SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— Câu 1: (3,0 điểm) a) 1  x + y + + =  x y  Giải hệ phương trình:   xy + =  xy b) Giải biện luận phương trình: | x + | + p | x − |= (p tham số có giá trị thực) Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥2 (b − c) (c − a) ( a − b) Câu 3: (1,5 điểm) Cho A = x2 + 4x + B = 2x − x2 − x + 2A + B Tìm tất giá trị nguyên x cho C = số nguyên Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB1 Câu (1,5 điểm): Nội dung trình bày + Phát chứng minh Điểm 1,0 bc ca ab + + =1 (a − b)( a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) + Từ đó, vế trái bất đẳng thức cần chứng minh bằng:   b c  bc ca ab  a + + + + ÷≥  ÷ + 2  b −c c − a a −b   (a − b )(a − c ) (b − c )(b − a ) (c − a )(c − b )  0,5 Câu (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điều kiện xác định: x ≠ (do x nguyên) 2( x − 1) 2 Điểm 0,25 x −1  + Dễ thấy A = | x + 1| ; B = | x − 1| , suy ra: C =  ÷  | x + 1| | x − 1|  0,25 2 4( x + 1) 1− 2x  4( x + 1) + 1÷ = > ⇒ C −1 = −1 = Khi C =   2x +1  3(2 x + 1) 3(2 x + 1) 3(2 x + 1) 0,5 Suy < C < , hay C số nguyên với x > Nếu − < x < Khi đó: x = (vì x nguyên) C = Vậy x = giá trị cần 0,25 tìm 2 4( x + 1)  C = − − 1÷ = − ≤0  2x +1  3(2 x + 1) −1 < C ≤ hay C = x = −1 Nếu x < − Khi x ≤ −1 (do x nguyên) Ta có: C +1 = − 4( x + 1) 2x −1 +1 = >0, 3(2 x + 1) 3(2 x + 1) suy Vậy giá trị tìm thoả mãn yêu cầu là: x = 0, x = −1 Câu (3,0 điểm): a) 2,0 điểm: Nội dung trình bày Gọi I trung điểm AB, I A B K Q D E H R C Điểm E = IK ∩ CD , R = IM ∩ CD Xét hai tam · giác KIB KED có: ·ABD = BDC 0,25 KB = KD (K trung điểm BD) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 · · IKB = EKD Suy ∆KIB = ∆KED ⇒ IK = KE Chứng minh tương tự có: ∆MIA = ∆MRC M 0,25 Suy ra: MI = MR Trong tam giác IER có IK = KE MI = MR nên KM đường trung bình ⇒ KM // CD Do CD // AB (gt) KM // AB (đpcm) 0,25 0,25 b) 1,0 điểm: Nội dung trình bày Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) ⇒ IK đường trung bình ∆ ABD ⇒ IK//AD hay IE//AD chứng minh tương tự ∆ ABC có IM//BC hay IR//BC Có: QK ⊥ AD (gt), IE//AD (CM trên) ⇒ QK ⊥ IE Tương tự có QM ⊥ IR Từ có: IK=KE, QK ⊥ IE ⇒ QK trung trực ứng với cạnh IE ∆IER Tương tự QM trung trực thứ hai ∆IER Điểm 0,25 0,25 0,25 Hạ QH ⊥ CD suy QH trung trực thứ ba ∆IER hay Q nằm trung trực đoạn CD ⇒ Q cách C D hay QD=QC (đpcm) Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày P' 0,25 Điểm B' A C' P C B A' Trong số tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn (diện tích S) Khi S ≤ Qua đỉnh tam giác, kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, đường thẳng giới hạn tạo thành tam giác A ' B ' C ' (hình vẽ) Khi S A ' B ' C ' = S ABC ≤ Ta chứng minh tất điểm cho nằm tam giác A ' B 'C ' Giả sử trái lại, có điểm P nằm tam giác A ' B ' C ', chẳng hạn hình vẽ Khi d ( P; AB ) > d ( C ; AB ) , suy S PAB > SCAB , mâu thuẫn với giả thiết tam giác ABC có diện tích lớn Vậy, tất điểm cho nằm bên tam giác A ' B ' C ' có diện tích không lớn 0.25 0.25 0.25 0.25 ...ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) a) 1,75 điểm: Điều kiện xy ≠ Nội dung trình bày Điểm 0,25  2[xy ( x + y ) +... ' C ', chẳng hạn hình vẽ Khi d ( P; AB ) > d ( C ; AB ) , suy S PAB > SCAB , mâu thuẫn với giả thi t tam giác ABC có diện tích lớn Vậy, tất điểm cho nằm bên tam giác A ' B ' C ' có diện tích