11 Trờng đại học Vinh Khoa Toán T - không gian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toáN Giáo viên hớng dẫn: PGS.TS Trần Văn Ân Ngời thực hiện: Võ Thị Thuý Vân Sinh viên lớp 43A2 - Khoa Toán Vinh - 2006 12 Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng T - không gian Đ1 Các kiến thức chuẩn bị Đ2 Các đặc trng T - không gian Đ3 Không gian tính bảo toàn qua ánh xạ 11 Đ4 Tích T - không gian 14 Chơng Tính chất T vấn đề liên quan 18 Đ1 Một số tính chất tôpô T 18 Đ2 Các tôpô T cực tiểu 20 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Lời mở đầu Levine [5] định nghĩa tập không gian tôpô đóng suy rộng (g- đóng), bao đóng đợc chứa lân cận ông đà tập g- đóng có số tính chất quan trọng quen thuộc tập đóng Chúng quan tâm tới T 12 - không gian, không gian mà tập g- đóng tập đóng trùng Mục đích khoá luận trang bị tính chất độc lập khái niệm tập g- đóng, nghiên cứu đặc trng T 12 - không gian quan hệ chúng liên quan tới không gian tính bảo toàn qua ánh xạ, tích T 12 - không gian, tính chất chứng minh định lý cấu trúc với tôpô T 12 cực tiểu tập đợc đa Với mục đích trên, khoá luận đợc trình bày theo hai chơng Chơng T 12 - không gian 13 Đ1 Các kiến thức chuẩn bị Mục dành cho giới thiệu lại số khái niệm kết cần dùng khoá luận Đ2 Các đặc trng T 12 - không gian Mục làm rõ T 12 - không gian vấn đề 1) Nếu X T 12 - không gian tập X nh ngợc lại 2) Mối quan hệ T 12 - không gian với không gian khác nh Đ3 Không gian tính bảo toàn qua ánh xạ Mục làm rõ T 12 - không gian vấn đề 1) Mối quan hệ T 12 - không gian không gian 2) Tính bảo toàn T 12 - không gian qua ánh xạ Đ4 Tích T 12 - không gian Mục đích phần đa điều kiện cần đủ không gian tích T 12 - không gian tích hữu hạn tích vô hạn Chơng Tính chất T 12 vấn đề liên quan Đ1 Một số tính chất tôpô T 12 Phần chủ yếu trình bày tính chất tôpô T 12 Đ2 Các tôpô T 12 cực tiểu Mục đích phần xác định cấu trúc tôpô T 12 cực tiểu trờng hợp không gian hữu hạn không gian vô hạn cho dù cách xác định khác Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, ngời đà trực tiếp tận tình hớng dẫn hoàn thành khoá luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo khoa Toán trờng Đại học Vinh đà quan tâm, giúp đỡ suốt trình học tập, đặc biệt thầy, cô giáo tổ Giải tích 14 Do điều kiện thời gian lực hạn chế nên khoá luận chắn tránh khỏi thiếu sót, mong đợc thầy, cô bạn góp ý, bổ sung Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng năm 2006 Tác giả Chơng T - không gian Đ1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa Cho X tập tuỳ ý Họ tập X gọi tôpô X i) φ ∈ τ ; X ∈ τ ; ii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc thuộc ; iii) Giao họ hữu hạn phần tử thuộc thuộc Cặp (X,) đợc gọi không gian tôpô Mỗi phần tử thuộc gọi tập mở X 15 1.2 Định nghĩa Điểm x đợc gọi điểm tụ tập A không gian tôpô (X, ) lân cận x chứa điểm khác x tập A Tập điểm tụ A đợc gọi tập dẫn xuất A 1.3 Định nghĩa Cho (X, X) ; (Y,Y) không gian tôpô ánh xạ f : X Y đợc gọi liên tục x0 ∈ X, nÕu víi mäi l©n cËn V cđa f(x0) tồn lân cận U x0 cho f(U) V ánh xạ f : X Y đợc gọi liên tục f liên tục x X 1.4 Định lý ([3]) Giả sử X, Y không gian tôpô f: X Y Khi điều kiện sau tơng đơng i) f liên tục; ii) Với tập F ®ãng Y ta cã f -1(F) ®ãng X; iii) Víi mäi tËp B më Y ta cã f -1(B) më X; iv) Víi mäi tËp A ⊂ X ta cã f( A ) ⊂ f ( A) 1.5 Định lý ([3]) Cho f : X Y; g : Y Z ánh xạ liên tục Khi gf : X Y ánh xạ liên tục 1.6 Định nghĩa Cho X, Y không gian tôpô, f : X Y ánh xạ f đợc gọi đồng phôi f song ánh f, f -1 ánh xạ liên tục Hai không gian tôpô X, Y đợc gọi đồng phôi với tồn phép đồng phôi chúng 1.7 Định nghĩa Giả sử X, Y không gian tôpô, f : X Y ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y ánh xạ f đợc gọi ánh xạ mở f(U) mở Y với tập U mở X ánh xạ f đợc gọi ánh xạ đóng f(F) đóng Y với tập F đóng X 1.8 Định lý ([6]) NÕu f : X → Y lµ phÐp đồng phôi f ánh xạ đóng 1.9 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi T1- không gian nÕu víi hai ®iĨm bÊt kú x, y ∈ X mà x y tồn lân cận tơng ứng Ux, Uy x y cho y Ux x Uy 1.10 Định lý ([6]) Không gian tôpô X T1- không gian tập điểm đóng 16 1.11 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi T0- không gian cặp x, y ∈ X mµ x ≠ y Ýt nhÊt mét chúng có lân cận không chứa điểm 1.12 Định nghÜa Cho tËp A kh«ng gian t«p« X i) Hä {As}s ∈ S c¸c tËp cđa X đợc gọi phủ A A As sS ii) Họ {Bs}s S đợc gọi lµ mét phđ cđa {As}s ∈ S nÕu {Bs}s ∈ S’ lµ mét phđ cđa A, S’ ⊂ S vµ Bs = As víi mäi s ∈ S’ iii) Phủ {As}sS đợc gọi phủ mở A As mở với s S 1.13 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi không gian compact nÕu mäi phđ më cđa X ®Ịu chøa mét phủ hữu hạn 1.14 Định nghĩa Không gian tôpô X đợc gọi liên thông không tồn tập mở khác rỗng U, V X cho X = U ∪ V vµ U∩ V = 1.15 Nhận xét Không gian tôpô X không liên thông tồn tập mở khác rỗng U, V X cho U ∩ V = U V = X 1.16 Tích Đề họ không gian tôpô Giả sử {(Xs, s)}s S họ không gian tôpô, tập hợp tất ánh xạ x : S Xs cho với s S, sS x(s) Xs đợc gọi tích Đềcác họ tập hợp {Xs}s S đợc ký hiệu Ta ký hiệu phần tử x tập hợp X = Π Xs s∈S Π Xs lµ x = (xs)s∈S, xs = x(s) Xs sS với s S Phần tử xs Xs gọi tọa độ thứ s phần tử x ánh xạ s : Xs Xs xác định s(x) = xs gọi phép chiếu không sS gian Xs 1.17 Định lý ([6]) Tôpô tích tập tích X = có dạng V = Xs có sở β gåm c¸c tËp V s∈S Ps−1 (Gs ) , Gs Xs tập mở Xs, s I S sS 17 1.18 Định lý ([6]) Các tập hợp dạng Ws, Ws tập hợp mở sS không gian Xs Xs Ws với số hữu hạn phần tử S tạo thành sở tích Đềcác Xs sS 1.19 Định lý ([3]) Phép chiếu không gian tích lên không gian tọa độ tùy ý mở, liên tục 1.20 Định lý ([3]) ánh xạ f : Y s S Xs không gian tôpô Y vào không gian tích s S Xs liên tục ánh xạ P sf: Y → Xs liªn tơc, víi mäi s ∈ S 1.21 Định lý ([6]) Nếu As Xs với s S không gian tích Đềcác Xs ta cã s∈S ∏ As s∈S = Π s∈S As 1.22 Bỉ ®Ị Zorn ([3]) NÕu mäi tËp tuyến tính X khác rỗng có cận dới X có phần tử cực tiểu 1.23 Định nghĩa Giả sử (X, ) không gian tôpô Y tập Đặt U = {U ⊂ Y: U = V ∩ Y, V } Khi U tôpô Y U đợc gọi tôpô cảm sinh tôpô Đ2 Các đặc trng T - không gian 2.1 Định nghĩa ([5]) Tập A không gian tôpô (X,) đợc gọi g-đóng A U với U tập mở (X, ) A U 2.2 Định nghĩa ([1]) Một không gian tôpô (X, ) đợc gọi T 12 - không gian tập g- đóng X đóng 2.3 Định nghĩa ([1]) Một không gian tôpô (X, ) đợc gọi TD- không gian tập dẫn xuất điểm đóng 18 2.4 Định nghĩa ([3]) Một không gian tôpô (X, ) đợc gọi không gian cửa (door space) tập không gian tôpô (X, ) đóng mở 2.5 Định lý Không gian tôpô (X, ) T 12 - không gian với x X, {x} mở {x} đóng Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X T 12 - kh«ng gian LÊy bÊt kú x ∈ X Giả sử tập {x} không tập đóng không gian X nên suy X \{x} không tËp më, ®ã chØ cã mét tËp më chứa X \{x} X Vì hiển nhiên X \ { x} X, nên theo Định nghĩa 2.1 ta suy X \{x} g- đóng Mặt khác, X T 12 - không gian nên theo Định nghĩa 2.2, X \{x} tập đóng Do {x} tập mở Điều kiện đủ Giả sử A tập g- đóng không gian (X, ) Ta cần chứng minh A đóng Thật vậy, víi x ∈ A NÕu {x} më th× {x} lân cận x nên {x} A Do x A Nếu {x} đóng { x} = {x} { x} ∩ A = {x} ∩ A V× nÕu { x} ∩ A = φ th× {x} ∩ A = , lúc A X \{x} mà X \{x} mở X nên X \{x} lân cận A, A g- đóng A X \ {x} Mặt khác x A nên x X \{x} Điều mâu thuẫn Vậy { x} ∩ A = {x} ∩ A ≠ φ Suy {x}∩ A ≠ φ, v× thÕ x ∈ A Do A A Hiển nhiên A A Vậy A đóng, theo Định nghĩa 2.2 X T 12 - không gian 2.6 Hệ X T 12 - không gian tập X giao tất tập mở tất tập đóng chứa Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X T 12 - không gian B tập tùy ý X Khi từ giả thiết X T 12 - không gian nên với x X \B {x} tập mở tập đóng, nên suy X \{x} tập đóng tập mở Rõ ràng B X \ {x}, với x X \ B B = ∩{X \{x}: x ∉ B} VËy B lµ giao tất tập đóng tất tập mở chứa 19 Điều kiện đủ: Với x ∈ X, ta cã X \ {x} ⊂ X Từ giả thiết điều kiện đủ X \{x} tập đóng tập mở, {x} tập mở tập đóng, theo Định nghĩa 2.2 X T 12 - không gian 2.7 Hệ i) Mọi T1- không gian T 12 - không gian ii) Mọi không gian cửa (door space) T12 - không gian Chứng minh i) Giả sử X T1- không gian Khi với x X {x} tập đóng, theo Định lý 2.5, suy X T 12 - không gian ii) Giả sử X không gian cửa Khi với x X ta có {x} X Do theo Định nghĩa 2.4 {x} tập mở tập đóng Vậy theo Định lý 2.5 suy X T 12 - không gian 2.8 Ví dụ Chiều ngợc lại Hệ 2.7 không Chẳng hạn: Lấy X = {a,b,c,d} = {φ, {a}, {b}, {a,b}, {a,b,c}, {a, b, d}, X} Khi (X, ) T 12 - không gian tập điểm tập đóng tËp më ThËt vËy, {a}∈τ, {b}∈τ, {c} = X \{a,b,d}∈τ-®ãng, {d} = X \{a,b,c}- đóng Nhng (X,) không T1- không gian {b, c, d} nên {a} - đóng (X,) không không gian cửa {a, c} {b, d} nên {a, c} - đóng 2.9 Định lý Nếu X T 12 - không gian X TD- không gian (và T0- không gian) Chứng minh Với bất kú x ∈ X, X lµ T 12 - không gian, nên {x} tập mở tập ®ãng NÕu {x} më th× tËp dÉn xt cđa {x} {x} = { x} \{x} tập đóng Nếu {x} đóng { x} = {x}, tập dÉn xt cđa {x} lµ {x}’ = { x} \{x} = {x}\{x} = tập đóng Theo Định nghĩa 2.3 X TD - không gian Ta chứng minh đợc X T0- không gian Thật vậy, víi x, y ∈ X, x ≠ y ta cã x X \{y} Vì X T 12 - không gian nên với y X {y} mở đóng X 20 Nếu {y} mở {y} lân cận y nhng x {y} Nếu {y} đóng X \{y} mở X x X \{y} Do X \{y} lân cận x y X \{y} Vậy cặp điểm x, y X mµ x ≠ y Ýt nhÊt mét chóng có lân cận không chứa điểm Vì X T0- không gian 2.10 Ví dụ TD- không gian cha T 12 - không gian Chẳng hạn: X = {a, b, c} vµ τ = {φ, {a}, {a, b}, X } Khi (X,) không T 12 - không gian {b} không đóng, không mở X Nhng (X,) TD- không gian Thật vậy, ta chứng minh đợc tập dẫn xuất điểm đóng Trớc hết ta tìm tập dẫn xuất tập {a}, ta có b điểm tụ {a} {a, b}, X lân cận b vµ {a, b} ∩ {a} ≠ φ; {a} ∩ X Tơng tự c điểm tụ {a} X lân cận c mà X {a} ≠ φ VËy tËp dÉn xt cđa {a} lµ {a} = {b, c} mà {b, c} tập đóng X nên tập dẫn xuất {a} tập đóng Chứng minh hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợc tập dẫn xuất {b} {b} = {c} vµ tËp dÉn xt cđa {c} lµ {c}’ = φ tập đóng X Nh vậy, tập dẫn xuất điểm thuộc X đóng, X TD- không gian Đ3 Không gian tính bảo toàn qua ánh xạ 3.1 Định lý Nếu X T 12 - không gian, Y tập X Khi Y T - không gian Chứng minh Với y Y X ta có {y} đóng mở X Mặt khác {y} = {y} Y Theo tôpô cảm sinh tôpô X {y} đóng mở Y Nhờ Định lý 2.5 ta suy Y T 12 - không gian 3.2 Ví dụ Trớc xét điều kiện để ảnh T 12 - không gian không gian ta xÐt vÝ dô sau LÊy X = {1, 2, 3, } tập số tự nhiên với t«p« τ = {φ, {1}} ∪ {U: ∈ U X \ U hữu hạn} T1 21 Y = {a, b, c} víi t«p« V = {φ, {a}, Y} Ta xác định ánh xạ f : X → Y cho bëi f(1) = a f(2n) = b víi n = 1, 2, f(2n +1) = c với n = 1, 2, Khi f liên tục, mở, toàn ánh Thật i) f liên tục, nghịch ảnh tập mở Y tập më X Cơ thĨ lµ víi φ ∈ V th× f -1(φ) = φ ∈ τ, víi {a} ∈ V th× f -1({a}) = {1} ∈ τ, víi Y ∈ V th× f -1(Y) = X ∈ τ ii) f mở, ảnh tập mở X lµ tËp më Y ThËt vËy, víi φ ∈ τ th× f(φ) = φ ∈ V ; víi {1} ∈ τ th× f({1}) = {a} ∈ V, lÊy U U chứa 1, U chứa số chẵn số lẻ nên f(U) = Y V iii) f toàn ánh, với a Y tån t¹i ∈ X cho f(1) = a, với b Y tồn 2n X : f(2n) = b, n = 1, 2, ; víi c Y tồn 2n +1 X cho f(2n +1) = b, n = 1, 2, Mặt khác, (X, ) T 12 - không gian tập điểm X tập đóng tập mở Thật vậy, ta có {1} Với n = 1, 2, tập ®iĨm {2n} ∈τ - ®ãng v× xÐt tËp X \{2n} ta cã ∈ X \{2n} vµ X \(X \{2n}) = {2n} hữu hạn nên X \{2n} mở, tơng tự tập điểm {2n +1}-đóng Trong (Y,V ) không T 12 - không gian {b} không đóng, không mở 3.3 Định lý Nếu X T 12 - không gian f : X Y ánh xạ liên tục, đóng lên, Y T 12 - không gian 22 Chứng minh Giả sử B tập g - đóng Y Theo Định nghĩa 2.2 ta cần chứng minh B ®ãng Y, tríc hÕt ta chøng minh r»ng f -1(B) ®ãng X ThËt vËy, víi x ∈ f −1 ( B ) , X lµ T 12 - không gian nên {x} mở {x} đóng Nếu {x} mở {x} lân cận x tõ x∈ f −1 ( B ) nªn suy {x}∩f -1(B) ≠ φ hay x ∈ f -1(B) NÕu {x} đóng f ánh xạ đóng nên ta cã f({x}) ®ãng Y Ta sÏ chøng minh f(x) B Thật vậy, f liên tục nên ta cã f( f −1 ( B ) ) ⊂ f ( f −1 ( B)) = B , mµ x ∈ f −1 ( B ) nªn f(x) ∈ f( f −1 ( B ) ) ⊂ B hay f(x) B Khi f(x) B, f(x) B Y \{f(x)} B Lại {f(x)} đóng Y nên Y \{f(x)} mở Y Mặt khác, B g- đóng Y nên suy B ⊂ Y \ {f(x)} hay f(x) ∉ B Điều mâu thuẫn với lập luận VËy f(x) ∈ B tøc lµ x ∈ f -1(B) Cả hai trờng hợp suy x f -1(B), ®ã f −1 ( B ) ⊂ f -1(B) HiĨn nhiªn f -1(B) ⊂ f −1 ( B ) nªn f −1 ( B ) = f -1(B) Vậy f -1(B) đóng X Vì f ánh xạ đóng, từ đẳng thức B = f(f -1(B)) ta suy B đóng Theo Định nghĩa 2.2 suy Y T 12 - không gian 3.4 Định lý Giả sử (X, ) T 12 - không gian vµ f : X → Y lµ më, toµn ánh (không thiết liên tục) cho với y Y f -1({y}) tập hữu hạn, (Y, U) T 12 - không gian Chøng minh LÊy bÊt kú y ∈ Y Theo gi¶ thiÕt, ta cã f -1({y}) = {x1, x2, , xn} Nếu với i mà i {1, 2, , n} ta cã {xi} ∈ τ, th× v× f ánh xạ mở nên {y} = {f(xi)} U Ngợc lại, X \{xi} với i = 1, 2, , n từ đẳng thức {y} = f({x1} ∪ {x2} ∪ ∪{xn}) vµ f toàn ánh nên X \{y} = f(X \{x1} {x2} ∪ ∪{xn}) = f(X \{x1} ∩ ∩ X \{xn}) 23 Mặt khác, X \{xi} với mäi i = 1, , n nªn X \{x1} ∩ ∩ X \{xn} ∈ τ Do f më nªn X \{y} U suy {y} U- đóng, theo Định lý 2.5 ta có kết luận (Y, U) T 12 - không gian 3.5 Hệ ảnh đồng phôi T 12 - không gian T 12 - không gian Chứng minh Giả sử X T 12 - không gian f : X Y đồng phôi Khi f song ánh f, f -1 liên tục Vì f đồng phôi nên f ánh xạ liên tục, đóng, lên Theo Định lý 3.3 Y T 12 - không gian Vậy ảnh đồng phôi T 12 - không gian T 12 - không gian Đ4 Tích T 12 - không gian 4.1 Định lý Đặt X = ∏ X α Khi ®ã nÕu X T Chứng minh Giả sử X = ∏ X α LÊy x0 = α∈ Λ X T 12 với Λ (x ) α α∈ Λ ∈ thuéc Λ Đặt X = A A = X α nÕu α = α0 ∈Λ α { } Aα = xα0 nÕu α ≠ α0 ta cã X X, theo Định lý 3.1 X T 12 - không gian điểm tùy ý 24 Xét ánh xạ f : X X xác định bởi, với u X ta có f(u) = (xα)α ∈ Λ, ®ã xα = u nÕu α = α0 vµ xα = xα0 nÕu α ≠ α0 Ta chứng minh f đồng phôi Thật i) f đơn ánh, với u1, u2 X mà u1 u2 f(u1) f(u2) ii) f toàn ánh, với x = (xα)α ∈ Λ ∈ X α Khi ®ã sÏ tån t¹i u ∈ X α cho f(u) = x Vậy f song ánh iii) f liên tục, với u ∈ X α ta cã Pα °f(u) = id(u) nÕu α = α0, Pα °f(u) = xα0 nÕu víi Vì P f ánh xạ đồng ánh xạ Mà ánh xạ đồng ánh xạ ánh xạ liên tục Do P f ánh xạ liên tục, theo Định lý 1.20 f liên tục iv) f -1 liên tục ta thấy f -1 ánh xạ chiếu từ không gian tích xuống không gian tọa độ mà hạn chế X X Hơn nữa, ánh xạ chiếu từ không gian tích X đến không gian tọa độ liên tục nên f -1 liên tục Từ (i, ii, iii, iv) ta suy f đồng phôi áp dụng Định lý 3.5 suy X T -không gian với hay X T - không gian với mäi α ∈ Λ 2 4.2 NhËn xÐt Kh«ng giống nh trờng hợp tiên đề tách T0, T1, T2 chiều ngợc lại Định lý 4.1 sai Để đa điều kiện cần điều kiện đủ không gian tích T 12 , ta chia hai trờng hợp, tích hữu hạn tích vô hạn (khi có số vô hạn không gian tọa độ mà tập điểm) 4.3 Bổ đề Đặt X = X , vô hạn Khi X lµ T α∈ Λ nÕu vµ chØ X T1 Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x X Khi X T 12 - không gian nên {x} tập mở tập đóng Nhng {x} không mở không gian tích, {x} tập mở phép chiếu P ánh xạ mở, với nên 25 {x} = P(x) tập mở X, với Mặt khác, tập {x} mở, x {x}, n nên tồn tËp W cã d¹ng W = cho x ∈ W = n Pα (Gα ) i =1 i i Pα (Gα ) víi Gα i =1 i i ⊂ {x} Khi ®ã x ∈ i më X α i , i = 1, 2, , n n Pα ( x ) mâu thuẫn tập vô hạn nên i i =1 i {x} = Pα (xα) α ∈Λ Pα (xα) §iỊu α ∈Λ lµ tËp thùc sù cđa n Pα ( xα ) Vậy {x} đóng X T1- không gian i =1 i i Điều kiện đủ Theo Hệ 2.7 ta có X T1 suy X T 12 4.4 Định lý Đặt X = X , vô hạn Khi X T 12 - không gian X T1- không gian với mäi α ∈ Λ Chøng minh Theo Bỉ ®Ị 4.3, X T 12 - không gian X T1- không gian Ta cần chứng minh X T1- không gian X T1- không gian với Điều kiện cần Giả sử X = X (với vô hạn) T1- không gian Ta cần chứng minh X T1- không gian với ∈ Λ ( ) ThËt vËy, gi¶ sư α0 ∈ Λ lµ chØ sè bÊt kú LÊy x0 = x X Đặt X = A , ®ã Aα = X α nÕu α = α0, ∈Λ α Aα = { xα0 } Khi ánh xạ f : X X xác định bởi, với u X ta có f(u) = (xα)α ∈ Λ ®ã xα = u nÕu α = α0 vµ xα = xα0 nÕu α ≠ α0, đồng phôi (chứng minh Định lý 4.1) Mặt khác, X X mà X T1 nên X T1 (theo tôpô cảm sinh tôpô X) Vì qua phép đồng phôi, ảnh T1- không gian T1 không gian nên suy X T1- không gian với 26 Điều kiện đủ Ta cần chứng minh với không gian X T1- không gian X = X T1- không gian Khi theo Hệ 2.7, suy X T 12 - không gian Thật vậy, giả sử x = (x) điểm không gian X, theo Định lý 1.2 ta có { x} = ∏ { xα } α ∈Λ = { x } (1) Vì không gian X T1- không gian với α ∈ Λ nªn { xα } = {xα} { xα } = ∏ {xα} = {x} Suy {x} ®ãng Do ®ã tõ (1) ta cã { x} = Vậy X T1- không gian Một tình khác tồn trờng hợp tích hữu hạn, ta giảm điều kiện T1 không gian tọa độ cách hạn chế không gian tọa độ khác n 4.5 Định lý Giả sử (X,) = (Xi,i) tích không gian tôpô (Xi, i), i =1 i = 1, 2, , n Khi (X,) T 12 - không gian điều kiện sau đợc thoả mÃn (a) (Xi, i) T1- không gian với i = 1, , n (b) Với k (Xk,k) T 12 - không gian nhng không T1- không gian (Xi,i) không gian rời rạc với i ∈ {1, 2, , n} mµ i ≠ k Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (X,) T 12 - không gian (a) không thoả mÃn Khi với k đó, (Xk,k) không T1- không gian Mặt khác, (X,) T - không gian nên theo Định lý 4.1, (Xi,i) T1 - không gian Cố định i k, ta 2 cần chứng minh (Xi,i) rời rạc Giả sử (Xi,i) không rời rạc Khi tồn xi Xi cho {xi} i Hơn nữa, (Xk,k) không T1- không gian nên tồn xk Xk cho {xk} không k - đóng Ta xác định x∗ ∈ X cho bëi x∗(k) = xk x∗(i) = xi 27 x∗(j) ∈ Xj tïy ý víi j ≠ k, j ≠ i Do (X, τ) lµ T 12 - không gian, nên {x} mở đóng Nếu {x} Pi mở nên Pi({x}) = {xi} i mà {xi} i Điều mâu thuẫn Nếu {x} - đóng, ta có với j k, i j lấy aj ∈ Xj cho {aj} më vµ Pj−1 ({a j } ) n đặt x(j) = aj Khi cịng Pj liªn tơc nªn A = j =1 j ≠ k, j ≠i më Do {x∗} lµ τ- đóng nên A\{x} mở X mà Pk mở Pk(A\{x}) mở Xk Mặt khác, ta lại có Xk\ Pk(A\{x}) = {xk} nên {xk} - đóng Điều mâu thuẫn Vậy (Xi, i) rời rạc Điều kiện đủ Nếu (a) thoả mÃn tức (Xi,i) T1 với i suy (X,) T1 theo Hệ 2.7 (X, ) T 12 - không gian Nếu (b) thoả mÃn, với k cho (Xk,k) T 12 - không gian nhng không T1- không gian, (Xi,i) rời rạc với i {1,2, ,n} mà i k Lấy x X, giả sö x = ( x( j ) ) j =1 NÕu {x(k)} ∈ τk th× {x} = { ( x( j ) ) j =1 } ∈ τ NÕu n n n {x(k)} k đóng {x} = { ( x( j ) ) j =1 } lµ - đóng Vậy (X,) T 12 - không gian Chơng Tính chất T vấn đề liên quan Đ1 Một số tính chất tôpô T 1.1 Định lý Nếu (X, ) T 12 - không gian U Khi (X, U) T - không gian Chứng minh Víi x ∈ X, (X, τ) lµ T 12 - không gian nên theo Định lý 2.5 {x} ∈ τ ⊂ U hc X/{x} ∈ τ ⊂ U hay {x} U - đóng Vậy (X, U) T 12 - không gian 28 1.2 Ví dụ Ví dụ sau tính chất T 12 không di truyền cho tôpô thô hơn, chí tôpô thô Giả sử X = {a, b} víi τ = {φ, {a}, X} vµ U = {, {b}, X}, (X, ) T - không gian (X, U) T - không 1 2 gian nhng (X, τ ∩ U) với U = {, X} không T 12 - không gian 1.3 Định lý Nếu (X, ) T 12 - không gian với ∈ Λ vµ {τα : α ∈ Λ} lµ hä thứ tự toàn phần với quan hệ bao hàm (X, ) T - không gian Khi tồn ∈ Λ cho {x} ∉ τβ (1) Chøng minh Lấy x X giả sử {x} Mặt khác, (X, ) T 12 - không gian nên X \{x} , ta cÇn chøng minh r»ng X \{x} ∈ τα víi mäi α ∈ Λ ThËt vËy, hä {τα: α ∈ } thứ tự toàn phần với quan hệ bao hàm nên hai phần tử họ so sánh đợc, với α ∈ Λ NÕu τβ ⊂ τα th× X \{x} ∈ τβ nªn X \{x} ∈ τα NÕu τα ta giả sử X \{x} , (X, ) T 12 - không gian nên {x} Do {x} Điều m©u thn víi (1) Do vËy X \{x} ∈ τα víi mäi α ∈ Λ Suy X \{x} ∈ Vậy theo Định lý 2.5 suy (X,  τ) α∈Λ α lµ T - không gian 1.4 Hệ Với tôpô X, có tôpô U X cho (a) τ ⊂ U (b) (X, U ) T 12 - không gian (c) Nếu (X, V ) T 12 - không gian với V U V = U Chứng minh Đặt a = {: } họ tất tôpô T 12 X mà mịn Khi a , tôpô rời rạc T 12 mịn , thuộc a 29 Gi¶ sư {τα: α ∈ Λ∗} ⊂ a , tập thứ tự toàn phần víi quan hƯ bao hµm T vµ τ ⊂ suy a Nh theo Định lý 1.3 ch¬ng 2, ta cã τ∗ = α  tập thứ tự toàn phần a có cận dới Vì theo Bổ đề Zooc, a chứa phần tử cực tiểu U phần tử cực tiểu U thoả m·n (a) τ ⊂ U (b) (X, U ) lµ T 12 - kh«ng gian (c) NÕu (X, V ) T 12 - không gian với V U V = U Đ2 Các tôpô T12 cực tiểu Giả sử tôpô không rời rạc, HƯ qu¶ 1.4 ta thÊy r»ng tËp X bÊt kú cã mét t«p« cùc tiĨu theo tÝnh chÊt T 12 Ta xác định cấu trúc tôpô nh trờng hợp X vô hạn X hữu hạn cho dù cách xác định khác 2.1 Bổ đề Giả sử X chứa nhiều điểm tôpô rời rạc X Khi không tôpô T 12 cực tiểu X Chứng minh Lấy phần tử x ∈ X Ta xÐt hä U = {U : U = φ hc x ∈ U } 30 Khi dễ dàng chứng minh U tôpô X Hơn (X,U) T1 - không gian ThËt vËy, víi bÊt kú y ∈ X NÕu y = x {y} = {x} nên {y} U më NÕu y ≠ x th× x ∈ X \{y} hay X \{y} U - mở Theo định lý 2.5 chơng suy (X, U) T - không gian Mặt khác, tôpô rời rạc X, tôpô lớn X nên U Do không tôpô T 12 cực tiểu X 2.2 Bổ đề Giả sử X tập hữu hạn U tôpô X cho (X,U) T 12 không gian Giả sử có phần tử cX cho {c} đóng {xX:{x}U }{c}, U tôpô rời rạc Chứng minh Với x X Nếu x = c, hiển nhiên {x} đóng (do {c} đóng) Nếu x c từ giả thiết ta suy {x} U, (X, U) T 12 - không gian nên suy X \{x} U hay {x} U - đóng Vậy X T1- không gian Mặt khác, X tập hữu hạn, giả sử X = {x1, x2, , xn}, nên với i = 1, 2, , n ta cã {xi} = X \ {x1, x2, , xi -1, xi +1, , xn} Mµ X T1- không gian, nên {xk} đóng với k = 1, 2, , n Do ®ã {x1, x2, ,xi -1, xi +1, , xn} = {x1} ∪ {x2} ∪ ∪ {xi -1} ∪ {xi +1} ∪ ∪ {xn} đóng Vậy {xi} mở với i =1, 2, , n Vì không gian (X, U) tËp gåm mét ®iĨm võa ®ãng võa më Suy U tôpô rời rạc 2.3 Bổ đề Giả sử X A X Ta xác định hä U = {U: U ⊂ A hc A ⊂ U X \U hữu hạn} Khi U tôpô T 12 X Chứng minh Để chứng minh U tôpô T 12 X ta chia trêng hỵp Trêng hỵp 1: A = φ Khi ®ã U = {U: U = φ hc X \U hữu hạn} Dễ dàng kiểm tra U tôpô X Hơn nữa, với x X {x} hữu hạn, nên X \{x} U Do {x} U - đóng Vậy (X, U ) T 12 - không gian 31 Trờng hợp 2: A ≠ φ Khi ®ã U = {U: U ⊂ A A U X \ U hữu hạn} Dễ dàng kiểm tra U tôpô X LÊy bÊt kú x ∈ X NÕu x ∈ A th× {x} ⊂ A suy {x} ∈ U Nếu x A A X \{x} mà X \ (X \{x}) = {x} hữu hạn, nên X \{x} U hay {x} U - đóng Theo Định nghĩa 2.5 chơng suy (X, U ) T - không gian Vậy hai trờng hợp ta suy U tôpô T 12 X 2.4 Bổ đề Giả sử (X, ) T 12 - không gian cực tiểu, X chứa nhiều điểm Ta xác định A = {x X : {x} τ vµ X \{x} ∉τ}, B = {x ∈ X :{x} ∉ τ vµ X \{x} ∈τ}, C = {x ∈ X :{x} ∈ τ vµ X \{x} ∈τ} Khi ®ã (a) X = A ∪ B ∪ C; (b) B ≠ φ; (c) C = φ Chøng minh (a) HiĨn nhiªn A∪B∪C⊂X (1) LÊy bÊt kú x ∈ X, (X, ) T 12 - không gian nên {x} tập mở tập đóng Nếu {x} tập đóng x B C Còn {x} tập mở x A C VËy X ⊂ A ∪ B ∪ C (2) Tõ (1) vµ (2) suy X = A ∪ B C (b) Giả sử ngợc lại B = φ suy X = A ∪ C Víi bÊt kú x ∈ X th× {x} ∈ τ Suy tập điểm X mở Vậy tôpô rời rạc Điều mâu thuẫn với tính cực tiểu Do B (c) Giả sử c C đặt A = (A C)\{c} Ký hiƯu U = {U: U ⊂ A∗ hc A U X \U hữu hạn} 32 Khi theo Bổ đề 2.3, (X,U) T 12 -không gian Ta sÏ chøng minh r»ng U ⊂ τ ThËt vËy, lÊy bÊt kú U∈U NÕu U⊂ A∗ th× U = ∪{{x}:x ∈ A∗∩ U}∈τ NÕu U⊄ A∗ th× A∗ U X \ U hữu hạn, giả sử X \U = {x1, , xn} Suy với i = 1, 2, , th× xi ∉ τ Do x = A B C nên {xi} τ - ®ãng hay X \{xi}∈ τ víi i = 1, 2, n ., n V× thÕ ta cã U = n X \{xi} ∈ τ Chøng minh trªn chøng tá r»ng U ⊂ τ Do i =1 tÝnh chÊt cùc tiÓu ta suy U = τ Tõ {c} ∈ τ = U, suy {c} ⊂ A∗ hc A {c} X \{c} hữu hạn Trong trờng hỵp thø nhÊt ta cã {c} ⊂ A∗ = (A C)\{c} Điều dẫn đến mâu thuẫn Trong trờng hợp A {c} X \{c} hữu hạn, ta suy A = X hữu hạn Do A C {c} X hữu hạn Tõ A ∪ C ⊂ {c} suy {x: {x} ∈ U } = {x: {x} ∈ τ } = A C {c} Mà {c} đóng nên theo Bổ đề 2.2, chơng U = tôpô rời rạc Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.1 chơng Vậy C = 2.5 Định lý Giả sử X tập vô hạn Khi tôpô T 12 - cực tiểu X vµ chØ nÕu cã mét tËp thùc sù A cña X cho τ = {O: O ⊂ A A O X \ O hữu hạn} Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tôpô T 12 cực tiểu X A = {x ∈ X : {x} ∈ τ vµ X \{x} ∉ τ}, B = {x ∈ X : {x} ∉ τ X \{x} } Khi nhờ Bổ đề 2.1 chơng ta suy A tập thực X Hơn X = A B Ta xác định U = {O: O A A O X \O hữu hạn} Theo Bổ đề 2.3 chơng (X,U) T 12 - không gian Ta cần chứng minh = U ThËt vËy, víi bÊt kú O ∈ U, nÕu O A từ cách xác định A ta suy O ∈ τ NÕu A ⊂ O vµ X \ O hữu hạn X \ O = {x1, ,xn} víi xi ∈ B, i = 1, 2, , n V× 33 xi∈ B th× X \{xi} ∈τ víi mäi i = 1, 2, , n Mµ O = n X \{xi} ∈ τ Do ®ã U ⊂ τ Từ i =1 giả thiết tôpô T 12 cùc tiÓu ta suy τ = U = {O: O A A O X \O hữu hạn} Điều kiện đủ Giả sử = {O: O A A O X \O hữu hạn} với A tập thực X Theo Bổ đề 2.3 chơng ta suy (X, ) T 12 - không gian Ta cần tính cực tiểu Giả sử (X,U) T 12 - không gian với U Ký hiÖu A∗ = {x: {x} ∈U } Ta sÏ chøng minh A = A∗ ThËt vËy, nÕu x ∈ A∗ th× {x} ∈ U ⊂ τ suy {x} A A {x} X \{x} hữu hạn Nếu {x} A x A Trong trờng hợp lại A {x} X \ {x} hữu hạn Do X \{x} hữu hạn X hữu hạn Điều mâu thuẫn với giả thiết X vô hạn Vậy A A (1) Ngợc lại, gi¶ sư x ∈ A nhng x ∉ A∗ Khi {x} U Vì (X, U) T1 kh«ng gian, suy X \{x} ∈ U ⊂ τ Khi X \{x} A A X \{x} X \{x} hữu hạn Nếu X \{x} ⊂ A th× {x} ∪ (X \{x}) ⊂ A hay X A) Điều mâu thuẫn với giả thiết A tập thực X Còn AX \{x} {x} A X \{x} Điều mâu thuÉn Suy x ∈ A∗ hay A ⊂ A∗ (2) Tõ (1) vµ (2) suy A = A∗ B©y giê ta chøng minh r»ng τ ⊂ U Víi bÊt kú O ∈ τ, ta cã O ⊂ A A O X \ O hữu hạn NÕu O ⊂ A = A∗ th× O ∈ U Còn A O X \O = {x1, , xn} suy xi ∉ A = A víi mäi i = 1, ,n V× vËy X \{xi}∈ U Suy O = ∗ n  X \{xi} ∈U i =1 Điều chứng tỏ U Kết hợp với giả thiết U suy = U Điều chứng tỏ tôpô T 12 - cùc tiĨu 34 2.6 NhËn xÐt KÕt qu¶ tôpô T 12 - cực tiểu đợc hợp thành tập mở nhỏ (các tập A) tập lớn (những tập chứa A mà có phần bù hữu hạn) Một kết tơng tự cho trờng hợp X hữu hạn đòi hỏi thay đổi nhỏ 2.7 Định lý Giả sử X tập hữu hạn chứa điểm Khi tôpô T cực tiểu X vµ chØ cã mét tËp con thùc khác rỗng A X cho = {O: O ⊂ A hc A ⊂ O} Chøng minh Điều kiện cần: Giả sử tôpô T 12 cùc tiĨu trªn X Ký hiƯu A = {x ∈ X : {x} ∈ τ vµ X \{x} ∉ τ}, B = {x ∈ X : {x} ∉ τ X \{x} } Khi nhờ Bổ đề 2.1 chơng 2, A tập thực X X = A B Hơn A ≠ φ, v× nÕu A = φ, th× suy với x X {x} - đóng Mặt khác, X hữu hạn X mở nên tập điểm X mở Vì (X, ) T 12 - không gian nên tập điểm (X, ) vừa đóng vừa mở suy tôpô rời rạc Điều mâu thuẫn với tÝnh cùc tiĨu VËy A ≠ φ Ký hiƯu U = {O : O ⊂ A hc A ⊂ O}, theo Bổ đề 2.3 chơng suy (X, U) T - không gian Ta chứng minh U ⊂ τ ThËt vËy Víi bÊt kú O ∈U NÕu O ⊂ A th× O ∈ τ NÕu A O, X hữu hạn nên X \O hữu hạn giả sử X \O = {x1, , xn} víi xi ∈ B víi mäi i = 1, 2, , n Víi mäi i = 1, 2, , n th× xi ∈ B suy X \{xi} ∈ τ Mµ O = n X \{xi} ∈ τ V× vËy U ⊂ τ i =1 Do tÝnh T 12 cùc tiĨu cđa τ suy τ = U VËy τ = {O : O ⊂ A hc A O} Điều kiện đủ Giả sử A tập thực khác rỗng X Ký hiệu = {O: O ⊂ A hc A ⊂ O} 35 Theo Bổ đề 2.3 chơng (X, ) T 12 - không gian Ta cần tính cực tiểu Giả sử (X,U) T 12 -kh«ng gian víi U ⊂τ Ký hiƯu A∗ = {x ∈ X : {x} ∈ U} Ta cÇn chøng minh A = A∗ ThËt vËy, víi bÊt kú x ∈ A∗ suy {x} ∈ U ⊂ τ V× vËy {x} A A{x} Trong trờng hợp {x} A dẫn đến xA Nếu A {x} A , nên x A Nh vậy, hai trờng hợp suy đợc x A nên thÕ A∗ ⊂ A (1) Víi x ∈ A mµ x ∉ A∗ th× suy {x} ∉ U V× (X, U) T 12 - không gian ta suy X \{x} ⊂ U ⊂ τ nªn X \{x} ⊂ A hc A ⊂ X \{x} NÕu X \{x} ⊂ A th× suy {x} ∪ X \{x} ⊂ A Do X A Điều mâu thuẫn với giả thiết A tập thực X NÕu A ⊂ X \{x} th× suy x ∈ A ⊂ X \{x} VËy x ∈ A∗ suy A ⊂ A∗ (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã A = A∗ B©y giê ta chøng minh r»ng τ = U ThËt vËy, víi bÊt kú O ∈ τ suy O ⊂ A hc A ⊂ O Trong trờng hợp O A dẫn đến O A O U Ngợc lại, A O, X hữu hạn nên X \ O hữu hạn Giả sử X \ O = {x1, , xn} víi xi ∉ A víi mäi i = 1, , n Với i = 1, 2, , n xi A dẫn đến X \{xi} ∈ U Mµ O= n X \{xi} ∈ U Suy U Kết hợp với điều kiện U ⊂ τ th× ta cã U = τ i =1 Vậy tôpô T 12 cực tiểu 2.8 Hệ Nếu tôpô T 12 cực tiểu X Khi (X, ) compact liên thông Chứng minh Giả sử tôpô T 12 cực tiểu X Khi theo Định lý 2.5 2.6 không tính tổng quát, tồn tập thùc sù A ≠ φ cña X cho τ = {O : O ⊂ A hc A ⊂ O X \ O hữu hạn} 36 Trớc tiên ta chứng minh (X,) không gian compact Thật vậy, giả sử {As}s S phủ mở X, ®ã ta cã X = NÕu As ⊂ A víi mäi s ∈ S th× suy  As Với s S, As mở hay As ∈ τ s∈S  As = X ⊂ A §iỊu mâu thuẫn với giả sS thiết A tập thực X Do tồn s0 ∈ S cho As0 ⊃ A vµ X \ As0 = {x1, x2, , xn} Chän c¸c tËp Asi ∋ xi, i = 1, , n Khi ®ã { As0 , As1 , , Asn } lµ mét phđ hữu hạn X suy (X, ) không gian compact Bây ta chứng minh (X, ) không gian liên thông Giả sử X không liên thông, suy tồn tập mở khác rỗng U, V X cho X = U ∪ V vµ U ∩ V = φ Do U,V më nên suy U V Khi đó, U A V A U V A suy X A Điều mâu thuẫn với giả thiÕt A lµ tËp thùc sù cđa X NÕu A U A V U V Điều mâu thuẫn với U V = Còn A U V A A V U A U V Điều mâu thuẫn víi U ∩ V = φ VËy (X, τ) lµ không gian liên thông Kết luận Sau gần năm tìm đọc tài liệu nghiên cứu đề tài đà thu đợc số kết sau 37 Giới thiệu lại số vấn đề tôpô đại cơng, từ đa số kết [3] [6] Chứng minh chi tiết làm sáng tỏ số kết đợc đa [1] Chứng minh Định lý 2.9, §Þnh lý 3.3, §Þnh lý 4.1, §Þnh lý 4.4 [1] §a VÝ dơ 1.2, NhËn xÐt 2.6, VÝ dô 2.8, VÝ dô 2.10, VÝ dô 3.2, NhËn xét 4.2 Tài liệu tham khảo 38 [1] W Dunham, T 12 - spaces, Kyungpook Math J., 17 (2) (1977), 161-169 [2] W Dunham, A new closure operator for non-T1- topologies, Kyungpook Math J., 22 (1982), 55- 60 [3] J L Kelley, Tôpô đại cơng, Nxb ĐH&THCN, Hà Nội 1973 [4] N Levine, Semi open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer Math Monthly, 70 (1963), 36 – 41 [5] N Levine, Generalized closed sets in topology, Rend Circ Mat Palermo, 19 (1970), 89-96 [6] Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cơng - Độ đo tích phân, Nxb Giáo dục 1994 [7] O Niăstad, On some classes of nearly open sets, Pacific J Math., 15 (1965), 961-970  ... cã {xi} = X \ {x 1, x 2, , xi - 1, xi + 1, , xn} Mµ X T1- không gian, nên {xk} đóng với k = 1, 2, , n Do ®ã {x 1, x 2, ,xi - 1, xi + 1, , xn} = {x1 } ∪ {x2 } ∪ ∪ {xi -1} ∪ {xi +1 } ∪ ∪ {xn} đóng Vậy {xi}... Nếu x c từ giả thiết ta suy {x} U, (X, U) T 12 - không gian nên suy X \ {x} U hay {x} U - đóng Vậy X T1- không gian Mặt khác, X tập hữu hạn, giả sử X = {x 1, x 2, , xn }, nên với i = 1, 2, , n... {a,b }, {a,b,c }, {a, b, d }, X} Khi (X, ) T 12 - không gian tập điểm tập đóng tËp më ThËt vËy, {a}∈? ?, {b}∈? ?, {c} = X \{a,b,d}∈τ-®ãng, {d} = X \{a,b,c}- đóng Nhng (X, ) không T1- không gian {b, c, d}