2 Mục lục Thông tin kết nghiên cứu Một số kí hiệu dùng đề tài Kiến thức liên quan 1.1 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh 1.1.1 Bài toán chỉnh 1.1.2 Bài toán không chỉnh 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz 1.3 Mệnh đề giới hạn hàm số 1.4 Các không gian hàm 1.5 Khai triển Fourier 1.6 Biến đổi Fourier 1.6.1 Các đònh nghóa tính chất biến đổi Fourier 1.6.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L (R) Bất đẳng thức Holder 1.7 Các kết 2.1 Giới thiệu 2.2 Chỉnh hóa toán (2.5)-(2.7) 10 2.3 Ví dụ minh họa toán (2.5)-(2.7) 16 2.4 Chỉnh hóa toán (2.9)-(2.10) 21 2.5 Ví dụ minh họa cho toán 25 Thông tin kết nghiên cứu Thông tin chung - Tên đề tài: Chỉnh hóa toán parabolic ngược với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu - Mã số: CS2014-33 - Chủ nhiệm: TS Lê Minh Triết - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sài Gòn - Thời gian thực hiện: Từ T9/2014 đến T9/2015 (Theo Hợp đồng số 471/HĐĐHSG-QLKHSĐH) Mục tiêu Khảo sát toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu chỉnh hóa toán Tính sáng tạo Đây hướng nghiên cứu xuất phát từ thực tế mà hệ số dẫn nhiệt vật thể phụ thuộc vào vật liệu vật nhiên vật thể thực tế thường không đồng Hơn nữa, vật thể biến đổi theo thời gian trình ăn mòn, oxi hóa, hệ số dẫn nhiệt số Hơn nữa, trường hợp theo biết chưa nghiên cứu Kết nghiên cứu Trong đề tài này, chỉnh hóa toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R đưa đánh giá sai số cụ thể nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác toán cấp Holder cấp logarit Cuối cùng, đưa số ví dụ minh họa cho tính hiệu phương pháp chỉnh hóa Sản phẩm Các kết nằm chương công bố báo cụ thể sau: 1) Kết tiểu mục 2.1 2.2 công bố báo [16] (Bài báo kỷ yếu hội nghò) 2) Kết tiểu mục 2.3 2.4 công bố báo [15] (Bài báo danh mục SCIE) Một số kí hiệu dùng đề tài Trong đề tài này, ta có kí hiệu sau C[0,T ] : chuẩn không gian C[0, T ] : chuẩn không gian L (R) : chuẩn không gian L (0, π) H (R) : chuẩn không gian H (R) H (R) : chuẩn không gian H (R) t F (t) = k(s)ds với k(.) hệ số dẫn nhiệt xác phụ thuộc vào thời gian phương trình parabolic t Fε (t) = kε (s)ds với kε (.) hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu phụ thuộc vào thời gian phương trình parabolic f(ω) = √1 2π +∞ −∞ f (x)e−iωx dx(ω ∈ R): biến đổi Fourier hàm f ∈ L (R) Chương Kiến thức liên quan 1.1 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh 1.1.1 Bài toán chỉnh Cho X Y không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y ánh xạ Phương trình Kx = y gọi chỉnh thỏa điều kiện sau i) Sự tồn : Với y ∈ Y , có x ∈ X cho Kx = y ii) Sự : Với y ∈ Y , có nhiều x ∈ X với Kx = y iii) Tính ổn đònh : Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào liệu y, tức với dãy (x n ) ⊂ X cho Kx n −→ Kx (tức dãy liệu nhiễu hội tụ đến dãy liệu xác n −→ ∞) x n −→ x (tức dãy nghiệm nhiễu hội tụ đến nghiệm xác n −→ ∞) 1.1.2 Bài toán không chỉnh Bài toán gọi không chỉnh không thỏa điều kiện toán chỉnh 1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz Cho n ∈ N, k = 1, n x k , yk ∈ R, ta có n xk yk k=1 n ≤ n x2k k=1 yk2 k=1 1.3 Mệnh đề giới hạn hàm số Với x ∈ R, ta có mệnh đề sau i) ex − ln (1 + x) lim = 1; lim = x→0 x→0 x x ii) Với k ∈ N, ex = +∞; x→+∞ xk lim lim xk ex = x→−∞ iii) Với k ∈ N, ln x = 0; lim xk ln x = x→+∞ xk x→0 lim 1.4 Các không gian hàm Ta kí hiệu Ω tập đo R k Đònh nghóa 1.4.1 (Đònh nghóa không gian Lp (Ω)) Cho f đo Ω Nếu |f |p (1 ≤ p < ∞) khả tích Ω ta đònh nghóa f Lp (Ω) p p = Ω |f | dx Tập hợp tất hàm f thỏa |f |p (1 ≤ p < ∞) khả tích Ω gọi Lp (Ω) Đònh lí 1.4.1 (Lp (Ω), Lp (Ω) ) không gian Banach Đònh nghóa 1.4.2 Cho tập mở Ω ⊆ Rk , k ∈ N Ta đặt L1loc (Ω) = f : Ω → R đo : f ∈ L1 (ω) với ω ⊆ Rk thỏa ω tập compăc chứa Ω} Đònh nghóa 1.4.3 (Đạo hàm suy rộng) Cho f ∈ L1loc (Ω), α = (α1 , , αk ) ∈ Zk , αi ≥ (i = 1, , k) Hàm gα ∈ L1loc (Ω) gọi đạo hàm riêng suy rộng thứ α f f D α ϕdx = (−1)|α| Ω gα ϕdx, Ω với ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Ở đây, |α| = α1 + + αk Dα ϕ = ∂ |α| ϕ α α ∂x1 ∂xk k Đònh nghóa 1.4.4 (Không gian Sobolev) Với m ∈ N, ≤ p ≤ ∞, ta đònh nghóa W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω) : D α f ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m} p với chuẩn f W m,p (Ω) Dαf = |α|≤m p Lp (Ω) Đặc biệt, p = 2, ta kí hiệu Hm (Ω) = W m,2 (Ω) Đònh lí 1.4.2 Không gian Hm (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng D α f D α gdx f, g = |α|≤m Ω Đònh lí 1.4.3 Cho T > X không gian Banach với chuẩn X Không gian C([0, T ]; X) không gian Banach gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn u C([0,T ];X) = sup u(t) X t∈[0,T ] Khi X = R, ta viết C([0, T ]; X) = C[0, T ] 1.5 Khai triển Fourier Đònh lí 1.5.1 (Khai triển Fourier Sin) Với f ∈ L2 (0, π), ta có khai triển Fourier Sin f sau f (x) = ∞ bn sin(nx), (0 < x < π), n=1 bn = π π f (x)sin(nx)dx, (n ≥ 1) hệ số khai triển Fourier Sin Đònh lí 1.5.2 (Đẳng thức Parseval) Với f ∈ L2 (0, π), ta có f 2 π = ∞ n=1 |bn |2 1.6 Biến đổi Fourier 1.6.1 Các đònh nghóa tính chất biến đổi Fourier Đònh nghóa 1.6.1 Cho f ∈ L1 (R), ta đònh nghóa biến đổi Fourier f f (w) = √ 2π ∞ f (x) e−iwx dx, −∞ với w ∈ R Khi đó, ta đònh nghóa biến đổi Fourier ngược f f (x) = √ 2π ∨ ∞ −∞ f (x) eiwx dw Tính chất 1.6.2 Cho f, g ∈ L1 (R), c số thuộc R Khi đó, ta có i) f + g = f + g, ii) c f = c f , ∞ −∞ iii) f ∗ g = f g, với (f ∗ g)(x) = 1.6.2 f (x − y) g(y) dy Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L2 (R) Đònh lí 1.6.1 (Đònh lí Plancherel) Với f ∈ L2 (R), N > 0, ta đặt FN {f }(w) = √ 2π N f (x) e−iwx dx, −N với w ∈ R Khi đó, a) FN {f } hội tụ L2 (R) đến hàm F {f } N → ∞ Hơn F {f } 2 = ∞ −∞ F {f }(w) dw = ∞ f (x) dx = −∞ f b) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) F {f } = f h.k.n R c) Đặt N gN (x) = √ F {f }(w) eixw dw, π −N d) gN hội tụ L2 (R) đến f N → ∞ F toán tử đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R) 1.7 Bất đẳng thức Holder Giả sử ≤ p , q ≤ ∞, Lq (Ω) f.g ∈ L1 (Ω) p + q f g dx ≤ Ω = 1, Ω ⊂ R Khi f ∈ L p (Ω), g ∈ f Lp (Ω) g Lq (Ω) Chương Các kết 2.1 Giới thiệu Trong năm gần đây, toán nhiệt ngược thời gian nghiên cứu nhiều tác Hào (xem [3, 13]), Fu (xem [1, 9]), David (xem [2]) Các tác giả khảo sát toán ngược thời gian cho nhiều loại phương trình nhiệt phương trình nhiệt với hệ số hằng, hệ số phụ thuộc thời gian, nguồn nhiệt phi tuyến, ) Trong báo [1], Fu đồng tác giả khảo sát toán nhiệt ngược thời gian với hệ số miền không bò chặn sau ∂u (x, t) ∂t u(x, T ) ∂ 2u (x, t), ∂x2 = ϕ(x), = (x, t) ∈ R × (0, T ), x ∈ R (2.1) (2.2) Sử dụng phương pháp chỉnh hóa Fourier, tác giả thu ước lượng sai số cấp độ Holder thời điểm < t < T ước lượng sai số dạng logarit thời điểm ban đầu t = Trong [3], Hào Đức khảo sát toán (2.1)-(2.2) thu kết tương tự họ sử dụng phương pháp khác (phương pháp mollification) Năm 2008, Tuấn Trọng (xem [5]) tiến hành chỉnh hóa trường hợp không toán (2.1)-(2.2) miền bò chặn phương pháp tựa giá trò biên có điều chỉnh Một năm sau đó, Tuấn Trọng [6] sử dụng phương pháp quen thuộc phương pháp chặt cụt để mở rộng kết nghiên cứu trước Ngoài ra, dạng tổng quát toán (2.1)-(2.2) khảo sát Nam (xem [8]) Cụ thể, tác giả sử dụng phương pháp chặt cụt để chỉnh hóa toán sau ut + Au(t) = u(T ) = f (t, u(t)), < t < T ϕ, (2.3) (2.4) A toán tử tự liên hợp dương f hàm Lipschitz Gần đây, toán (2.1)-(2.2) (2.3)-(2.4) khảo sát trường hợp hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian (xem [10, 11, 13, 14]) Đây hướng nghiên cứu xuất phát từ thực tế mà hệ số dẫn nhiệt vật thể phụ thuộc vào vật liệu vật nhiên vật thể thực tế thường không đồng Hơn nữa, vật thể biến đổi theo thời gian 10 trình ăn mòn, oxi hóa, hệ số dẫn nhiệt số Hơn nữa, trường hợp theo biết chưa nghiên cứu Vì lí đó, đề tài khảo sát toán nhiệt ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian bò nhiễu Trong đề tài này, xét toán tìm nhiệt độ u(x, t), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ] thỏa mãn toán ngược thời gian cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R Như vậy, liệu toán gồm hai thành phần phân bố nhiệt thời điểm cuối g(·) hệ số dẫn nhiệt k(·) Bài toán 1: Xét miền bò chặn [0, π] ∂u (x, t) = ∂t u(0, t) = u(x, T ) = ∂ 2u (x, t), ∂x2 u(π, t) = 0, g(x), k(t) (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ), t ∈ [0, T ], x ∈ (0, π), (2.5) (2.6) (2.7) với (g, k) liệu có đo đạc thỏa g ∈ L (0, π) k : [0, T ] → (0, ∞) hàm liên tục cho tồn p, q > (2.8) < p ≤ k(t) ≤ q, với ≤ t ≤ T Bài toán 2: Xét miền không bò chặn R ∂u (x, t) ∂t u(x, T ) ∂ 2u = k(t) (x, t), ∂x = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ), x ∈ R, (2.9) (2.10) với (g, k) liệu có đo đạc thỏa g ∈ L (R) k : [0, T ] → (0, ∞) hàm liên tục thỏa (2.8) 2.2 Chỉnh hóa toán (2.5)-(2.7) Trong tiểu mục 2.2, xét (g ε , kε ), (g, k) ∈ L2 (0, π) × C[0, T ] liệu đo đạc liệu xác cho g ε − g ≤ ε kε − k C[0,T ] ≤ ε Áp dụng khai triển chuỗi Fourier, tìm nghiệm toán (2.5)-(2.7) sau   T u(x, t) = ∞ m=1 exp m2 t k(s)ds gm sin(mx), (x, t) ∈ [0, π] × [0, T ], (2.11) 11 g m π = π g(x) sin(mx)dx Sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi, có nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu (g, k), (g, k ε ) (gε , kε ) sau uε (g, k)(x, t) = m 0, ε ln Kết thúc chứng minh ; e−1 } ε = 0, tồn δ > cho ε ln ε cho lim mε = +∞ lim εm2ε = ε→0 Khi đó, tồn δ > cho với ε ∈ (0, δ) |em Rs t (kε (r)−k(r))dr − 1| ≤ 2T εm2ε , với ≤ t ≤ s ≤ T m ∈ [−mε ; mε ] ε→0 15 Từ bổ đề 2.2.1, tồn δ > cho ε ε ln < 1, với ε ∈ (0, δ ) Do đó, ta chọn δ = {1; q; δ ; δ } >  √ ε < 1,    pt  ε 2Tt < ε 4qT , pt t  ε 4T < ε 4qT ,    34 ε ln 1ε < 1, với ε ∈ (0, δ) Từ đó, ta có ước lượng uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤ 1+ u(., T ) + u(., 0) 2q pt ε 4qT , với ε ∈ (0, δ) ii) Do (2.11) (2.12) uε (g, k)(., t) − u(., t) = π em (F (T )−F (t)) gm m≥mε ≤ −2m2ε pt π e m4ε ≤ −2m2ε pt e uxx (., 0) m4ε m2 em F (T ) gm m≥mε Suy uε (g, k)(., t) − u(., t) ≤ −m2ε pt e uxx (., 0) m2ε (2.19) Từ (2.15), (2.16), (2.18) (2.19), ta có uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤ 2 e2q(T −t)mε ε + 2T εm2ε eq(T −t)mε g + Với mε = ln( 1ε ) 4qT , ta uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤ −m2ε pt e uxx (., 0) m2ε √ t t εε 2T + u(., T ) ε 4T ε ln 2q ε pt ε 4qT + 4qT uxx (., 0) ln 1ε 16 Từ bổ đề 2.2.1, ta suy tồn δ > cho ε ln ε < 1, với ε ∈ (0, δ ) Do đó, ta chọn δ = {1; q; δ ; δ } >                với ε ∈ (0, δ) Ta có ước lượng √ , ln 1ε pt t ε 2T < ε 4qT , pt t ε 4T < ε 4qT , , ε ln 1ε < ln 1ε uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤ ε< 1+ u(., T ) +4qT uxx (., 0) 2q pt ε 4qT , ln 1ε với ε ∈ (0, δ) Kết thúc chứng minh 2.3 Ví dụ minh họa toán (2.5)-(2.7) Xét toán parabolic ngược thời gian tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian sau ut (x, t) u(0, t) = k(t)uxx (x, t), (x, t) ∈ (0, π) × [0, 1), = u(π, t) = 0, t ∈ [0, 1], (2.20) k(t) = 2t + 1, u(x, 1) = g(x) = Từ đó, π g =( sin x e2 sin x = ds) e2 ≤ k(t) ≤ 3, π −2 e , (2.21) 17 với t ∈ [0, 1] Ta có nghiệm xác toán u(x, t) = exp −t2 − t sin(x) Với t = 0, ta u(x, 0) = sin(x) Xét liệu đo (g ε , k ε ) sau gε (x) = (1+ ε (2.22) kε (t) = k(t) + ε (2.23) π −2 )g(x), 2e Khi đó, π gε − g kε − k C[0,T ] = ε ( π −2 e 2 sin x = ε, dx) e2 = ε Với ε sai số liệu sau ε = 10−1 , ε2 = 10−2 , ε3 = ln( ε1 ) 10−3 , ε4 = 10−4 , ε5 = 10−5 , ta đặt mε = , ta có nghiệm chỉnh hóa thời điểm t = uε (gε , kε )(x, t) = m 0, gε , g ∈ L2 (R) thỏa mãn gε −g thỏa (2.8) kε − k C[0,T ] ≤ ε Đặt ≤ ε k, kε ∈ C[0; T ] M = 2q Nếu nghiệm xác u(., t) toán (2.9)-(2.10) thuộc H1 (R) với t ∈ [0; T ] tồn δ > cho với ε ∈ (0; δ), ta có uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) C1 = + M ≤ C1 ln 1ε g + (2M T ) u(., t) H (R) Chứng minh Với < ε ≤ max t∈[0;T ] k(t), ta có |kε (t)| − |k(t)| ≤ kε − k < ε ≤ max k(t), t∈[0;T ] |kε (t)| < max k(t) + max k(t) = M, t∈[0;T ] t∈[0;T ] 23 với t ∈ [0, T ] Từ (2.25) (2.26), ta đánh giá |uε (gε , kε ) (w, t) − uε (g, kε ) (w, t)|2 = e2w (Fε (T )−Fε (t)) = e2w RT ≤ e2w t kε (s)ds M(T −t) |gε (w) − g(w)|2 χ2[−bε ,bε ] (w) |gε (w) − g(w)|2 χ2[−bε ,bε ] (w) |gε (w) − g(w)|2 χ2[−bε ,bε ] (w) Suy 2 uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t) bε ≤ e2w M(T −t) −bε |gε (w) − g(w)|2 dw e2bε M(T −t) ε2 , ≤ e2bε MT ε2 ≤ Do đó, ta có uε (gε , kε ) (., t) − uε (g, kε ) (., t) 2 ≤ ebε MT ε Từ (2.26), (2.27) bổ đề 2.2.2, suy tồn δ ε ∈ (0; δ ) ta có |uε (g, kε ) (w, t) − uε (g, a) (w, t)| = |ew = ew = ew (Fε (T )−Fε (t)) (F (T )−F (t)) RT t b2ε T M ≤ e k(s)ds − ew |ew |ew 2 (F (T )−F (t)) (kε (s)−k(s))ds 2b2ε T ε|g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) > cho với ||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) (Fε (T )−Fε (t)−F (T )+F (t)) RT t (2.29) − 1||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) − 1||g(w)|χ[−bε ,bε ] (w) Từ bε uε (g, kε ) (., t) − uε (g, a) (., t) ≤ = = b2ε T M e −bε 2b2ε T ε|g(w)| 4b4ε e2bε T M T ε2 b2ε T M 2b2ε e bε −bε (F (T )−F (t)) dw |g(w)|2 dw T ε g Từ (2.24) (2.27), ta có |uε (g, a)(w, t) − u(w, t)| = ew 2 |g(w)|χR\[−bε ,bε ] (w) (2.30) 24 = |u(w, t).χR\[−bε ,bε ] (w)| Do đó, ta uε (g, a)(., t) − u(., t) 2 = R\[−bε ,bε ] ≤ ≤ = w2 |u(w, t)|2 dw w2 |wu(w, t)|2 dw b2ε R\[−bε ,bε ] u(., t) 2H (R) bε u(., t) 2H (R) b2ε (2.31) Từ (2.28), (2.29), (2.30) (2.31), ta ước lượng uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) 2 ≤ ebε T M ε + 2b2ε ebε T M T ε g Nếu ta chọn b ε cho e bε T M = bε = √1 ε + u(., t) H (R) bε Khi đó, ln 1ε 2M T Do uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) Suy √ ≤ ε+ √ ε ln 1ε g M √ ε ln 1ε √ limε→0 ε ln 1ε limε→0 2 + = 0, = Từ đó, tồn δ > cho với ε ∈ (0, δ ) √ √ Nghóa ε ln 1ε ε ln 1ε < 1, < 1, √  ,  ε< (ln 1ε ) √ 1   ε ln ε < ln ( 1ε ) (2M T ) u(., t) ln ε H (R) 25 Vậy với ε ∈ (0; δ) với δ = min{δ , δ , M }, ta có uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) ≤ 1+ g M + (2M T ) u(., t) H (R ) ln 1ε Suy uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) C1 ≤ ln ε , 1 C = + M g + (2M T ) u(., t) Kết thúc chứng minh H (R) 2.5 Ví dụ minh họa cho toán Xét toán parabolic ngược thời gian tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian miền không bò chặn R ut (x, t) = u(x, 1) = (2.32) (2.33) (x, t) ∈ R × [0, 1], x ∈ R, k(t)uxx (x, t), g(x), −x2 k(t) = 2t + 1; g(x) = √ e 12 t −3w Suy g(w) = e ; F (t) = (2s + 1)ds = t2 + t Bằng phương pháp biến đổi Fourier, ta có u(w, t) = ew (F (1)−F (0)) g(w) = ew (2−t2 −t) −3w2 e = e−w (t2 +t+1) Xét liệu đo sau gε (x) = kε (t) = Khi đó, g ε − g hóa (2.25) 1+ε = = = ew ew ew g(x), 2t + + ε ≤ ε kε − k uε (gε , kε )(w, 0) π C[0,T ] ≤ ε Với t = 0, ta có nghiệm chỉnh (Fε (1)−Fε (0)) (2+ε) (ε−1) gε (w).χ[−bε ;bε ] (w) 1+ε π 1+ε π e−3w χ[−bε ;bε ] (w) χ[−bε ;bε ] (w) (2.34) Ta có bảng sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa t = 26 Bảng 2.1 Sai số thời điểm t = ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε = 10−1 = 10−2 = 10−3 = 10−4 = 10−5 uεi (gεi , kεi )(., 0)−u(., 0) 6.996120860 × 10−1 5.196825975 × 10−1 4.023413526 × 10−1 3.161395024 × 10−1 2.506163063 × 10−1 Tiếp theo, có hình vẽ minh họa nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa thời điểm t = Hình 2.1: Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa u t = εi (gεi , kεi ) thời điểm 27 Kết luận Trong đề tài này, chỉnh hóa toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu miền bò chặn [0, π] miền không bò chặn R đưa đánh giá sai số cụ thể nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác toán cấp Holder cấp logarit Cuối cùng, đưa số ví dụ minh họa cho tính hiệu phương pháp chỉnh hóa Các kết nằm chương công bố báo cụ thể sau: 1) Kết tiểu mục 2.1 2.2 công bố báo [16] (Bài báo kỷ yếu hội nghò) 2) Kết tiểu mục 2.3 2.4 công bố báo [15] (Bài báo danh mục SCIE) 28 Tài liệu tham khảo [1] C L Fu, X T Xiong, Z Qian, (2007), Fourier regularization for a backward heat equation, J Math Anal Appl., 331, pp 472 480 [2] D Colton, (1979), The Approximation of Solutions to the Backwards Heat Equation in a Nonhomogeneous Medium, J Math Anal Appl., 72, pp 418429 [3] D N Hao, N V Duc, (2009), Stability results for the heat equation backward in time, J Math Anal Appl., 353, pp 627-641 [4] L Fushan, (2009), Backward solutions to Neumann and Dirichlet problems of heat-conduction equation, Applied Mathematics and Computation, 210, pp 211-214 [5] D.D Trong, N.H Tuan, (2008), A nonhomogeneous backward heat problem: regularization and error estimates, Electron J Diff Eq., 33, pp 1-14 [6] N H Tuan, D D Trong, (2009), A new regularized method for two dimensional nonhomogeneous backward heat problem, Applied Mathematics and Computation, 215, pp 873-880 [7] N H Tuan, D D Trong, P H Quan, (2010), On a backward Cauchy problem associated with continuous spectrum operator, Nonlinear Analysis, 73, pp 1966-1972 [8] Phan Thanh Nam, (2010), An approximate solution for nonlinear backward parabolic equations, J Math Anal Appl., 367, pp 337-349 [9] Z Qian, C L Fu, R Shi, (2007), A modified method for a backward heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation, 185, pp 564573 [10] L M Triet, P H Quan, D D Trong, N H Tuan, (2013), A backward parabolic equation with a time-dependent coefficient Regularization and error estimates, Journal of Computational and Applied Mathematics, 237, pp 432 441 [11] P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan, (2011), A modified quasi-boundary value method for regularizing of a backward problem with time-dependent coefficient, Inverse Problems in Science and Engineering, 19: 3, pp 409 - 423 29 [12] A Shidfar, A Zakeri, (2005), A numerical technique for backward inverse heat conduction problems in one-dimensional space, Applied Mathematics and Computation, 171, pp 1016-1024 [13] D N Hao, N V Duc, (2011), Stability results for backward parabolic equations with time-dependent coefficients, IOP publishing, 27, 025003 (20pp) [14] Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong, Le Minh Triet, (2013), On a backward heat problem with time-dependent coefficient Regularization and error estimates, Applied Mathematics and Computation, 219, pp 6066 6073 [15] Pham Hoang Quan, Le Minh Triet, Le Duy Hien, (2013), Regularizing an inverse problem for parabolic equation with perturbed time-dependent coefficients, Kỷ yếu Hội nghò quốc tế ứng dụng Toán học, NXB Thông tin Truyền thông [16] Quan P H., Triet L M., Trong D D., (2014), On a backward nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, J Inverse Ill-Posed Probl., Vol 22, pp 375-402 (SCIE) [...]... chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0 Hình 2.1: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u t = 0 εi (gεi , kεi ) tại thời điểm 27 Kết luận Trong đề tài này, chúng tôi đã chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu trong miền bò chặn [0, π] và miền không bò chặn R và đưa ra các đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác của bài toán ở cấp Holder... i = 3, 4, 5 do sai số giữa chúng khá nhỏ 20 Cuối cùng, ta có hình vẽ nghiệm chính xác u và nghiệm chỉnh hóa uεi (gεi , kεi ), i = 1, , 5 Hình 1.3: Nghiệm chính xác u(., t) và các nghiệm chỉnh hóa uεi (gεi , kεi )(., t), i = 1, 2 21 Hình 1.4: Các nghiệm chỉnh hóa u εi (gεi , kεi )(., t), i = 3, 4, 5 2.4 Chỉnh hóa bài toán (2.9)-(2.10) Trong tiểu mục 2.4, chúng tôi khảo sát bài toán (2.9)-(2.10) tương... chính xác và nghiệm chỉnh hóa tại thời điểm t = 0 và t = 0.5 Hình 1.1: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u t = 0 εi (gεi , kεi ) tại thời điểm 19 Hình 1.2: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u t = 0.5 εi (gεi , kεi ) tại thời điểm Trong hình 1.1 và hình 1.2, đường số 0 minh họa cho nghiệm chính xác gần như trùng với các đường số i minh họa cho các nghiệm chỉnh hóa tương ứng với sai số dữ liệu ε i ,... Fourier của nghiệm chính xác bài toán (2.9)-(2.10) thỏa u(w, t) = ew 2 (F (T )−F (t)) g(w), (2.24) với w ∈ R Giả sử rằng u là nghiệm chính xác của bài toán (2.9)-(2.10) ứng với dữ liệu chính xác (g, k) và (g ε , kε ) là dữ liệu đo sao cho g−g ε 2 ≤ ε, k−kε C[0,T ] ≤ ε Sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân, chúng tôi có nghiệm chỉnh hóa cho bài toán (2.9)-(2.10) tương ứng với các dữ liệu (g ε , kε ),... 2 Suy ra uε (gε , kε ) (., t) − u(., t) 2 C1 ≤ ln 1 ε 1 2 , 1 1 trong đó C 1 = 1 + M g 2 + (2M T ) 2 u(., t) Kết thúc chứng minh H 1 (R) 2.5 Ví dụ minh họa cho bài toán 2 Xét bài toán parabolic ngược thời gian tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền không bò chặn R ut (x, t) = u(x, 1) = (2.32) (2.33) (x, t) ∈ R × [0, 1], x ∈ R, k(t)uxx (x, t), g(x), 1 −x2 trong đó k(t) = 2t... parabolic ngược thời gian tuyến tính thuần nhất với hệ số phụ thuộc thời gian như sau ut (x, t) u(0, t) = k(t)uxx (x, t), (x, t) ∈ (0, π) × [0, 1), = u(π, t) = 0, t ∈ [0, 1], trong đó (2.20) k(t) = 2t + 1, và u(x, 1) = g(x) = Từ đó, π g =( sin x e2 2 sin x 1 2 = ds) e2 0 và 1 ≤ k(t) ≤ 3, π −2 e , 2 (2.21) 17 với mọi t ∈ [0, 1] Ta có nghiệm chính xác của bài toán là u(x, t) = exp −t2 − t sin(x) Với t =... 1, với mọi ε ∈ (0, δ 2 ) Do đó, nếu ta chọn δ = min {1; q; δ 1 ; δ 2 } > 0 thì                với mọi ε ∈ (0, δ) Ta có ước lượng √ 1 , ln 1ε pt t ε 2T < ε 4qT , pt t ε 4T < ε 4qT , 1 3 , ε 4 ln 1ε < ln 1ε uε (gε , kε )(., t) − u(., t) ≤ ε< 1 1+ u(., T ) +4qT uxx (., 0) 2q pt ε 4qT , ln 1ε với mọi ε ∈ (0, δ) Kết thúc chứng minh 2.3 Ví dụ minh họa bài toán (2.5)-(2.7) Xét bài toán parabolic. .. cấp Holder và cấp logarit Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho tính hiệu quả của phương pháp chỉnh hóa Các kết quả chính nằm ở chương 2 đã được công bố trên 2 bài báo cụ thể như sau: 1) Kết quả ở tiểu mục 2.1 và 2.2 công bố ở bài báo [16] (Bài báo trên kỷ yếu hội nghò) 2) Kết quả ở tiểu mục 2.3 và 2.4 công bố ở bài báo [15] (Bài báo trong danh mục SCIE) 28 Tài liệu tham khảo [1] C L... e2 0 = ε Với ε lần lượt là sai số dữ liệu như sau ε 1 = 10−1 , ε2 = 10−2 , ε3 = ln( ε1 ) 10−3 , ε4 = 10−4 , ε5 = 10−5 , ta đặt mε = , ta có nghiệm chỉnh hóa 6 tại thời điểm t = 0 uε (gε , kε )(x, t) = m ... đồng số 471/HĐĐHSG-QLKHSĐH) Mục tiêu Khảo sát toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu chỉnh hóa toán Tính sáng tạo Đây hướng nghiên cứu xuất phát từ thực tế mà hệ số dẫn nhiệt. .. ăn mòn, oxi hóa, hệ số dẫn nhiệt số Hơn nữa, trường hợp theo biết chưa nghiên cứu Kết nghiên cứu Trong đề tài này, chỉnh hóa toán parabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu miền bò... ăn mòn, oxi hóa, hệ số dẫn nhiệt số Hơn nữa, trường hợp theo biết chưa nghiên cứu Vì lí đó, đề tài khảo sát toán nhiệt ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian bò nhiễu Trong