Trờng đại học vinh Khoa TON HC NGUYN TH HIN KHóA LUậN tốt nghiệp Đề tài: PHẫP DI HèNH V NG DNG ngành: HèNH HC Lớp: 49B - Toỏn Ging viờn hng dn: PGS.TS Nguyn Hu Quang VINH - 2012 LI NểI U Phộp di hỡnh hỡnh hc ph thụng l phộp bin hỡnh c bn v cú nhiu ng dng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc clit c bit i vi cỏc bi toỏn hỡnh hc s cp thỡ vic dựng phộp di hỡnh l rt hu ớch Vỡ vy, chỳng tụi chn ti Phộp di hỡnh v ng dng nhm h thng nh ngha, tớnh cht, phõn loi v vit phng trỡnh ca cỏc phộp di hỡnh trờn c s s dng cỏc kin thc v tớch vụ hng, khụng gian clit, phộp bin i trc giao Ngoi vic trỡnh by lớ thuyt, chỳng tụi cng ó a mt s ng dng ca phộp di hỡnh vo vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc ph thụng Trong khúa lun ny, chỳng tụi ó trỡnh by mt s ni dung nh sau: Đ1 Khụng gian clit Chỳng tụi trỡnh by v cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca tớch vụ hng, khụng gian clit, cỏc phng vuụng gúc E n v phng trỡnh ca phng En Đ2 Phộp di hỡnh khụng gian clit Chỳng tụi trỡnh by s lc v ỏnh x ng c; nh ngha, tớnh cht, phõn loi v phng trỡnh ca phộp di hỡnh Đ3 Cỏc phộp di hỡnh ph thụng v ng dng Chỳng tụi trỡnh by nh ngha,tớnh cht, phng trỡnh v ng dng gii mt s bi toỏn s cp Khúa lun c thc hin di s hng dn, giỳp ca PGS.TS Nguyn Hu Quang Nhõn dp ny, chỳng tụi xin by t lũng bit n chõn thnh n thy Chỳng tụi cng xin chõn thnh cm n n cỏc thy, cụ t hỡnh hc cng nh cỏc thy, cụ ton khoa toỏn ó ging dy, trang b kin thc cho chỳng tụi sut thi gian qua Sau cựng, chỳng tụi xin cm n s ng viờn, giỳp ca tt c cỏc bn sinh viờn Xin chõn thnh cm n! Ngh An, thỏng 05 nm 2012 Tỏc gi Đ1 Khụng gian clit Trong mc ny, ta luụn gi gi thit rng: Vn l khụng gian vect trờn trng s thc, n- chiu Cng mc ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca tớch vụ hng, khụng gian vect clit, khụng gian clit, cỏc phng vuụng gúc En I.Khụng gian vect clit 1.1 nh ngha Mt tớch vụ hng trờn V l mt ỏnh x : VìV R ( x, y ) ( ) a x y = x, y tha cỏc iu kin sau 1) x y = y x x, y V ( ) 3) ( x ) y = ( x y ) 2) x + x' y = x y + x' y x, x', y V x, y V, R 4) x x x x = x = 0, x V Mt khụng gian vect V trờn trng s thc cựng vi tớch vụ hng trờn nú c gi l khụng gian vect clit 1.2 Vớ d urur a) Gi s x, y l cỏc vect mt phng Oxy.Ta xột ỏnh x : R2 ì R2 R r ur urur r ur ( x, y ) a | x || y |cos( x, y ) Khi ú, l mt tớch vụ hng trờn R2 b)Trờn Rn, ỏnh x : Rn ì Rn R c cho bi ((x1, x2,,xn),(y1,y2,,yn)) a x1y1+x2y2++xnyn l mt tớch vụ hng, gi l tớch vụ hng chớnh tc trờn Rn 1.3 Nhn xột r r ur r r rur a) a ( x y ) = a x a y rr b) x = 1.4 nh lý (Bt ng thc Cauchy Schwartz) (Xem ti liu [ 8] ) Nu ỏnh x : V ì V R rr rr rr (a, b) a a.b : = (a, b) rr r2 r2 l mt tớch vụ hng trờn V thỡ (ab) a b Chng minh rr r r Trng hp 1: a, b ph thuc tuyn tớnh, tc k R : a = kb r2 r2 r r2 r2 r2 Khi ú: a b = (kb) b = k b b rr r r2 r2 r2 (ab) = (kb) b = k b b r2 r2 rr a b = (ab) rr r r Trng hp 2: a, b ph thuc tuyn tớnh, tc a kb vi k R r r a kb k R r r ( a kb) k R Nờn r2 rr r2 a 2kab + k b k R r rr r phng trỡnh a 2k ab + k b = vụ nghim k rr r2 r2 ' = ( ab)2 a b < rr r2 r2 ( ab) < a b rr r2 r2 Vy ta luụn cú (ab) a b r r 1.5 H qu: Cho a (a1,a2, ,an) v a1,a2, ,an) b (b1,b2,,bn) l hai vect Rn Khi ú: (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 (a12 +a22 + +an2)(b12 + b22 + + bn2) 1.6 nh lý (Pytago) (Xem ti liu [ ] ) ur rur r Gi s x v y l hai vect trc giao ( x y = ) Khi ú: r ur r ur x+ y = x + y Chng minh r ur r ur r ur rr rur urur Ta cú: x + y = ( x + y )( x + y ) = xx + x y + y y r2 rur ur = x + 2x y + y rur Mt khỏc: x y = suy ra: r ur r ur x+ y = x + y 1.7 Bin i trc giao ur uur Cho khụng gian vect clit E , E ' Mt ỏnh x tuyn tớnh : E E ' gi l ỏnh x trc giao nu nú bo ton tớch vụ hng gia hai vector bt kỡ r ur rur r ur ur ca E tc l ( x). ( y ) = x y vi x, y E 1.8 Mnh ( Xem ti liu [ 6] ) urn urn ur Gi s : E E l mt ỏnh x tuyn tớnh ca E n v ma trn ca i ur uur e vi c s trc chun 1, , en l: { a11 A = an1 a12 an } a1n ann Khi ú, l bin i trc giao v ch A l ma trn trc giao II Khụng gian clit 1.9 nh ngha Mt khụng gian clit, ú l khụng gian afin n- chiu vi nn l khụng gian vect clit n- chiu Khụng gian clit n- chiu thng c kớ hiu l En , vi khụng gian vect uur clit nn l E n 1.10 Vớ d: a) Khụng gian Oxy thụng thng l khụng gian clit chiu Tht vy: uuur ( A, B ) = AB = (b1 a1 , b2 a2 , b3 a3 ); A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ) Oxy Khi ú: tha tiờn Afin: r i) Vi mi im A(a1 , a2 , a3 ) Oxy v mi vect u (a1' , a2' , a3' ) Oxy , cú uuuur r nht im M (a1 a1' , b1 b1' , c1 c1' ) Oxy cho AM = u ii) Vi im A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C (c1 , c2 , c3 ) Oxy bt kỡ, ta cú: uuur uuur uuur AB + BC = AC Do ú Oxy l khụng gian Afin uuuruuur uuur uuur uuur uuur ABCD = AB CD cos( AB, CD ) l tớch vụ hng khụng gian vect chiu thụng thng b) Mi khụng gian vect clit hu hn chiu ci cu trỳc Afin chớnh tc l mt khụng gian clit, chng hn nh Rn c) Cỏc khụng gian Afin thc n- chiu u cú th tr thnh khụng gian clit n- chiu bng cỏch trang b mt tớch vụ hng cho khụng gian vect liờn kt vi khụng gian Afin ó cho ur d) Nu E l khụng gian clit cú nn l E thỡ mi phng ca nú cng l ur ur khụng gian clit liờn kt vi (Trong xột tớch vụ hng cm sinh t tớch ur vụ hng ca E ) III Cỏc phng vuụng gúc En Trong khụng gian Afin, ta ó xột cỏc v v trớ tng i ca cỏc phng nh: ct nhau, song song, chộo Trong khụng gian clit chỳng ta s xột thờm quan h vuụng gúc gia cỏc phng 1.11 nh ngha ur ur Trong En cho phng cú phng , phng cú phng Hai phng v c gi l vuụng gúc vi nhau, kớ hiu , nu khụng gian ur ur vector v trc giao vi 1.12 nh lớ ( Xem ti liu [ 5] ) Hai phng vuụng gúc vi cú khụng quỏ mt im chung Hai phng bự vuụng gúc cú mt im chung nht Chng minh: Gi s v l hai cỏi phng E n , Nu cú hai im M,N uuuur ur ur ur ur uuuur ur uuuur ur thuc thỡ MN , tc l MN v MN Mt khỏc, nờn =0 hay M N urn ur ur Nu v bự vuụng gúc thỡ E = Do ú, nu gi s = ur uur thỡ dim( + )= dim + dim dim ( ) + = n + = n + (vụ lý) H qu 1: Nu v bự vuụng gúc vi thỡ tng ca chỳng l En Chng minh: Vỡ bự vuụng gúc vi nờn ti mt im nht, tc l Do ú theo nh lớ v s chiu khụng gian afin ta cú: dim ( + ) = dim + dim dim ( ) (1) Vỡ l mt im nht nờn: dim ( ) = (2) ur ur Mt khỏc, nu gi phng ca v ln lt l v thỡ: ur ur bự vuụng gúc vi nờn bự vuụng gúc vi ur ur dim + dim = n dim + dim = n (3) T (1), (2) v (3) suy dim ( + ) = n hay + = E n H qu 2: Trong E n , qua mt im ó cho cú mt v ch mt phng bự vuụng gúc vi phng ó cho ( Ngha l phng trỡnh ca phng ny hon ton xỏc nh) Chng minh: Gi s En cho phng v im A Ta chng minh tn ti nht phng qua A v bự vuụng gúc vi ur ur - Chng minh s tn ti: Gi phng ca Gi s l khụng gian uur ur E n v bự vuụng gúc vi Khi ú, l phng bự vuụng gúc vi phng - Chng minh s nht: Gi s ' cng l phng qua A v bự vuụng gúc ur ur ur vi , suy ' cng cú phng l (do bự vuụng gúc vi v nh ngha s bự vuụng gúc ca cỏc phng) Nh vy ' cng l phng qua A v ur cú phng , tc l ' trựng vi 1.13 nh lớ ( Xem ti liu [ 5] ) Nu phng vuụng gúc vi phng v phng bự vuụng gúc vi phng thỡ cựng phng vi uurur r ur Chng minh: Gi , , ln lt l phng ca cỏc phng , , Vỡ ur r ur ur ur ur trc giao vi cũn l phn bự trc giao ca E n nờn suy Vy cựng phng vi H qu: Hai phng phõn bit cựng bự vuụng gúc vi phng th ba thỡ song song vi v cú cựng s chiu 1.14 Vớ d a) Trong E , ng thng vuụng gúc vi mt phng l hai phng bự vuụng gúc b) Trong E n cho m- phng v k- phng vuụng gúc vi Khi ú: i) Nu n = m + k thỡ v bự vuụng gúc ii) Mi k- phng ' song song vi u vuụng gúc vi Tht vy: ur ur i) Nu n = m + k thỡ theo nh lý v s chiu suy dim + = m + k = n ( ) ur ur r ur ur vỡ = Do ú, v bự trc giao, tc hai cỏi phng v bự vuụng gúc uur ur ii) Vỡ k- phng ' song song vi nờn ' = Vy vuụng gúc vi 1.15 Phng trỡnh ca phng En a) Bi toỏn 1: Vit phng trỡnh ng thng i qua mt im v vuụng gúc vi mt siờu phng Trong khụng gian clit En vi mc tiờu trc chun cho trc, cho siờu phng P cú phng trỡnh: a1x1+a2x2++anxn+b = b Vit phng trỡnh tham s v tng quỏt ca ng thng d i qua im Mn(x01,x02,,x0n) v vuụng gúc vi siờu phng P Gii: Ly mt im M(m1,m2,,mn) thuc siờu phng P Vi X l mt im bt kỡ thuc P, X=( x1,x2,,xn ) ,XM , ta cú: uuuur MX = ( x1 m1 , x2 m2 , , xn mn ) r Siờu phng cú vecto phỏp tuyn l a ( a1 , a2 , , an ) 10 e) Phộp i xng trc hon ton c xỏc nh nu cho bit trc i xng d ca nú 3.5 p dng phộp i xng trc gii toỏn a) Du hiu s dng: - i vi phộp i xng trc thỡ im kộp nm trờn trc i xng - Chỳng ta thng s dng phộp i xng trc cỏc bi toỏn cú cỏc on thng nhn mt ng thng c nh lm ng trung trc hoc bi toỏn cú gi thit l tia phõn giỏc ca mt gúc - Cỏc hỡnh cú trc i xng: on thng Tam giỏc cõn, tam giỏc u, hỡnh thang cõn, hỡnh vuụng, hỡnh ch nht, ng trũn b) Mt s vớ d Vớ d 1: Cho hai im A,B phõn bit v nm cựng mt na mt phng b l ng thng x cho trc Hóy tỡm trờn ng thng x mt im M cho tng hai on thng AM + MB l ngn nht Gii: Hỡnh Gi A l im i xng ca A qua ng thng x cho trc v gi M l giao im ca ng thng AB vi x (Hỡnh 1) Ta cú: AM + MB = A' M + MB Khi ú trờn ng thng x vi mi im M khỏc M, ta cú: 23 A' M ' + M ' B > A' B = AM + MB Do ú: AM ' + M ' B > AM + MB Vy im M cn tỡm l giao ca ng thng A' B vi ng thng x Vớ d 2: Cho hỡnh thang cõn ABCD Gi I,J ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v CD, gi O l giao im ca hai ng chộo AC v BD Chng minh rng: a) I,O,J l ba im thng hng b) K ng thng d qua O v song song vi AB ct AD ti M, ct BC ti N Chng minh rng: OM=ON Gii: Hỡnh Gi l trc i xng ca hỡnh thang ABCD i qua I v J Ta cú: : A B nờn : AC BD (1) (Hỡnh 2) CD Tng t: : B A nờn BD AC DC T (1) v (2) : AC BD BD AC : OO 24 (2) O l im kộp hay O I,J,O thng hng b) Gi s d ct cnh AD, BC ln lt ti M,N Do d // AB suy d Gi M l nh ca M qua M d : M M d Mt khỏc M AD, m : AD BC M BC M = BC d hay M N Do tớnh cht i xng nờn OM = ON Vớ d 3: Cho tam giỏc ABC v mt im P nm tam giỏc Hóy dng tam giỏc cõn nh P cú ỏy song song vi cnh BC v cú hai nh ln lt nm trờn hai cnh AB,AC ca tam giỏc ABC cho trc Gii: Hỡnh Gi s ta ó dng c tam giỏc PMN tha yờu cu bi toỏn Ta nhn thy M v N l nh ca qua phộp i xng trc, cú trc i xng l ng thng d i qua P v vuụng gúc vi BC cho trc (Hỡnh 3) Do ú ta cú cỏch dng: - Dng ng thng d qua P v vuụng gúc BC - Dng nh ca cnh AC l AC qua phộp i xng nhn d lm trc 25 Gi M l giao im ca AB v AC Dng N l nh ca M qua phộp i xng trc l d ta c MNP l tam giỏc cn dng tha yờu cu bi toỏn II Phộp quay 3.6 nh ngha: Cho im O v gúc lng giỏc Phộp bin hỡnh bin O thnh chớnh nú, bin mi im M khỏc O thnh im M cho OM=OM v gúc lng giỏc (OM; OM) bng c gi l phộp quay tõm O gúc im O c gi l tõm quay cũn c gi l gúc quay ca phộp quay ú Phộp quay tõm O gúc thng c kớ hiu l Q( O , ) 3.7 nh lớ ( Xem ti liu [ 6] ) Phộp quay l mt phộp di hỡnh Chng minh: 26 Gi s M,N l hai im bt kỡ mt phng v Q( O , ) l phộp quay bin M,N ln lt thnh M,N a) Nu M (hay N) trựng vi O thỡ M (hay N) trựng vi O, MN=MN b) Gi s M v N u khỏc O, ú theo nh ngha ta cú: OM=OM , ON=ON uuuur uuuur uuur uuuur OM , OM ' = ON , ON ' = ( ) ( ) uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur OM , ON = OM , OM ' + OM ', ON ' + ON ( ) ( ) ( ) ( ', ON ) uuuur uuuur uuuur uuuur = + ( OM ', ON ') = ( OM ', ON ') Do ú: uuuuuur2 uuuur uuuur uuuur2 uuuur2 uuuur uuuur M ' N ' = ON ' OM ' = ON ' + OM ' 2.ON '.OM ' ( ) uuuur2 uuuur2 uuuur uuuur = ON ' + OM ' 2.OM '.ON '.cos ON ', OM ' ( ) uuuur2 uuuur2 uuur uuuur = ON ' + OM ' 2.OM ON cos ON , OM ( ) uuur uuuur uuuur2 = ON OM = MN ( ) uuuuuur uuuur Vy M ' N ' = MN hay MN=MN 3.8 Phng trỡnh ca phộp quay a) Bi toỏn 1: Trong mt phng cho im I v mt gúc Vit phng trỡnh phộp quay tõm I gúc 27 Chn h trc ta Oxy cho O I Gi s M(x,y) v M(x,y) l nh ca M qua phộp quay Q(O, ) ta cú: OM=OM OM2 = OM2 x + y = x '2 + y '2 x ( sin + cos ) + y ( sin + cos ) = x '2 + y '2 x 2cos + y sin 2cos sin + x sin + y 2cos + 2cos sin = x '2 + y '2 ( xcos y sin ) + ( x sin ycos ) = x '2 + y '2 2 ( 1) uuuur uuuur uuuur uuuur OM OM ' OM OM ' xx '+ yy ' Mt khỏc: cos = uuuur uuuur = uuuur = x + y OM OM ' OM ( x + y ) cos = xx '+ yy ' x 2cos xy sin + y 2cos + xy sin = xx '+ yy ' x ( xcos y sin ) + y ( x sin ycos ) = xx '+ yy ' Ta nhn thy x ' = xcos y sin y ' = xsin + ycos tha h (1) v (2) Vy phng trỡnh ca phộp quay Q ( O; ) l x ' = xcos y sin y ' = xsin + ycos 28 ( 2) b) Bi toỏn 2: Trong mt phng Oxy cho im I(a,b) v mt gúc Vit phng trỡnh phộp quay tõm I gúc Phộp quay Q(I, ) chớnh l phộp tnh tin t phộp quay Q(O, ) theo vộc uur t OI (a,b) Vỡ vy phng trỡnh ca phộp quay Q(I, ) l: x ' = xcos y sin + a y ' = xsin + ycos + b 3.9 Cỏc tớnh cht ca phộp quay a) Phộp quay l mt phộp di hỡnh nờn nú cú y cỏc tớnh cht ca phộp di hỡnh b) Trong phộp quay tõm O vi gúc quay 0, ch cú tõm O l im kộp nht ca phộp quay ú v trng hp ny nu ng thng a i qua tõm O thỡ ng thng nh l a , cng i qua im O c) Nu phộp quay tõm O vi gúc quay bin im M thnh im M thỡ phộp quay tõm O vi gúc quay tõm O vi gúc quay bin im M thnh im M, ngha l nu f = Qo thỡ f d) Qua phộp quay tõm O gúc quay nu im A bin thnh A , bin im uuur uuuur B thnh im B thỡ AB, A ' B ' = ngha l gúc gia hai vect tng ng ( ) 29 bng gúc quay Do ú, hai ng thng AB v ct to nờn mt gúc bng v mt gúc bng e) Phộp quay hon ton c xỏc nh nu bit tõm quay O v gúc quay 3.10 p dng phộp quay gii toỏn a) Du hiu s dng - im kộp l tõm quay - Phộp quay thng c s dng i vi cỏc bi toỏn cú im c nh , cú gúc gia hai tia hoc hai ng thng khụng i bng a v cú di cỏc on thng bng - Phộp quay c s dng cỏc bi toỏn cú gi thit l tam giỏc cõn, tam giỏc u, hỡnh vuụng b) Mt s vớ d Vớ d 1: Cho hai ng thng song song a v b Vi mt im C khụng nm trờn hai ng thng ú, hóy tỡm trờn a,b ln lt hai im A,B cho tam giỏc ABC u Gii: Hỡnh 30 Gi s ta ó dng c tam giỏc u ABC tha cỏc iu kin bi toỏn Vi phộp quay ta Q( C , ) ta cú: A B Khi ú, ng thng a l nh ca a cng i qua B (Hỡnh 4) T ú ta suy cỏch dng: - Dng ng thng a l nh ca a qua phộp quay Q bng cỏch k CH vuụng gúc vi a ti H, tỡm nh H ca H qua phộp quay ú ri v a vuụng gúc CH ti H - Gi B l giao im ca a vi b v ly im A l to nh ca B phộp quay núi trờn ta cú a nm trờn a Ta d dng chng minh c tam giỏc Abc l tam giỏc u cn dng Vớ d 2: Cho tam giỏc ABC Trờn cỏc cnh AB,AC ta dng phớa ngoi cỏc hỡnh vuụng ABMN v ACPQ a) Chng minh NC BQ v NC = BQ b) Gi M l trung im ca BC, chng minh AM QN v AM = Gii: 31 QN Hỡnh a) Ta xột phộp quay Q(A, ) bin im N thnh im B, im C thnh im Q Do ú ng thng NC bin thnh ng thng BQ Vy NC PQ v NC=PQ b) Gi B l im i xng vi B qua tõm A, ta cú AM // B C (do AM l ng trung bỡnh ca tam giỏc BCB ) Qua phộp quay Q(A, )núi trờn im C bin thnh im Q v im B bin thnh im N Do ú, ng thng CB QN v AM QN Vỡ NQ = CB , m AM1 = CB1 NQ nờn AM = 2 Vớ d 3: Cho mt im M chuyn ng trờn mt na ng trũn tõm O bỏn kớnh AB = 2R Dng ngoi tam giỏc AMB mt hỡnh vuụng MBCD Hóy tỡm qu tớch ca nh C M vch na ng trũn núi trờn Trờn tia Bx vuụng 32 gúc vi AB ti B v nm cựng phớa vi na ng trũn, ta ly im O cho BO=BO Chng minh rng: OM OC Hỡnh uuuur uuur Theo gi thit ta cú BM=BC v BM , BC = + k 2 ( ) Vi phộp quay tõm B, gúc quay = ta cú C l nh ca M (Hỡnh 6) Do ú im M vch na ng trũn ng kớnh AB vi A l nh ca A phộp quay Q( B, ) núi trờn Ta d dng chng minh c ú l qy tớch cỏc im C cn tỡm Na ng trũn ny l nh ca na ng trũn ng kớnh AB ó cho qua phộp quay Q(B, ) im M bin thnh im C, im O bin thnh im O nờn ta suy OM OC 33 34 KT LUN Khúa lun ó thu c mt s kt qu sau: - H thng li cỏc khỏi nim nh tớch vụ hng, bin i trc giao, s vuụng gúc gia cỏc phng En - Trỡnh by cỏc khỏi nim v ỏnh x ng c, phộp di hỡnh ng thi chng minh mt s tớnh cht ca phộp di hỡnh - a cỏc bi toỏn v vit phng trỡnh phộp i xng trc, phộp quay v a du hih s dng ỏp dng vo gii cỏc bi toỏn ph thụng Phộp di hỡnh v ng dng l m chỳng tụi quan tõm v s tip tc nghiờn cu Chỳng tụi hi vng s t c nhiu kt qu hn thi gian ti 35 TI LIU THAM KHO [ 1] Phm Khc Ban Phm Bỡnh ụ (2005) Hỡnh hc Afin v Hỡnh hc clit trờn nhng vớ d v bi tp, Nxb i hc S phm [ 2] Nguyn Duy Bỡnh Phm Ngc Bi Trng c Hinh Nguyn Hu Quang (1999) Bi hỡnh hc Afin v clit Nxb Giỏo dc [ 3] Vn Nh Cng T Mõn (1998) Hỡnh hc Afin v Hỡnh hc clit , Nxb i hc Quc Gia H Ni [ 4] Trn Vn Ho Nguyn Mng Hy Khu Quc Anh Nguyn H Thanh Phan Vn Vin (2007) Hỡnh hc 11, Nxb Giỏo dc [ 5] Nguyn Mng Hy (2003) Hỡnh hc cao cp, Nxb Giỏo dc [ 6] Nguyn Mng Hy (2003) Cỏc phộp bin hỡnh mt phng Nxb Giỏo dc [ 7] Nguyn Sum Nguyn Vn Giỏm Mai Quý Nm Nguyn Hu Quang Ngụ S Tựng (2000) Toỏn cao cp (Tp 1), Nxb Giỏo dc [ 8] Nguyn ỡnh Trớ T Vn nh Nguyn H Qunh (2007) Toỏn cao cp (Tp 1), Nxb Giỏo dc 36 MC LC Trang Li núi u Đ1 Khụng gian clit .3 I Khụng gian vect clit II Khụng gian clit III Cỏc phng vuụng gúc En Đ2 Phộp di khụng gian clit .12 I nh x ng c .12 II Phộp di hỡnh 13 Đ3 Cỏc phộp di hỡnh ph thụng v ng dng 18 I Phộp i xng trc 18 II Phộp quay 25 Kt lun 33 Ti liu tham kho .34 37 [...]... hợp các phép dời hình có tính chất kết hợp Hơn nữa, trong tập hợp các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng có phép dời hình đảo ngược của nó 15 Nếu gọi f là một phép dời hình bất kì, f −1 là phép dời hình đảo ngược của nó, e là phép đồng nhất ta luôn có f o f −1 = e 2.10 Nhận xét i) Các tính chất afin ( những tính chất không thay đổi qua các phép. .. vậy phép biến đổi afin f trở thành phép dời hình khi và chỉ khi ma trận A trực giao, tức là A ∗ A = I (ma trận đơn vị) Vì A là ma trận trực giao nên detA = ±1 - Nếu A là ma trận trực giao và detA = 1 thì f được gọi là phép dời hình loại 1 hay phép dời hình thuận - Nếu a là ma trận trực giao và detA = −1 thì f được gọi là phép dời hình loại 2 hay phép dời hình nghịch b) Phương trình của phép dời hình. .. của phép afin Hơn nữa, nó còn có một số tính chất khác a) Qua phép dời hình, m- phẳng biến thành m- phẳng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng, siêu phẳng ) b) Phép dời hình bảo tồn tính song song Cho hai phẳng M,N và M’=f(M), N’=f(N), f là phép dời hình Khi đó, nếu M và N song song thì M’ và N’ cũng song song c) Phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỉ số đơn Chứng minh: Giả sử f là phép dời hình và A,B,C... các phẳng trong En - Trình bày các khái niệm về ánh xạ đẳng cự, phép dời hình đồng thời chứng minh một số tính chất của phép dời hình - Đưa ra các bài toán về viết phương trình phép đối xứng trục, phép quay và đưa ra dấu hiệh sử dụng đẻ áp dụng vào giải các bài toán phổ thông Phép dời hình và ứng dụng là vấn đề mà chúng tôi quan tâm và sẽ tiếp tục nghiên cứu Chúng tôi hi vọng sẽ đạt được nhiều kết... afin ) cũng là các tính chất của phép dời hình n ii) Hình học Ơclit trên E rộng hơn hình học afin trên E n 2.11 Phân loại phép dời hình và phương trình của phép dời hình a) Phân loại phép dời hình uurur ur O ; e ,e2 , , en trong E n , cho phép biến đổi Với mục tiêu trực chuẩn 1 { } afin f: E n →E n có phương trình:  x ,  = A[ x ] + [ b ] Khi đó, A cũng là ma trận của phép đẳng cấu tuyến tính đối với... B" = AB Do đó tích của hai phép dời hình là một phép dời hình 14 2.8 Định lí ( Xem tài liệu [ 6] ) Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh: Giả sử g, h, f đều là các phép dời hình, ta cần chứng minh (g o h) o f = g o (h o f) Thật vậy: Giả sử f biến M thành M’, h biến M’ thành M " và g biến M " thành M’’’ Ta có g o h là một phép dời hình biến M’ thành M’’’ và do đó (g o h) o f biến M... M’’ và g o (h o f) biến M thành M’’’ Vậy ( g o f ) f = g o ( h o f ) vì cả hai đều biến điểm M thành điểm M’’’ với mọi điểm M bất kì 2.9 Định lí ( Xem tài liệu [ 6] ) Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình Chứng minh: Theo định lí 2.7 thì tích hai phép dới hình là một phép dời hình Vì vậy, tập hợp các phép dời hình khép kín với phép. .. cự f: E → E được gọi là một phép dời hình của không gian Ơclit E Ánh xạ ϕ (nền của f) là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của không ur gian vectơ E 2.7 Định lí ( Xem tài liệu [ 6] ) Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình Chứng minh: Cho hai phép dời hình f và g Ta hãy xét tính chất của phép biến hình g o f Giả sử A,B là hai điểm bất kì và ta có AB = A' Bvà ' A' B ' = A'' B '' Như vậy... (2005) Hình học Afin và Hình học Ơclit trên những ví dụ và bài tập, Nxb Đại học Sư phạm [ 2] Nguyễn Duy Bình – Phạm Ngọc Bội – Trương Đức Hinh – Nguyễn Hữu Quang (1999) Bài tập hình học Afin và Ơclit – Nxb Giáo dục [ 3] Văn Như Cương – Tạ Mân (1998) Hình học Afin và Hình học Ơclit , Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [ 4] Trần Văn Hạo – Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện (2007) Hình. .. đó A’,B’ lần lượt thuộc O’x’,O’y’ Vì phép dời hình bảo tồn khoảng cách nên tam giác AOB và A ’O’B’ bằng nhau Do đó, hai góc xOy và x’O’y’ bằng nhau f) Phép dời hình biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn, biến một mục tiêu trực chuẩn thành một mục tiêu trực chuẩn 18 §3: Các phép dời hình ở phổ thông và ứng dụng Như chúng ta đã biết, một phép biến hình của mặt phẳng là một song ánh f: ... hợp phép dời hình có tính chất kết hợp Hơn nữa, tập hợp phép dời hình có phần tử đơn vị phép dời hình đồng phép dời hình có phép dời hình đảo ngược 15 Nếu gọi f phép dời hình bất kì, f −1 phép dời. .. ĐẦU Phép dời hình hình học phổ thông phép biến hình có nhiều ứng dụng để giải toán hình học Ơclit Đặc biệt toán hình học sơ cấp việc dùng phép dời hình hữu ích Vì vậy, chọn đề tài Phép dời hình. .. hợp phép dời hình lập thành nhóm phép biến hình với phép toán tích phép biến hình Chứng minh: Theo định lí 2.7 tích hai phép dới hình phép dời hình Vì vậy, tập hợp phép dời hình khép kín với phép