B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN NG KHOA Một số vấn đề thể tích hỗn tạp LUN VN THC S TON HC VINH - 2011 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN NG KHOA Một số vấn đề thể tích hỗn tạp LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc - Tụpụ Mó s: 60.46.10 Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM NGC BI VINH - 2011 MC LC Trang M U Chng Tp li khụng gian Euclid Ed 1.1 Tp li v hm li 1.2 Siờu phng ta v hm ta 1.3 a din li Chng Th tớch hn v Quermassintegrals 2.1 Tng Minkowski v tớnh cht 2.2 Mờtric Hausdorff 2.3 Th tớch hn v mt s tớnh cht 2.4 Quermassintegrals v th tớch KT LUN TI LIU THAM KHO 12 13 14 17 17 19 23 38 46 47 M U Hỡnh hc li l mt hng quan trng hỡnh hc, c nhiu nh toỏn hc quan tõm, nghiờn cu Cỏc ca Hỡnh hc li cú mi liờn h vi cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc bao gm: Gii tớch, i s tuyn tớnh, Thng kờ, Lý thuyt s v T hp Ni dung ca Hỡnh hc li cha mt cú ý ngha v phng din o, ú l th tớch hn ca cỏc th li Khi nghiờn cu th tớch ca cỏc th li, chỳng ta xut phỏt t khụng gian Euclid (hu hn chiu), sau ú trang b mờtric Hausdorff cho khụng gian cỏc th li Trong khụng gian Euclid, tớnh th tớch ca mt t hp tuyn tớnh cỏc th li, ngi ta biu bin th tớch ny di dng mt a thc thun nht m bin l cỏc h s ca t hp tuyn tớnh ú Cỏc h s ca a thc ny c gi l th tớch hn ca cỏc th li Vic xõy dng cụng thc v th tớch hn ca mt th li bt k c xut phỏt t vic xp x th tớch hn ca cỏc a din li Tip theo ú xut hin cỏc xõy dng cụng thc din tớch b mt, th tớch v cỏc quermassintegrals ca cỏc th li Mc ớch ca lun trỡnh by mt cỏch cú h thng v cỏc th tớch hn tp, th tớch trong, din tớch b mt, cỏc quermassintegrals Trờn c s tham kho cỏc ti liu tham kho cú th cú c iu kin hin nay, chỳng tụi tỡm hiu, h thng mt s v th tớch hn Vi mc ớch trờn lun c chia lm hai chng nh sau: Chng Tp li khụng gian Euclid Ed Chng ny c trỡnh by theo cỏc mc sau 1.1 Tp li v hm li Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v li, th li, bao li ca cỏc khụng gian Euclid hu hn chiu, trỡnh by v chng minh mt s tớnh cht c bn ca chỳng, trỡnh by khỏi nim v hm li, hm lừm 1.2 Siờu phng ta v hm ta Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v siờu phng ta, hm ta, trỡnh by v chng minh mt s tớnh cht c bn ca siờu phng ta, hm ta 1.3 a din li Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v a din li, trỡnh by v chng minh mt s tớnh cht c bn ca chỳng Chng Th tớch hn v Quermassintegrals Chng ny c trỡnh by theo cỏc mc sau 2.1 Tng Minkowski v tớnh cht Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v tng Minkowski ca cỏc th li v mt s tớnh cht ca chỳng 2.2 Mờtric Hausdorff Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v mờtric Hausdorff ca hai th li v mt s tớnh cht ca dóy cỏc th li 2.3 Th tớch hn v mt s tớnh cht Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by chi tit khỏi nim v th tớch hn tp, chng minh y cỏc tớnh cht ca th tớch hn c nờu cỏc nh lý 2.4 Quermassintegrals v th tớch Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim Quermassintegrals ca th li, th tớch trong, v mt s tớnh cht ca chỳng Lun c hon thnh ti Khoa Sau i hc Trng i hc Vinh, di s hng dn khoa hc, tn tỡnh chu ỏo ca Thy giỏo PGS.TS.Phm Ngc Bi Nhõn dp ny, tỏc gi xin by t lũng bit n ti cỏc thy giỏo t Hỡnh hc ó ging dy v ch dn tn tỡnh quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ Khoa Toỏn, Khoa Sau i hc, cỏc bn bố v gia ỡnh ó to iu kin cho tỏc gi hon thnh lun ny Mc dự ó cú c gng song lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi mong nhn c nhng gúp ý ca quý thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Chỳng tụi xin chõn thnh cm n! Vinh, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi CHNG TP LI TRONG KHễNG GIAN EUCLID Ed Trong lun ny chỳng tụi xột khụng gian Euclid Ed cú s chiu bng d trờn trng s thc Ă 1.1 Tp li v hm li 1.1.1 nh ngha d (i) Gi s x, y ẻ E , on thng ni x v y c nh ngha nh sau { } ộx, yự= z = l x + (1- l )y Ê l Ê ỳ ỷ (ii) Gi s A è Ed Tp A c gi l li nu vi mi x, y ẻ A kộo theo ộx, yựè A ỷ ỳ 1.1.2 Vớ d d x, yự a, Vi x, y ẻ E thỡ ộ ỳ ỷl li b, Tp ặ, Ed , hỡnh cu tõm x, bỏn kớnh r, ký hiu l B (x, r ) Ed l nhng li c, Hỡnh trũn, hỡnh tam giỏc mt phng l nhng li 1.1.3 nh ngha (i) Tp hp C è Ed c gi l li cht nu C l úng v l x + (1- l )y ẻ intC vi mi x, y ẻ C v x y, < l < (ii) Tp li compact C Ed c gi l th li (iii) Th li C Ed c gi l th li chõn chớnh nu intC ặ d d d Ta kớ hiu C = C (E ) l tt c cỏc th li E v Cp = Cp (E ) l tt c cỏc th li chõn chớnh Ed d * 1.1.4 nh ngha T hp li ca hu hn cỏc im x1, , xn ẻ E , n ẻ Ơ n l i =1 l i xi , ú l i 0, i = 1, , n v n ồl i =1 i = 1.1.5 Mnh Tp A è Ed l li v ch nú cha mi t hp li ca cỏc phn t thuc A Chng minh Nu A cha mi t hp li ca cỏc phn t thuc A thỡ ta xột trng hp n = , vi mi x1, x2 ẻ A; l 1, l v l + l = ta cú x =l 1x1 + l 2x2 ẻ A , theo nh ngha 1.1.1 suy A l li n Ngc li, nu A l li, xột x = l i xi vi mi xi ẻ A, l i 0, i =1 i = 1, , n , n ồl i =1 i = Ta chng minh x ẻ A , bng phng phỏp quy np theo n Vi n = thỡ theo nh ngha 1.1.1 suy mnh ỳng k Gi s mnh ỳng vi n = k 3, tc l x = l i xi ẻ A vi mi i =1 xi ẻ A, l i 0, i = 1, , k v k ồl i =1 i = Ta cn chng minh mnh ỳng vi n = k + k+1 Tht vy, gi s x = l i xi , vi mi xi ẻ A, l i 0, i = 1, , k + v i =1 k+1 ồl i =1 i = 1, k+1 ta phi chng minh x = l i xi ẻ A i =1 k+1 Do ồl i =1 i = v k + nờn tn ti l j vi j ẻ {1,2, ,k + 1} , khụng mt tớnh tng quỏt cú th gi thit l k+1 li li = 1; l l i =1 k+1 k +1 k Khi ú 1- l k+1 = l + + l k v k Theo gi thit quy np thỡ y = ( i =1 li )x ẻ A 1- l k+1 i k+1 T nh ngha 1.1.1 suy x = l i xi = (1- l k+1)y + l k+1xk+1 ẻ A W i =1 1.1.6 nh lý (i) Giao ca mt h tựy ý cỏc hp li l mt hp li (ii) T hp tuyn tớnh hu hn ca cỏc hp li l hp li (iii) nh v nghch nh ton phn ca hp li qua ỏnh x tuyn tớnh l li Chng minh (i) Gi s { Ai } i ẻ I l h tựy ý cỏc hp li Ed , ta phi chng minh A = ầ Ai l li iẻ I ự v A l Tht vy , ly x, y ẻ A , ú x, y ẻ Ai , " i ẻ I Do ú vi l ẻ ộ ỳ i ở0;1ỷ li " i ẻ I nờn l x + (1- l )y ẻ Ai , " i ẻ I ị l x + (1- l )y ẻ A Ai l li Vy A = iầ ẻI d (ii) Gi s Ai è E , i = 1, n l cỏc hp li v l i ẻ Ă , i = 1, n , ta s chng minh hp A = l 1A1 + + l nAn l li Tht vy, ly x, y ẻ A v n n i =1 i =1 ự, gi s x = l ẻ ộ l i xi , y = l iyi ú xi ,yi ẻ Ai , i = 1,n Khi ú ở0;1ỳ ỷ l x + (1- l )y = l n i =1 n n i =1 i =1 l i xi + (1- l )ồ l iyi = l i (l xi + (1- l )yi ) Vỡ cỏc Ai l li nờn l xi + (1- l )yi ẻ Ai , " i = 1, n ị l x + (1- l )y ẻ A Nh vy A = l 1A1 + + l nAn l li (iii) Gi s V l mt khụng gian vect trờn Ă v f : Ed đ V l ỏnh x tuyn tớnh - Gi s A è Ed l li, ta phi chng minh f (A) l li V ự, ú tn ti a,b ẻ A : x = f (a), y = f (b) Ly x, y ẻ f (A) v l ẻ ộ ở0;1ỳ ỷ Mt khỏc f l ỏnh x tuyn tớnh nờn l x + (1- l )y = l f (a) + (1- l )f (b) = = f (l a) + f ((1- l )b) = f (l a + (1- l )b) ẻ f (A) , (vỡ A l li) Nh vy chỳng ta ó ch c l x + (1- l )y ẻ f (A) , vi mi x, y ẻ f (A) v ự, hay f (A) l li V mi l ẻ ộ ở0;1ỳ ỷ - Gi s B è V l li, ta phi chng minh f - 1(B ) l li Ed ự, x, y ẻ f - 1(B ) thỡ f (x), f (y) ẻ B v l f (x) + (1- l )f (y) ẻ B ;1 Vi l ẻ ộ ỳ ỷ Do f l ỏnh x tuyn tớnh nờn f (l x + (1- l )y) = l f (x) + (1- l )f (y) - Suy f (l x + (1- l )y) ẻ B ị l x + (1- l )y ẻ f (B ) Vy f - 1(B ) l li Ed W 1.1.7 nh ngha Cho A è Ed , li nh nht Ed cha A c gi l bao li ca A , kớ hiu l co(A) 1.1.8 Nhn xột (i) co(A) l giao ca tt c cỏc li cha A Ed (ii) A è Ed l li v ch co(A) = A 1.1.9 nh lý Gi s A è Ed Khi ú co(A) l tt c cỏc t hp li ca cỏc phn t thuc A Chng minh t B l tt c cỏc t hp li cỏc phn t ca A , ta cn chng minh co(A) = B , tc l phi chng t c B è co(A) v co(A) è B 10 V (C , P , , P ) = (1) hC (uF )v(F ) , d ú tng ny ly theo tt c cỏc mt F ca P Chng minh Trc ht chỳng ta ch ra: Gi s G l mt ca P vi dimG Ê d - Khi ú (2) V (G + eB d ) = O(e2) e đ +0 Chỳng ta gi s rng G è Ed- , ú Ed c biu din dng d- 2 Ed = Ed- E Gi s B , B l cỏc hỡnh cu n v tng ng Ed- v d- è dB d- , vi < e Ê Khi ú E Chn d > ln cho G + eB G + eB d è (G + eB d- 2) eB è dB d- eB v vỡ vy V (G + eB d ) = O(e2) e đ +0 Theo nh lý Minkowski ta cú: V (eC + P ) = V (P , , P ) + dV (C , P , , P ) e + + dV (C , ,C , P ) ed- + +V (C , ,C ) ed = V (P ) + dV (C , P , , P ) e + +V (C ) ed Vỡ vy (3) V (C , P , , P ) = V (eC + P ) - V (P ) lim d xđ+0 e Tip theo ta xột hai trng hp Trng hp th nht vect o ẻ C , chn d > cho C è dB d Th li eC + P c chia thnh P , cỏc hỡnh tr (cú th xiờn, vi ỏy l cỏc mt) v phn cũn li ca eC + P Cỏc hỡnh tr cú th c mụ t nh sau: vi mt mt F ca P vi vect phỏp tuyn n v ngoi uF chn mt ự Phn cũn li ca im p ẻ C ầ HC (uF ) Khi ú hỡnh tr tng ng l F + e ộ ỳ ởo, pỷ 36 eC + P nm hp ca cỏc hp cú dng eC +G è edB d +G , ú G ph khp cỏc mt ca P vi dimG Ê d - v vỡ vy ta cú th tớch O(e2) bi (2) Nh vy (4) V (eC + P ) = V (P ) + eồ hC (uF ) v(F ) +O(e2) e đ +0 Vỡ (3) v (4) kộo theo (1), vy B c chng minh trng hp vect o ẻ C Trng hp th hai vect o ẽ C Chn t ẻ Ed cho vect o ẻ C + t Khi ú hC +t (uF )v(F ) d hC (uF ) v(F ) + t.uF v(F ) d V (C , P , , P ) = V (C + t, P , , P ) = = Chỳ ý rng d t.u v(F ) = t F t uF v(F ) = 0, vỡ tng cui cựng bng t tng ca din tớch hỡnh chiu ca cỏc mt ca P lờn mt phng i qua o v trc giao vi t Mi s hng ca tng ny xut hin hai ln, mt ln vi du + v mt ln vi du - Nh vy B c chng minh trng hp o ẽ C 2.3.13 B Gi s C ẻ C, P2, , Pd ẻ v U Sd- l hu hn cha cỏc vect phỏp tuyn n v ngoi ca cỏc mt ca mi a din li l 2P2 + + l dPd vi l 2, , l d Gi s v(., ,.) biu th th tớch hn (d - 1) - chiu Khi ú (1) V (C , P2, , Pd ) = h (u)v(P2 ầ H P2(u), , Pd ầ H Pd (u)) d uẻ U C 37 Chng minh Trc ht chỳ ý rng U tn ti B 2.3.3 Gi s P = l 2P2 + + l dPd Theo B 2.3.3 v 2.1.4 v nh lý 2.3.2 cho trng hp (d - 1) - chiu, ta cú th biu din (2) V (C , P , , P ) = h (u)v(P ầ H P (u)) d uẻ U C h (u)v(l 2(P2 ầ H P2(u)) + + l d(Pd ầ H Pd (u))) d uẻ U C d = hC (u) v(Pi ầ H P (u), , Pi ầ H P (u))l i l i i2 d id d d uẻ U i2, ,id =2 = Mt khỏc ta cú (3) V (C , P , , P ) = d V (C , Pi , , Pi )l i l i d d i2, ,id =2 Cui cựng so sỏnh cỏc h s ca l l d (2) v (3) ta cú (1) Bõy gi chỳng ta chng minh nh lý bng phng phỏp quy np theo d Vi d = ta thy hin nhiờn ỳng Gi s rng d > v kt qu ca nh lý ỳng n d - Tip theo chng minh nh sau: (4) Ly C , D, D2, , Dd ẻ C cho C è D Khi ú V (C , D2, , Dd ) Ê V (D, D2, , Dd ) Vỡ th tớch hn liờn tc nờn chng minh (4), ta ch cn chng minh trng hp c bit sau ca (4): (5) Ly C , D ẻ C cho C è D v P2, , Pd ẻ Khi ú V (C , P2, , Pd ) Ê V (D, P2, , Pd ) Do C è D suy hC Ê hD Biu din V (C , P2, , Pd ) v V (D, P2, , Pd ) nh B 2.3.13 Vỡ hC Ê hD v bng phộp quy np ta cú 38 v(P2 ầ H P (u), , Pd ầ H P (u)) v({o}, ,{o}) = d T ú suy bt ng thc V (C , P2, , Pd ) Ê V (D, P2, , Pd ) iu ny chng minh (5) v nh vy (4) kộo theo nh lý c chng minh W 2.3.14 H qu Gi s C 1, ,C d ẻ C Khi ú V (C 1, ,C d ) Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s o ẻ C 1, ,C d Khi ú theo nh lý 2.3.11 ta cú V (C 1, ,C d ) v({o}, ,{o}) = 0.W 2.3.15 nh lý Gi s C , D, D2, , Dd ẻ C cho C ẩ D ẻ C Khi ú V (C ẩ D, D2 , Dd ) +V (C ầ D, D2 , Dd ) = V (C , D2 , Dd ) +V (C , D2 , Dd ) Chng minh Ta chng minh nh lý bng cỏch s dng nh lý Minkowski Trc ht ta chng minh khng nh sau: (1) Gi s C , D, E ẻ C cho C ẩ D ẻ C Khi ú (C ẩ D) + E = (C + E ) ẩ (D + E ) v (C ầ D ) + E = (C + E ) ầ (D + E ) Tht vy, khng nh th nht l hin nhiờn, ta chng minh khng nh th hai Hin nhiờn (C ầ D ) + E è (C + E ) ầ (D + E ) , bõy gi ta chng minh bao hm thc ngc li, ly x ẻ (C + E ) ầ (D + E ) Khi ú x = c + e = d + f , vi c ẻ C ,d ẻ D,e, f ẻ E ựầ (C ầ D ) Vỡ vy Vỡ C ẩ D l li nờn p = (1- l )c + l d ẻ ộ ờc,dỷ ỳ x = (1- l )(c + e) + l (d + f ) = p + (1- l )e + l f ẻ (C ầ D) + E Nh vy (C + E ) ầ (D + E ) è (C ầ D) + E Do ú khng nh (1) c chng minh chng minh nh lý ta lu ý rng 39 V (l (C ẩ D) + l 2D2 + + l dDd ) d ổử j d ữ ỗ =ồ ỗ l V (C ẩ D, , C ẩ D3, Di , , Di )l i l i ữ ỗ 1444444 2444444 ữ j +1 d j +1 d j ỗ ữ j =0 ố ứ i j +1, ,id =2 j Vy V (l (C ầ D) + l 2D2 + + l dDd ) d ổử j d ỗ ỗ =ồ ỗ ữ l V (C ầ D, , C ầ D3, Di , , Di )l i l i ữ 1444444 2444444 ữ i j +1 d j +1 d ữ j =0 ỗ , , i = ốj ứ j +1 d j Suy V (l C + l 2D2 + + l dDd ) d ổử j d ỗ ữ =ồ ỗ l V (C C3, Di , , Di )l i l i ữ ỗ 14, , 4244 ữ j +1 d j +1 d j ữ j =0 ỗ i , , i = ố ứ j +1 d j Vy V (l D + l 2D2 + + l dDd ) d ổử j d ữ ỗ =ồ ỗ l V (D , , D3, Di , , Di )l i l i ữ ỗ 144 244 ữ j +1 d j +1 d j ỗ ữ j =0 ố ứ i j +1, ,id =2 j Do (1) nờn phộp cng hai th tớch u tiờn bng phộp cng hai th tớch cui Cõn bng cỏc h s ca l l l d c hai bờn ca ng thc ta thy nh lý c chng minh.W 2.3.16 nh lý (Bt ng thc Minkowski) Gi s C , D ẻ C Khi ú d d- (i) V (C , D, , D) V (C )V (D) , ú C , D l cỏc th li chõn chớnh, du bng bt ng thc xy v ch C , D ng dng (ii) V (C , D, , D) V (C ,C , D, , D)V (D) Chng minh 40 Hm s V ((1- l )C + l D)d vi Ê l Ê l hm lừm Nu C v D (1) l cỏc th li chõn chớnh thỡ biu din hm s ny l tuyn tớnh nu v ch nu C v D ng dng nh lý Minkowski v th tớch hn cho thy rng d ổử ữ ỗ V ((1- l )C + l D) = ỗ (1- l )i l ữ ỗ ữ i =0 ỗ ối ữ ứ (2) d- i V (C C3, D , , D3) 14, , 4244 144 244 i d- i (i) t f (l ) = V ((1- l )C + l D)d vi Ê l Ê 1 Do (1) nờn f l hm lừm v hn na f (0) = V (C )d , f (1) = V (D)d Vỡ vy f '(1) Ê 1 ff(1) - (0) , tc l f '(1) Ê V (D)d - V (C )d , du bng xy nu v ch 1- nu hm f l tuyn tớnh S dng (1) thỡ du bng xy nu v ch nu C v D ng dng Bõy gi ta tớnh f '(1) bng cỏch s dng (2) ta c 1 -1 -1 d d d ộ ự f '(1) = V (D) dV ( D ) dV ( C , D , , D ) = V ( D ) V ( D ) V (C , D, , D) ỳ ỷ d 1 -1 1 Suy V (D)d - V (D)d V (C , D, , D ) Ê V (D )d - V (C )d , rỳt gn bt ng thc ta d d- thu c V (C , D, , D) V (C )V (D) Tc l (i) c chng minh (ii) Do (1) f l hm lừm, (2) suy f ''(1) Ê iu ny suy (ii).W 2.4 Quermassintegrals v th tớch Ta nhc li cụng thc Steiner cho cỏc th song song Gi s C ẻ C, ú 41 ổử ổử dữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ V (C + l B d ) = W0(C ) + ỗ W ( C ) l + + Wd(C )l ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ d ỗ ỗ ữ ữ ốứ ốứ d vi l Trong ú cỏc h s d Wi (C ) =V (C C3, B B d3), i = 0, ,d , 14, , 4244 144, , 42444 d- i i c gi l quermassintegrals ca C Nu C nm khụng gian ca Ed , ta cú th xỏc nh cỏc quermassintegrals ca C c Ed v khụng gian ny Núi chung cỏc kt qu li khụng ging vi cỏc mnh sau nờu ra, ú v(.) l th tớch v wi (.), i = 0, ,d - l cỏc quermassintegrals (d - 1) - chiu, k0 = v ki , i = 1, ,d l cỏc th tớch i - chiu ca B i 2.4.1 Mnh Gi s C ẻ C (Ed- 1) v nhỳng Ed- vo Ed nh bỡnh thng (nhỳng vo d - ta u tiờn) Khi ú Wi (C ) = i ki d ki - wi - 1(C ), i = 1, ,d Chng minh Gi s u(0, ,0,1) Khi ú l ổử ỗ i d ữ ỗ Wi (C )l = V (C + l B ) = ũ v((C + l B d ) ầ (Ed- + t u))dt ữ ỗ ữ ữ i =0 ỗ ối ứ -l l l i d- ổ d - 1ử ữ ỗ 2 d- 2 ữ = ũ v(C + (l - t ) B )dt = ũ(ồ ỗ wi (C )(l - t ) )dt ỗ i ữ ữ ữ i =0 ỗ ố ứ d -l ổ dỗ =ồ ỗ ỗ i i =0 ỗ ố d- -l l i d- ổ 1ử ỗ 2 ữ ỗ w ( C ) ( l t ) dt = ữ ũ ỗ ữ ỗ i ữi i =0 ố ứ -l 1ử ki +1 ữ ữ w ( C ) l ữ i ữ k ữ ứ i +1 , i vi l 42 Kt qu trờn cú c cụng thc Steiner Ed , Ed- v nh lý Fubini c s dng tớnh th tớch (i + 1) - chiu ca hỡnh cu l B i +1 Bõy gi cõn bng h s cỏc phng trỡnh ta suy iu phi chng minh W gii quyt tỡnh cỏc quermassintegrals ph thuc vo s chiu ca khụng gian nhỳng, McMullen gii thiu th tớch Vi (C ) xỏc nh bi ổử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ i ỗ ữ vi C ẻ C v i = 0, ,d ốứ Vd- i (C ) = Wi (C ) ki Mnh 2.4.1 ch rng th tớch ch ph thuc vo th li m khụng ph thuc vo s chiu ca khụng gian nhỳng T cụng thc Steiner v nh ngha ca Minkowski v din tớch b mt S(.) , di õy ta cú W0(C ) = Vd(C ) =V (C ), W1(C ) = Vd- 1(C ) = S(C ),Wd(C ) = kdV 0(C ) = kd d d Ngoi ra, Wd- 1(C ) = kd w(C ) , ú w(C ) = d k ũ hC (u)d s (u) l d Sd- chiu rng trung bỡnh ca C õy s l din tớch b mt thụng thng 2.4.2 nh ngha (Din tớch b mt ca Minkowski) Cho C ẻ C Khi ú din tớch b mt ca C c nh ngha nh sau: V (C + eB d ) - V (C ) S(C ) = lim eđ+0 e Theo cụng thc Steiner ta cú: V (C + eB d ) =V (C ) + dW1(C )e +O(e2) e đ +0, vỡ vy suy S(C ) =dW1(C ) 2.4.3 nh lý Nhng khng nh sau ỳng vi i = 0, ,d : 43 (i) Wi (.) bt bin vi cỏc phộp di hỡnh, v vỡ vy nú bt bin vi phộp tnh tin, ngha l: Wi (m(C )) = Wi (C ) vi C ẻ C v mi phộp di hỡnh m ca Ed (ii) Wi (.) l a thc thun nht bc d - i (xỏc nh dng), ngha l Wi (l C ) = l d- i Wi (C ) vi C ẻ C v l (iii) Wi (.) liờn tc trờn C (iv) Wi (.) khụng gim trờn C (v) Wi (.) cú tớnh cht: nu C , D ẻ C cho C ẩ D ẻ C, ú Wi (C ẩ D) +Wi (C ầ D) = Wi (C ) +Wi (D) 2.4.4 nh lý (Cụng thc Steiner v cỏc Quermassintegrals) Gi s C ẻ C Khi ú ổ dỗ Wi (C + l B ) = ỗ ỗ k k=0 ỗ ố d d- i iử ữ ữ W (C ) l ữ ữ ữ i +k ứ k vi l v i = 0, ,d c bit, ổ d - 1ử ữ ỗ ữ S(C + l B ) = dW1(C + l B ) = d ỗ Wk+1(C ) l k , vi l ữ ỗ ữ ữ k=0 ỗ ố k ứ d d d- i Chng minh p dng cụng thc Steiner cho (C + l B d ) + mB d = C + (l + m)B d ta cú: 44 ổử d ổử dữ ỗ ỗ d i ữ ữ ỗ ỗ W ( C + l B ) m = Wi (C )(l + m)i ữ ữ ồ ỗ i ỗ ữ ữ ỗi ứ ữ ữ i =0 ỗ i =0 ố ối ứ d ổử ổ ổ iử iử ữ ữ ỗ ỗ i i- ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ =ồ ỗ W ( C )( l + l m + + mi ) ữ ữ ữ ỗ i ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ1ứ ỗi ữ ữ ữ i =0 ỗ ối ứ ố ốứ ổd ửổ ổửổử d ổ dữỗi i + 1ữ dữỗdữ ỗổửổ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ =ồ ỗ W ( C ) + W ( C ) l + + Wd(C )l ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ i ỗ ỗ i +1 ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ i i i + i d i ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố ứốứ i =0 ố ố ứố ứ ố ứố ứ d ổ d- i ổ d ửổ i + kử ỗ ữ ữ ỗ ỗ kữ ữ ữ ỗ ỗ =ồ ỗ Wi +k(C )l ữ mi , ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữỗ i ứ ữ ữ i =0 ỗ ối + kứố ốk=0 ỗ ứ d d- i ữ ữ mi ữ ữ ữ ứ vi l , m Lp phng trỡnh cỏc h s ca mi ,ta cú: ổ d ửổ i + kử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ d- i ỗi + kữ i ỗ ữ ố ứố ứ d Wi (C + l B ) = Wi +k (C ) l ổử d k=0 ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ối ữ ứ k d- i ổ dỗ =ồ ỗ ỗ k k=0 ỗ ố iử ữ ữ Wi +k (C ) l k , ữ ữ ữ ứ vi l 0.W ^ Bõy gi chỳng ta gi s C ẻ C v u ẻ Sd- , gi C u l hỡnh chiu trc giao ^ ca C vo khụng gian (d - 1) - chiu u = { x : x.u = 0} trc giao vi u Coi s l din tớch b mt thụng thng Ed 2.4.5 nh lý (Cụng thc Cauchy v din tớch b mt) Gi s C ẻ C Khi ú (1) S(C ) = ũ v(C u kd- Sd- ^ )ds (u) 45 Chng minh Trc ht chỳng ta coi C = P l a din li chõn chớnh Nu F l mt ca P , gi s uF l vect phỏp tuyn ngoi n v ca F Vỡ P l a din li chõn chớnh nờn S(P ) = v(F ) , (tng ny ly theo tt c cỏc mt F ca P ) ^ Chỳ ý rng v(F ) uF u = v(C u ) vi u ẻ Sd- , tớch phõn trờn Sd- cho thy rng ũ v(F u ^ Sd- )ds (u) = v(F ) ũ uF u ds (u) = 2kd- 1v(F ) Sd- Vỡ vy S(P ) = v(F ) = = 1 (ồ v(F u^))ds (u) ũ 2kd- Sd- ũ v(P u kd- Sd- ^ )ds (u) Tip theo ta coi C l th li chõn chớnh Chỳng ta cú th gi s thờm o ẻ intC Khi ú tn ti dóy cỏc a din li chõn chớnh (Pn ) cho Pn è C è (1+ )Pn v Pn đ C n đ Ơ n S(.) = dW1(.) l liờn tc bi nh lý 2.4.3 (iii) Vỡ vy (2) S(Pn ) đ S(C ) n đ Ơ ^ Hm s v(Pn u ) vi u ẻ Sd- l liờn tc vi n = 1,2 Vỡ v(Pn u^) Ê v(C u^) Ê (1+ )d- 1v(Pn u^) vi u ẻ Sd- , n ^ ^ v vỡ v(C u ) b chn trờn Sd- , hm s v(C u ) l gii hn ca dóy hm liờn tc (v(Pn u^)) nờn v(C u^) liờn tc trờn Sd- Tớch phõn trờn Sd- ta thy rng: 46 ũ v(P n u^)ds (u) Ê Sd- ũ v(C u ^ Sd- 1 )ds (u) Ê (1+ )d- ũ v(Pn u^)ds (u) n Sd- Vỡ phn th nht chỳng ta ó chng minh c, S(Pn ) = ũ v(P n kd- Sd- u^)ds (u) , ta kt lun c rng S(Pn ) đ ũ v(C u ^ kd- Sd- )ds (u) n đ Ơ Cựng vi (2), iu ny ch rng S(C ) = ũ v(C u ^ kd- Sd- )ds (u) Bõy gi coi C l th li cú s chiu d - Chỳng ta gi s rng C è v^ , vi v ẻ Sd- Khi ú ũ v(C u kd- Sd- ^ )ds (u) = kd- Sũ d- u.v ds (u) v(C ) = 2v(C ) = S(C ) Cui cựng, nu dimC < d - thỡ c hai v ca (1) bng 0.W Chỳng ta coi wi (.), i = 0, ,d biu th cỏc quermassintegrals (d - 1) - chiu Khi ú ta cú th vit cụng thc ca Cauchy dng sau: W1(C ) = w0(C u^)ds (u) ũ d kd- Sd- 2.4.6 nh lý (Cụng thc Kubuta v cỏc Quermassintegrals) Gi s C ẻ C Khi ú (1) Wi (C ) = wi - 1(C u^)ds (u) , vi i = 1, ,d ũ d kd- Sd- 47 d ^ ^ d ^ Chng minh Trc ht chỳ ý rng (C + l B ) u = C u + l B u , vi u ẻ Sd- Cụng thc Steiner (d - 1) - chiu ch rng ổ dỗ v((C + l B ) u ) = v(C u + l B u ) = ỗ ỗ i i =0 ỗ ố d ^ ^ d d- ^ 1ử ữ ữ wi (C u^)l i ữ ữ ữ ứ ^ Vỡ C u thay i cựng vi u v wi (.) liờn tc, ta ly tớch phõn trờn Sd- v ỏp dng cụng thc Cauchy v din tớch b mt cho C + l B d ta thy rng (2) ổ dỗ S(C + l B ) = ỗ ỗ i i =0 ỗ ố d d- 1ử ữ ữ ữ ữ ữk ứ ũ w (C u ^ i )ds (u) l i , vi l d- Sd- Vỡ S(C + l B d ) = dW1(C + l B d ) , t cụng thc Steiner v W1(.) suy (3) ổ dỗ S(C + l B ) = d ỗ ỗ i i =0 ỗ ố d d- 1ử ữ ữ Wi +1(C ) l ữ ữ ữ ứ i , vi l Cui cựng cõn bng cỏc h s cỏc phng trỡnh (2) v (3) suy (1).W 48 KT LUN Lun ó t c cỏc kt qu sau: Trỡnh by mt s khỏi nim, tớnh cht c bn ca li khụng gian Ed * Cỏc khỏi nim siờu phng ta, hm ta v mt s tớnh cht n gin ca hm ta * Khỏi nim a din li, mt s tớnh cht ca a din li Trỡnh by mt cỏch cú h thng khỏi nim, tớnh cht ca th tớch hn v mt s liờn quan ú l: * Tng Minkowski v cỏc tớnh cht (nh ngha 2.1.1, Mnh 2.1.2, 2.1.3, B 2.1.4) Mờtric Hausdorff (nh ngha 2.2.1), nh lý chn lc (nh lý 2.2.4) * Khỏi nim th tớch hn (nh lý 2.3.2), cụng thc Steiner ca cỏc th song song (nh lý 2.3.6), chng minh c tớnh liờn tc, n iu ca th tớch hn (nh lý 2.3.10, 2.3.11) * Khỏi nim quermassintegrals (nh lý 2.3.6), cụng thc din tớch b mt ca Minkowski (nh ngha 2.4.2), ch mt s tớnh cht ca quermassintegrals (nh lý 2.4.3), chng minh chi tit cụng thc Steiner, Kubuta cho cỏc quermassintegrals (nh lý 2.4.4, 2.4.6), cụng thc Cauchy v din tớch b mt (nh lý 2.4.5) Cỏc kt qu ca lun c trỡnh by ri rỏc cỏc ti liu tham kho Tỏc gi ó hp cỏc ú theo mt h thng phự hp vi ch ó chn; chng minh chi tit nhiu tớnh cht, nh lý, h qu m cỏc ti liu tham kho a m b qua chng minh, chng minh tt hoc nờu di dng bi 49 TI LIU THAM KHO [1] Vn Lu - Phan Huy Khi (2000), Gii tớch li, NXB Khoa hc v K thut H Ni [2] A D Alexandrov (1937), To the Theory of Mixed Volumes of Convex Bodies I Extension of centain concepts of the theory of convex bodies, Mat Sb (N.S) 947-972, Selected Works I, 31-59 [3] E M Alfsen (1971), Compact Convex Sets and Boundary Integranls, SpringerVerlag, Berlin - NewYork [4] C K Bruckner and J B Bruckner (1962), On Ln-sets, the Hausdorff Metric and Connectedness, Proceedings of the American Mathematical Society, 13, 765-767 [5] Peter M Gruber (2009), Convex and Discrete Geometry, Springer- Berlin [6] F A Valentine (1964), Convex Set, New York, Mc Graw-Hill Book Company, New York San Francisco Toronto London 50 ...B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN NG KHOA Một số vấn đề thể tích hỗn tạp LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc - Tụpụ Mó s: 60.46.10 Ngi hng dn khoa