1 MỤC LỤC Mở đầu Các kiến thức sở lý thuyết đồng điều kì dị 1.1 Đơn hình chuẩn 1.2 Phức hợp đơn hình kì dị 1.3 Đồng điều kì dị 1.4 Đồng điều kì dị thu gọn trường hợp đặc biệt 11 Một số ứng dụng lý thuyết đồng điều kì dị 19 2.1 Đối đồng điều kì dị khơng gian tôpô 19 2.2 Một số ứng dụng lý thuyết đồng điều kì dị 21 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng điều bắt đầu phát triển vào năm đầu kỷ 20 H.Poincaré đưa khái niệm dây chuyền, chu trình đồng điều số khơng gian khơng gian R Các khái niệm đặt móng cho phát triển lý thuyết đồng điều Sau khái niệm mở rộng cho không gian tôpô Về nghiên cứu nhóm đồng điều, tìm thấy cơng trình nhà tốn học S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, A.Kolmogorov Các cơng trình P.S.Alexandrov, Cech, Alexander giải vấn đề trọng tâm lý thuyết đồng điều, cụ thể tính bất biến nhóm đồng điều kỳ dị đa diện S.Eilenberg Steenrod người xây dựng hệ tiên đề cho lý thuyết đồng điều phạm trù cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều lý thuyết phạm trù Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, nhà tốn học cịn nghiên cứu phát minh nhiều lý thuyết đồng điều khác Ví dụ : lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết đồng điều CW- phức hợp, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều đối đồng điều Cech Lý thuyết đối đồng điều Alexander, lý thuyết đối đồng điều bó, K- lý thuyết Hiện tơpơ đại số nói chung lý thuyết đồng điều nói riêng trở thành cơng cụ vô hiệu việc nghiên cứu phát triển nhiều ngành toán học đại Hình học vi phân, Hình học đại số, Tơpơ vi phân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng điều ngành vật lý lý thuyết Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Chúng tơi trình bày khái niệm sở lý thuyết đồng điều kì dị Để chứng minh cho ích lợi phức chúng tơi mơ tả ngắn gọn đồng điều kì dị khơng gian tơpơ Để có nhóm đồng điều kì dị, cần xây dựng phức kì dị cho khơng gian tơpơ từ lớp tất đơn hình kì dị Chương 2: Chúng tơi trình bày số ứng dụng lý thuyết đồng điều kì dị Luận văn thực hướng dẫn nghiêm túc chu đáo Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán Thầy Cơ mơn Đại số Khoa Tốn, Khoa Đào Tạo Sau Đại học dạy bảo chúng em thời gian học tập vừa qua Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu tập thể giáo viên Trường THPT Tân Kỳ tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo Thầy Cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 1.1 Đơn hình chuẩn 1.1.1 Định nghĩa Đơn hình chuẩn q chiều (hay q - đơn hình chuẩn) ∆q tập không gian Rq+1 gồm điểm (x0 , x1 , , xq ) thoả mãn điều kiện: i) xi ≥ 0, i = 0, 1, , q q ii) xi = i=0 Từ định nghĩa suy đơn hình chuẩn q chiều ∆q tập đóng bị chặn khơng gian Euclid Rq+1 Vậy tập compact Dễ thấy đơn hình chuẩn Rq+1 tập lồi Hiển nhiên ∆0 điểm, ∆1 đoạn thẳng, ∆2 tam giác đều, ∆3 tứ diện Các điểm ej = (0, , 0, 1, 0, , 0) (số nằm vị trí thứ j) nằm ∆q ; chúng gọi đỉnh đơn hình ∆q 1.1.2 Định nghĩa Ánh xạ f : ∆q → Rq+1 gọi ánh xạ tuyến tính tồn ánh xạ tuyến tính (theo nghĩa thơng thường) F : Rq+1 → Rn cho F trùng với f ∆q , tức F |∆q = f Dễ thấy với q + điểm tuỳ ý P , P , , P q ∈ Rn tồn ánh xạ tuyến tính f : ∆q → Rn cho f (el ) = P l , cụ thể ánh xạ f xác định qua công thức : q xi P i = f (x) = i=0 với x = (x0 , x1 , , xq ) ∈ ∆q Từ suy ra: Ảnh f (tức f (∆q )) gồm tất điểm P ∈ Rn có dạng q xi P i = P = i=0 q với ≤ xi ≤ 1, xi = i=0 Như ánh xạ tuyến tính f : ∆q → Rn hồn tồn xác định giá trị đỉnh∆q , giá trị chọn tuỳ ý Đặc biệt ta xét ánh xạ tuyến tính: ej = εjq : ∆q−1 → ∆q , j = 0, 1, , q mà εj (ei ) = ei với i < j, εj ei = ei+1 với i ≥ j Từ định nghĩa ta thấy: Ảnh ánh xạ εjq (tức εjq (∆q−1 )) gồm điểm x = (x0 , x1 , , xq ) ∈ ∆q cho xj = 0; gọi mặt thứ j đơn hình ∆q Hợp tất mặt đơn hình ∆q gọi bờ ˙ q hay ∂∆q Nó gồm điểm đơn hình ∆q có đơn hình ∆q , kí hiệu ∆ toạ độ 0: ˙ q = ∂∆q = (x0 , x1 , , xq ) ∈ ∆q |x0 x1 xq = ∆ 1.1.3 Định lý Nếu k < j εjq+1 εkq = εkq+1 εj−1 q Chứng minh Thật vậy, hai vế đẳng thức ánh xạ tuyến tính xác định công thức: ei → ei với i < k ei → ei+1 với k ≤ i < j − ei → ei+2 với i ≥ j − 1.2 Phức hợp đơn hình kì dị Bây ta xây dựng hàm tử từ phạm trù không gian tôpô đến phạm trù phức hợp dây chuyền Hàm tử gọi phức hợp đơn hình kì dị 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X khơng gian tơpơ Đơn hình kì dị q chiều (hay q - đơn hình kì dị), q ≥ 0, không gian tôpô X ánh xạ liên tục từ đơn hình chuẩn ∆q vào khơng gian X Ta kí hiệu Sq X nhóm Abel tự sinh tâp hợp tất đơn hình kì dị q chiều khơng gian tơpơ X Các phần tử nhóm gọi dây chuyền kì dị q chiều khơng gian X Do đó, dây chuyền kì dị q chiều c ∈ Sq X biễu diễn cách dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn đơn hình kì dị q chiều σ không gian tôpô X với hệ số nguyên cσ , tức cδ σ c= δ (ở cσ ∈ Z, cσ không hầu khắp nơi trừ số hữu hạn) Với q < 0, đặt Sq X = O Bây ta định nghĩa đồng cấu bờ (hay toán tử bờ) ∂q : Sq X → Sq−1 X công thức sau: Nếu q ≥ q (−1)j (σ.εjq ) ∂q = j=0 Nếu q < ∂q = 1.2.2 Mệnh đề Dãy ∂q+1 ∂q SX : → Sq+1 X −→ Sq X −→ Sq−1 X −→ phức hợp dây chuyền Chứng minh Đối với đơn hình kì dị σ ta có: (−1)j σεj ∂∂σ = ∂ j (−1)j+k σεj εk = j,k (−1)j+k σεj εk + = j≤k (−1)j+k σ.εj εk j>k (−1)j+k σ.εj εk + = j≤k (−1)j+k σ.εk εj−1 j>k (đẳng thức sau rút từ định lý 1.1.3) Đặt m = j − 1, l = k Khi k < j suy m ≥ l ta có: (−1)m+l+1 εl εm (−1)j+k σ.εk εj−1 = l≤m k f (z) = ,λ= Đặt z = x 2−2 x λz 2.2.8 Hệ (Định lý Brouwer điểm bất động) Nếu g : Bn → Rn ánh liên tục tồn y ∈ Bn tồn z ∈ Sn−1 µ > cho g(z) = µz Chứng minh Gọi f : Bn → Rn ánh xạ liên tục cho f = g(x) − x Áp dụng hệ 2.2.7 ta có điều phải chứng minh 2.2.9 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô P điểm X Nhóm đồng điều kì dị H(X, X − P ) gọi nhóm đồng điều địa phương không gian X P Mệnh đề sau giải thích tính địa phương nhóm đồng điều địa phương 2.2.10 Mệnh đề Nếu điểm P đóng X , tức P = P (chẳng hạn X T1 khơng gian) với lân cận V điểm P , nhúng (V, V − P ) → (X, X − P ) gây đẳng cấu H(V, V − P ) ∼ = H(X, X − P ) Nói cách khác, nhóm đồng điều địa phương không gian X điểm P không thay đổi ta thay không gian X lân cận điểm P 27 Chứng minh Đặt B = X − V Vì V lân cận điểm P nên P ∈ intV (phần V) suy B = X − intV ⊂ X − P = X − P = int(X − P ) Áp dụng định lý cắt rời, ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Nhóm đồng điều địa phương khơng gian điểm khác nói chung khơng đẳng cấu Thật vậy, ta xét ví dụ sau Trên đường thẳng thông thường R1 ta lấy đoạn thẳng [a, b] điểm P không thuộc đoạn [a, b] Đặt X = [a, b] ∪ P Khi X khơng gian tơpơ với tơpơ cảm sinh từ R1 , P tập vừa đóng vừa mở X Vậy ta có Z, O, Hq (X, X − P ) ∼ = Hq (P, P − P ) = Hq P = q=0 q=0 Gọi Q điểm X cho Q ∈ [a, b], Q không trùng hai đầu mút đoạn thẳng [a, b] Ta có tập [a, b] mở X (vì [a, b] = X − P ), nên H(X, X − Q) ∼ = H([a, b], [a, b] − Q) Rõ ràng [a, b] co rút tập a, b co rút biến dạng tập [a, b] − Q nên Hq ([a, b]) = O với q ∈ Z Hk−1 ([a, b] − Q) = Hq−1 intS ∼ = Z, q = O, q = Vậy từ dãy khớp đồng điều thu gọn cặp ([a, b], [a, b] − Q) suy ra: Hq ([a, b], [a, b] − Q) ∼ = Hq−1 ([a, b] − Q) ∼ = Z, q = O, q = Do H(X, X − Q) ∼ = Z, q = O, q = Từ (1) (2) suy hai nhóm đồng điều địa phương H(X, X − P ), H(X, X − Q) 28 không đẳng cấu 2.2.11 Định nghĩa Giả sử X Y hai không gian tôpô điểm P ∈ V ⊂ X Ánh xạ liên tục f : V → X gọi P –ánh xạ từ X vào Y có lân cận U P cho U ⊂ V f (U − P ) ⊂ Y − f (P ) Nếu điểm P đóng, rõ ràng P –ánh xạ f cảm sinh đồng cấu nhóm đồng điều địa phương điểm P : (f /U )∗ f∗P : H(H, X − P ) ∼ = H(U, U − P ) −→ H(Y, Y − Q) Q = f (P ) Đồng cấu f∗P rõ ràng không phụ thuộc vào lựa chọn lân cận U Hơn ta có: 2.2.12 Mệnh đề Nếu hai P –ánh xạ f : V → Y , f : V → Y trùng lân cận điểm P cảm sinh đồng cấu nhóm đồng điều địa phương Chứng minh Giả sử U U hai lân cận điểm P cho U ⊂ V, U ⊂ V , f (U − P ) ⊂ Y − f (P ), f (U − P ) ⊂ Y − f (P ) Đặt Q = f (P ), f f trùng lân cận điểm P , nên tồn lân cận W điểm P cho f |W = f |W W ⊂ U ∩ U Đặc biệt f (W − P ) ⊂ Y − Q Xét biểu đồ giao hoán sau: H(U, U − P ) ✟ ✟ ✙ ✟✟ ✟✟ ✟ ❍❍ ❍ ∼ ❍❍ = (f /U )∗ H(X, X − P ) ❍❍ ❍ ❥ ❍ H(Y, Y − P ) ❍❍ ∼ ❍ = ❍ ❥ ❍ ✟ ✟ ✙ ✟ ✟✟ H(W, W − P ) ✟✟ (f /U )∗ 29 Suy f∗P tích đồng cấu dịng Tương tự, ta có f P ∗ tích đồng cấu dịng Vậy f∗P = f P∗ Mệnh đề cho phép ta có định nghĩa: 2.2.13 Định nghĩa Hai P -ánh xạ từ không gian tôpô X vào không tôpô Y gọi P -tương đương chúng trùng lân cận điểm P Lớp tương đương ánh xạ f kí hiệu f P gọi mầm f điểm P Nếu f : V → Y P -ánh xạ từ X vào Y , f : V → Y Q = f (P )-ánh xạ từ Y vào Z g0 f : f −1 (W ) → Z P -ánh xạ, mầm g0 f P phụ thuộc vào mầm f g Do đó, cơng thức g Q f P = (gf )P xác định hợp thành mầm Từ nhận phạm trù mà vật cặp (X, P ) tức không gian với điểm sở P , cho P = P , mũi tên (X, P ) → (Y, Q) mầm P -ánh xạ.Theo mệnh đề trên, nhóm đồng điều địa phương hàm tử xác định phạm trù Đặc biệt, vật tương đương có nhóm đồng điều địa phương đẳng cấu 2.2.14 Mệnh đề Nếu P ∈ X, Q ∈ Y điểm đóng, có lân cận V W cho (V, P ) đồng phơi với (W, Q)(kí hiệu (V, P ) ≈ (W, Q) H(X, X − P ) ∼ = H(Y, Y − Q) Chứng minh Từ mệnh đề 2.2.10 (V, P ) ≈ (W, Q) ta có: H(X, X − P ) ∼ = H(V, V − P ) ∼ = H(W, W − Q) ∼ = H(Y, Y − Q) 2.2.15 Định lý (Định lý bất biến số chiều ) 30 Nếu điểm P ∈ Rn , Q ∈ Rm có lân cận V, W cho (V, P ) ≈ (W, Q) m = n Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.4c) ta có Hq (Rn , Rn − P ) = Z, q = n (∗) O, q = n Hq (Rn , Rn − Q) = Z, q = n (∗∗) O, q = n Từ (V, P ) đồng phôi với (W, Q) suy Hq (Rn , Rn − P ) ∼ = Hq (Rn , Rn − P ), q ∈ Z Kết hợp với (∗) với (∗∗) suy m = n 2.2.16 Định lý (Định lý bất biến số bờ) n = x = (x , x , , x ) ∈ Rn |x ≥ kí hiệu nửa Giả sử R+ n Rn Nếu điểm P, Q ∈ Rn có lân cận V, W cho (V, P ) ≈ (W, Q), n = x = (x , x , , x ) ∈ Rn |x = hai điểm nằm bờ R˙ + n hai điểm thuộc phần intRn+ = {x ∈ Rn |x0 > 0} Rn+ Nói cách khác, đồng phơi địa phương khơng chuyển điểm bờ vào điểm ngược lại Chứng minh Nếu điểm P ∈ Rn+ điểm thuộc bờ R˙ n+ , rõ ràng cặp (Rn+ , Rn+ − P ) co rút biến dạng vào cặp (S, S), P ∈ R˙ n+ Do đó, H(Rn+ , Rn+ − P ) ∼ = H(S, S) = O (1) Mặt khác, Q ∈ intRn+ theo định lý cắt rời ta có H(Rn , Rn − P ) ∼ = H(Rn − B, (Rn − Q) − B) B = x = (x0 , x1 , , xn ) ∈ Rn |x0 < 31 Dễ thấy H(Rn − B, (Rn − Q) − B) = H(Rn+ , Rn+ − Q) Vậy H(Rn+ , Rn+ − P ) ∼ = H(Rn , Rn − Q) = O (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Ta biết đồng cấu ϕ nhóm xiclic tự G hồn tồn xác định số nguyên, nghĩa tồn số nguyên a cho với g ∈ G, ϕ(g) = ag 2.2.17 Định nghĩa Giả sử f : S n → S n (tương ứng f : (B n+1 , S n ) → (B n+1 , S n )) ánh xạ liên tục Khi tự đồng cấu cảm sinh từ f : f∗ : Hn+1 S n ∼ = Z → Hn S n ∼ =Z (tương ứng f∗ : Hn+1 (B n+1 , S n ) ∼ = Z → Hn+1 (B n+1 , S n ) ∼ = Z) cho công thức f∗ (x) = deg(f ).x deg(f ) ∈ Z số nguyên xác định không phụ thuộc vào x, gọi bậc ánh xạ f 2.2.18 Mệnh đề Ta có: a) deg(Id) = ; b) deg(f0 f ) = deg(f ).deg(f ) ; c) Nếu f ≈ f deg(f ) = deg(f ) ; d) Nếu f tương đương đồng luân degf = ; e) Nếu f : (Bn+1 , S n ) → (Bn+1 , S n ) ánh xạ liên tục degf = deg(f |S n ) 32 Chứng minh Từ tính chất hàm tử f∗ (Id)∗ = Id, (f0 f )∗ = f∗ f∗ suy a) b) Tính chất e) rút từ biểu đồ giao hoán sau: Hn+1 (Bn+1 , S n ) f∗✲ Hn+1 (Bn+1 , S n ) ∂∗ ∼ = ❄ Hn S n ∂∗ ∼ = (f /S n )∗ ❄ ✲ Hn S n Chú ý : Mệnh đề ngược tính chất c) d) Ví dụ: ˙ n ) → (∆n , ∆ ˙ n ) (được sinh từ a) Bậc ánh xạ tuyến tính β : (∆n , ∆ hoán vị đỉnh ∆n ) dấu hốn vị đó, tức deg(β) = sign(β/e0 , e1 , , en ) b) Bậc ánh xạ trực giao α : S n → S n định thức nó, tức deg(α) = detα c) Bậc ánh xạ xuyên tâm đối Sn → Sn x → −x (−1)n+1 Chứng minh a) Giả sử v = v0 , v1 , , ánh xạ tuyến tính ∆r → ∆n biến đỉnh ei thành đỉnh evi (0 ≤ vi ≤ n) Ta chứng minh v hốn vị (r = n) [v0 , v1 , , ] = sign(v)[0, 1, , n], [0, 1, , n] lớp ˙ n ); ý , [0, 1, , n] phần tử sinh đồng điều nhóm Hn (∆n , ∆ nhóm Trước hết, ta giả thiết v chuyển vị hai đỉnh kề i i + Giả sử µ : ∆n+1 → ∆n ánh xạ (0, 1, , i − 1, i + 1, i, i + 1, , n) 33 Khi đó, ta có: ∂µ = (−1)i (0, 1, , n) + (−1)i+2 (0, , i − 1, i + 1, i, i + 2, , n) + R R gồm số hạng khơng có đỉnh đỉnh e0 , e1 , , en ˙ n Do chuyển qua đồng điều mod∆ ˙ n ta có: R ∈ S ∆ = (0, 1, , n) + (0, , i − 1, i + 1, i, i + 2, , n) ⇒ [0, 1, , i − 1, i + 1, i, i + 2, , n] = (−1)[0, 1, , n] Bây giờ, giả sử v hốn vị Khi v tích chuyển vị T1 , T2 , , Tq , tức v = T10 , T20 , , Tq signv = (−1)q Từ tính chất b) mệnh đề 2.2.14 ta có khẳng định a) ví dụ cho b) Người ta chứng minh ánh xạ trực giao α : S n → S n , có định thức 1, đồng luân với ánh xạ đồng nên suy deg(α) = Nếu detα = −1, α đồng luân với phép đối xứng ρ qua siêu phẳng chứa điểm O Gọi s đơn hình (n + 1) chiều Rn+1 với đỉnh n n ei ) (e , e , , e , − i=0 Lớp đồng điều [s] sinh nhóm (Hn+1 Rn , Rn − 0), cịn lớp [∂s] sinh nhóm Hn (Rn+1 − 0) = Hn S n Tồn phép đối xứng qua siêu phẳng ρ biến e0 thành e1 , e1 thành e0 giữ bất động định ei (i > 1) Đơn hình ρs có đỉnh (e1 , e0 , e2 , e3 , , en , − n i i=0 e ); Vậy theo a) [ρ] = −[s] Từ ta có: ρ∗ [∂s] = [ρ∂s] = −[∂s] ⇒ deg(ρ) = −1 ⇒ deg(α) = deg(ρ) = −1 ⇒ deg(α) = det(α) c) Nếu α ánh xạ xuyên tâm đối, detα = (−1)n+1 , theo b) ta có degα = (−1)n+1 34 2.2.19 Hệ Nếu ánh xạ f : S n → S n khơng có điểm bất động deg(f ) = (−1)n+1 Nếu ánh xạ f : S n → S n khơng có điểm xun tâm đối (tức f (x) = −x với x ∈ S n ) deg(f ) = Đặc biệt, ánh xạ f : S 2k → S 2k điểm bất động, biến điểm thành điểm xun tâm đối Chứng minh Nếu f khơng có điểm bất động dt (x) = (1−t)(f (t)−t.x) = với x ∈ S n t ∈ [0, 1].Do Dt (x) = (dt (x))/||dt (x)||, x ∈ S n , đồng luân ánh xạ f ánh xạ xuyên tâm đối S n (vì D0 (x) = f (x), D1 (x) = −x) Do deg(f ) = (−1)n+1 • Nếu f (x) = −x với x ∈ S n ánh xạ f : Sn → Sn x → −f (x) khơng có điểm bất động (vì có x ∈ S n mà g(x) = x −f (x) = x ⇒ f (x) = −x, vô lý), theo chứng minh ta có deg(f ) = (−1)n+1 Nếu α : S n → S n ánh xạ xuyên tâm đối rõ ràng g = α0 f Vậy: (−1)n+1 = deg(g) = deg(α).deg(f ) = (−1)n+1 deg(f ) ⇒ deg(f ) = • Nếu ánh xạ f : S 2k ⇒ S 2k khơng có điểm bất động, theo chứng minh ta có deg(f ) = (−1)2k+1 = −1, tức f phải có điểm xuyên tâm đối Bây ta chuyển sang nghiên cứu khái niệm song bậc ánh xạ µ : Sn × Sn → Sn 35 Trước hết, từ mệnh đề 2.2.4, với n > ta có đẳng cấu H n (S n × S n ) Để mơ tả phần tử sinh nhóm, ta xét ánh xạ: Hn S n (i1∗ ,i2∗ ) (p1∗ ,p2∗ ) Hn S n −→ Hn (S n × S n ) −→ Hn S n Hn S n (2.1) i1 , i2 : S n → S n × S n nhúng (được xác định công thức i1 (x) = (x, P ), i2 (x) = (P, x)); p1 , p2 : S n × S n → S n phép chiếu, n > Hợp thành hai ánh xạ dãy (2.1) ánh xạ đồng nên (i1∗ , i2∗ ) ánh xạ đẳng cấu nhóm Hn S n ∼ =Z Hn S n Z Nhưng rõ ràng, hạng tử trực tiếp Z Z Vậy ta có khẳng định sau: 2.2.20 Mệnh đề Hai ánh xạ (i1∗ , i2∗ ), (p1∗ , p2∗ ) dãy (2.1) đẳng cấu 2.2.21 nh ngha Gi s : Sn ì Sn Sn Khi đồng cấu cảm sinh (từ 2.2.20) Hn S n ∼ = µ∗ Hn S n −→ Hn (S n × S n ) −→ Hn S n có dạng µ∗ (x1 , x2 ) = d1 x1 + d2 x2 , d1 , d2 hai số nguyên xác định không phụ thuộc vào x1 , x2 Cặp (d1 , d2 ) gọi song bậc ánh xạ 2.2.22 Mệnh đề Giả sử f1 , f2 : S n → S n hai ánh xạ liên tục Khi bậc hợp thành 36 (f1 ,f2 ) µ S n −→ S n × S n −→ S n xác định cơng thức: deg[µ(f1 , f2 )] = d1 deg(f1 ) + d2 deg(f2 ) Chứng minh Giả sử p1 , p2 : S n × S n → S n phép chiếu Khi pk (f1 , f2 ) = fk dãy (2.1) chứng tỏ với x ∈ Hn S n (p1∗ , p2∗ )(f1 , f2 )∗ (x) = (f1∗ (x), f2∗ (x)) = (deg(f1 )x, deg(f2 )x) Vậy: µ∗ (f1 , f2 )∗ (x) = [d1 deg(f1 ) + d2 deg(f2 )] Ánh xạ µ xem cấu trúc nhân S n , tương tự phép nhân số phức (với n = 1), hay phép nhân số quaternion (với n = 3) Trong trường hợp này, ánh xạ µ(z1 , z2 ) = z1 z2 có song bậc (1, 1) ta có kết sau: 2.2.23 Hệ Ánh xạ pk : z → z k từ nhóm S (tương ứng S ) số phức đơn vị (tương ứng quaternion có chuẩn 1) vào có bậc k Chứng minh Rõ ràng, ánh xạ pk hợp thành Sn (pk−1 ,Id) µ −→ S n × S n −→ S n (n = 1, 3) z → (z k−1 , z) → z k−1 z = z k Theo mệnh đề 2.2.22 ta có deg(pk ) = 1.deg(pk−1 ) + 1.deg(Id) = deg(pk−1 ) + 37 Mặt khác deg(p1 ) = 1.deg(Id) = Vậy deg(pk ) = (k − 1) + = k Dùng hệ này, người ta chứng định lý đại số 2.2.24 Định lý (Định lý đại số) Mọi đa thức phức: p(z) = z k + c1 z k−1 + c2 z k−2 + + ck (k > 0) có nghiệm Chứng minh Giả sử đa thức p(z) cho khơng có nghiệm Khi đường trịn S , ta xác định ánh xạ p : S1 → S2 z → p(z)/||p(z)|| Định lý chứng minh ta chứng minh rằng: a) Nếu p khơng có nghiệm z với ||z|| ≤ 1, deg(p) = b) Nếu p khơng có nghiệm z với ||z|| ≥ 1, deg(p) = k Để chứng minh a), ta xét biến dạng: p : S1 → S1 z → p(tz)/||p(tz)|| Rõ ràng: p1 = p2 p0 ánh xạ , suy deg(p) = deg(p0 ) = ⇒ deg(p = 0) Để chứng minh b), ta xét biến dạng: pt : S → S z → p(z, t)/||q(z, t)|| 38 q(z, t) = tk p( zt ) = z k + t(c1 z k−1 + tc2 z k−2 + + tk−1 ck ) t = (∗) q(z, t) = z k t = Vế phải (∗) chứng tỏ hàm q(z, t) liên tục Hiển nhiên: p1 = p, p0 = z k Vậy deg(p) = deg(p0 = k) (theo hệ 2.2.23) 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết tường minh số nội dung sau đây: • Các kiến thức sở lý thuyết đồng điều kì dị: đơn hình chuẩn, phức hợp đơn hình kì dị xây dựng hàm tử từ phạm trù không gian tôpô đến phạm trù phức hợp dây chuyền, định nghĩa cho khái niệm đồng điều kì dị, khái niệm đồng điều kì dị thu gọn trường hợp đặc biệt • Một số ứng dụng lý thuyết đồng điều kì dị: đối đồng điều kì dị khơng gian tơpơ; đồng điều hình cầu mặt cầu; định lý Brouwer điểm bất động; đồng điều địa phương; chứng minh định lý đại số lý thuyết đồng điều kì dị Hướng phát triển luận văn Luận văn tiếp tục nghiên cứu theo hướng tìm thêm ứng dụng khác lý thuyết đồng điều kì dị 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Đồnh, Tạ Mân (2009), Nhập mơn Tơpơ Đại số, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] Sze-TsenHu (1974), Nhập môn đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Hoàng Tuỵ, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái (1979), Mở đầu số lý thuyết đại Tôpô Đại số, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia T.P Hồ Chí Minh Tiếng Anh [5] Dold.A (1972), Lectures on algebraic topologys, Springer - Verlag, Berlin Heidelber New York [6] Eilenberg, S.Steenrod, N.E (1952), Foundation of AlgebraicTopology, Princeton - Univi.Press ... thuyết đồng điều CW- phức hợp, lý thuyết đồng điều phổ, lý thuyết đồng điều đối đồng điều Cech Lý thuyết đối đồng điều Alexander, lý thuyết đối đồng điều bó, K- lý thuyết Hiện tơpơ đại số nói... đại số đồng điều lý thuyết phạm trù Bên cạnh lý thuyết đồng điều kỳ dị, nhà tốn học cịn nghiên cứu phát minh nhiều lý thuyết đồng điều khác Ví dụ : lý thuyết đồng điều phức hợp đơn hình, lý thuyết. .. niệm đồng điều kì dị, khái niệm đồng điều kì dị thu gọn trường hợp đặc biệt • Một số ứng dụng lý thuyết đồng điều kì dị: đối đồng điều kì dị khơng gian tơpơ; đồng điều hình cầu mặt cầu; định lý