ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN PHƢƠNG ANH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN PHƢƠNG ANH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình tổng hợp, trình bày từ công trình [15], [17], [19], theo nhận thức riêng hướng dẫn TS Đào Thị Liên Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác đầy đủ Thái Nguyên, tháng 08 năm 2015 Tác giả Nguyễn Phƣơng Anh Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình cô giáo TS Đào Thị Liên Nhân dịp em xin cảm ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Cao Đẳng Sư phạm Hòa Bình, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Phƣơng Anh Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hệ phương trình vi phân thường 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số 1.3 Hệ chuyển mạch 15 Chƣơng SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 22 2.1 Đặt vấn đề 22 2.2 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định 22 2.3 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định 25 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng thực tiễn có nhiều toán, chẳng hạn mô tả hệ thống chuyển mạch mạng điện, hệ thống mạng viễn thông, … đòi hỏi phải giải xét tính ổn định hệ chuyển mạch vi phân thường dạng: x  f ( x) (0.1)  :   {1,2, , N }, N   , tín hiệu chuyển mạch, x tín hiệu  n , n  , hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính (hệ chuyển mạch DAEs) có dạng: E x  A x (0.2) E p , Ap   nn , ma trận với tham số p {1,2,, N } , det E p  0,  tín hiệu chuyển mạch Trong luận văn trình bày số điều kiện đủ cho ổn định hệ chuyển mạch DAEs trường hợp tất hệ ổn định DAEs tuyến tính cổ điển (tức chuyển mạch) xuất cách tự nhiên mô hình hóa mạch điện hệ thống học đơn giản với ràng buộc Đã có loạt kết nghiên cứu phương trình vi phân đại số cổ điển, ví dụ kết Breman, Campbell Petzold [5] Rabier Rheinboldt [16], Kuke Mehrmann [10], Khi ma trận E p khả nghịch phương trình (0.2) đưa dạng quen thuộc phương trình vi phân thường hay hệ chuyển mạch Cũng có nhiều kết nghiên cứu như: Wichs, Peleties Decarlo [18]; Dayawansa Martin [6] Lý thuyết ổn định hệ chuyển mạch nhận quan tâm nghiên cứu năm gần (có thể kể công trình Branicky [4]; Zhao Spong [23]; Liberzon [11]; Hesspanha, Liberzon, Angeli Sontag [8]; Kim, Campbell Liu [9] Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Theo Liberzon [11] chuyển đổi hệ ổn định dẫn đến ổn định; hệ chuyển mạch ổn định tiệm cận theo chuyển đổi tùy ý hệ chia sẻ hàm Lyapunov chung ổn định bảo toàn theo chuyển đổi đủ chậm hiển thị việc sử dụng hàm Lyapunov bội (một cho hệ con) Tuy nhiên, phương pháp tương tự áp dụng hệ chuyển mạch DEAs kết nghiên cứu Trong Liberzon Trenn [12] hệ chuyển mạch DAEs tuyến tính xác định họ hệ DAEs tuyến tính tín hiệu chuyển mạch đưa xem xét Chúng khác từ hệ DAEs tuyến tính cổ điển Điều kiện đủ Lyapunov cho ổn định hệ chuyển mạch DAEs ban đầu thành lập phép chiếu tương thích sử dụng Với hỗ trợ phép biến đổi tương thích, mô tả cách thức không phù hợp giá trị ban đầu bước nhảy đến thống biến đổi, dường nghiên cứu hệ chuyển mạch DAEs (0.2) Với giả thiết tất hệ ổn định, thu toàn hệ thống ổn định tiệm cận Khi hệ thống không thỏa mãn ổn định theo biến đổi bất kỳ, kỹ thuật thời gian dừng trung bình giới thiệu Hespanha Morse [7] hữu ích cho phân tích ổn định Phương pháp xuất Zhai, Hu, Yahuda Michel [19]; Lin, Zhai Antsaklis [13]; Zhai Lin [21] Nghiên cứu gần hệ chuyển mạch tuyến tính tìm thấy Zhang Shi [22]; Olsder [14] Từ công trình trên, ta xét hệ chuyển mạch DEAs với hệ ổn định không ổn định theo chuyển đổi thời gian dừng trung bình Lý để xét hệ không ổn định lý thuyết thực tế hệ không ổn định tránh nhiều ứng dụng Nhằm tìm hiểu sâu cách giải vấn đề này, chọn đề tài: “Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định” Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ để thực Trong luận văn này, tổng hợp trình bày lại ổn định hệ chuyển mạch DEAs tuyến tính mà không cần giả sử hệ ổn định tiệm cận khác biệt với Liberzon Trenn [12] ổn định tiệm cận hệ chuyển mạch DEAs thời gian dừng trung bình chọn đủ lớn tổng thời gian kích hoạt hệ không ổn định tương đối nhỏ so với hệ ổn định Nội dung luận văn gồm 37 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng 1: Kiến thức sở Nội dung chương trình bày số kiến thức bao gồm khái niệm bản, tính chất phương trình vi phân, phương trình vi phân đại số, hệ chuyển mạch sử dụng luận văn Chƣơng 2: Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định Nội dung chương trình bày toán số kết nghiên cứu ổn định hệ chuyển mạch DAEs (0.2) với hệ ổn định không ổn định, số ví dụ minh họa cho kết Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân thƣờng 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường (ODE) hệ phương trình dạng: dyi  f j (t , y1 , y2 ,, yn ), ( j  1,2,, m) dt (1.1) t biến độc lập; y1 , y2 ,, yn hàm cần tìm; f j hàm xác định bán trụ: T  I t  Dy , I t  {t  t  } Dy miền mở thuộc  ; m khác n Định nghĩa 1.1.1.2 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng: dY  A(t )Y  F (t ) dt (1.2) A(t )  (aij (t )) ma trận cấp n  n, F (t )  colon( f1 (t ),, f n (t )), Y  colon( y1, y2 , yn ) Nếu F (t )  ta gọi hệ (1.2) hệ phương trình vi phân tuyến tính nhất, F (t )  ta gọi hệ (1.2) hệ tuyến tính không Định nghĩa 1.1.1.3 Nghiệm Z  Z (t ) (a  t  ) hệ dY  F (t , Y ), dt (1.3) Y  colon( y1, y2 ,, yn ) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ F (t , Y )  colon( f1 (t , Y ),, f n (t , Y )) dY dy dy  colon( ,, n ) dt dt dt gọi ổn định theo nghĩa Lyapunov t   (hay ổn định Lyapunov) với   t0  (a, ) tồn    ( , t0 )  cho Tất nghiệm Y  Y (t ) hệ (1.4) (bao gồm nghiệm Z (t ) ) thỏa mãn điều kiện || Y (t0 )  Z (t0 ) ||  (1.4) xác định khoảng [t , ] tức Y (t )  Dy t [t0 , ) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn || Y (t )  Z (t ) ||  t0  t   (1.5) Định nghĩa 1.1.1.4 Nghiệm Z  Z (t ) (a  t  ) gọi ổn định tiệm cận t   Ổn định Lyapunov Với t0  (a; ) tồn    (t0 )  cho nghiệm Y (t ), (t0  t  ) thỏa mãn điều kiện || Y (t0 )  Z (t0 ) ||  lim || Y (t )  Z (t ) || (1.6) t  1.1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ma trận A(t) F(t) liên tục khoảng (a; ) Giả sử X (t )  [xij (t )] (det X  0) (1.7) ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng dY  A(t )Y , dt (1.8) tức ma trận gồm n nghiệm độc lập tuyến tính (1.8) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28  I ( S p E pTp , S p ApTp )      J p   n p n p  J p   ,  , N p   I   , n p   vài ma trận, I ma trận đơn vị cỡ Do đó, với S  S T  T ta điều phải chứng minh  Nhận xét 2.2.4 [17] Định lý 2.2.3 không nói nghiệm hệ chuyển mạch (0.2) vài khoảng mở 0,  x không nghiệm địa phương Do nghiệm định lý 2.2.3 gọi nghiệm quỹ đạo ban đầu, với quỹ đạo ban đầu x thời gian đầu t0 Định lý 2.2.5 [17] Xét hệ chuyển mạch DAEs tuyến tính (0.2) thỏa mãn giả thiết S1-S3 Khi đó, nghiệm suy rộng hệ chuyển mạch E x  A x không xung biểu diễn hàm trơn khúc x :    n Hơn tất n nghiệm x :    , t   : x(t )   (t ) x(t ) Chúng ta nói hệ chuyển mạch DAEs (0.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm suy rộng hệ phương trình không xung nghiệm x :    n thỏa mãn x(t )  t   Chứng minh Đặt p   (t ) với cặp ma trận ( E p , Ap ) Theo giả thiết S1, tồn   cho  số [t,t+ ) , ta có v  x(t )  T   0 x  Với v0   n1 , n1   Đặt T 1 x(t )    , x1   n1 , x2   nn1  x2   (t ) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN x  x(t )  T   , 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 ta có x1  v0 v Đặt T 1 x    , v(t )  x1 v(t )  v0 từ x nghiệm ban w đầu (2.1) nên E p x[t ,t  )  Ap x[t ,t  ) , v Nhân vào bên trái với S thay x T   ta có w v[t ,t  )  Jv[t ,t  ) ta có v(t )  v(t ) , lấy giới hạn phương trình theo t Xét phần xung nó, ta v(t )  Jv[t ] từ v[t ] hàm suy rộng với điểm hỗ trợ, tồn a0 , a1,, aN   n1 , K   cho v[t ]  a0t  a1t  aK ( n) , Vậy K K k 0 k 0 (v(t )  v(t )) t   ak t ( k 1)  ak t ( k ) , Hoặc K 1   bk t ( k ) , k 0 bN 1  aN , bk  ak 1  ak , k  N ,,1 b0  v(t )  v(t )  a0 Từ t ,t ( N 1) độc lập tuyến tính nên dẫn đến  bN 1 a0  Và cuối v(t  )  v(t )  , suy điều phải chứng minh  Định lý 2.2.6 [15] Giả sử hệ chuyển mạch DAEs (0.2) thỏa mãn giả thiết S1-S3 Với p  1, 2, , N , Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN giả sử C p : C( E p , Ap )   n http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30  p :  ( E p , Ap )   nn không gian tương thích phép chiếu tương thích ứng với cặp ma trận ( E p , Ap ) Giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số E p x  Ap x với p  1, 2, , N , ổn định tiệm cận với hàm Lyapunov V p :  n   0 p, q  1, , N , x  Cq : V p   p x   Vq ( x) (2.3) hệ chuyển mạch vi phân đại số E x  A x ổn định tiệm cận với tín hiệu chuyển mạch  Điều kiện (2.3) kéo theo hàm Lyapunov Vp Vq trùng C p  Cq Do định lý 2.2.6 tổng quát hệ phương trình vi phân chuyển mạch ODE mà việc tồn hàm Lyapunov chung đủ đảm bảo ổn định cho chuyển mạch tùy ý Tuy nhiên tồn hàm Lyapunov chung không đủ cho trường hợp hệ phương trình vi phân đại số Đối với hệ chuyển mạch vi phân thường, biết ổn định hệ con, việc chuyển mạch hệ ổn định dẫn đến hệ ổn định với khoảng thời gian dừng đủ lớn Xét tập tín hiệu chuyển mạch tham số hóa thời gian dừng  d  cho  d : { :   1, , N  | với thời điểm chuyển mạch, ti  , i   }, ti1  ti   d Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 Định lý 2.2.7 [15] Giả sử hệ chuyển mạch DAEs (0.2) thỏa mãn giả thiết S1-S3 giả thiết hệ chuyển mạch E p x  Ap x, p  1, , N ổn định tiệm cận với hàm Lyapunov Vp ma trận Q p   nn tương ứng xT Q p x Cho  : min p xC p \ {0} V p ( x) với   cho p, q {1,, N }, x  Cq : V p ( p x)   Vq ( x) (2.4) Khi đó, hệ chuyển mạch DAE (0.2) với     d ổn định tiệm cận a  ln   Chứng minh: Định lý 2.2.5 tất nghiệm hệ phương trình (0.2) không xung Cố định nghiệm x :    n (0.2) với tín hiệu chuyển mạch cố định     Nếu  có hữu hạn lần chuyển mạch ổn định tiệm cận d (0.2) hiển nhiên, giả thiết tập hợp lần chuyển mạch {ti   / i   }  vô hạn Cho v :    0 t  V (t ) ( x(t ))   :  d  ln   Theo định lý 2.14 ta có v(ti 1 )  e   ( ti 1 ti ) v(ti )  e    v(ti ) Hơn nữa, từ (2.4) suy v(ti )  V (ti ) (  (ti ) x(ti ))   V (ti  ) ( x(ti ))   v(ti  ) Đồng thời với i  Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 v(ti1 )  e v(ti ) v(ti )  i   Vì v(t )  e (t ti ) v(ti ))   v(ti ) với (ti )  ti , ti1 , i  , kéo theo v(t )  t   Vậy x(t )  t    Nhận xét 2.2.8 Từ hàm Lyapunov Vq , q 1, , N  hàm toàn phương xác định dương Cq với p, q 1, , N kéo theo  p ,q : V p ( p x) xC p \ {0} Vq ( x)  xC p :Vq ( x ) 1 V p ( p x)  Do (2.4) thỏa mãn với   max q, p q, p Định lý 2.2.7 nói lên chuyển mạch ổn định tiệm cận hệ dẫn đến ổn định tiệm cận tín hiệu chuyển mạch với khoảng dừng đủ lớn 2.3 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định Với hệ chuyển mạch DAEs (0.2), ta nghiên cứu trường hợp tất hệ ổn định Không tính tổng quát, giả sử r hệ ổn định (với p {1,, r} ) N  r hệ khác, tức p {r  1,, N }, không ổn định Giả sử  t0  t1  ti  ti1   dãy khoảng thời gian thỏa mãn lim ti   sup(ti 1  ti )   Ta sử dụng T  (ti , ti1 ) để biểu thị i  i tổng thời gian kích hoạt hệ ổn định nửa khoảng [ti , ti1 ) T  (ti , ti1 ) tổng thời gian kích hoạt hệ không ổn định nửa khoảng [ti , ti1 ), i  Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 Với giả thiết S1-S3 ta có kết sau: Nhận xét 2.3.1 Định lý 2.2.5 với giả thiết S1-S3, nghiệm (0.2) không xung biểu diễn hàm trơn khúc x :    n , với t   : x(t )   (t ) x(t ) Hệ chuyển mạch DAEs (0.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm hệ phương trình không xung nghiệm x :    n thỏa mãn x(t )  t   Bổ đề 2.3.2 [19] Cho ( E, A)  nn cặp ma trận ổn định Khi đó, tồn V ( x)  ( Ex)T PEx, x   n , P  (P đối xứng, dương) cho d V ( x(t ))  V ( x(t )) dt (2.5) Nếu (E, A) không ổn định, ta tìm thấy P    cho (2.3) thỏa mãn với t Chứng minh Giả sử (E, A) ổn định Đặt Q  Khi phương trình Lyapunov tổng quát AT PE  ET PA  Q có nghiệm P  Đặt  : xT Qx xC( E , A ) \ {0} V ( x ) ta có   d V ( x(t ))   xT (t ) Qx(t )  V ( x) dt Giả sử (E, A) không ổn định tiệm cận Đặt P  bất kỳ, max ( AT PE  ET PA)  , ta có (2.5) với   xT ( AT PE  E T PA) x Đặt  : max , ta có   xC( E , A ) { } V ( x) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 d V ( x(t ))  xT ( AT PE  E T PA)  V ( x)  (2.5),   dt Vì vậy, trường hợp tồn số   cho bất đẳng thức cuối thỏa mãn  Định lý 2.3.3 [19] Xét hệ chuyển mạch DAE (0.2) thỏa mãn S1-S3, với hàm Lyapunov V p ma trận tương ứng Q p   nn Giả sử 1  0,   cho sau 1 : min p pC p \{0} xT Q p x V p ( x)  : max pC p \{0} p , p {1,, r}, xT Q p x V p ( x) , p {r  1,, N }, (2.6) giả sử   0, p, q {1,, N}, x  Cq , V p ( p x)  Vq ( x) (2.7) Giả sử tín hiệu chuyển mạch thỏa mãn T  (ti , ti 1 )     T  (ti , ti 1 ) 1   (2.8) với khoảng thời gian [ti , ti1 ); i  0,1,;   (0,1 ) Khi đó, hệ chuyển mạch DAE (0.2) với tín hiệu chuyển mạch  ổn định tiệm cận với thời gian dừng trung bình  a thỏa mãn a  ln   (2.9) Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 Cho {t   | i   } tập hợp thời gian chuyển mạch  Theo Hespanha Morse [8] ta thấy tín hiệu chuyển mạch  tín hiệu thời gian dừng trung bình số chuyển mạch khoảng mở [0, t ) kí hiệu N (0, t ) thỏa mãn N (0, t )  N0  t /  a , t  N0  gọi biên (chatter bound) Ta kí hiệu:  1 ,  (ti ) {1,, r}  (i)    ,  (ti ) {r  1,, N } Theo (2.6),  p {1,, N}, x  C p sử dụng Bổ đề 2.3.2 Ta thu bất đẳng thức sau đây:  1V p ,  p {1,, r} Vp      2V p ,  p {r  1,, N } Khi V (t  ) (t )  e (i )(t ti )V (ti ) (ti ), t  (ti , ti 1 ) Từ Nhận xét 2.3.1, ta có x(ti )   (t ) ( x(ti )) x(ti )  C (ti ) Hơn i nữa, điều kiện (2.7) cho bất đẳng thức V (ti ) ( x(ti ))  V (ti ) ( x(ti )) Cùng với V ( t  ) ( x(t ))  e (i )(t ti )V (ti ) ( x(ti ))   e (i )(t ti )V (ti  ) ( x(ti ))   e (i )(t ti )e (i 1)(ti ti 1 )V (ti 1  ) ( x(ti 1 ))   ( i )( t ti )   i e   i e 1T  i  (i 1)(ti ti 1 ) j 1 V (0  ) ( x(0)) (0,t )  2T  (0,t ) V (0  ) ( x(0))   N (0,t ) e 1T  N0 (   e ln  a  (0,t )  2T  (0,t ) V (0  ) ( x(0)) ) V (0  ) ( x(0)) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 Do đó, hàm không âm t  V (t ) ( x(t )) bị chặn giảm theo cấp số nhân nên hội tụ Tiếp theo ta chứng minh tất nghiệm x(t ) khác tiến tới t  Giả sử ngược lại tồn nghiệm x(t ) không tiến tới t  0, tồn  o  dãy ( si )i    với si   t   cho || x( si ) ||  o , với i   , có p {1,, N } cho tập hợp {i   |  (si )  p} có vô hạn phần tử, giả sử  ( si )  p với vài p i   Khi đó, x(si )  C p \ {  C p / ||  ||  o }, với i   V p xác định dương Cp, nên tồn   cho V ( x(si ))   , i  Điều mâu thuẫn với giả thiết V ( x(t ))  0, t   Do đó, x(t )  0, t   Nhận xét 2.3.4 [19] Định lý 2.3.3 cho thấy chuyển mạch hệ ổn định không ổn định dẫn đến ổn định tiệm cận nghiệm với điều kiện thời gian dừng trung bình tín hiệu chuyển mạch tổng thời gian kích hoạt hệ ổn định không ổn định, thỏa mãn bất đẳng thức (2.8) Với p, q {1,, N }:  p ,q : xC p \{0} Vq ( q x) V p ( x)  xC p :V p ( x ) 1 Vq ( q x)  Do (2.7) thỏa mãn với   max  p ,q p ,q Ví dụ 2.3.5 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 Xét hệ chuyển mạch DAEs E x  A x (2.10) x  ( x1, x2 )T  1   1 1  ( E1 , A1 )     ,  0  , 0      0  0   ( E2 , A2 )     , 1 1  0     Các không gian phép chiếu tương thích tương ứng cho bởi: 0  C1 : C( E1 , A1 )  im   , 1  1 C2 : C( E2 , A2 )  im   1 Và 0 0 ,     1  0 1      Ta thấy hệ ( E1 , A1 ) ổn định hệ ( E2 , A2 ) không ổn định 1 Xét hàm Lyapunov V1 ( x)  ( x1  x2 ) V2 ( x)  ( x2 ) tương ứng 2   ,  (ti )  1  2,    (i)    ,  (ti )  Do     Khi đó, hệ chuyển mạch vi phân đại số (2.10) ổn định tiệm cận với tín hiệu chuyển mạch  với  a  2ln2 (Hình 2.1) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 Hình 2.1 Các nghiệm cho ví dụ tiến dần tới không Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 KẾT LUẬN Trong luận văn tổng hợp trình bày có hệ thống số kết nghiên cứu hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định Luận văn thu số kết sau Trình bày điều kiện đủ cho ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số sở hàm Lyapunov phù hợp Chỉ ổn định bảo toàn theo chuyển đổi với thời gian dừng trung bình, bổ sung điều kiện liên quan đến phép chiếu tương thích Trình bày ví dụ cho thấy ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính mà không cần giả sử hệ ổn định tiệm cận Nội dung luận văn trình bày kết thú vị nhiều kết nghiên cứu có tính thời ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số dựa phương pháp hàm Lyapunov Còn nhiều kết khác nghiên cứu sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để xét ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số như: Sự ổn định hệ chuyển mạch với khoảng thời gian dừng trung bình; Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số phi tuyến;… Hy vọng toán tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2009 Tạ văn Hưởng, Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính, Luận văn thạc sỹ Toán học, 2013 Đào Thị Liên, Về ổn định hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân đại số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, 2004 Tiếng Anh Branicky, M.S (1998), "Multiple Lyapunov Functions and Other Analysis Tools for Switched and Hybrid Systems", IEEE Transactions on Automatic Control, 43, 475-482 Brenan, K.E., Campbell, S.L., and Petzold, L (1989), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, New York: North-Holland Dayawansa, W.P., and Martin, C.F (1999), "A Converse Lyapunov Theorem for a Class of Dynamical Systemswhich Undergo Switching", IEEE Transactions onAutomatic Control, 44, 751-760 Hespanha, J.P., and Morse, A.S (1999), "Stability of Switched Systems with Average Dwell-time", in 38th IEEE Conference on Decision and Control, pp 2655-2660 Hespanha, J.P., Liberzon, D., Angeli, D., and Sontag, E.D.(2005), "Nonlinear Norm-observability Notions and Stability of Switched Systems", IEEE Transactions on Automatic Control, 50, 154-168 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 Kim, S., Campbell, S.A., and Liu, X.Z (2006), "Stability of a Class of Linear Switching Systems with Time Delay", IEEE Transactions on Circuits and Systems, 53, 384-393 10 Kunkel, P., and Mehrmann, V (2006), Differential-Algebraic Equations, Analysis and Numerical Solution, Zurich, Switzerland: EMS Publishing House 11 Liberzon, D (2003), Switching in Systems and Control:Foundations and Applications, Boston: Birkhauser 12 Liberzon, D., and Trenn, S (2009), "On Stability of Linear Switched Differential Algebraic Equations", in IEEE Conference on Decision and Control, pp 2156-2161 13 Lin, H., Zhai, G.S., and Antsaklis, P.J (2003), "Robust Stability and Disturbance Attenuation Analysis of a Class of Networked Control Systems", in IEEE Conference on Decision and Control, pp 1182-1187 14 Olsder, G.J (2011), "On the Existence of Periodic Behaviour of Switched Linear Systems", International Journal of Systems Science, 42, 1035-1045 15 Owens, D.H., and Debeljkovic, D.L (1985), "Consistency and Lyapunov Stability of Linear Descriptor Systems: A Geometric Analysis", IMA Journal of Mathematical Control & Information, 2, 139-151 16 Rabier, P., and Rheinboldt, W (2002), "Theoretical and Numerical Analysis of Differential-Algebraic Equations", in Handbook of Numerical Analysis (Vol VIII), eds P.G Ciarlet and J.L Lions, The Netherlands: Elsevier Science B.V, pp 183-540 17 Trenn, S (2009), Distributional Differential Algebraic Equations, Ph.D dissertation, Institut fur Mathematik, Technische Universitat Ilmenau, Ilmenau, Germany 18 Wicks, M.A., Peleties, P., and DeCarlo, R.A (1998), "Switched Controller Synthesis for the Quadratic Stabilization of a Pair of Unstable Linear Systems", European Journal of Control, 4, 140-147 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 19 Xiaowu Mu, Jumei Wei & Rui Ma, Stability of linear switched differential algebraic equations with stable and unstable subsystems, International Journal of Systems Science, 1879-1884 20 Zhai, G., Hu, B., Yasuda, K., and Michel, A.N (2001), "Disturbance Attenuation Properties of Time-controlled Switched Systems", Journal of the Franklin Institute, 338, 765-779 21 Zhai, G.S., and Lin, H (2004), "Controller Failure Time Analysis for Symmetric H1Control", International Journal of Control, 77, 598-605 22 Zhang, L., and Shi, P (2011), "H1Filtering for a Class of Switched Linear Parameter Varying Systems", International Journal of Systems Science, 42, 781-788 23 Zhao, J., and Spong, M.W (2001), "Hybrid Control for Global Stabilisation of the Cart-pendulum System", Automatica, 37, 1941-1951 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... Vp và Vq luôn trùng nhau trên C p  Cq Do đó định lý 2.2.6 là sự tổng quát hơn của hệ phương trình vi phân chuyển mạch ODE mà ở đó vi c tồn tại một hàm Lyapunov chung đủ đảm bảo ổn định cho sự chuyển mạch tùy ý Tuy nhiên sự tồn tại của một hàm Lyapunov chung đó không đủ cho trường hợp hệ phương trình vi phân đại số Đối với hệ chuyển mạch vi phân thường, chúng ta đã biết rằng sự ổn định của hệ con, vi c... và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định với số hạng tự do bất kì F(t) là nghiệm tầm thường Y0  0 (t0  t  , t0  (a, )) của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định Định lý 1.1.2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường Y0  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định tiệm cận khi t   Xét hệ vi phân tuyến tính. .. Hệ phương trình vi phân đại số (2.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu x(t )  0 khi t   với mọi nghiệm x của hệ phương trình (2.1) Định lý sau chứng minh mối quan hệ sự ổn định tiệm cận của (2.1) với sự tồn tại của hàm Lyapunov Định lý 2.1.7 [15] Hệ phương trình vi phân đại số DAE (2.1) với cặp ma trận (E, A) chính quy là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại hàm Lyapunov V :  n   0 của hệ. .. Chƣơng 2 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHỮNG HỆ CON ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 2.1 Đặt vấn đề Xét phương trình vi phân đại số (DAEs): Ex  Ax trong đó cặp ma trận (2.1) ( E, A)   nn   nn là chính quy, tức là s : det( sE  A)  0 Mỗi nghiệm của (2.1) là một hàm khả vi bất kỳ x :    n sao cho (2.1) được thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1 [12] (không gian tương thích) Không. ..  W1  W2   Wk  Wk 1  2.2 Sự ổn định của hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với những hệ con ổn định Định nghĩa 2.2.1 [17] Không gian của hàm suy rộng cho bởi D : {D:C0   / D là tuyến tính và liên tục }, Trong đó C0 là không gian của hàm trơn  :    với giá bị chặn Định nghĩa 2.2.2 [17] (Hàm suy rộng trơn từng khúc)  Cho C0 là không gian của hàm trơn từng khúc, cho bởi tất... nghiệm Y(t) của (1.8) có dạng Y (t )  X (t )Y (t0 ) (1.9) Định nghĩa 1.1.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định (hay không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y=Y(t) của nó ổn định (hoặc không ổn định) Lyapunov khi t   Định nghĩa 1.1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t   Định lý 1.1.2.3...   nn lần lượt là không gian tương thích và phép chiếu tương thích ứng với cặp ma trận ( E p , Ap ) Giả sử hệ chuyển mạch vi phân đại số E p x  Ap x với mỗi p  1, 2, , N , là ổn định tiệm cận với hàm Lyapunov V p :  n   0 nếu p, q  1, , N , x  Cq : V p   p x   Vq ( x) (2.3) thì hệ chuyển mạch vi phân đại số E x  A x là ổn định tiệm cận với mỗi tín hiệu chuyển mạch  Điều kiện (2.3)... là hệ số ổn định Lyapunov,  được gọi là số mũ ổn định và  , được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov Xét hệ tuyến tính x (t )  Ax(t ), t  0 (1.21) Định nghĩa 1.3.4.2 Hệ (1.21) là ổn định khi và chỉ khi với bất kì ma trận Q đối xứng, xác định dương thì phương trình Lyapunov AT P  PA  Q có nghiệm P đối xứng, xác định dương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 Định. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 18 Định lý 1.3.2.2 Giả sử P là hữu hạn Hệ chuyển mạch là ổn định tiệm cận đều (trên Sall) nếu và chỉ nếu tồn tại hàm Lyapunov chung, cụ thể là tồn tại hàm V :  n   không bị chặn theo tia, xác định dương, khả vi liên tục sao cho V ( x  xeq ) f q ( z )  W ( z )  0, z   n \ {0}, q  P x 1.3.3 Điều kiện đại số về sự ổn định của hệ chuyển mạch tùy ý Cho hệ chuyển mạch tuyến tính x  A... = 0 với mọi t  I Trường hợp A, B L( n ) ta gọi hệ trên là hệ phương trình vi phân đại số với hệ số hằng Định nghĩa 1.2.2.2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.11) được gọi là chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số (A, B) chính quy chỉ số 1 Định nghĩa 1.2.2.3 Giả sử N(t):= Ker A(t) là trơn, nghĩa là tồn tại phép chiếu Q  C1 ( P) lên N(t), P = I - Q Hàm x(t )  C1N được gọi là nghiệm của ... mạch ổn định tiệm cận hệ dẫn đến ổn định tiệm cận tín hiệu chuyển mạch với khoảng dừng đủ lớn 2.3 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định Với hệ chuyển mạch. .. ỔN ĐỊNH VÀ KHÔNG ỔN ĐỊNH 22 2.1 Đặt vấn đề 22 2.2 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định 22 2.3 Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân. .. niệm bản, tính chất phương trình vi phân, phương trình vi phân đại số, hệ chuyển mạch sử dụng luận văn Chƣơng 2: Sự ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định không ổn định Nội