Toán rời rạc Biên tập bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Toán rời rạc Biên tập bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Phiên trực tuyến: http://voer.edu.vn/c/b8a0fb4b MỤC LỤC Bài 1: Tổng quan môn học Bài 2: Logic 2.1 Logic 2.2 Logic vị từ (predicate logic)) Bài 3: Một số phương pháp chứng minh 3.1 chứng minh mệnh đề suy diễn 3.2 Chứng minh nhờ luật suy diễn 3.3 Chứng minh vacuous & Chứng minh trivial 3.4 Chứng minh cách phân chia trường hợp Bài 4: Lý thuyết tập 4.1 giới thiệu tập 4.2 phép toán tập hợp 4.3 lực lượng tập hợp - Hữu hạn vô hạn Bài 5: Hàm, dãy, tổng 5.1 giới thiệu hàm 5.2 chuỗi Bài 6: Thuật toán, số, ma trận đệ quy 6.1 Ma trận (Matrices) Bài 7: Kỹ thuật đếm 7.1 Nguyên lý bù trừ 7.2 nguyên lý DIRICHLET 7.3 Chỉnh hợp tổ hợp Bài 8: Kỹ thuật đếm cao cấp 8.1 quan hệ n- ứng dụng Tham gia đóng góp 1/72 Bài 2: Logic Logic LOGIC Logic sử dụng để biểu diễn luận điểm xác mênh đề toán học Những luật logic dùng để phân biệt luận điểm sai Bài học giúp người học cách thức để hiểu xây dựng luận điểm toán học đắn Logic nội dung trung tâm khoa học máy tính từ ngành hình thành: công trình Alan Turing Entscheidungsproblem theo sau từ công trình Kurt Gödel định lý không toàn vẹn, khái niệm máy tính dành cho mục đích tổng quát bắt nguồn từ công trình có tầm quan trọng mang tính tảng nhà thiết kế máy tính năm 1940 Trong năm 1950 1960, nhà nghiên cứu dự đoán tri thức người biểu diễn logic ký hiệu toán học, có khả tạo máy tính có khả lập luận, hay nói cách khác trí tuệ nhân tạo Điều hóa khó khăn dự đoán phức tạp lập luận người Trong lập trình logic, chương trình bao gồm tập hợp tiên đề luật Các hệ thống lập trình logic Prolog tính toán hệ tiên đề luật để trả lời truy vấn Ngày nay, logic ứng dụng rộng rãi lãnh vực trí tuệ nhân tạo, khoa học máy tính, ngành cung cấp nguồn dồi toán logic hình thức phi hình thức Lý thuyết lý luận ví dụ tốt cho thấy logic áp dụng vào trí tuệ nhân tạo Thêm vào đó, máy tính sử dụng công cụ cho nhà logic học Ví dụ, logic biểu tượng logic toán học, chứng minh người hỗ trợ máy tính Sử dụng chứng minh định lý tự động, máy tính tìm kiểm tra chứng minh, làm việc với chứng minh dài cho việc viết 2/72 Logic vị từ (predicate logic)) LOGIC VỊ TỪ (pre d icate logic) V ị từ Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5" Về phương diện ngôn ngữ câu Nhưng câu chưa phản ánh tính sai thực tế khách quan nào, chưa phải mệnh đề Song ta thay n số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn: Thay n = 100 ta mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5" Thay n = 101 ta mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5" Ví dụ 2: "x + > 7" Tương tự ví dụ 1, x + > chưa phải mệnh đề, song ta thay x số thực cụ thể, chẳng hạn: Thay x = ta mệnh đề sai: "0 + > 7" Thay x = ta mệnh đề đúng: "5 + > 7" Ví dụ 3: "Ông A nhà toán học vĩ đại" Câu chưa phải mệnh đề Nhưng ta chọn "ông A" "Gausơ" mệnh đề đúng: "Gausơ nhà toán học vĩ đại", ta chọn "ông A" "Đinh Bộ Lĩnh" mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh nhà toán học vĩ đại" Từ ví dụ ta đến định nghĩa sau: Những câu có chứa biến mà thân chưa phải mệnh đề ta thay biến phần tử thuộc tập xác định X trở thành mệnh đề (đúng sai) ta gọi hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến) Tập X gọi miền xác định hàm mệnh đề Ta dùng kí hiệu: T(n), F(x), để vị từ 3/72 Chẳng hạn: vị từ T(n) : "Số tự nhiên n chia hết cho 5" có miền xác định tập số tự nhiên N Tập số tự nhiên có tận miền T(n) vị từ F(x) = "x + > 7" có miền xác định số thực Tập số thực lớn ta gọi miền vị từ F(x) L ợ n g từ Mệnh đề tồn Cho T(x) hàm mệnh đề xác định miền X Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn cho " vào trước hàm mệnh đề T(x) ta mệnh đề: "Tồn cho T(x)" Ta gọi mệnh đề có cấu trúc mệnh đề tồn Kí hiệu là: Kí hiệu gọi lượng từ tồn Ví dụ: "Tồn số thực x cho x + > 7" mệnh đề Kí hiệu là: 4/72 "Tồn số tự nhiên n cho n chia hết cho 5" mệnh đề Kí hiệu là: "Tồn số thực x cho x2 + = 0" mệnh đề sai Chú ý: Kí hiệu là: Trong thực tế, mệnh đề tồn diễn đạt dạng khác nhau, chẳng hạn: "Tồn cho T(x)" "Có cho T(x)" "Có cho T(x)" "Ít có người nhà toán học" "Một số người nhà toán học" "Có nhiều người nhà toán học" Ta dùng kí hiệu với nghĩa "Tồn 5/72 cho T(x)" Mệnh đề tổng quát Cho T(x) hàm mệnh đề xác định miền X Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với ta có " vào trước hàm mệnh đề T(x) ta mệnh đề: "Với ta có T(x)" Ta gọi mệnh đề có cấu trúc mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập, ) Kí hiệu là: hoặc Kí hiệu gọi lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập, ) Ví dụ: "Với số tự nhiên n ta có n chia hết cho 5" mệnh đề sai Kí hiệu là: "Với số thực x ta có x + > 7" mệnh đề sai 6/72 Kí hiệu là: ? "Với số thực x ta có x2 + > 0" mệnh đề Kí hiệu là: Chú ý: Trong thực tế, mệnh đề tổng quát thường diễn đạt nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: ? "Tất người Việt Nam nói tiếng Anh" ? "Mọi người Việt Nam nói thạo tiếng Anh" ? "Người Việt Nam nói thạo tiếng Anh" ? "Đã người Việt Nam chẳng nói thạo tiếng Anh" ? Phủ định mệnh đề tồn tổng quát Phủ định mệnh đề tồn tổng quát thiết lập theo hai quy tắc đây: 7/72 Như vậy, hai mệnh đề: ? phủ định ? phủ định Ví dụ: ? Kí hiệu là: ? 8/72 Chứng minh: Ta tính số tổ hợp thông qua việc thiết lập công thức li ên hệ C(n,r) A(n,r) Các chỉnh hợp n chọn r thể đạt cách lấy tổ hợp n chọn r (hay tập r phần tử tập hợp n phần tử cho trước) sau chọn hoán vị r phần tử tổ hợp Từ đó, theo qui tắc nhân, ta có: A(n,r) = C(n,r) A(r,r) = C(n,r) r! Suy : Ví dụ Số danh sách không kể thứ tự trước sau gồm người lớp học gồm 10 người C(10,5) = 10! / (5!5!) = 252 C ô n g t h ứ c n h ị t h ứ c N e w to n : Ðịnh lý II.2 Cho x y biến thực, n số nguyên không ấm tùy ý Ta có: Chứng minh: Ta khai triển tích n thừa số biểu thức (x+y)n = (x+y) (x+y) (x+y) thành tổng 2n số hạng có dạng t1t2…tn ti = x hay ti = y, với i từ t y, số hạng nầy xn-jyj Số số hạng nầy số cách ch số hạng t1t2…tn chọn y Ðó số tổ hợp n chọn j Từ 58/72 ta suy công thức cần chứng minh Một cách khác, ta dựa vào tam giác Pascal: Hệ Cho n số nguyên không âm tùy ý Ta có: Hệ Cho n số nguyên không âm Ta có: M ột s ố t í n h c h ất k h ác c ủ a tổ h ợ p Dưới ta nêu lên số tính chất tổ hợp Các tính chất nầy chứng minh dễ dàng từ công thức tổ hợp C(n, n) = C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) m n Ta có: Tổ hợp lặp 59/72 Một tổ hợp lặp chập k tập hợp cách chọn thứ tự k phần tử lặp lại tập cho Như tổ hợp lặp kiểu dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do k > n kMệnh đề 1: Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử Cnk?1 Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử biểu diễn dãy n?1 đứng k Ta dùng n ? đứng để phân cách ngăn Ngăn thứ i chứa thêm lần phần tử thứ i tập xuất tổ hợp Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập phần tử biểu thị bởi: **|*||*** mô tả tổ hợp chứa phần tử thứ nhất, phần tử thứ hai, phần tử thứ phần tử thứ tư tập hợp Mỗi dãy n ? k ứng với xâu nhị phân độ dài n + k ? với k số Do số dãy n ? đứng k số tổ hợp chập k từ tập n + k ? phần tử Đó điều cần chứng minh Thi dụ 8: 1) Có cách chọn tờ giấy bạc từ két đựng tiền gồm tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà tờ tiền chọn không quan trọng, tờ tiền loại không phân biệt loại có tờ Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền ta chọn lần, lần lấy từ loại tiền nên cách chọn tờ giấy bạc tổ hợp 5lặp chập từ phần tử Do số cần tìm C75?1 = 462 2) Phương trình x1 + x2 + x3 = 15 có nghiệm nguyên không âm? Chúng ta nhận thấy nghiệm phương trình ứng với cách chọn 15 phần tử từ tập có loại, cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại x3 phần tử loại chọn Vì số nghiệm số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có phần tử = = 136 60/72 Bài 8: Kỹ thuật đếm cao cấp quan hệ n- ứng dụng Q U A N H Ệ N - N G ÔI V À N HỮ N G Ứ NG DỤ N G An n-ary relation on sets A1,A2, ,An can be regarded as a function R from A1 ×A2 ×···×An to the Boolean domain {TRUE, FALSE}, where (a1,a2, ,an) R if and only if R(a1,a2, ,an) = TRUE 61/72 62/72 63/72 64/72 65/72 66/72 Let A1 be the set of all men and A2 the set of all women, in a nonpolygamous society Let mRw mean that m and w are presently married Then each of A1 and A2 is a primary key Let A1 be the set of all telephone numbers and A2 the set of all persons Let nRp mean that telephone number n belongs to person p Then A1 is a primary key if each number is assigned to at most one person, and A2 is a primary key if each person has at most one phone number In a conventional telephone directory, the name and address domains can form a composite key, unless there are two persons with the same name (no distinguishing middle initial or su?x such as “Jr.”) at the same address Let A = B = C = Z, and let R be the relation on A×B ×C such that (a, b, c) ∈ R if and only if a + b = c The set A × B is a composite key There is no primary key 67/72 Let A = all students at a certain college, B = all student ID numbers being used at the college, C = all major programs at the college Suppose a relation R is defined on A × B × C by the rule (a, b, c) ∈ R means student a with ID number b has major c.If each student has exactly one major and if there is a one-to-one correspondence between students and ID numbers, then A and B are each primary keys Let A = all employee names at a certain corporation, B = all Social Security numbers, C = all departments, D = all jobtitles, E = all salary amounts, and F = all calendar dates On A × B × C × D × E × F × F let R be the relation such that (a, b, c, d, e, f, g) ∈ R means employee named a with Social Security number b works in department c, has jobtitle d, earns an annual salary e, was hired on date f, and had the most recent performance review on date g The projection P1,5 (projection onto A×E) gives a list of employees and their salaries 68/72 Tham gia đóng góp Tài liệu: Toán rời rạc Biên tập bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://voer.edu.vn/c/b8a0fb4b Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Logic Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/a41735a0 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Logic vị từ (predicate logic)) Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/7861caed Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: chứng minh mệnh đề suy diễn Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/c92acd9e Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Chứng minh nhờ luật suy diễn Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/ea12ba32 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Chứng minh vacuous & Chứng minh trivial Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/87124b7e Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Chứng minh cách phân chia trường hợp Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/8041ff44 69/72 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: giới thiệu tập Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/e9313e5d Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: phép toán tập hợp Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/9db733c1 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: lực lượng tập hợp - Hữu hạn vô hạn Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/0bb762bb Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: giới thiệu hàm Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/19b0a604 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: chuỗi Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/24c23d7c Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Ma trận (Matrices) Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/4e80d17e Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Nguyên lý bù trừ Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/d3336db7 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ 70/72 Module: nguyên lý DIRICHLET Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/789a0fab Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Chỉnh hợp tổ hợp Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/1aed9371 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: quan hệ n- ứng dụng Các tác giả: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên URL: http://www.voer.edu.vn/m/b317067c Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ 71/72 Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (Vietnam Open Educational Resources – VOER) hỗ trợ Quỹ Việt Nam Mục tiêu chương trình xây dựng kho Tài nguyên giáo dục Mở miễn phí người Việt cho người Việt, có nội dung phong phú Các nội dung đểu tuân thủ Giấy phép Creative Commons Attribution (CC-by) 4.0 nội dung sử dụng, tái sử dụng truy nhập miễn phí trước hết trong môi trường giảng dạy, học tập nghiên cứu sau cho toàn xã hội Với hỗ trợ Quỹ Việt Nam, Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (VOER) trở thành cổng thông tin cho sinh viên giảng viên Việt Nam Mỗi ngày có hàng chục nghìn lượt truy cập VOER (www.voer.edu.vn) để nghiên cứu, học tập tải tài liệu giảng dạy Với hàng chục nghìn module kiến thức từ hàng nghìn tác giả khác đóng góp, Thư Viện Học liệu Mở Việt Nam kho tàng tài liệu khổng lồ, nội dung phong phú phục vụ cho tất nhu cầu học tập, nghiên cứu độc giả Nguồn tài liệu mở phong phú có VOER có chia sẻ tự nguyện tác giả nước Quá trình chia sẻ tài liệu VOER trở lên dễ dàng đếm 1, 2, nhờ vào sức mạnh tảng Hanoi Spring Hanoi Spring tảng công nghệ tiên tiến thiết kế cho phép công chúng dễ dàng chia sẻ tài liệu giảng dạy, học tập chủ động phát triển chương trình giảng dạy dựa khái niệm học liệu mở (OCW) tài nguyên giáo dục mở (OER) Khái niệm chia sẻ tri thức có tính cách mạng khởi xướng phát triển tiên phong Đại học MIT Đại học Rice Hoa Kỳ vòng thập kỷ qua Kể từ đó, phong trào Tài nguyên Giáo dục Mở phát triển nhanh chóng, UNESCO hỗ trợ chấp nhận chương trình thức nhiều nước giới 72/72 [...]... chia hết cho 3" Khi đó, P tương đương với P1 v P2 Trong đó: P1 = " n mod 3 =1" P2 = " n mod 3 =2" Vậy, để chứng minh P → Q là đúng, có thể chứng minh rằng: (P1 v P2) → Q hay là (P1 → Q ) v ( P2→ Q) Giả sử P1 là đúng Ta có, n mod 3 = 1 Đặt n = 3k + 1 ( k là số nguyên nào đó) Suy ra n2 = ( 3k +1) 2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 không chia chẳn cho 3 Do đó, P1 → Q là đúng Tương tự, giả sử P2 là đúng Ta... a,b∈R trong đó i2 =1 Một số khái niệm quan trọng *) Các đối tượng là các phần tử của tập hợp có thể lại là một tập hợp Ví dụ, nếu coi S={x | x ⊆ {1, 2,3}} Khi đó S={∅, {1} , {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2,3}} Note that 1 ≠ {1} ≠ { {1} } !!!! *) lực lượng của một tập hợp |S| (đọc là “lực lượng của S”) chính là số phần tử mà nó có Có nghĩa là |∅|=0, | {1, 2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, 24/72 |{ {1, 2,3},{4,5}}| =... thì n2 là số lẻ Vídụ2:Cho hàm mệnh đề P(n) = " Nếu n >1 thì n2 >n " Chứng minh rằng P(n) là đúng với n là số nguyên dương Giải : Giả sử n > 1 là đúng, ta có : n = 1 + k ( k ≥ 1) ? n2 = ( 1 + k )2 = 1 + 2k + k2 = (1 + k) + k + k2 > n Vậy Nếu n >1 thì n2 >n Vídụ3Giả sử p, r, s, t, u là các mệnh đề sau cho ta có các mệnh đề sau đây la` đúng: 10 /72 (1) p →r (2) r → s (3) t ∨ ? s (4) ? t ∨ u (5) ? u Hãy... giả sử P2 là đúng Ta có, n mod 3 = 2 Đặt n = 3k + 2 ( k là số nguyên nào đó) Suy ra n2 = ( 3k+2)2 = 9k2 + 12 k + 4 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1 không chia chẳn cho 3 Do đó, P2 → Q là đúng Do P1 → Q là đúng và P2 → Q là đúng, hay là (P1 → Q ) v ( P2→ Q) Vậy (P1 19 /72 v P2) → Q Chúng ta hãy trở lại một bài toán về số nguyên đã được trình bày trong phần trước về các ví dụ áp dụng của logic trong việc lập luận và... chúng ta muốn chứng minh một vài mệnh đề tương đương nhau ví dụ: p1 ? p2 ? p3 ? pn, ta có thể sử dụng hằng đúng [ p1 ? p2 ? p3 ? pn] ? [( p1 → p2 ) ∧ ( p2 → p3 ) ∧ ∧ ( pn → p1 )] Vídụ9:Hãy áp dụng để chứng minh rằng 3 khẳng định sau là tương đương với n là số tự nhiên: p1: n mod 3= 1 hoăc n mod 3= 2 p2: n không chia hết cho 3 p3: n2 -1 chia hết cho 3 20/72 Bài 4: Lý thuyết về bài tập giới thiệu về... phép toán tập hợp Dùng các chuỗi bit để biểu diễn sự tồn tại của một phần tử trong tập hợp - Xét tập vũ trụ U có n phần tử Ví dụ U={a,b,c,d,e} - Mỗi tập A Ucó thể biểu diễn bằng chuỗi gồm n bit Ví dụ A={a,d,e} được biểu diễn bằng 10 011 - Khi n lớn thì sao? 23/72 Dùng một danh sách có thứ tự Một số tập hợp quan trọng - Tập N các số tự nhiên là tập {0 ,1, 2,3,…} - Tập Z là tập các số nguyên {…,-3,-2, -1, 0 ,1, 2,3,…}... trợ giúp giải toán một cách "thông minh" trên máy tính được thiết kế theo phương pháp chứng minh nầy Dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một vài ví dụ về phương pháp chứng minh trực tiếp Víd 1: Chứng minh rằng { Nếu n là số lẻ thì n2 là số lẻ } Giải : Giả sử rằng giả thiết của định lý này là đúng, tức là n là số lẻ Ta có n = 2k + 1 ( k=0 ,1, 2, ) ? n2 = (2k + 1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 là lẻ Vậy nếu... vacuous thường dùng cho các trường hợp đặc biệt khi phép kéo theo là đúng cho tất cả các số nguyên dương Víd 10 : Chứng minh rằng mệnh đề P(0) là đúng trong đó P(n) là mệnh đề “nếu n >1 thì n2>n” Giải: Mệnh đề P(0) chỉ ra rằng “nếu 0 >1 thì 02>0” Bởi vì giả thiết 0 >1 là sai, do đó P(0) là đúng Ví d ụ 11 : Với mọi n, nếu n vừa lẻ vừa chẵn, thì n2 = n + n Giải: Khẳng định “n vừa lẻ vừa chẵn” là sai, bởi vì không... luận, từ (1) và (2) ta suy ra: (6) p → s Áp dụng luật logic về phép toán kéo theo ta có thể viết lại (3) dưới dạng: (7) s → t Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (6) và (7) ta suy ra: (8) p → t Áp dụng luật logic về phép toán kéo theo ta có thể viết lại (4) dưới dạng: (9) t → u Áp dụng luật suy diễn tam đoạn luận, từ (8) và (9) ta suy ra: (10 ) p → u Áp dụng luật suy diễn Modus Tollens, từ (10 ) và... đúng bất chấp điều kiện là đúng hay sai Phép duy dẫn được gọi là phép duy dẫn trivial□ 18 /72 Chứng minh bằng cách phân chia trường hợp C h ứ n g m i n h b ằ n g cá c h ph â n c h ia t r ư ờ n g h ợ p Để chứng minh mệnh đề có dạng : (P1 v P2v v Pn) → Q Chúng ta có thể sử dụng hằng đúng sau : ((P1v P2v v Pn) →Q) ↔ ((P1→Q) v (P2→Q) v v(Pn→Q)) Cách chứng minh này gọi là chứng minh bằng cách phân chia trường ... thứ n 10 phần tử đầu 42/72 n2 1, 4, 9, 16 , 25, 36, 49, 64, 81, 10 0, n3 1, 8, 27, 64, 12 5, 216 , 343, 512 , 729, 10 00, n4 1, 16 , 81, 256, 625, 12 96, 24 01, 4096, 65 61, 10 000, 2n 2, 4, 8, 16 , 32,... tiếp theo? – 1, 2,3,4,… – 1, 3,5,7,9,… – 2,3,5,7 ,11 , – 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4,4, 4, 4, – 5, 11 , 17 , 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, – 1, 7, 25, 79, 2 41, 727, 218 5, 6559, 19 6 81, 59047 • Khi toán yêu cầu... 2, 4, 8, 16 , 32, 64, 12 8, 256, 512 , 10 24, 3n 3, 9, 27, 81, 243, 729, 218 7, 65 61, 19 683, 59049, n! 1, 2, 6, 24, 12 0, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 43/72 Bài 6: Thuật toán, số, ma trận đệ