ma th Giải phương trình: cos3 x + sin3 x + sin2 x = −1 Giải: Ta có −1 ≤ sin3 x + cos3 x ≤ ≤ sin2 x ≤ cos3 x + sin3 x = −1 Vậy ta có pt ⇔ ⇔ cos x = −1 sin2 x = TỔNG HỢP 20 BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÊN MATH.VN Giải phương trình: cos x − sin2 x + cos 4x = Giải: cos 4x = cos2 2x − = 2(2 cos2 x − 1) − = cos4 x − cos2 x + −4sin2 x = −4(1 − cos2 x) PT ⇔ cos x + 4cos2 x − + cos4 x − cos2 x + − = ⇔ cos4 x − cos2 x + cos x − = cos x − = ⇔ cos x = ⇒ x = k2π (k ∈ Z) ⇔ (cos x − 1)(8 cos3 x + cos2 x + cos x + 8) = ⇔ cos3 x + cos2 x + cos x + = (V N) htt p:/ /w ww Giải phương trình: tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = Giải: tan x + cot x = = sin(x) cos(x) sin 2x sin2 x cos2 x cos4 x + sin4 x − 2sin2 2x 2 + = = tan x + cot x = cos2 x sin2 x cos2 x.sin2 x sin2 2x 6 sin x cos x cos x + sin x − 6sin2 2x tan3 x + cot3 x = + = = cos3 x sin3 x cos3 x.sin3 x sin3 2x 2 − 6sin 2x − 2sin 2x PT ⇔ + + = ⇔ −8sin3 2x − 4sin2 2x + sin 2x + = sin 2x sin 2x sin 2x π sin 2x − = ⇔ sin 2x = ⇒ x = + kπ(k ∈ Z) ⇔ (sin 2x − 1)(−8 sin − 12 sin 2x − 8) = ⇔ −8 sin2 − 12 sin 2x − = (V N)) π −1 Giải phương trình: (tan x cot 2x − 1) sin 4x + (sin4 x + cos4 x) = 2 Giải: Đk: sin x = 0, cos x = cos 2x −1 (1) ⇔ − (2 cos2 2x − 1) = (cos2 2x + 1) cos 2x + ⇔ cos3 2x − cos2 2x + cos 2x + = ⇔ (cos 2x − 1)(cos 2x − cos 2x − 6) = √ √ ⇔ cos 2x = ∨ cos 2x = − 14 ∨ cos 2x = + 14 (loại) √ arccos(3 − 14) ⇒ x = kπ ∨ x = ± + kπ Giải phương trình: 32 cos6 x + π4 − sin 6x = Giải: PT ⇔ 4(1 + cos(2x + π2 ))3 − (3 sin 2x − sin3 2x) = ⇔ 4(1 − sin 2x)3 − (3 sin 2x − sin3 2x) = ⇔ 12 sin2 2x − 15 sin 2x + = ⇔ sin 2x = ∨ sin 2x = 4x Giải phương trình: cos2 x = cos Giải: + cos 2x 4x 2x 2x PT ⇔ = cos ⇔ + cos = cos 2 3 2x 2x 2x 2x 2x 2x − cos = 4cos2 − ⇔ cos3 − 4cos2 − cos + = 3 3 3 √ √ 2x 2x 2x ⇔ cos − cos − cos + = 3  2x ⇒ x = k3π (k ∈ Z)  cos = 1√  2x π  ⇔  cos = ⇒ x = ± + k3π (k ∈ Z)  2√  2x 5π cos = − ⇒ x = ± + k3π (k ∈ Z) √ Giải phương trình: sin 3x + sin x = 3(cos x − 1) Giải: π π Đặt x + = t ⇒ 3x = 3t − Phương trình tương đương với √ 2√ √ √ π ⇔ sin 3x = cos x − sin x − ⇔ sin(3t − ) = cost − ⇔ − cos 3t + cost + = √ √ √ √ 3 ⇔ cos3 t − cost + = ⇔ cost − cos2 x + cos x + = ⇔ cost = 2 ma th ⇔ + cos3 x = 2kπ π x = − + 2kπ Giải phương trình: cos2 x − cos x − 2x sin x + x2 + = Giải: ww π ⇔ t = ± + 2kπ ⇔ p:/ /w  sin x = x 2 2 cos x − cos x − 2x sin x + x + = ⇔ 2(cos x − 1) + (sin x − x) = ⇔ ⇔x=0 cos x = √ Giải phương trình: tan2 x − + − tan x = Giải: √ √ √ tan x = − tan x √ ĐK: tan x ≤ PT ⇔ (tan x − − tan x)(tan x + − tan x − 1) = ⇔ tan x + − tan x − = √ + Với tan x = − tan x ≥ ta có pt ban đầu tương đương: tan x = π tan2 x + tan x − = ⇔ ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ tan x = −2 √ + Với tan x + − tan x − = (∗) √ ta có pt ban đầu tương đương: 1± tan2 x − tan x − = ⇔ tan x = √ √ 1− 1− Thử lại vào (∗) ta nhận nghiệm tan x = ⇔ x = arctan + kπ 2 √ π 1− + kπ (k ∈ Z) KL: PT cho có nghiệm x = + kπ; x = arctan 10 Giải phương trình: cos x + − cos x = sin x + 3 sin x htt Giải: Có cos x ≥ − cos x ≥ Cauchy √ √ 1 Vậy nên V T = cos x + − cos x ≤ cos x + + (1 − cos x) + 3 2 √ √ Vì V P = V T = cos x + − cos x > ⇒ sin x > Cauchy Vậy nên V P = sin x + ≥ sin x = htt p:/ /w ww ma th   cos x = π √ Vì V P ≥ ≥ V T nên đẳng thức xảy ⇔ ⇔ x = + 2kπ  3 sin x = √ 5 11 Giải phương trình: cos x + sin x + sin 2x + cos 2x = + Giải: sin5 x ≤ | sin5 x| ≤ sin2 x Có: ⇒ sin5 x + cos5 x ≤ cos5 x ≤ | cos5 x| ≤ cos2 x √ √ √ π Lại có: sin 2x + cos 2x = sin(2x + ) ≤ 2, Nên V T ≤ + = V P    sin x = sin x   ⇔x∈Ø Đẳng thức xảy ⇔ cos5 x = cos2 x   π  sin 2x + =1 11π x x π 11π + cos − + sin − =0 12 Giải phương trình: cos x − 10 2 10 Giải: x π Lúc pt cho trở thành: cos(2t − 2π) + cos(π − t) + sint = Đặt t = − 10 ⇔ cos 2t − cost + sint = ⇔ (cost − sint) (cost + sint − 1) = ⇔ cost − sint = ∨ cost + sint = π 7π +Với cost − sint = ⇔ tant = ⇔ t = + kπ ⇒ x = + k2π, k ∈ Z 10 √4 π π π 6π +Với cost + sint = ⇔ sin t + = ⇔ t = k2π ∨t = + k2π ⇒ x = + k4π ∨ x = + k4π, k ∈ Z 2 5 √ x π 5x π 3x − − cos − = cos 13 Giải phương trình: sin 4 Giải: √ √ 5x π x π 3x π 3x 3x PT ⇔ sin − − sin + = cos ⇔ cos sin x − = cos 2 2  π 3x π  = + kπ 3x x = + k 2π  2 cos =   π π  π   ⇔ (k ∈ Z) π ⇔  x − = + k2π ⇔  x = + k2π sin x − =√  π 3π x = π + k2π x− = + k2π 4 sin10 x + cos10 x sin6 x + cos6 x 14 Giải phương trình: = 4 cos2 2x + sin2 2x Giải: sin6 x + cos6 x − sin2 x cos2 x = = VP = 4 sin2 2x + cos2 2x − sin2 2x Ta có : cos10 x ≤ cos2 x; sin10 x ≤ sin2 x; ⇒ V T ≤ ⇔ V P = V T 10 cos x = cos x cos x = ∨ cos x = ±1 ⇔ ⇔ cos x = 0; sin x = ⇔ sin 2x = ⇔ x = k π2 10 sin x = sin x sin x = ∨ sin x = ±1 cos2 x.(cos x − 1) 15 Giải phương trình: = 2(1 + sin x) sin x + cos x Giải: (1 − sin x)(1 + sin x)(cos x − 1) Điều kiện : sin x + cos x = PT ⇔ = 2(1 + sin x) sin x + cos x cos x − sin x cos x + sin x − ⇔ (1 + sin x) −2 = sin x + cos x −π ) sin x = −1 ⇒ x = + k2π (k ∈ Z) cos x − sin x cos x + sin x − − = ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + = sin x + cos x √ t2 − t2 − Đặt sin x + cos x = t, điều kiện |t| ≤ 2; sin x cos x = ⇒ t +1+ = ⇔ t + 2t + = 2 √ − π π ⇒ t = −1 ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ cos(x − ) = = cos 3π ⇒ x = k2π, x = + k2π So với điều kiện sin x + cos x = 0, phương trình cho có nghiệm :x = k2π, x = π2 + k2π ) htt p:/ /w ww ma th 16 Giải phương trình: tan2 x − tan2 x sin3 x + cos3 x − = Giải: PT ⇔ tan2 x(1 − sin3 x) + (cos3 x − 1) = ⇔ sin2 x(1 − sin3 x) + cos2 x(cos3 x − 1) = ⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x + sin2 x) − (1 − cos x)(1 − sin x)(1 + sin x)(1 + cos x + cos2 x) = ⇔ (1 − cos x)(1 − sin x)(sin2 x − cos2 x + sin2 x cos x − sin x.cos2 x) = ⇔ (1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = Với cos x = ⇒ x = k2π π Với sin x = ⇒ x = + k2π π Với sin x = cos x ⇒ tan x = ⇒ x = + kπ √ Với sin x + cos x + sin x cos x = 0; Đặt sin x + cos x = t, điều kiện |t| ≤ t2 − ⇔ t + 2t − = sin x cos x = √ √ √ −1 + π Khi t = −1 + ⇔ sin x + cos x = −1 + ⇔ cos(x − ) = √ π −1 + ⇒ x = ± arccos + k2π √ Khi t = −1 − (loại) So với điều kiện cos x = Vậy phương trình cho có nghiệm : √ π π −1 + π + k2π (k ∈ Z) x = k2π, x = + k2π, x = + kπ, x = ± arccos 4 2 cos 2x + = 14 (1) 17 Giải phương trình: tan2 x + cot2 x + sin 2x Giải: Đk: tan x = (1) ⇔ tan2 x + + (tan x + cot x)(2 cos2 x + 1) = 14 tan x tan2 x + tan2 x + ⇔ tan2 x + + = 14 tan x tan x tan2 x + ⇔ tan4 x + tan3 x − 14 tan2 x + tan x + = ⇔ (tan x − 1)(tan x − 3)(tan2 x + 5√ tan x + 3) = √ −5 − 13 13 − ⇔ tan x = ∨ tan x = ∨ tan x = ∨ tan x = 2 cos3 2x + sin3 2x 18 Giải phương trình: = cos 4x cos 2x − sin 2x Giải: Điều kiện: cos 2x − sin 2x = 0; Đặt t = 2x; Phương trình tương đương: cos3 t + sin3 t = cos 2t cost − sint ⇔ cos3 t + sin3 t = (3 cost − sint) cos 2t Xét cost = 0, phương trình vô nghiệm ma th Xét cost = 0, chia vế cho cos3 t = + tan3 t = (3 − tant) − tan2 x ⇔ tan3 t + tan2 t + tant + = ⇔ (tant + 3) (tan2 t + 1) = Vì (tan2 t + 1) > ∀t nên phương trình tương đương: tant + = ⇔ t = arctan(−3) + kπ ⇔ x = 12 arctan(−3) + k π2 Thử lại thấy điều kiện, phương trình có họ nghiệm x = 12 arctan(−3) + k π2 √ 19 Giải phương trình: sin3 x − = cos 3x Giải: htt p:/ /w ww 20 Giải phương trình: sin3 x − cos3 x − sin x − sin2 cos x = Giải: Nhận thấy cos x = không nghiệm phương trình Với cos x = 0, chia vế cho cos3 x ta được: tan3 x + − tan x(1 + tan2 x) − tan2 x = ⇔ tan3 x − tan2 x − tan x + = √ √ ⇔ tan x = ∨ tan x = − ∨ tan x = ⇔ x = π3 + kπ ∨ x = π4 + kπ ... kiện, phương trình có họ nghiệm x = 12 arctan(−3) + k π2 √ 19 Giải phương trình: sin3 x − = cos 3x Giải: htt p:/ /w ww 20 Giải phương trình: sin3 x − cos3 x − sin x − sin2 cos x = Giải: Nhận thấy... tan x − = (∗) √ ta có pt ban đầu tương đương: 1± tan2 x − tan x − = ⇔ tan x = √ √ 1− 1− Thử lại vào (∗) ta nhận nghiệm tan x = ⇔ x = arctan + kπ 2 √ π 1− + kπ (k ∈ Z) KL: PT cho có nghiệm x = +... 3 sin x = √ 5 11 Giải phương trình: cos x + sin x + sin 2x + cos 2x = + Giải:  sin5 x ≤ | sin5 x| ≤ sin2 x Có: ⇒ sin5 x + cos5 x ≤ cos5 x ≤ | cos5 x| ≤ cos2 x √ √ √ π Lại có: sin 2x + cos 2x