thêm rất tốt
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT TÀI LIỆU BÀI GIẢNG niệm minh họa theo sơ đồ: Khái niệm khoảng cách điểm điểm (điểm – điểm), điểm đường thẳng (điểm – đường), hai đường thẳng song song khái niệm hình học phẳng, khái niệm khác : “ Đường thẳng đến mặt phẳng (đường – mặt) hay mặt phẳng đến mặt phẳng (mặt – mặt)” (ở mối quan hệ đường – mặt, mặt – mặt song song) chuyển qua khoảng cách điểm mặt phẳng (điểm – mặt) Do thực tế , ta thường gặp hai lớp câu hỏi khoảng cách là: “khoảng cách điểm tới mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo “ Sau ta tìm hiểu chi tiết hai lớp câu hỏi I Bài toán gốc Nội dung: Tính d (M ,( )) ? Trong M hình chiếu vuông góc điểm nằm mặt phẳng ( ) (thường đỉnh hình đa diện) xuống mặt đáy Trước giải toán, ta nhắc lại kiến thức theo sơ đồ sau: Cách giải chung: Để dễ hình dung ta giả sử SM (mặt đáy) ( ) (SBC ) Ta cần tính d (M ,(SBC )) ? Trang Bước 1: Tìm giao tuyến đáy mặt bên : (mặt đáy) (SBC ) BC Bước 2: Kẻ MI BC ( I BC ) Bước 3: Dựng MH SI ( H SI ) , đó: d (M ,(SBC )) MH Chú thích: Nếu tam giác MBC vuông B (hoặc C ) I B (hoặc I C ) II Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh a Hai mặt phẳng (SAC ),(SAB) vuông góc với đáy góc tạo SC đáy 600 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) theo a Giải: ( SAC ) ( ABC ) Do ( SAB) ( ABC ) SA ( ABC ) ( SAC ) ( SAB) SA Suy góc tạo SC mặt đáy SCA 600 SA AC tan SCA a Gọi I , H hình chiếu vuông góc A BC, SI , đó: AI BC BC ( SAI ) BC AH , mà AH SI nên suy AH (SBC ) SA ( ABC ) SA BC Do d ( A,(SBC )) AH Tam giác ABC cạnh a nên AI Khi xét tam giác SAI : d ( A, ( SBC )) a 1 1 a 15 Vậy AH AH SA AI 3a 3a 3a a 15 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang vuông A D Biết AD DC a, AB 2a ; SA vuông góc với đáy góc tạo SC mặt phẳng ( SAD) 300 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Trang Giải: Ta có: SA ( ABCD) SA CD CD ( SAD) AD CD Suy SD hình chiếu vuông góc SC mặt phẳng ( SAD) Do góc tạo SD mặt phẳng ( SAD) CSD 300 Suy : DC SC sin CSD a 2a sin 300 Gọi K trung điểm AB , ADCK hình vuông nên: CK a AC , suy tam giác ACB vuông C hay AC CB Mặt khác SA CB CB (SAC ) Gọi H hình chiếu vuông góc A SC CB AH AH ( SBC ) d ( A, ( SBC )) AH SC AH Ta có AC AD2 DC 2a2 SA2 SC AC 4a2 2a2 2a2 Xét tam giác SAC : 1 1 1 2 AH a 2 AH SA AC 2a 2a a Vậy d ( A,(SBC )) a Nhận xét: Ở ví dụ AC BC , nên việc dựng hình chiếu A mặt phẳng ( SBC ) công việc dựng hình chiếu A SC cách làm Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có ABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc A ' xuống mặt đáy ( ABCD) trung điểm M AB góc tạo đường thẳng AA ' mặt phẳng ( ABCD) 600 Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( AA ' C ) theo a Giải: MA hình chiếu vuông góc AA ' mặt phẳng ( ABCD) Nên ta có A ' AM 600 góc tạo AA ' mặt phẳng ( ABCD) Suy A ' AB tam giác cạnh Trang a Kẻ MI AC ( I AC ) Khi AB a A ' M BO BD a với BD AC O 4 Mặt khác AC A ' M AC ( A ' MI ) Gọi H hình chiếu vuông góc M A' I AC MH MH ( AA ' C ) d ( M , ( AA ' C )) MH A ' I MH MI Xét tam giác A ' MI : 1 28 a 21 MH 2 MH MA ' MI 3a a 3a 14 Vậy d ( M , ( AA ' C )) a 21 14 Trang KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A ; AB a Biết mặt phẳng ( SAB) mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với đáy, góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) 600 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD 1200 , M trung điểm cạnh BC SMA 450 Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC ) Bài Cho lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) ( ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ tâm hình chữ nhật ABCD đến mặt phẳng ( A1CD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB AD 2a , CD = a; góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng ( SBC ) Bài 6.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' a , góc đường thẳng BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600 ; tam giác ABC vuông C BAC 600 Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ( ABC ) Tính theo a khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( BCC ' B ') Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng ( SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh BC, CD H hình chiếu vuông góc S AB Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN ) Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông A , AC a , BC a Gọi M trung điểm AB MA ' C 600 Hình chiếu vuông góc điểm A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H MC Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA ' C ') Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB a , BC a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm H tam giác ABC Góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABC ) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAC ) a Gọi M trung điểm BC BC vuông góc với mặt phẳng (SAM ) Biết góc tạo SM mặt phẳng ( ABC ) 600 Bài 10 Cho hình chóp S ABC có BAC 1200 , BC a , SA Tính theo a khoảng cách trung điểm AM đến mặt phẳng ( SAC ) Trang KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A ; AB a Biết mặt phẳng ( SAB) mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với đáy, góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng ( ABC ) S 600 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( SBC ) Giải: ( SAB) ( ABC ) SA ( ABC ) Do ( SAC ) ( ABC ) ( SAB) ( SAC ) SA K 600 A Suy góc tạo SB mặt phẳng ( ABC ) ABS 600 B a Gọi I , K hình chiếu vuông góc A BC, SI Khi BC AI ; BC SA BC (SAI ) BC AK I Mặt khác AK SI AK (SBC ) d ( A,(SBC )) AK C Xét tam giác SAB có : SA AB tan ABS a.tan 600 a Xét tam giác tam giác ABC có AI Xét tam giác SAI có: AC a 2 1 1 a 21 a 21 AK d ( A, ( SBC )) 2 AK AS AI 3a a 3a 7 Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) Giải: A'C a Do tam giác A’AC vuông cân, suy AA ' AC 2 A' Kẻ AH A ' B ( H A ' B ) (1) B' Do CB ( ABB ' A ') CB AH (2) Từ (1) (2) suy AH ( BCD ' A ') d ( A,( BCD ')) d ( A,( BCD ' A ')) AH Ta có ABCD hình vuông nên AB H D' AC a 2 C' A B Xét tam giác ABA ' ta có: D Trang C 1 a AK 2 AH AA ' AB a a a Vậy d ( A, ( BCD ')) a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD 1200 , M trung điểm cạnh BC SMA 450 Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC ) Giải: Kẻ AN DC ( N DC ) S Do ABCD hình thoi cạnh a BAD 1200 nên ABC, ADC tam giác cạnh a Suy AM AN a a a tan 450 2 Gọi H hình chiếu vuông góc A SN , đó: CD AN CD ( SAN ) CD AH CD SA mà AH SN AH (SCD) d ( A,(SCD)) AH Khi SA AM tan BAD Xét tam giác SAN ta có: H A B 450 1200 M D C N 1 4 a a hay d ( A, ( SCD)) AH 2 AH AS AN 3a 3a 3a 4 Bài Cho lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) ( ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ tâm hình chữ nhật ABCD đến mặt phẳng ( A1CD) A1 Giải: Gọi AC D1 BD H A1H ( ABCD) Dựng HM AD ( M AD ) AD ( A1HM ) Suy góc tạo mặt phẳng ( ADD1 A1 ) B1 C1 ( ABCD) HMA1 600 Ta có HM AB a 2 a a A1 H HM tan HMA1 tan 600 2 Kẻ HI CD ( I CD) HK A1I ( K A1I ) CD ( A1HI ) CD HK HK ( ACD ) 600 A K M D I H B )) HK hay d ( H ,( ACD Trang C Ta có HI AD a 2 Xét tam giác A1HI ta có: 1 4 a HK 2 HK A1H HI 3a 3a 3a a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB AD 2a , CD = a; góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng Vậy d ( H , ( A1CD)) ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , tính theo a khoảng cách từ I tới mặt phẳng ( SBC ) Giải: S ( SBI ) ( ABCD) Ta có ( SCI ) ( ABCD) SI ( ABCD) ( SBI ) ( SCI ) SI Kẻ IM BC (M BC ) BC (SIM ) , suy góc tạo mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) SMI 600 Dựng IH SM ( H SM ) BC IH IH (SBC ) d ( I ,(SBC )) IH Ta có S ABCD ( AB DC ) AD (2a a).2a 3a 2 S IAB S IDC Suy S IBC A B H I AI AB ID.DC 3a 2 M D 3a S ABCD ( S IAB S IDC ) C 3a 2S 5a Mặt khác: BC ( AB DC )2 AD2 a IM IBC BC a Xét tam giác IHM ta có: IH IM sin HMI 5a 15a 15a hay d ( I , ( SBC )) sin 600 10 10 Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' a , góc đường thẳng BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600 ; tam giác ABC vuông C BAC 600 Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ( ABC ) Tính theo a khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( BCC ' B ') Giải: Gọi I trung điểm AC Do B ' G ( ABC ) , suy góc tạo BB ' mặt phẳng ( ABC ) B ' BG 600 Trang B' a B ' G BB '.sin B ' BG BG BB '.cos B ' BG a BI BG 3a 2 C' Do BAC 60 nên BC AC.tan 60 AC 0 A' B AC 9a Ta có: BC CI BI AC 16 600 H A G 3a 13 3a 13 AC CI 26 52 I K C GK BG 2 a 13 Kẻ GK BC ( K BC ) GK / /CI BC ( B ' GK ) (1) GK CI CI BI 3 26 Kẻ GH B ' K ( H B ' K ) (2) Theo (1) suy BC GH (3) Từ (2) (3) suy GH ( BCC ' B ') d (G,( BCC ' B ')) GH Ta có 1 52 160 a 30 a 30 hay d (G, ( BCC ' B ')) GH 2 GH GB ' GK 3a a 3a 40 40 Bài Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng ( SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh BC, CD H hình chiếu vuông góc S AB Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN ) Giải: ( SAB) ( ABCD) Ta có ( SAB) ( ABCD) AB SH ( ABCD) SH AB Do AB2 4a2 SA2 SB2 , suy tam giác SAB vuông S Khi đó: 1 1 a SH SH SA SB a 3a 3a S Gọi I , K hình chiếu H MN , SI , : MN (SHI ) MN HK HK (SMN ) d ( H ,(SMN )) HK Ta có CM CN a MN a AH A K D SA a a 3a BH AB AH AB 2a 2 H Suy S AHND S HBM S NCM N I B M C a a 2a 3a a ( AH DN ) AD HB.BM CN CM a.a 11a 2 2 2 S HNM S ABCD ( S AHND S HBM S NCM 4a 11a 5a 4 Trang Khi HI 2S HNM 5a 5a MN 4.a Xét tam giác SHI , ta có: Vậy d ( H , ( SMN )) 1 32 196 5a HK 2 2 HK HI SH 25a 3a 75a 14 5a 14 Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông A , AC a , BC a Gọi M trung điểm AB MA ' C 600 Hình chiếu vuông góc điểm A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H MC Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA ' C ') Giải: Ta có A ' H ( ABC ) , suy tam giác A ' MC cân A , mà MA ' C 600 nên A ' MC tam giác AB a MC MA2 AC 2a Ta có: AB BC AC 7a 3a 2a AM Vậy A ' MC tam giác có cạnh 2a nên A ' H 2a a Gọi N trung điểm BC , suy MN // AC mà AC // A ' C ' nên MN // A ' C ' (MA ' C ') ( ABC ) MN ( (MA ' C ') (MA ' C ' N ) ) Có NH đường trung bình tam giác MBC , s NH / / AB MB a uy NH MN / / AC NH MN (1) 2 AB AC Gọi K hình chiếu H NA ' nên HK A ' N (*) Ta có A ' H MN (2) (do A ' H ( ABC ) ) Từ (1) (2) suy MN ( A ' HN ) MN HK (2*) Từ (*) (2*) suy ra: HK (MNA ') hay HK (MA ' C ') d ( H ,(MA ' C ')) HK Xét tam giác vuông A ' HN ta có: HK Vậy d ( H , ( MA ' C ')) HN HA ' HN HA '2 a a 2 a a 2 a a 39 13 13 a 39 13 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB a , BC a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm H tam giác ABC Góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABC ) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAC ) Giải: Ta có SH ( ABC ) AB SH (1) Trang 10 Suy d trục tứ giác ABCD d / / SA Từ (1), suy I d (*) +) Trong mặt phẳng ( SAO) chứa SA d , ta dựng đường thẳng trung trực SA Từ (2), suy I (2*) Từ (*) (2*), suy d I +) Ta có KIOA hình chữ nhật ( K trung điêm SA ) Khi IO KA SA a Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : R IA OA2 IO2 a 3a 2a Chú ý : Ở toán ta B, D, A nhìn SC góc vuông, suy tâm I trung SC 2a Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A AC a , điểm SC bán kính R ACB 600 Đường chéo BC ' mặt bên ( BB ' C ' C ) tạo với mặt phẳng ( AA ' C ' C ) góc 300 1) Tính thể tích khối lăng trụ 2) Xác định tâm bán kính mặt cầu ( S ) ngoại tiếp hình lăng trụ Giải : A' C' BA AC Ta có BA ( AA ' C ' C ) BC ', ( AA ' C ' C ) AC ' B 300 BA AA ' Ta có AB AC tan 600 a S ABC O2 300 1 a2 AB AC a 3.a 2 B' I Xét tam giác ABC ' vuông A ta có : AC ' AB.cot 300 a 3 3a a A 600 Khi CC ' AC '2 AC 9a a 2a a2 1) Suy VABC A' B 'C ' CC '.S ABC 2a a3 2) Gọi O1 , O2 trung điểm BC, B ' C ' O1 B Do ABC A ' B ' C ' tam vuông A B nên O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A ' B ' C ' Khi O1O2 trục hai đáy Suy tâm I mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trung điểm O1O2 Thật : IA IB IC Do I O1O2 (*) IA ' IB ' IC ' Mặt khác : I trung điểm O1O2 nên IC IC ' (2*) Từ (*) (2*), suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' Khi bán kính R IB BB ' CC '2 BC CC '2 AB AC 8a 3a a a 2 2 Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt ( ABC ) ( DBC ) vuông góc với Biết BC a , BAC 600 BDC 300 Tính bán kính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Giải : *) Dựng tâm Trang 71 C Gọi O1 , O2 tâm đường tròn A ngoại tiếp tam giác BCD ABC Gọi E trung điểm BC Ta có O1E BC O1E ( ABC ) (do ( DBC ) ( ABC) ) d1 d2 O2 Tương tự ta có O2 E ( BCD) Qua O1 dựng đường thẳng d1 vuông góc với ( BCD) I B D d1 trục tam giác BCD d1 // O2 E O1 E Qua O2 dựng đường thẳng d vuông góc với ( ABC ) d trục tam giác ABC d // O1 E C Khi giao điểm I d1 d tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD Thật : I d1 IB IC ID IA IB IC ID , suy I tâm mặt cầu cần xác định I d IA IB IC *) Tính bán kính R mặt cầu Ta có EO1IO2 hình chữ nhật, suy IE O1E O2 E Gọi R1 , R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ABC , đó: BC 2 2 O1 E O1C EC R1 2 BC BC 2 2 2 2 IE R1 R2 R IC IE EC R1 R2 2 BC 2 2 O E O C EC R 2 Áp dụng định lý sin tam giác BCD ABC ta có : BC a 2 R1 sin BDC sin 300 2a R1 a a a 13a a 39 2 R a R 12 2 R BC a 2a R a sin BAC sin 600 3 4 a 39 13 a3 39 Khi thể tích khối cầu : V R 3 54 Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đường cao SH h , SAB 450 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho Giải : S +) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD IA IB IC ID (1) IA IB IC ID IS hay Δ IA IS (2) M +) Gọi H giao điểm AC BD Do S ABCD hình chóp nên SH ( ABCD) I 450 B Ta có SH trục hình vuông ABCD Từ (1) , suy I SH (*) +) Trong mặt phẳng SAH dựng đường thẳng trung trực SA Từ (2), suy I (2*) Trang 72 H C D A Từ (*) (2*), suy SH I +) Gọi M trung điểm SA , SMI SHA hai tam giác đồng dạng nên : SI SM SM SA SA.SA SA2 SI SA SH SH 2SH 2SH Tam giác SAB cân S có SAB 450 , suy SAB vuông cân S Đặt SA x , : AB x HA AB x 3 Trong tam giác vuông SHA có : SA2 HA2 SH x Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R x2 3h2 3h h x 3h R 2h 3h Trang 73 CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ TÀI LIỆU BÀI GIẢNG A Các tập minh họa Bài Cho hình chóp S ABC , có tất mặt bên tạo với đáy góc , hình chiếu đỉnh thuộc mặt đáy Biết AB 3a , BC 4a AC 5a Tính thể tích khối chóp S ABC Giải: Gọi H hình chiếu vuông góc S mặt phẳng ( ABC ) S Gọi M , N , D hình chiếu vuông góc H BC, AB, AC Suy : SMH SNH SDH , đó: HM SH cot SMH SH cot HN SH cot SNH SH cot HM HN HD HD SH cot SDH SH cot Suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta tính diện tích đáy theo cách: D C α α H N M B p AB a AB BC CA Cách 1: Ta có nửa chu vi tam giác ABC là: p 6a p BC 2a p AC 3a Suy SABC α A p( p AB)( p BC )( p AC ) 6a.a.2a.3a 6a Cách 2: Ta có AB2 BC 25a2 AC , suy tam giác ABC vuông B 1 Khi SABC AB.BC 3a.4a 6a 2 SABC 6a a SH HN tan a tan p 6a 1 Vậy thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC SH SABC a tan 6a 2a3 tan 3 Bài Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , cạnh góc vuông a , mặt phẳng ( ABC ') tạo với đáy góc 600 Ta có SABC p.r HN r 1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 2) Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (C ' AB) ( BB ' C ' C ) 3) Tính khoảng cách từ điểm A ' tới mặt phẳng (C ' AB) Giải: Trang 74 1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' AB AC Ta có: AB ( ACC ') AB AC ' AB C ' C C' B' Mà ( ABC ') ( ABC ) AB ( ABC '),( ABC ) CAC ' 600 Suy CC ' CA.tan 600 a Ta có S ABC H a AB AC 2 a a3 Suy VABC A ' B 'C ' CC '.S ABC a 2 2) Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (C ' AB) ( BB ' C ' C ) I A' K C Gọi H , K hình chiếu vuông góc C lên C ' B C ' A Khi đó: CK C ' A CK ( ABC ') CK C ' B CK AB (do AB ( ACC ')) B 60° A C ' B CK Như C ' B (CHK ) C ' B HK , mà (C ' AB) ( BB ' C ' C) C ' B C ' B CH Suy (C ' AB),( BB ' C ' C ) CHK Ta có 1 1 a 30 CH 2 CH CC ' CB 3a 2a 6a Tam giác CKA vuông K nên ta có: CK CA.sin 600 HK CH CK a 2 HK 3a 5 30a 3a 3a Khi cos CHK 25 10 CH 10 a 30 Vậy cosin góc tạo hai mặt phẳng (C ' AB) ( BB ' C ' C ) 3) Tính khoảng cách từ điểm A ' tới mặt phẳng (C ' AB) Gọi I giao điểm A ' C AC ' Ta có A ' C (C ' AB) I , đó: d ( A ', (C ' AB)) A ' I (do ACC ' A ' hình chữ nhật nên I trung A ' C ) d (C , (C ' AB)) CI Suy d ( A ',(C ' AB)) d (C,(C ' AB)) CK (do CK ( ABC ') theo chứng minh trên) Mà CK a a nên d ( A ', (C ' AB)) 2 Bài Cho hình chóp S ABC , có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi H trực tâm tam giác ABC 1) Chứng minh rằng: SH ( ABC ) 2) Gọi , , góc tạo mặt phẳng (SBC),(SCA),(SAB) với mặt ( ABC ) Chứng minh rằng: cos2 cos2 cos2 Giải: Trang 75 1) Chứng minh rằng: SH ( ABC ) Gọi M hình chiếu vuông góc A BC SA SB Ta có SA ( SBC ) SA BC , đó: SA SC BC SA BC ( SAM ) BC SH BC AM A N (1) Chứng minh tương tự ta AB SH (2) Từ (1) (2), suy ra: SH ( ABC ) 2) Ta có: BC ( SAM ) BC MS ; BC AM ( SBC ), ( ABC ) AMS ( SBC ) ( ABC ) BC Ta có SA (SBC ) SA SM , suy tam giác ASM vuông S H S M B MH BC S MS MS MH MA MH Khi cos cos HBC 2 MA MA MA MA MA BC S ABC S S Hoàn toàn tương tự ta được: cos HCA cos HAB S ABC S ABC Suy cos cos cos2 S HBC S HCA S HAB S HBC S HCA S HAB S ABC 1 S ABC S ABC S ABC S ABC S ABC Vậy cos2 cos2 cos2 Trang 76 C α CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tam giác ABC cạnh a , cạnh bên CC ' vuông góc với đáy CC ' a Gọi M , J trung điểm BB ', B ' C ' điểm thuộc đoạn A ' B ' cho NB ' a Chứng minh : 1) AM BC ' 2) AM (MNJ ) Bài Trong mặt phẳng ( ) cho hình vuông ABCD Các tia Bx Dy vuông góc với mặt phẳng ( ) chiều Các điểm M N thay đổi Bx, Dy cho mặt phẳng ( MAC ) ( NAC ) vuông góc với Chứng minh rằng: 1) BM DN không đổi 2) ( AMN ) (CMN ) Bài Cho tam giác nhọn ABC đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Các điểm M N thay đổi cho hai mặt phẳng ( MBC ) ( NBC ) vuông góc với Tìm vị trí M , N cho độ dài đoạn MN nhỏ Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với AB AC a , BAC 1200 cạnh bên BB ' a Gọi I trung điểm CC ' Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD SA a Gọi E trung điểm CD Tính diện tích mặt cầu qua bốn điểm S , A, B, E Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C SA vuông góc với đáy; SC c Hãy tìm góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) để thể tích khối chóp SABC lớn Bài Cho hình chóp SABC có ASB 900 , ASC BSC 600 Biết SA 3a, SB 4a, SC 5a Tính thể tích khối chóp cho Bài Cho hình chóp SABC có SA SB SC , đáy ABC tam giác vuông cân A Mặt phẳng ( SAB) tạo với đáy góc 450 Gọi ( P) mặt phẳng qua B vuông góc với SA , ( P) cắt hình chóp SABC theo a2 Tính thể tích khối chóp SABC Bài Cho hình chóp S ABC có hai mặt (SAB),(SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tam giác ABC cân đỉnh A , trung tuyến AD a , đường thẳng SB tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc hợp với mặt phẳng ( SAD) góc 1) Xác định góc , thiết diện có diện tích a3 sin sin 3cos( ) cos( ) Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Điểm M thuộc đoạn AD ' điểm N thuộc đoạn BD cho AM DN x với x a a 1) Chứng minh x đoạn MN ngắn 2) Chứng minh MN song song với mặt phẳng ( A ' D ' CB) x biến thiên 2) Chứng minh thể tích khối chóp S ABC V Trang 77 CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tam giác ABC cạnh a , cạnh bên CC ' vuông góc với đáy CC ' a Gọi M , J trung điểm BB ', B ' C ' điểm thuộc đoạn A ' B ' cho NB ' a Chứng minh : 1) AM BC ' 2) AM (MNJ ) Giải: A' 1) Chứng minh AM BC ' Gọi I trung điểm BC , đó: AI BC AI CC '(do CC ' ( ABC )) C' H J N B' AI ( BCC ' B ') AI BC ' (1) Mặt khác, mặt phẳng ( BCC ' B ') ta có: M MI / / B ' C MI BC ' (2) BC ' B ' C Từ (1) (2), suy BC ' ( AIM ) AM BC ' (*) A C I B 2) Chứng minh AM (MNJ ) Gọi H trung điểm A ' B ' , đó: AMB BHB ' MAB HBB ' Mà ABH HBB ' 900 ABH MAB 900 AM BH (2*) Từ (*) (2*), suy AM ( BC ' H ) (3*) MN / / HB ( MNJ ) / /( BC ' H ) (4*) Mặt khác MJ / / BC ' Từ (3*) (4*), suy AM (MNJ ) Bài Trong mặt phẳng ( ) cho hình vuông ABCD Các tia Bx Dy vuông góc với mặt phẳng ( ) chiều Các điểm M N thay đổi Bx, Dy cho mặt phẳng ( MAC ) ( NAC ) vuông góc với Chứng minh rằng: 1) BM DN không đổi 2) ( AMN ) (CMN ) Giải: 1) Chứng minh BM DN không đổi Đặt BM m, DN n, AB a Trang 78 Gọi O tâm hình vuông ABCD AC BD Ta có AC ( BMND) MO AC AC BM x y M H N Theo giả thiết (MAC) ( NAC) MO ( NAC) MO ON , MN OM ON (*) Trong hình thang vuông BDNM ta có: MN BD2 ( BM DN )2 2a (m n)2 2 C B a2 Ta có OM BM BO m 2 ON DN OD n O A a Khi đó, (*) 2a (m n)2 m2 D a2 a2 a2 a2 hay BM DN n2 a 2mn mn 2 2 2) Chứng minh ( AMN ) (CMN ) Hạ OH MN (H MN ) Xét tam giác vuông MON ta có: 1 2 OH OM ON m2 n2 a a2 a a a 2 m n m n 2 2 1 a2 a4 a4 a2 a4 2 m n (m n ) (m n ) 2 4 a OH a AC OH m2 n a m2 n a 2 2 2 Mà HO trung tuyến AHC , suy AHC 900 hay AH CH (1) Mặt khác, MN AC (do AC ( BMND) - chứng minh ý 1)) MN OH MN ( HAC) MN AH (2) Từ (1) (2), suy AH (MNC) ( AMN ) (CMN ) Bài Cho tam giác nhọn ABC đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Các điểm M N thay đổi cho hai mặt phẳng ( MBC ) ( NBC ) vuông góc với Tìm vị trí M , N cho độ dài đoạn MN nhỏ Δ Giải: M Gọi H hình chiếu A lên BC , đó: BC MN BC ( MHN ) MH BC BC AH ( MBC ) ( NBC ) MH ( NBC ) MH NH Mà ( MBC ) ( NBC ) BC Trong tam giác MHN vuông H có HA đường cao A C nên A thuộc đoạn MN H Khi đó: MN MA NA MA.NA AH AH Dấu “=” xảy AM AN AH Trang 79 N B Vậy MN nhỏ M N nằm , đối xứng qua A AM AN AH Bài Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với AB AC a , BAC 1200 cạnh bên BB ' a Gọi I trung điểm CC ' Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) Giải: C' B' I A' B M C H A Cách 1: Kéo dài B ' I cắt BC M , ( ABC ),( AB ' I ) ( ACM ),( AIM ) Ta có CI ( ACM ) , ta có cách dựng góc hai mặt ( ACM ) ( AIM ) sau: Dựng CH AM ( H AM ) AM (CHI ) AM IH , suy ( ACM ),( AIM ) CHI CI / / BB ' 3a C Ta có trung điểm BM S S AB AC sin BAC ACM ABC CI BB ' Ta có CM CB2 AB2 AC AB AC.cos BAC 3a BM 2BC 2a AB AM BM a AM 2 a 3a AM 7a AM a Khi đó: AC 2 Suy CH 2S ACM a 21a a 70 3a a 21 IH CI CH 142 14 AM 14 2.a Xét tam giác ICH ta có: cos CHI CH a 21 14 30 IH 14 a 70 10 30 10 Cách 2: Ta có tam giác ABC hình chiếu vuông góc tam giác AB ' I mặt phẳng ( ABC ) Vậy cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) Khi gọi ( ABC ), ( AB ' I ) , suy cos S ABC S AB ' I (*) Ta có B ' C '2 BC AB AC AB AC.cos BAC 3a BI B ' C '2 C ' I Khi AB '2 AI ( AB BB '2 ) ( AC CI ) 2a a 13 5a 13a B ' I AB ' I vuông A 4 Trang 80 Suy SAB ' I a 10 3a Mặt khác: S ABC AB AC.sin BAC AB ' AI 4 Áp dụng (*), ta có: cos S ABC 3a a 10 30 : S AB ' I 4 10 Vậy cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB ' I ) 30 10 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy ABCD SA a Gọi E trung điểm CD Tính diện tích mặt cầu qua bốn điểm S , A, B, E Giải: Gọi I tâm mặt cầu qua bốn điểm S , A, B, E IA IB IE (1) Khi đó: IS IA IB IE (2) IS IA Gọi F trung điểm AB O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB Do EAB cân E nên O EF Dựng đường thẳng d qua O vuông góc ( EAB) d S Δ K I A Suy d trục tam giác EAB Theo (1) I d (*) Ta có d / / SA (do SA ( ABCD) ( EAB) ) D F E O B Trong mặt phẳng (SA, d ) dựng đường thẳng C trung trực SA Theo (2) I (2*) Từ (*) (2*), suy d I Ta có AB a, AE BE abc a Áp dụng công thức R , ta có: 4S OA AB AE.BE 4S ABE a a a 2 5a a AKIO hình chữ nhật (với K trung điểm SA ) nên IO KA R OA IO AO SA a 2 a 25a a 41 64 Suy diện tích mặt cầu cần tính là: Smc 4 R 41 a 16 Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C SA vuông góc với đáy; SC c Hãy tìm góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) để thể tích khối chóp SABC lớn Giải: Gọi góc tạo hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) (với 00 900 ) Trang 81 BC AC Ta có BC ( SAC ) BC SC BC SA S Do SCA Trong tam giác vuông SAC ta có: BC AC SC cos a cos SA SC sin a sin Khi thể tích khối chóp SABC là: 1 V SA.S ABC a3 cos sin 3 Theo bất đẳng thức AM – GM (Cauchy) ta có: 1 V a cos sin a (1 sin ) sin 9 A B α C sin sin sin 2 2a 3 4a sin sin 4a 2 V sin 27 2 243 Dấu ‘=” xảy sin sin sin arcsin 3 Bài Cho hình chóp SABC có ASB 900 , ASC BSC 600 Biết SA 3a, SB 4a, SC 5a Tính thể tích khối chóp cho Giải: Gọi H , E, F hình chiếu vuông góc C C lên mặt phẳng ( SAB) , đường thẳng SA, SB Khi ta có: CH (SAB) ; SA (CHE ) SB (CHF ) Xét tam giác vuông CSE ta có: SE SC.cos 600 5a 5a Xét hai tam giác vuông CSE CSF , ta có: CS chung ESC FSC 600 CSE CSF SE SF 5a Khi SEHF hình vuông SH 2SE 5a Xét tam gics SHC , ta có: CH SC SH Ta có SSAB SA.SB 6a 2 VSABC VC SAB 60° S 60° 4a F E H 1 5a CH S SAB 6a 5a3 3 3a A Vậy thể tích khối chóp cần tính V 5a3 Bài Cho hình chóp SABC có SA SB SC , đáy ABC tam giác vuông cân A Mặt phẳng ( SAB) tạo với đáy góc 450 Gọi ( P) mặt phẳng qua B vuông góc với SA , ( P) cắt hình chóp SABC theo Trang 82 B thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối chóp SABC Giải: Gọi H trung điểm BC Mà ABC vuông cân A Suy ra, H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà SA SB SC SH ( ABC ) BC SH Khi BC ( SAH ) BC SA BC AH Gọi K hình chiếu vuông góc H lên SA , ta có: BC SA ( BCK ) SA ( BCK ) ( P) HK SA S K C B H Suy thiết diện ( P) hình chóp S ABC tam giác BCK Gọi M trung điểm AB , đó: AB HM AB ( SHM ) ( SAB), ( ABC ) SMH 450 AB SH M A x x x Đặt x AB AC , suy HM ; BC x 2; AH ; SH HM tan 450 2 1 x Trong tam giác vuông SHA : HK 2 HK SH AH x Khi diện tích thiết diện S BCK Mà theo giả thiết S BCK 1 x x2 BC.HK x 2 6 a2 x2 a2 xa 6 1 a a a3 Khi thể tích khối chóp S ABC là: V SH S ABC 3 2 12 Bài Cho hình chóp S ABC có hai mặt (SAB),(SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Tam giác ABC cân đỉnh A , trung tuyến AD a , đường thẳng SB tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc hợp với mặt phẳng ( SAD) góc S 1) Xác định góc , a3 sin sin 2) Chứng minh thể tích khối chóp S ABC V 3cos( ) cos( ) Giải: β 1) Xác định góc , ( SAB) ( ABC ) SA ( ABC ) Ta có ( SAC ) ( ABC ) ( SAB) ( SAC ) SA Suy hình chiếu SB lên ( ABC ) AB A B a D α Khi SB, ( ABC ) (SB, AB) SBA C Trang 83 Tam giác ABC cân A có AD trung tuyến BD AD , mà ta có: BD SA BD (SAD) Suy hình chiếu SB lên ( SAD) SD Khi SB,(SAD) ( SB, SD) BSD 2) Chứng minh thể tích khối chóp S ABC V a3 sin sin 3cos( ) cos( ) SB SA2 AB SA2 AD BD Ta có: SA SB sin SB SB sin a SB sin BD SB sin a2 a2 SB (1 sin sin ) a SB (1) sin sin cos sin Ta tích khối chóp S ABC là: 1 a V S ABC SA AD.BC.SA a.2SB sin SB sin SB sin sin (2) 6 a a a3 sin sin sin sin Thay (1) vào (2) ta được: V (*) cos sin 3(cos sin ) cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 Lại có: cos2 sin cos( ) cos( ) (2*) 2 a3 sin sin Thay (2*) vào (*) ta được: V 3cos( ) cos( ) 2 2 Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Điểm M thuộc đoạn AD ' điểm N thuộc đoạn BD cho AM DN x với x a a đoạn MN ngắn 2) Chứng minh MN song song với mặt phẳng ( A ' D ' CB) x biến thiên 1) Chứng minh x Giải: A' B' D' C' M A B E D N C Trang 84 a đoạn MN ngắn Kẻ ME DA ( E DA ), tam giác AEM vuông cân E AM x x Xét tam giác EDN , ta có: EM EA DE a 2 1) Chứng minh x x x 2 EN DE DN DE.DN cos EDN a x 2 a x x 2ax a 2 2 Xét tam giác MEN , ta có: 2 2 x2 5x2 a a2 a2 MN EM EN 2ax a 3x 2ax a x 2 3 2 Dấu “=” xảy x a a a đoạn MN ngắn 0; a Vậy x 3 2) Chứng minh MN song song với mặt phẳng ( A ' D ' CB) x biến thiên Ta có A, M , D ' D, N , B nằm hai đường thẳng chéo AD ' DB AM MD ' AD ' AM DN x Do DN NB DB AD ' DB a Khi theo định lý Ta – lét đảo, ta suy AD, MN , D ' B song song với mặt phẳng (1) D ' B ( A ' D ' CB) Mặt khác: (2) AD / /( A ' D ' CB) Từ (1) (2), suy MN / /( A ' D ' CB) Chú ý: (Định lý Ta – lét đảo không gian) Cho hai đường thẳng chéo d d ' Lấy điểm phân biệt A, B, C d điểm A ', B ', C ' d ' cho AB BC CA ba đường thẳng AA ', BB ', CC ' song song với mặt A' B ' B 'C ' C ' A' phẳng ( nghĩa có trường hợp đường song song với mặt chứa đường kia) Trang 85 [...]... SBD) Bài 1.(A, A1 – 2004) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , SA BC 2a Biết hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD) cùng vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Bài 3 (B – 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông... Cho hai tam giác đều ABC, ABD không cùng nằm trên một mặt phẳng Biết AB a và CD a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD Bài 7 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a Điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C Góc giữa AA ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B và CC ' Bài 8 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với... khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( SAC ) Bài 8 Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của A ' xuống mặt đáy ( ABCD) là trung điểm M của AB và góc tạo bởi đường thẳng AA ' và mặt phẳng ( ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( AA ' C ) theo a Bài 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB 2a , AD a 5 ; góc giữa đường thẳng... theo a Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD BC khoảng cách từ trọng tâm của tam giác ABD tới mặt phẳng ( SAB) Trang 17 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3a , hình 2 chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD) Bài 1.(A, A1 – 2004) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh... (3) 2a 39 13 Bài 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD 1200 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA 450 Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SDC ) Giải: Do AB // DC AB // (SDC ) S d ( B,(SDC)) d ( A,(SDC )) (1) Kẻ AN DC ( N DC ) Do ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 1200 nên ABC, ADC đều là các tam giác đều cạnh a a 3 Suy ra AM ... được đề cập đầy đủ ở các bài học trước) Nếu 1 2 : +) Dựng mặt phẳng ( ) chứa 2 và vuông góc 1 +) Từ 1 ( ) M , kẻ MN 2 khi đó d (1 , 2 ) MN 2 Chú ý +) Thường trong đề bài sẽ có một trong hai đường 1 hoặc 2 nằm dưới mặt đáy của khối đa diện Giả sử 1 thuộc đáy, khi đó thường ta sẽ chọn mặt phẳng phụ ( ) chứa 2 và song song với 1 +) Nếu cả hai đường 1 , 2 đều không. .. đi kèm Trang 25 B Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên tạo với đáy ( ABCD) một góc 600 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng: 1 SA và CD 2 SH và CD Giải: Do S ABCD là hình chóp đều nên gọi AC S BD H SH ( ABCD) , suy ra góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ABCD) là SBH 600 Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC a 2 a 6 SH BH tan 600... B Ví dụ 5 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, A ' C ' Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng 1) B ' C ' và A ' B 2) DE và AB ' Giải: Do lăng trụ ABC A ' B ' C ' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Nên ABC A ' B ' C ' là lăng trụ đứng với hai đáy là tam giác đều cạnh a 1) Ta có B ' C ' // BC B ' C ' // ( A '... liệu cùng với bài giảng này a 17 , hình chiếu vuông 2 góc H của S trên mặt phẳng ( ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD Bài 2 (D – 2014) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng ( SBC )... (SDC ) Bài 6 Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là hình chóp đều cạnh a Gọi M là trung điểm của cạnh 2a Tính theo a AB , hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm của tam giác MBC , biết SC 3 khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB) a Gọi M là trung điểm của BC và BC 2 vuông góc với mặt phẳng (SAM ) Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Tính theo a Bài 7 Cho hình chóp S ABC có