S GIO DC BèNH NH BèNH NH K THI TUấN SINH VO LP 10 TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN NM HC 2009-2010 Mụn thi:Toỏn (chuyờn) Ngy thi:19/06/2009 Thi gian:150 phỳt chớnh thc Bi 1(1.5im) Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng: 1< a b c + + 0 v a< b+c ,b< a + c , c < a+b a a+ a 2a < = b+ c a+ b+ c a+ b+ c a a > Mt khỏc b+ c a+ b+ c a a 2a < < (1) Vy ta cú a+ b+ c c+ b a+ b+ c b b 2b c c 2a < < (2); < < (3) Tng t a+ b+ c c+ a a+ b+ c a+ b+ c b+ a a+ b+ c Nờn ta cú Cng (1) (2) v (3) v theo v ta cú iu phi chng minh Bi 2: K: x m, n, p PT ó cho (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) Ta cú ' = (m + n + p)2 - 3(mn + mp + np) = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp1 3np = m2+n2+p2 mn-mp-np = [(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0 t f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta cú f(m) = 3m2 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 mn mp +np = (m-n) (m-p) = >m,n,p khụng phi l nghim ca pt(1) Vy PT ó cho luụn cú hai nghim phõn bit Bi Ta có : < ( 2n + 1) ( n + n + 1) n+ 1- n = = n+ 1- n n+ 1- n = 2n + 4n2 + 4n + 1 ổ1 = ỗ ỗ ỗ ố n n + n ỗ n +1 - n 4n + 4n 1ổ 1 1 + + + Do ú Sn < ỗỗỗ1 2ố 2 n ữ ữ ữ ữ n + 1ứ 1ổ ữ ữ = ỗ ỗ1 ữ ữ 2ố ỗ n + 1ứ Bi 3: ã ã Ta cú BAD ( Do cung EB = cung EC) = CAE ã ã V AEC ( Hai gúc ni tip cựng chn cung = DBA AC) nờn BAD EAC BA AE ị = ị AB AC = AE.AD(1) AD AC ã ã ã ã Ta cú ADC = BDC (Đối đỉnh) CAD = DBE (2 gúc ni tip cựng chn cung CE) nờn ACD BDE AD DB ị = ị AD.DE = DB.DChay DC DE ữ ữ < ữ ữ n + 1ứ C a E AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC DB.DC (do (1)) O b D B c A 4b)Theo tớnh cht ng phõn giỏc ta cú DC DB DC DB DC + DB a = hay = = = AC AB b c b+ c b+ c DC DB a a a bc = ị DB DC = vy b c b+ c b+ c ( b + c) theo cõu a ta cú AD = AB.AC DB.DC = bc a2 bc ( b + c) ổ a2 ữ ỗ ữ ỗ = bc ỗ1 2ữ ữ ỗ ữ ỗ ( b + c) ứ ố ổ a2 ữ ỗ ữ ỗ ị AD = bc ỗ1 2ữ ỗ ữ ỗ b + c ) ứữ ố ( Bi 5: m m số hữu tỉ 2là số vô tỉ nên n n Vỡ Ta xet hai trng hp: a) m > n Khi m > 2n ị m 2 n + hay m 2n + T ú suy : m n b) 2n2 + n m < n = 2+ n Khi m < n ịÊm - n2 2= = ổ 1 + + n2 ỗ 2+ + ỗ ỗ n ỗ n ố 2+ n2 ữ 2ữ ữ ữ ứ n - hay m Ê 2n - T ú suy : m n = = 2- ổ n2 ỗ ỗ 2+ ỗ ỗ ố m n 2n - = 2n 2- n2 ữ 2- ữ ữ n ữ ứ 2- = n2 2- 2+ 2+ n2 2- n2 ( 3+ ) ************************************************ ( 3+ ) ...P N MễN TON THI VO 10 TRNG CHUYấN Lấ QUí ễN NM 2009 Bi 1: Vỡ a,b,c l di ba cnh tam giỏc nờn ta cú:a,b,c >0 v a< b+c ,b< a +