Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài Giải hệ phương trình   xy  x  y   x     2x   x , y     2 4 y  10   y  x  5 x   y  4 x   Thi thử Vted.vn – Đặng Thành Nam Phân tích ý tưởng: Ta thấy phương trình hai hệ phức tạp chưa khai thác nhiều, ta chuyển hướng lên phương trình Cái đích việc giải hệ tìm mối liên hệ x , y sau vào phương trình lại tìm nghiệm Phương trình có chứa thức nên để đơn giản ta xy 1 , mục đích ta muốn t  k  const để từ biểu 2x  diễn x , y Với phép đặt ta dễ dàng rút y theo x , t sau: đặt t  t xy 1 xy 1  t2   y  x   2 x  1t 2x  2x    Khi pt 1  x  x   2 x  1t   t  x      xt  x  1  2 x  xt  t  x    Bây ta đưa phương trình  dạng phương trình bậc hai ẩn x để xét đenta nhóm nhân tử chung, ta có:   x2 t  xt  2 x2  xt  t  x2    x t   2t   x t  t   t    x 2t  t  1  x t  t   t   Và thấy nhân tử t   2t  t   t  12t  t  1 với t  t  t  1t  t  , suy ra:   x2 t  12t  t  1  xt  1t  t  t    t  1  x 2t  t  1  x t  t  1    Với x , t  suy x 2t  t  1  x t  t   , nên   t  Hay nói cách khác x  y   x   x  y  Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited Tuy nhiên, với công cụ máy móc phát triển, ta xử lý phương trình hệ CASIO đơn giản sau: Xét phương trình  xy  1 xy 1  x2   2x  x  99  x2   2x  Dùng SHIFT SOLVE ta nghiệm x  100  x  y   Gán y  100 ta 100 x  1  Gán y  500 ta 500 x  1 x  499  x2   2x  Dùng SHIFT SOLVE ta nghiệm x  500  x  y  xy 1  nên ta lựa chọn phương pháp liên hợp để 2x  tìm nhân tử chung, là:  xy 1 xy 1   x   1  xy   x  xy  1  xy  1  2x    x    x     xy    x  y     x  y  x     1  xy  x  x  y   x    Với x  y     Với x  y  vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x  10   x  x  5 x  4  x x  Tiếp tục, phương trình chứa hai thức, có lẽ hướng tối ưu liên hợp, để tìm nhân tử chung ta cần tìm nghiệm toán trước Vẫn máy tính CASIO ( thực chất không dùng tới máy ) ta tìm phương trình có hai nghiệm x  x  Mặt khác, biểu thức x  x    x  1 x  5 nên ta liên hợp phải liên hợp x chứa x với , tương tự x  với , ta được: x  10   x  x  5 x  4  x x     x  x  4   x  1 x  5   x  x  4  x  5 x2  5x  4 x 2   x    x  4  x32 x  5x  x3 2  Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited    x  x     x  1 x  4    x   x     x  2   i   x2 x3 2  Với điều kiện x  ta thấy i   x 1  x 2  x3 2  vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y  1; 1 ,4; 4 Nhận xét: Nói chung câu hệ phương trình hay chuẩn mực, sâu vào kiến thức Nhưng trình làm lại phát làm khó phương trình hai sau x  y  phương trình sau: Bài Giải phương trình tập số thực 16 x  45 x  129 x  172  12  x  x  5 x  12 4  x x  Nguyễn Thế Duy – Đại Học Dược Hà Nội Lời giải: Điều kiện: x    Ta có: 12  x  4 x   3 x  4 x   x   3 x  4 x     Và 12  x  x  5 x   x  1 x  5 x  x    x  1 x  5 x  2 Do phương trình cho tương đương với:    12  x  1  x  4   x  1 x  5 x  x   3 x  4 x   x   x  5 x  1  x  4  12  x  1  x  4  3 x  1  x  4   x x2 x3 x7 x    x  1  x  4 f  x    f  x  với x  x    x  5 Với f  x  12   x x2 x3  x7 0 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  1; 4 Kết luận: Bài thực khó để thi khó tư duy, hướng phát triển từ đầu Vậy tư kiểu người theo dõi hai ví dụ để có nhìn tổng quát Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited Bài Giải phương trình  x  2  x   x  1  x  x  x   Trần Quốc Luật – THPT Chuyên Hà Tĩnh Phân tích ý tưởng: Đây toán bất phương trình trước hết ta cần xử lý dấu để tìm nghiệm trước xét dấu đẳng thức Vẫn công cụ CASIO, ta dò nghiệm phương trình: f  x   x  2  x   x  1  x  x   Nhập máy, ta thấy với điều kiện x   5;  ta gán giá trị x   nguyên từ 2  máy báo hai nghiệm x  1 x  Tuy nhiên, đến thứ chưa rõ ràng, có nghiệm ta loay hoay chưa biết xử lý Vậy nên ta có thêm bước kiểm tra tính chất nghiệm, tính chất nghiệm có phải nghiệm bội hay không Chả công sức để ta tính f ' x ( bước cần thiết gặp phương trình, không tốn nhiều thời gian nên gặp toán đó, có nghiệm đạo hàm nên ) sau: x x  2 x  x  1 f '  x   x    x2  7 5x  x2  Với x  1 suy f '1     Với x  suy f '2  Dựa vào số liệu trên, ta khẳng định phương trình có nghiệm x  1 nghiệm kép x  Mục đích ta “ tìm biểu thức liên hợp với hai “ mà với nghiệm tìm ta đưa kết luận sau:  Với biểu thức  x  2  x chứa nghiệm x   , nên ta ghép biểu thức liên hợp  x với ax  b cho xuất hai nghiệm x  1 x  Do ta có hệ phương trình:   x  ax  b 2 a  b  1    a  ; b  x  1; x  b  a  3    Vậy ta có nhân tử   x  5  x   Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited  Với thức thứ hai  x  1  x chứa nghiệm x   , lượng  x ghép liên hợp với mx  n xuất nghiệm kép x  Do ta có hệ phương trình:  mx  n   x 2 x   m ; n   3 mx  n'   x ' x2    Vậy ta có nhân tử   x  2 x  5     Khi ghép biểu thức liên hợp, đại lượng dư là: 1  x  2 5  x   x  1 2 x  5  x  3 Do đó, phương trình f  x  tương đương với:     1  x  2   x  5  x   x  1   x   x  5      3   x  2   x    x   x  1   x   x  5      20  x  2  x  1 5 x  2  x  1   0  x2   x  x2  2x      x  2  x  1     x  x  5  x   x  Và ta chứng minh cụm phương trình lại vô nghiệm Với điều kiện cho, ta khảo sát bảng TABLE sau:   Nhập F X   X  2X  5  X   X  Nhập Start ?  2  End ?   Step ?  0.2  "  "  Ta thấy tất giá trị cho F X   Quy đồng F X ta g  x   x  12  x  x  15 với kết luận ta chứng minh với x   5;  g  x  Điều dễ thấy   g  x     x   x   x  x  15  Việc lại đưa dấu bất đẳng thức tìm nghiệm bất phương trình Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited Lời giải: Điều kiện: x   5;    Bất phương trình cho tương đương với:     1  x  2   x  5  x   x  1   x  2 x  5      3   x  2   x  5  x   x  1   x  2 x  5      20  x  2  x  1  5 x  2  x  1  0  x2   x  x2  x      x  2  x  1     x  x  5  x   x      x  2  x  1  x  12  x  x  15  Ta thấy  x  2      x   x   x  x  15  x  x    bất phương trình   x   x  1  Kết hợp điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S  1;  / 2  Bài Giải hệ phương trình  x  y  2 x  y  x  y  x, y    2  x  y  4 y   x  y   y  3 x  3  Trích đề thi mẫu hướng đến kì thi THPT Quốc Gia 2016 Phân tích ý tưởng: Quan sát phương trình thứ hai hệ, phương trình dài phức tạp Chính ta xét phương trình để tìm mối quan hệ x , y Xét phương trình  x  y  2 x  y  x  y  Chọn y  suy  x  1 x   x  Dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x     y   Chọn y  100 suy  x  98 x  100  x  300 Tương tự bên ta x  104  100   y  Vậy nhân tử có x  y   Chính ta ghép biểu thức liên hợp cho x  y với ta được: Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited  x  y  2  x  y     x  y  2 x  y  2   x  y  2 x  y  2    x  y  x  y  x  y  2   x  y   y  x  pt 1   x  y  2 x  y  Vì điều kiện cho  hiển nhiên phương trình x  y  x  y  x  y  vô nghiệm Với y  x  xuống phương trình hai hệ, ta có:  x  4 x   2 x   x  29 x  55  Ta tiếp tục dùng máy tính CASIO để nhẩm nghiệm phương trình  dùng SHIFT SOLVE TABLE để tìm nghiệm  Với SHIFT SOLVE, ta nhập phương trình  vào máy đồng thời gán 9  giá trị biến thuộc  ;  , ta gán vài giá trị biến số   5,6,8.5, ta nghiệm x  Đồng thời xét hàm số f  x với f  x   x  4 x   2 x   x  29 x  55 , ta thấy đạo hàm f '  x  x    x  4 x 1  2x   x  29 có f '5  nên phương trình  có nghiệm kép x   Với TABLE f  x   x  4 x   2 x   x  29 x  55 , ta nhập giá trị START  4.5 , END  10 , STEP  0.5 , ta bảng giá trị sau: 5.5 … … 10 4.5 6.5 X F X 1.758 0.943 3.647 8.047 … 55.43 … 86.36 Dựa vào bảng trên, ta thấy giá trị biến giảm dần sang hai biên thực chất parabol tiếp xúc với trục hoành phương trình  có nghiệm kép x  Với nghiệm kép tìm được, ta hướng tư đến trường hợp liên hợp, đánh giá qua bất đẳng thức, đưa tổng đại lượng không âm …  Phương pháp liên hợp kép phương trình  chứa hai thức bậc hai nên ta có hai biểu thức liên hợp, là: Nguyễn Thế Duy – https://www.facebook.com/starfc.manunited ax  b  x   x Đặt ax  b  x  , giải hệ   a  ;b  ax  b'  x  ' 4  x    Liên hợp cần tìm x   x  mx  n  x   m  x5 Đặt mx  n  x  , giải hệ    mx  m'  x  '  n      x5    Liên hợp cần tìm x   x  Do đó, phương trình  trở thành:   3x  5       x  4 x   x   x   x    2 x4    x    x  5 3    x   x  x   x    x4  0; x  x   x  x   2x  Phương pháp đưa tổng đại lượng không âm tìm nghiệm 2  x  4  x   kép x  nên suy  ta có được:  x    2   x     2x  4  x  1  2  x  4  x      x5  x    Phương pháp đánh giá qua bất đẳng thức với nghiệm x  hay nói cách khác với điểm rơi x  , áp dụng bất đẳng thức 4  x  4 x    x  4 x  3  AM – GM có  nên suy ra: 2 x   x    x     x2  29 x  55  x  4x  3  x  Vì       x  29 x  55  x  x  12  x   3x  30 x  75   3 x  5   x  Do hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  5;1 ... Quốc Gia 2016 Phân tích ý tưởng: Quan sát phương trình thứ hai hệ, phương trình dài phức tạp Chính ta xét phương trình để tìm mối quan hệ x , y Xét phương trình  x  y  2 x  y  x  y  Chọn... nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y  1; 1 ,4; 4 Nhận xét: Nói chung câu hệ phương trình hay chuẩn mực, sâu vào kiến thức Nhưng trình làm lại phát làm khó phương trình hai... phương trình  có nghiệm kép x  Với nghiệm kép tìm được, ta hướng tư đến trường hợp liên hợp, đánh giá qua bất đẳng thức, đưa tổng đại lượng không âm …  Phương pháp liên hợp kép phương trình