A PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng đời sống ngành khoa học Nhà tư tưởng người Anh R Bêcơn nói: “Ai khơng hiểu biết tốn học khơng thể hiểu môn khoa học khác phát dốt nát thân mình” Việc dạy học mơn tốn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục học sinh , Nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ tốn học phổ thơng bản, đại sát với thực tiễn Việt Nam có khả vận dụng tri thức vào tình cụ thể khác nhau: vào đời sống, vào lao động sản xuất vào việc học tập mơn khác Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình dạy học giải tốn hình học nói riêng, người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: sau tìm lời giải tốn dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục nghiên cứu tìm hơn, tìm mối liên hệ vấn đề v.v…như tìm kết bất ngờ thú vị Trong q trình tìm kiếm lời giải ngồi việc vẽ hình xác, tổng qt theo kiện tốn ( tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt) đưa tình quen thuộc để vận dụng kiến thức biết biện pháp có hiệu sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học thơng qua vẽ hình phụ Kinh nghiệm thức tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo giải tốn Nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ giải thích rõ cho học sinh hiểu lại vẽ Những câu hỏi như: lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, ngồi cách vẽ cịn cách vẽ khác khơng? Hay vẽ giải tốn? Gặp phải tình ngưới giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu lại khơng cao, học sinh khơng nghĩ cách làm gặp toán tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Bởi việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán cách ngắn gọn công việc tùy tiện Đặc biệt học sinh lớp 7, vừa chập chững làm quen với tốn chứng minh hình học Việc tiếp thu tốt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho em học lớp cao Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản.Vì cần phải phát triển cho học sinh lực tư Với lí trên, sau thời gian nghiên cứu xin trình bày đề tài “ Vẽ thêm yếu tố phụ chứng minh số tốn hình học lớp ” hy vọng giải vấn đề II Mục đích phương pháp nghiên cứu 1) Mục đích nghiên cứu Trong quá trình dạy học cũng quá trình nghiên cứu Tôi đã tích luỹ được một số kinh nghiệm giúp ích cho bản thân, dạy học sinh ham thích học tâp“Góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán” , hy vọng góp phần giúp học sinh có kĩ tốt để giải các bài toán hình học và nếu được sẽ là đề tài tham khảo cho các thầy cô quan tâm đến công việc giảng dạy của mình, giúp học sinh học ngày càng tốt với môn hình học mà đa số các em rất sợ vì nếu không tích luỹ được một số kiến thức bản ,tư và kĩ thì các em sẽ không học được môn hình học.Nhiệm vụ của chúng ta là phải làm thế nào để “nghề cao quí “ của chúng ta ngày càng cao quí “ vì nó sáng tạo những người có sáng tạo”như cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nói 2) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm học sinh lớp trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau vừa dạy vừa đúc rút kinh nghiệm áp dụng III Đối tượng, phạm vi Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp trường THCS TT Mỹ Thọ, huyện Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp Phạm vi nghiên cứu Chương trình hình học cấp THCS IV Kế hoạch thực - Nghiên cứu tài liệu ( tháng) - Viết đề tài ( tháng) - Áp dụng đề tài ( từ năm 2008 đến năm 2010) B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận đề tài Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải toán trở nên thuận lợi, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ để có lợi cho việc giải tốn điều khó khăn phức tạp Kinh nghiệm thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ mà sáng tạo giải toán Và điều lại phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự minh khám phá, tìm hiểu q trình nhận thức Các em có khả tự điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh trình lâu dài Tư tích cực, độc lập sáng tạo thể số mặt sau: - Có óc hồi nghi, ln biết tự đặt câu hỏi: Tại sao? Vì sao? Do đâu? v.v… - Biết nhìn nhận giải vấn đề - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề biết II Thực trạng nghiên cứu Qua trình cơng tác giảng dạy, tơi thấy: - Đa số học sinh thường lúng túng ,không biết phải chứng minh hình học nào, đâu Khâu quan trọng khâu vẽ hình chắt lọc lý thuyết vận dụng vào thực tế để chứng minh - Học sinh yếu toán, đặc biệt chứng minh hình học Nguyên nhân chủ yếu lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập - Khơng học sinh thật chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên kết học tập chưa cao - Học không đôi với hành làm cho thân học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức Do lực nhân khơng phát huy hết - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ tốn với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em học sinh, giúp học sinh có hứng thú học tốn - Qua nhiều năm thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh có lỗ hổng từ tiếp cận với tập chứng minh hình học lớp 7, sau ảnh hướng đến lớp 8, lớp Việc vận dụng yếu tố trung gian học sinh lúng túng, chưa nhận biết biết cần vận dụng vào chứng minh tốn hình - Khi học sinh thắc mắc: làm để vẽ đường phụ vậy, cách vẽ cịn cách vẽ khác khơng?, hay vẽ thêm giải toán? Gặp phải tình giáo viên gặp nhiều khó khăn để giải thích cho học sinh hiểu Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm đường phụ, cách nhận biết tốn hình học phải vẽ thêm đường phụ III Giải vấn đề 1.Giải pháp thực đề tài - Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Dựng góc góc cho trước Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, đựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Dựng tia phân giác góc cho trước Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước Qua điểm nằm đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh góc xen giữa, cạnh hai góc kề - Qua toán mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải kết tốn hình thức: Kiểm tra kết quả, xem lại cách lập luận Nghiên cứu, tìm tịi, …tìm cách giải khác toán, thay đổi liệu toán để có tốn mới, tốn cho có liên quan đến tốn giải trước khơng? Trong đề tài ngồi việc hướng dẫn học sinh cách vẽ thêm đường phụ, tơi cịn minh họa cách khai thác, phát triển kết toán quen thuộc Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị giải tốn hình học Nội dung cụ thể 2.1 Phương pháp 1: Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước 2.1.1 Bài toán 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB AC Chứng minh MN // BC MN = BC : 1) Phân tích toán Cho ∆ABC, MA = MB, NA = NC Chứng minh MN // BC MN = BC : 2) Hướng suy nghĩ Để chứng minh BC = 2MN, ta tạo đoạn thẳng 2MN, chứng đoạn thẳng BC Trên tia đối tia NM lấy điểm D choND = MN 3) Chứng minh GT ∆ ABC, MA = MB, NA = NC KL MN // BC MN = BC : A Trên tia đối tia NM lấy điểm D cho ND = MN N M Xét ∆NMA ∆NDC có D · · NM = ND; ANM ( đối đỉnh); AN = NC (gt) = DNC Do ∆NMA = ∆NDC (c.g.c) B C · · ⇒ AM = DC MAN = NCD · · · · Mà MAN; hai góc so le ⇒ AB // CD ⇒ BMC NCD = MCD Xét ∆BMC ∆DCM có · · MB = DC (= AM); BMC ; MC cạnh chung = MCD · · Do ∆BMC = ∆DCM (c.g.c) ⇒ BCM = DMC, BC = DM · · Mà BCM; hai góc so le ⇒ MN // BC DMC BC = DM, MN = DM : ⇒ MN = BC : 4) Nhận xét: Từ kết toán ta chứng minh được: Nếu tam giác ABC có M trung điểm cạnh AB, N cạnh AC MN song song với BC N trung điểm cạnh AC 2.1.2 Bài toán 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25 tr 67 – sgk toán tập 2) 1) Phân tích tốn Tam giác ABC vng A, AM trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh AM = BC 2) Hướng suy nghĩ Ta cần tạo đoạn thẳng AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD A 3) Chứng minh GT KL µ = 900 ; ∆ABC; A AM trung tuyến AM = BC B M C D Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAB ∆ MDC có: • MA = MD ( theo cách vẽ im D) ã ả =M ả (i nh) M • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c g c) · µ (2 góc tương ứng) ⇒ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) BAM =D ⇒ AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Lại có: AC ⊥ AB ( gt) · · ⇒ AC ⊥CD hay BAC = ACD = 900 (2) Xétt ∆ ABC ∆ CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) • · · BAC = ACD = 900 ( Theo (2)) • AC cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ DCA ( c g c) 1 ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM = AD ⇒ AM = BC 2 4) Nhận xét: Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp chứng minh hai tam giác 2.1.3 Bài toán 3: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh · · MAC ( tr 24 sbt toán tập 2) BAM 1) Phân tích tốn · · Cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC So sánh BAM MAC ? 2) Hướng suy nghĩ Hai góc BAM MAC khơng thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải toán 3) Lời giải: A ∆ABC; AB < AC GT MB = MC · · So sánh BAM MAC ? KL C M B Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAB ∆ MDC có: • MA = MD ( theo cách v im D) ã D ả =M ả ( i đỉnh) M • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c g c) ả =D (2 gúc tng ng) ⇒ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) A (2) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒ CD < AC (3) Xột ACD cú: ả