ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM BÙI THANH TUẤN NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP p ( ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM BÙI THANH TUẤN NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP p ( ) Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chƣa đƣợc công bố công trình Tác giả Bùi Thanh Tuấn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên dƣới hƣớng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn thầy hƣớng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Trƣờng THPT số Bảo Thắng - Lào Cai, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn đƣợc hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ trao đổi hữu ích thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Bùi Thanh Tuấn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.2 Toán tử Monge - Ampère phức 1.3 Nguyên lý so sánh Bedford - Taylor Chƣơng NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP p ( ) 14 2.1 Nguyên lý so sánh mạnh 14 2.2 Ƣớc lƣợng lƣợng 2.3 Định lý hội tụ lớp p p ( ) 20 ( ) 22 2.4 Nguyên lý so sánh mạnh lớp p ( ) 28 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đa vị nhánh Giải tích phức nhiều biến, đƣợc phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm trở lại Nhiều kết quan trọng lý thuyết đƣợc biết đến từ trƣớc năm 80 kỷ XX Tuy nhiên phát triển lý thuyết với việc tìm thấy ứng dụng vào lĩnh vực khác toán học thực mạnh mẽ sau E Berfod B A Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Monge Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng Vì nói toán tử Monge - Ampère phức đóng vai trò quan trọng, trung tâm lý thuyết đa vị giống nhƣ toán tử Laplace lý thuyết vị cổ điển Ta biết Định lý hội tụ đơn điệu nguyên lý so sánh Bedford Taylor hai định lý cổ điển quan trọng có nhiều ứng dụng lý thuyết đa vị Chúng đƣợc sử dụng hầu hết công trình liên quan đến toán tử Monge - Ampère Nguyên lý so sánh không cho định lý toán Driclelet toán tử Monge - Ampère, mà công cụ việc giải phƣơng trình Monge - Ampère Theo hƣớng nghiên cứu chọn "Nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà lớp p ( ) " làm đề tài nghiên cứu Đề tài có tính thời sự, đƣợc nhiều nhà toán học nƣớc quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày kết gần Yang Xing Nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà dƣới với lƣợng đa phức hữu hạn Áp dụng nguyên lý tìm thấy số bất đẳng thức quan trọng lý thuyết đa vị 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dƣới, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor, - Trình bày số kết nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà dƣới với lƣợng đa phức hữu hạn Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phƣơng pháp giải tích phức kết hợp với phƣơng pháp giải tích hàm đại, phƣơng pháp lý thuyết vị phức - Trình bày chi tiết kết Yang Xing Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chƣơng nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dƣới, toán tử Monge - Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor Chương Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà dƣới với lƣợng đa phức hữu hạn Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt đƣợc Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với n u(a , hàm :a ( ) ( kí hiệu b thành phần liên b) điều hoà trùng thành phần tập hợp u , Hàm u gọi đa điều hoà với a thông b u : Trong trường hợp này, ta viết ( ) lớp hàm đa điều hoà ) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dƣới: 1.1.2 Định lý Cho (i ) Họ u, v ( ) nón lồi, tức ( ) , u (ii ) Nếu u v lim u j uj ( ) u j (iii ) Nếu u : , u j tập compact A , u , Khi số không âm ( ) liên thông (iv ) Giả sử u n tập mở j ( ) dãy giảm, ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.3 Định lý Cho n tập mở (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà v lồi, v (u / v) đa điều hoà (ii ) Cho u ( ), v Nếu ( ), v ( ), u : 0, 0, , v Nếu : , v (u / v) lồi (0) lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii ) Cho u, v : Nếu ( ) 1.2 Toán tử Monge - Ampère phức n Cho u đa điều hoà dƣới miền c dd u n c dd u : c dd u n toán tử: u z j zk n n ! det n với dV yếu tích C2 Nếu u dV , j ,k n gọi toán tử Monge-Ampère Toán tử xem nhƣ độ đo Radon , tức phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian hàm liên tục với giá compact C ( ) dd cu C0 n Bedford Taylor chứng minh u đa điều hoà dƣới bị chặn địa phƣơng um u tồn dãy dd cum lim m Hơn n um hội tụ yếu tới độ đo Radon dd cum n d , không phụ thuộc vào việc chọn dãy um (dd cu)n gọi toán tử Monge-Ampère u C m tức là: C0 cho nhƣ trên, ta ký hiệu: Sau vài tính chất toán tử toán tử Monge-Ampère C p,p (p, p) dạng lớp C 1.2.1 Mệnh đề Nếu T (q, q ) dòng với p dd cT n q dd c n tập mở n T d cT d dc T Chứng minh Ta có: d cT d Nhƣng p dc q d cT d T d cT d dd c dc T dT n nên i T i dd cT T T T i T T dc T T dT Do d cT d dc dd cT T dd c T Từ mệnh đề dùng công thức Stokes dòng ta có: T n (q, q ) dòng tập mở (n q 1, n q 1) dạng lớp C dd cT dd c C 0, n với hệ số D( ) T d cT d d cT Vậy dd cT , dd cT q 1,n q dd c T dc dc T , dd c T T (1.1) 28 b) Với p1 p tuỳ ý ta có p ( u0 j ) dd cu1 j p W dd cunj ( u0 ) dd cu1 ( u0 j )p dd cu1 j dd cunj c) Nếu ( u0 j )p dd cu1 j W dd cunj dd cun ( u0 )p dd cu1 dd cun ( u0 )p dd cu1 dd cun Từ đó, tính tựa liên tục hàm đa điều hòa dƣới Định lý Dini ta có hệ 2.3.3 Hệ Giả sử uk , ukj ukj uk ukj p uk ( ), p j k n ta có ta có (a), (b) (c) Hệ 2.3.2 2.4 Nguyên lý so sánh mạnh lớp p ( ) Trong phần ta chứng minh nguyên lý so sánh mạnh hàm lớp p ( ) Vì độ đo Monge - Ampère hàm có khối lƣợng tổng cộng vô hạn p ( ) , nên tổng quát hoá cách tự nhiên nguyên lý so sánh mạnh lớp p ( ) dạng sau định lý so sánh, tất tích phân hữu hạn Nhớ lại họ độ đo dƣơng đƣợc gọi liên tục tuyệt đối tùy ý tồn C n tập E với cho với tập Borel E1 E mà C n (E1 ) độ đo Trƣớc tiên ta cần chứng minh bổ đề sau 2.4.1 Bổ đề Giả sử u, v p hàm vét cạn liên tục v ,u ,s max với số s ( ), p p p1 (E1 ) xảy ( ) L ( ), Đặt triệt tiêu , s , s( v) 0, p1 , bất đẳng thức p p1 , s( u) p p1 Khi mệnh đề sau xảy 29 a ) Các độ đo ( p1 u1 (dd cv2 )n có khối lượng tổng bị chặn ) v1 v ,u ,s , với v1, v2 , u1 p v u1 p ( ) mà v1, v2 v u1 u tùy ý tồn tập đóng F \F với v1, v2 , u1 p cho p1 ( ) mà v1, v2 d ) Nếu dãy v j đối u1 (dd cv2 )n ) v1 v ,u ,s ( p1 với C n , với v1, v2 , u1 c ) Với u u1 (dd cv2 )n liên tục tuyệt đối ) v1 v ,u ,s b ) Các độ đo ( ( ) mà v1, v2 o v u1 u ( ) C ( ) giảm dần đến v với C ( ) tuỳ ý ta có ( ) v1 v ,u ,s u1 với v1, u1 j p1 (dd cv j )n p ) v1 v ,u ,s ( ( ) mà v1 v, u1 u Chứng minh Không tính tổng quát ta giả sử ep (v) p1 u1 (dd cv2 )n ) v1 v ,u ,s s ( u)p (dd cv2 )n p1 (dd cv)n vàep (u ) Dn(p,p n )/p Từ Mệnh đề 2.2.2 suy ra: Hệ 2.2.3 ta có ep (v2 ) ( u1 p p1 s ( u) sDn,pep (u)p /(p p ( u1 ) (dd cv2 )n n) ep (v2 )n /(p n) sDn1,pn /p a) đƣợc chứng minh Để chứng minh b) ta nhận xét u c c ( p1 p p1 u1 (dd cv2 )n ) v1 v ,u ,s sup với số c u c p sup ( u)p (dd cv2 )n c u p1 p c ( u1 ) (dd cv2 )n sup Dn1,pn /p Theo 30 Tƣơng tự ta có v c ( p1 u1 (dd cv2 )n ) v1 v ,u ,s Từ theo Bổ đề [18] với E E ) v1 v ,u ,s ( 2c 2c p1 p p1 p 2c p1 p Dn1,pn /p sup cuối nhỏ nhỏ Dn1,pn /p sup ta có p sup E v ,u c ( u) (dd cv2 )n p sup Dn1,pn / p sup p1 p (dd cv2 )n Dn1,pn /p sup , lấy c Cho p1 u1 c E v2 ,u c sup c ( max(u, c)) (dd c max(v2, c))n p1 n C n (E ) cho số hạng vế phải bất đẳng thức cho số hạng thứ hai vế phải Sau ta chọn mà C n (E ) với E Khẳng định c ) suy từ b ) v ,u ,s Khi ta nhận đƣợc b ) triệt tiêu Để chứng minh d ) , theo Định lý 2.1 [7] tồn dãy v1,t , u1,t o ( ) C ( ) cho v1,t 2.2.3 ta có v1.t , u1,t v u1,t p u trong t Theo hệ ( ) với t Bây ta biểu diễn ) v1 v ,u ,s ( ( p1 u1 (dd cv j )n ) v1 v ,u ,s u1 p1 ( (dd cv j )n ) v1 v ,u ,s max(v1, c) (dd c max(v j , c))n ( ) max(v1, c) v ,u ,s max(u1, c) p1 p1 u1 (dd cv)n max(u1, c) p1 31 max(v1,t , c) max(u1,t , c) ) max(v1,t , c) v ,u ,s ( max(u1,t , c) (dd c max(v j , c))n ) max(v1,t , c) v ,u ,s ( max(v1, c) Ac1, j Ac2, j ,t (dd c max(v j , c))n p1 (dd c max(v, c))n max(u1,t , c) max(u1, c) p1 p1 (dd c max(v, c))n p1 max(u1, c) (dd c max(v, c))n ) max(v1, c) v ,u ,s ( p1 Ac3, j ,t Ac4,t v1 p1 u1 (dd cv)n Ac5 Từ Bổ đề [18] suy với j độ đo Ac1, j có khối lƣợng tập hợp v1 c, u1 c, v j Do theo b) ta có Ac1, j c v c, u c với j , Ac1, j hiệu khối lƣợng biến tổng Ac1, j Ac5 Ac1 , j 0 c Ac5 Do với c Tƣơng tự, ta nhận đƣợc tùy ý tồn c0 với j Mặt khác, v1,t ký cho v u1,t u (xem chứng minh Định lý 2.3.1) nên ta có max(v1,t , c) max(u1,t , c) C n tập E p1 max(v1, c) t 0 Ac4 ,t 0 p1 Khi đó, theo định nghĩa C n tồn số t cho Ac2 , j ,t max(u1, c) với j 32 Cuối hàm max(v1,t , c0 ) max(u1,t , c0 ) p1 liên tục ( ) L ( ) , theo [18, Định lý 1] nên ta có Ac3 , j ,t v ,u ,s W minh đầy đủ □ 2.4.2 Định lý Cho u, v , p ( ) với p ( ) L ( ) với j An,p u v u)n p dd c (v (n !(n (r p)(n p Khi với số r 1, j j dd c u v An,p 0 Vậy d ) đƣợc chứng minh Bổ đề 2.4.1 đƣợc chứng j n 2, 3, , n ta có u v (r )(v u)p (dd cv )n u)p (dd cu)n , )(v 1)) 1) (p Chứng minh Giả sử v ,u ,s với s p p1 max 0, p1 r, s , s( v) p v ,u ,s p1 p p1 , s( u) Khi v ,u ,s ( ) L ( ) (1) Trƣớc tiên, ta chứng minh với u, v An,p u v (v n p1 dd c u) u v u v xảy với s v ,u ,s ( ( 0, p1 v ,u ,s dd c )(v u) (dd cv)n v ,u ,s )(v Tƣơng tự ta có v ( ) C ( ) , bất đẳng thức dd c n p p u) (dd cu)n (A) p Thật vậy, ý u p p1 ( ) lim sup u(z ) z với ( ) Do đó, không tính tổng quát, ta giả sử 33 u u v trong v v Đặt v u gần max(u, v ) Khi v v Bây lấy tích phân phần (xem [5]) ta đƣợc n p1 (v u) dd c (n dd c v ,u ,s p1 )(n p1 dd c (v (n p1 ) (n p1 ) (n p1 )(n n u) n p1 (v dd c 1) u) n p1 u) dd c v ,u ,s dd c (v dd c (v n (v n u) dd c n p1 (v u) dd c u) dd c d(v u) n 1 v ,u ,s dd c dd c v ,u ,s n n … n !(n p1 1) (p1 p1 )(n p1 1) (p1 n p p k u) dd c (v 2) (dd cv )n u) dd c (v (v 2) u)n dd c v ,u ,s v ,u,s (dd cu )k k An,1p ( 1 v ,u ,s p u) (dd cu)n )(v v ,u ,s ( )(v p u) (dd cv )n Do đó, ta đƣợc bất đẳng thức An,p n p1 (v u) v ,u ,s ( Vì (v p u) dd c )(v (v v ,u ,s v ,u ,s )(v p dd c p u) (dd cv )n p u) Bổ đề 2.4.1a) ta có: ( dd c u) (dd cv )n ( n v ,u ,s )(v p u) (dd cu)n , nên theo [18, Định lý 1] 34 v ,u ,s ( p ) (v u) 1 v ,u ,s hội tụ yếu đến ( p u) (dd cv )n (v v ,u ,s ( p u) (dd cv)n )(v p dụng tính liên tục (v u) Cho p u) (dd cv )n )(v , ta sử bất đẳng thức cuối sử dụng Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh với u, v ( ) C( ) (2) Thứ hai, ta chứng minh bất đẳng thức (A) xảy với u, v Theo [7, Định lý 2.1] tồn dãy uk u v j uk v uk v j uk v j v ,u ,s ( n p1 (v j uk v j uk ) 0, p1 dd c dd c v ,u ,s p mà p uk ) (dd cv j )n )(v j Từ Hệ 2.2.3 suy theo bất đẳng thức (A) với s An,p v j uk v j hàm đặc trƣng tập uk p ( ) ( ) C ( ) cho uk , v j p p1 ta có ( ) ; n v ,u ,s ( )(v j p uk ) (dd cuk )n , v j Cho k j theo Bổ đề Fatou ta nhận đƣợc giới hạn dƣới số hạng đầu vế trái trội An,p u v n p1 (v u) dd c dd c v ,u ,s dd c n Do ta có An,p u v (v n p1 u) dd c lim inf lim inf j j k v ,u ,s uk v j lim sup lim sup k dd c v ,u ,s ( uk v j ( n )(v j v ,u ,s )(v j p uk ) (dd cv j )n p uk ) (dd cvk )n , 35 Lại theo Bổ đề Fatou suy lim inf lim sup j k uk v j lim inf lim sup j k lim inf j uk v v ,u ,s ( u v v ,u ,s ( p uk ) (dd cv j )n )(v j v ,u ,s ( p uk ) (dd cv j )n )(v p u) (dd cv j )n )(v , từ Bổ đề 2.4.1 b) tính tựa liên tục hàm đa điều hòa dƣới Cho v [4] suy tồn tập mở O v1 v O Vì u C ( ) cho O v ,u ,s ( p1 u [(dd cv j )n )v (dd cv )n ]< với j v mở, nên theo Bổ đề 2.4.1 d) ta có lim inf j u v lim inf j u v v ,u ,s ( u v v ,u ,s ( p u) (dd cv j )n )(v ( v ,u ,s )v p1 u (dd cv j )n p1 u (dd cv)n )v Từ suy lim inf lim sup j k u v v ,u ,s ( uk v j )(v v ,u ,s ( p uk ) (dd cv j )n )(v j p u) (dd cv)n Mặt khác theo b ) c ) Bổ đề 2.4.1 tồn v 1j , u đóng F tập mở O vj v 1j u u1 cho O C ( ) , tập 36 \F O p1 (dd cuk )n ( v ,u ,s ) vj u) ( v ,u ,s ) vj u) (dd cuk )n Từ dùng uk p1 k k u vj lim sup lim sup j k u v ,u ,s ( uk v j lim sup lim sup j với j, k u ta đƣợc lim sup lim sup j (dd cu)n 1 v ,u ,s ( v1j F p uk ) (dd cuk )n )(v j p u) (dd cuk )n )(v j v ,u ,s ( )(v j p u) (dd cuk )n , mà theo Bổ đề 2.4.1d) vƣợt lim sup u1 v1j j lim sup j u v u vj v ,u ,s ( F v ,u ,s ( v ,u ,s ( p u) (dd cu)n )(v j p u) (dd cu)n )(v j p u) (dd cu)n )(v 4 , bất đẳng thức sau suy từ Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue Do ta đƣợc bất đẳng thức An,p u v n p1 (v u v u) v ,u ,s ( u v xảy với )(v v ,u ,s ( dd c v ,u ,s dd c dd c n p u) (dd cv)n p u) (dd cu)n )(v Từ ta có bất đẳng thức (A) với u, v (3) Cuối cùng, giả sử u, v v Vì ( v ,u ,s )(v p p u) p ( ) ( ) Khi ta có bất đẳng thức (A) u s( u)p , nên cho p1 Định lý hội tụ trội Lebesgue ta có p theo Hệ 2.4.1 37 An,p lim sup p1 p u v u v u v 1,1,s Vì n p1 (v u) dd c ( 1,1,s )(v u)p (dd cv)n ( 1,1,s )(v u)p (dd cu)n r s dd c v ,u ,s dd c n , nên từ Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue suy An,p lim sup lim sup s p1 u v (r p u v n p1 (v u) dd c u)p (dd cv)n )(v v ,u ,s u v (r dd c dd c n u)p (dd cu)n )(v Phần lại ta chứng minh giới hạn bất đẳng thức cuối trội An,p u v u)n p dd c (v dd c Thật vậy, Theo Bổ đề [18] với t u v n p1 (v u) dd c t u v t u v dd c v ,u ,s n p1 (v u) (v u) n p1 v max(v, t ), u mở M v , u v2 v u u2 dd c n tùy ý ta có dd c n dd c v ,u ,s dd c dd c n dd c v ,u ,s dd c dd c n max(u, t ) Với , tùy ý ta lấy tập C ( ) cho t v 2, u M C n (M ) Từ đó, theo định nghĩa C n , ta đƣợc tích phân cuối trội t u 2 v \M t u v n p1 (v u2 ) (v u2 ) n p1 n p1 dd c v ,u ,s dd c dd c n t dd c v ,u ,s dd c dd c n 2t sup n p1 sup 1 38 n p1 Dễ thấy (v v ,u ,s u2 ) 1,1,s u )n (v p p1 p Từ đó, tính liên tục (v u )n n p1 (v u2 ) W trong p1 u )n p dd c p t u v t u v Cho u v p (v (v dd c 1,1,s n p1 (v lim sup lim sup p1 dd c n dd c n dd c dd c n dd c n Vì lim sup lim sup s Định lý [15] ta nhận đƣợc dd c 1,1,s u )n p dd c (v s p1 p p p W s dd c v ,u ,s u )n p dd c (v (v dd c p1 t u u) v u )n p dd c u)n p dd c sau cho t dd c n p1 (v dd c v ,u ,s u2 ) dd c dd c 2 dd c dd c v ,u ,s dd c n t dd c dd c dd c n t n n p1 2t n sup n p1 n p1 sup sup ta có bất đẳng thức cần chứng minh Áp dụng Định lý 2.4.2 ta có định lý so sánh p 1 □ ( ) , cải biên nguyên lý so sánh Bedford - Taylor 2.4.3 Hệ Nếu u, v u v (v p u)p (dd cv)n ( ) với p u v (v u)p (dd cu)n Chứng minh Chia hai vế bất đẳng thức Định lý 2.4.2 cho r cho r ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh 39 2.4.4 Hệ Nếu u, v (v p ( ) với u v u)p (dd cv)n (v , bất đẳng thức u)p (dd cu)n xảy với ( ) tuỳ ý Chứng minh Với p bất đẳng thức Cegrell Giả sử p Định lý 2.4.2 cho u, v với cho max( / s, 1) r , ta đƣợc bất đẳng thức max( , s)(v Cho s 1, Áp dụng u)p (dd cv)n max( , s)(v ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh u)p (dd cu)n □ 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dƣới, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor, - Chứng minh Định lý hội tụ lớp p ( ) - Các kết gần Yang Xing Nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà dƣới lớp Cho u, v , An,p p ( ) với p p ( ) Cụ thể Định lý sau: Khi với số r ( ) L ( ) với j u v u)n p dd c (v u v An,p (n !(n dd c p)(n (r p 1, j j n )(v 1) (p 2, 3, , n ta có u v (r )(v u)p (dd cv )n u)p (dd cu)n , 1)) - Áp dụng nguyên lý Nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà dƣới lớp thuyết đa vị p ( ) chứng minh vài bất đẳng thức quan trọng lý 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] N.Q.Diệu L.M.Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sƣ phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Ahag P., Czyz R., Pham H H (2007), "Concerning the energy class for p p ", Ann Polon Math 91, pp.119 - 130 [3] Bedford E (1993), "Survey of pluripotential theory, Several complex variables (Stockholm, 1987/1988)", Math Notes, 38, 48 - 97, Princeton Univ, Press, Princeton, NJ [4] Bedford E., and Taylor B A (1982), "A new capacity for plurisubharmonic funtions", Acta Math 149, pp.1 - 40 [5] Blocki Z (1993), "Estimates for the complex Monge - Ampère operator", Bull Polish Acad Sci Math 41, pp.151 - 157 [6] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math 180, pp.187 - 217 [7] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge - Ampère", Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp.159 - 179 [8] Cegrell U., Kolodziej S., Zeriahi A (2005), "Subextention of plurisubharmonic functions with weak singularities", Math Z 250, pp.7 - 22 [9] Demailly J P (1989), Potential theory in several complex variables, École d’été d’Analyse complexe du CIMPA (Nice) [10] Kiselman C O (1984), "Sur la definition de l’opérateur de, Monge - Ampère complexe", Complexe analysis (Toulouse, 1983), Lecture Notes in Math., 1094, pp.139 - 150, Springer - Verlag, Berlin [11] Kiselman C O (2000), "Plurisubharmonic functions and potential theory in several complex variables", Development of mathematics 1950 - 2000, pp 655 - 714 Birkhauser, Basel 42 [12] Klimek M (1991), Pluripotential theory, London Math Soc Monogr (N.S.), 6, Clarendon Press, New York [13] Kolodziej S (2005), "The complex Monge - Ampère equation and pluripotential theory", Mem Amer Math Soc 178 [14] Persson L (1999), "A Dirichlet principle for the complex Monge Ampère operator", Ark Math 37, pp 345 - 356 [15] Xing Y (1996), "Continuity of the complex Monge - Ampère", Proc Amer Math Soc 124, pp 457 - 467 [16] Xing Y (1999), "The complex Monge - Ampère equations with a countable number of singular points", Indiana Univ Math J 48, pp.749 - 765 [17] Xing Y.(2000), "Complex Monge - Ampère measures of plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary", Canad J Math 52, pp 1085 - 1100 [18] Xing Y (2008), "Convergence in capacity", Ann Inst Fourier (Grenoble) 58, pp 1839 - 1861 [19] Xing Y (2008), "A strong comparison principle for plurisubharmonic functions with finite pluricomplex energy", Michigan Math J 56, pp 563-581 [...]... 14 Chƣơng 2 NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP p ( ) 2.1 Nguyên lý so sánh mạnh Cho là một miền siêu lồi trong n thông và bị chặn của sao cho z n là tập con mở, liên - nói cách khác và tồn tại một hàm đa điều hòa dƣới liên tục : (z ) c với c các hàm đa điều hòa dƣới không dƣơng trên 0 Kí hiệu trong ( ) là tập Ta có nguyên lý so sánh mạnh sau đây: n 2.1.1 Định lý (Bất đẳng... (a), (b) và (c) như trong Hệ quả 2.3.2 2.4 Nguyên lý so sánh mạnh trong lớp p ( ) Trong phần này ta chứng minh nguyên lý so sánh mạnh đối với những hàm trong lớp p ( ) Vì các độ đo Monge - Ampère của các hàm trong có thể có khối lƣợng tổng cộng là vô hạn trong p ( ) , nên tổng quát hoá một cách tự nhiên của nguyên lý so sánh mạnh đối với lớp p ( ) là một dạng sau của định lý so sánh, trong đó tất cả các... ( 1)l 1 l j ( ( j )s ) )s là hàm đa điều hòa dƣới bị chặn đều địa phƣơng, nên bằng cách bỏ bớt một hằng số nếu cần thiết, ta có thể giả thiết các hàm đó là hàm đa 26 điều hòa dƣới 2fg (f g )2 dƣơng f2 Khi áp dụng liên tiếp đẳng ) 1 có thể viết dƣới dạng tổng j h , trong đó h là hàm đa điều hòa dƣới bị chặn W Từ đó theo Định lý1 [18] ta có Ac2, j đều địa phƣơng trong với mỗi số c thức p g 2 ta nhận... Mệnh đề (Phiên bản 1 của nguyên lý so sánh Bedford -Taylor ) ( ) L ( ) thỏa mãn lim inf(u(z ) Nếu u, v z u v (dd cv)n u v v(z )) ( ) 0 thì (dd cu)n Chứng minh Chia cả hai vế bất đẳng thức của nguyên lý so sánh mạnh cho r và cho r ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh Chú ý rằng đây chính là Định lý 1.3.1 đã trình bày trong chƣơng 1 2.1.3 Mệnh đề (Phiên bản 2 của nguyên lý so sánh Bedford -Taylor ) (... n và khi j uk trong C n trên mỗi tập E Khi đó: a ) Nếu dãy j đa điều hòa dưới p ( j ) 1 dd cu1j ( ) hội tụ yếu đến hàm bị chặn đều địa phương trong trong p1 thì với hằng số 0 W dd cunj p ) 1 dd cu1 ( tùy ý ta có dd cun trong b ) Cho B là một tập con bị chặn đều địa phương của p1 0 Khi đó với p ( p ) 1 dd cu1 dd cun trong B với mọi p1 c ) Với 0 p tuỳ ý ta có p ( u0 j ) 1 dd cu1 j trong p W dd... , với mọi v1, v2 , u1 trong p v và u1 p ( ) mà v1, v2 v và u1 u trong 0 tùy ý tồn tại một tập con đóng F trong \F với mọi v1, v2 , u1 p sao cho p1 ( ) mà v1, v2 d ) Nếu một dãy v j đối u1 (dd cv2 )n ) v1 v ,u ,s ( p1 với C n , với mọi v1, v2 , u1 c ) Với u trong u1 (dd cv2 )n liên tục tuyệt đối đều trong ) v1 v ,u ,s b ) Các độ đo ( ( ) mà v1, v2 trong o v và u1 u trong ( ) C ( ) giảm dần đến v trong. .. v(z )) ( ) Chứng minh Vì u sánh mạnh cho u đƣợc u 0 thì u v trong v , v và và nếu 0 tùy ý, nên áp dụng nguyên lý so với 1 (dd cu)n trong 2 2 n 2 z (sup z ) 1 v hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue Từ đó suy ra kết quả cần chứng minh Chú ý rằng đây chính là Hệ quả 1.3.3 đã đƣợc trình bày trong chƣơng 1 2.1.4 Mệnh đề (Bất đẳng thức Cegrell; [7]) Cho u, v 1 ta 0 ( ) với v ( u trong )(dd cv)n thì ( )(dd... dụng nguyên lý so sánh mạnh cho u và max 1 s , 1 và r Cho s 1, 1 ta đƣợc bất đẳng thức 0 , khi đó cho max( , s )(dd cv)n v với max( , s )(dd cu)n ta đƣợc kết quả cần chứng minh □ 2.1.5 Mệnh đề (Bất đẳng thức Blocki; [5]) Nếu u, v, 1 , 2 lim v(z ) 1 0 và u)n dd c L ( ) , sao cho v ( ) n u(z ) z (v , , 1 dd c 0, j i , 1,2, , n thì (n !)2 n u trong ( 1 )(dd cu )n Chứng minh Sử dụng nguyên lý so sánh mạnh. .. p 0 thỏa mãn u v ep (v) , trong đó Dn , p là hằng số như trong mệnh đề 2.2.2 Chứng minh Theo [6,7] ta có u p ( v)p (dd cu)n ep (u) ( ) Từ mệnh đề 2.2.2 suy ra Dn,p ep (v)p /(p n) ep (u)n /(p n) Do đó ep (u)p /(p n) Dn,p ep (v)p /(p n) , suy ra ep (u) D(p n )/ p n ,p 2.3 Định lý hội tụ trong lớp p ep (v) □ ( ) Trong phần này ta chứng minh định lý hội tụ đối với những hàm trong p ( ) Cho C n là dung... thế với Bc1,,pj , j 0 W 0 0 khi j j0 0 bé tùy ý nên suy ra d) đƣợc chứng minh Vậy Định lý 2.3.1 đƣợc Vì chứng minh hoàn toàn □ Ta có kết quả sau, là hệ quả của Định lý 2.3.1 và Hệ quả 2.2.3 2.3.2 Hệ quả Giả sử uk , ukj ( ), 0 trong C n trên mỗi tập E p 0, 0 k a) Với bất kỳ 0 ( với mọi khi j n sao cho ukj p1 ) 1 dd cu1 j dd cunj ( ) với 1 n sao cho ukj Nếu tồn tại g k trong p uk ( ) , với gk với ... Ampère phức 1.3 Nguyên lý so sánh Bedford - Taylor Chƣơng NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP p ( ) 14 2.1 Nguyên lý so sánh mạnh 14 2.2 Ƣớc... Chƣơng NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP p ( ) 2.1 Nguyên lý so sánh mạnh Cho miền siêu lồi n thông bị chặn cho z n tập mở, liên - nói cách khác tồn hàm đa điều hòa dƣới... chất hàm đa điều hoà dƣới, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor, - Chứng minh Định lý hội tụ lớp p ( ) - Các kết gần Yang Xing Nguyên lý so sánh mạnh hàm đa điều hoà dƣới lớp