Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI Đặt vấn đề: Trong đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc gia quốc tế năm gần xuất nhiều toán liên quan đến phần quang hình có chiết suất môi trường biến đổi Những toán thường hay gây khó khăn cho học sinh đòi hỏi học sinh khả phân tích kiến thức tổng hợp Nhằm giúp em giải toán biên soạn chuyên đề “MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI” Vậy hướng giải toán nào? B1: Chia khối suốt thành lớp mỏng suốt cho chiết suất lớp gần không đổi B2: Dùng định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luật khúc xạ ánh sáng tượng phản xạ toàn phần áp dụng cho lớp mỏng suốt B3: Kết hợp kiến thức toán học: tích phân, phép tính gần đúng… để tính toán Chuyên đề chia làm hai phần: Phần 1: Ôn tập kiến thức định luật truyền thẳng ánh sáng, định luật phản xạ ánh sáng, định luật khúc xạ ánh sáng tượng phản xạ toàn phần Phần 2:Phân chia dạng tập số tập minh họa vận dụng Trang I CƠ SỞ LÝ THUYẾT  Ba định luật quang hình học Định luật truyền thẳng ánh sáng: Trong môi trường suốt đồng tính đẳng hướng tia sáng truyền theo đường thẳng  Định luật phản xạ ánh sáng: • Tại mặt phân cách hai môi trường, phần tia sáng bị phản xạ, tượng phản xạ ánh sáng • Tia tới pháp tuyến điểm tới xác định mặt phẳng tới lập góc tới i • Tia phản xạ pháp tuyến lập góc tới i’ • Định luật phản xạ ánh sáng: Tia phản xạ nằm mặt phẳng chứa tia tới pháp tuyến, góc phản xạ góc tối  Định luật khúc xạ ánh sáng • Tia sáng truyền qua hai môi trường suốt bị đổi hướng mặt phân cách tượng khúc xạ ánh sáng • Tia khúc xạ pháp tuyến lập góc khúc xạ r • Định luật khúc xạ ánh sáng: Tia khúc xạ nằm mặt phẳng chứa tia tới pháp tuyến góc khúc xạ xác định biểu thức : • Trong n1 n2 số, gọi chiết xuất môi trường Tỉ số gọi chiết suất tỉ đối hai môi trường • Hiện tượng phản xạ toàn phần Môi trường có chiết suất thay đổi Trang • Trên thực tế khó có môi trường suốt đồng có chiết suất không thay đổi theo vị trí mà tồn lại môi trường có chiết suất thay đổi theo vị trí khác • Ví dụ  Chiết suất mỏng  Chiết suất lớp không khí thay đổi theo độ cao  Chiết suất lớp không khí khí trái đất II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA DẠNG 1:Biết phương trình đường truyền tìm chiết suất n Giả sử chiết suất môi trường n = n(y) Biết đường truyền tia sáng y = y(X) Tia sáng bay vào môi trường nói điểm x với góc tới i0 biết chiết suất môi trường n Hãy tìm qui luật biến đổi chiết suất Hướng dẫn: Chia môi trường thành lớp mỏng cho n không đổí xet điểm M tia sáng với góc tới i y Mặc khác M dy i x0 Trang dx x Các trường hợp riêng Đường truyền có phương trình: y = ax 2 Đường truyền đoạn phương trình : y = AsinBx Đường truyền cung tròn : lấy đạo hàm hai vế Bài 1: Trong môi trường suốt có chiết suất biến đổi theo biến số y Một tia sáng đơn sắc chiếu vuông góc với mặt phẳng giới hạn môi trường điểm y=0 Chiết suất môi trường có giá trị n0 Xác định biểu thức chiết suất để ánh sáng truyền môi trường theo parabol Hướng dẫn: Chia môi trường thành lớp vô mỏng cho lớp chiết suất coi không đổi Trang Định luật khúc xạ cho Xét hai điểm phương truyền ánh sáng ứng với tọa độA(0,0) B(x,y) Ta có Nhưng nA=n0, iA=900 Đối với parabol ta có Vậy Suy Trang DẠNG 2:Biết qui luật biến đổi n tìm phương trình biểu diễn đường truyền Hướng dẫn: Chia môi trường thành lớp mỏng cho n không đổi, xét điểm M tia sáng với góc tới i y M dy i Trang x0 dx x Mặc khác Từ : ,tìm y’ lấy nguyên hàm ta tìm y Phương pháp: Ta chia thành mặt phẳng có chiết suất gần không đổi Bài 1: Một song song có chiết suất biến đổi theo quy luật bề dày b=1m Một tia sang chiếu tới mặt AB góc  a Xác định điều kiện  để tia sang không xuyên qua mỏng b Tia sang đơn sắc SI chiếu vuông góc tới mặt giới hạn O có chiết suất n0=1 Sau khỏi mỏng góc  - Xác định góc lệch tia sang so với phương ban đầu - Xác định phương trình đường cong tia sang truyền Hướng dẫn: a Điều kiện  Trang Để tia sáng truyền qua phản xạ toàn phần Chia thành nhiều lớp đẳng nhiệt song song từ định luật khúc xạ ta có: Giả sử có phản xạ lớp k Ta có hay - Với trường hợp 900 tia sáng thẳng b Xác định góc  + Chia môi trưởng thành lớp đẳng nhiệt áp dụng định luật khúc xạ Với Sau khỏi a sáng lệch khỏi phương ban đầu sáng truyền thẳng + Xác định đường cong tia sáng Xét điểm thuộc đường truyền song song M(x,y) Trang sau tia Từ (1) (2) suy Lấy nguyên hàm hai vế Tại x=0 suy y=0 suy c = Vậy hay Bài 2: Chiết suất không khí sân bay phụ thuộc vào độ cao y theo công thức số , n0 chiết suất không khí mặt đất Một người đứng đường bang, độ cao mặt so với mặt đất 1,7 m TÍnh độ dài d mà nhìn rõ đường bang? Hướng dẫn: Chia không sân bay thành lớp n 1, n2, … Song song với mặt đất Trang Ta có: Từ hình vẽ ta có: Vì a nhỏ, y hữu hạn nên bỏ qua (ay) nên hay chuyển sang dạng vi phân ta có: Tích phân hai vế ta Đường tia sáng sân bay nhánh parabol Bài 3: Một tia sáng SI từ không khí vào mặt song song có bề dày h với chiết suất thay đổi theo độ sâu x với quy luật (hình 3) Cho h = 0,3 m, x0 = 0,1 m a Xác định quỹ đạo tia sáng mặt song song? Trang 10 Trong đó: Vì δ nhỏ nên Thay vào (2) ta được: Kết luận: Trong toán dạng môi trường có chiết suất thay đổi, ta nên chia môi trường thành lớp đẳng chiết để áp dụng định luật khúc xạ tính Trong số trường hợp cụ thể sử dụng số công thức gần để thuận lợi cho việc tính toán Bài 7:Một chùm sáng đơn sắc song song hẹp đến rọi vuông góc lên mặt mặt song song bề dày b, chiết suất biến thiên theo độ cao theo quy luật Xác định độ nghiêng tia ló khỏi mặt Nhận xét: Ta chia môi trường thành nhiều lớp đẳng chiết Độ nghiêng tia ló khỏi mặt tính phương pháp tính phân Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có: Bỏ qua số hạng nhỏ: Trang 18 Lại có Do chiết suất biến đổi nhỏ nên Lấy tích phân vế (1) Sau ánh sáng ló khỏi không khí n=1 Bài 8: Chiết suất không khí nhiệt độ 300K cà áp suất 1atm 1,0003 ánh sáng khoảng quang phổ nhìn thấy Giả thiết khí đẳng nhiệt 300K, tính xem khí đất cần phải có mật độ lớn lần để ánh sáng bị theo mặt cong đất mực nước biển? (về nguyên tắc bầu trời quang mây ngắm mặt trời lặn đêm, ảnh mặt trời bị nén mạnh theo phương thẳng đứng) Giả thiết rẳng chiết suất n có tính chất n-1 tỷ lệ với mật độ (Gợi ý: dùng nguyên lí Fermat) Độ cao 1/e khí đẳng nhiệt 8700m Lời giải: Theo đề Trong R m bán kính đất Khi Trang 19 mật độ không khí Cũng theo đề không khí có mật độ đủ lớn để làm cho ánh sáng bị cong theo mặt cong trái đất mức nước biển hình vẽ sau: Độ lớn quang trình từ A đến B Theo nguyên lí Ferman, độ dài quang trình từ A đến B phải đạt cực trị, tức Tức (3) Thay (3) vào (2) ta (4) Tại mực nước biển, Dùng giá trị kết hợp với (1) (4) ta Tại mực nước biển, tức 300K 1atm Do Như không khí có mật độ 4,53 lần mật độ khí thực ánh sánh bị uốn quanh độ cong A độ cong mặt đất mực nước biển r Bài 9: θ B R 1/ Chiết suất không khí phụ thuộc vào nhiệt độ áp suất Nhưng toán ta coi chiết Trang 20 suất phụ thuộc nhiệt độ phụ thuộc có dạng Đối với không khí áp suất tiêu chuẩn số Không khí bên mặt đường tác dụng ảnh nắng mặt trời bị nóng lên, mặt đường khô mà nhìn bị “ướt” Giả sử lớp đủ mỏng bên mặt đường nhiệt độ cao nhiệt độ trung bình lượng Một người quan sát thấy cách khoảng cực tiểu s “vũng nước” đường - Hãy giải thích xuất “vũng nước” - Vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc Biết mắt người cách mặt đường khoảng h =1,0m Để mô hình hóa ảo ảnh này, kích thước phòng thí nghiệm rõ ràng không đủ, khôn ngoan thay không khí mẩu thủy tinh hữu cơ, có chiết suất phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ Để làm nguồn sáng ta sử dụng sợi dây mảnh phát sáng S Dưới xem xét tia: a) Truyền góc ngỏ so với trục quang hệ trục khoảng cách nhỏ (gần cận trục) b) Các tia mặt phẳng chứa trục hệ vuông góc với dây phát sáng 2/ Tại khoảng cách a=40cm từ nguồn đặt TKHT mỏng có tiêu cự f=20cm Hỏi phải đặt ảnh cách TK khoảng cách b để thu ảnh rõ nét nguồn S màn? S a b 3/ Không thay đổi vị trí nguồn, đặt sát nguồn khối thủy tinh hữu hình hộp chữ nhật có chiều dài l=20cm chiết suất n 0=1,5 Hỏi phải đặt ảnh Tk khoảng b’ để lại thu ảnh rõ nét nguồn S màn? Trang 21 S b l 4/ Chiếu khối chất thủy tinh hữu chùm sáng song song ảnh đặt mặt phẳng tiêu TK Sau đốt nóng khối thủy tinh Do đốt nóng không đều, nên chiết suất khối bắt đầu thay đổi cách tuyến tính từ n0=1,5 từ phía đến với phía bên Hướng biến thiên nhiệt độ vuông góc với phương truyền sáng Hỏi tranh thay đổi sau đốt nóng khối thủy tinh? Biết độ dày khối thủy tinh d=4,0cm a n1 F n0 l Hướng dẫn: 1/ Không khí bên mặt đường tác dụng ánh nắng Mặt trời bị nóng lên, lớp phía nhiệt độ tăng, tức chiết suất giảm Các tia sáng từ Mặt trời qua đám mây chứa giọt nước, từ lớp nóng nao thỏa mẫn điều kiện phản xạ toàn phần tới mắt người qua sát làm cho có cảm giác mặt đường bị ướt n(T) n(T0) α h s Chia không khí thành lớp đủ mỏng, áp dụng định luật khúc xạ phản xạ toàn phần ta tìm Từ hình vẽ ta có: Trang 22 Mặt khác: Đồ thị biểu diễn phụ thuộc s=s(DT) hình vẽ 2/ Dễ dàng tính b=2f=40cm 3/ Nguồn sáng S dường kéo lại gần thấu kính đoạn Dùng công thức thấu kính ta tìm b’=50cm 4/ Để tính toán khúc xạ trường hợp ta sử dụng nguyên lí Huyghen Ở gần bề mặt khối thủy tinh sóng ánh sáng đạt đến điểm sau thời gian α r l Còn gần mặt biên sau thời gian Sau hiệu thời gian phía sau mặt sau ánh sáng điểm thấp quãng đường Do mặt sóng (và tia vuông góc với nó) quay góc nhỏ dịch lên phía đoạn ảnh cm Bài 10: Giả sử chiết suất n không khí giảm dần theo độ cao r theo quy luật khoảng Rr ta thu Trong chân cầu nhỏ đồng chất bán kính r, chiết suất n hình vẽ Một chùm sáng hẹp tần số f chân không truyền theo đường thẳng BC Đường thẳng BC cách tâm cầu O L (L[...]... trong suất chiết suất n 0 và n1 ( ) có một bản hai mặt song song bề dày e Bản mặt được đặt dọc theo trục Ox của hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Chiết suất của bản mặt chỉ thay đổi theo phương vuông góc với bản mặt theo quy luật Từ môi trường chiết suất n0 có một tia sáng đơn sắc chiếu tới điểm O trên bản mặt, theo phương hợp với Oy một góc 1 Lập phương trình xác định đường truyền của tia sáng trong bản mặt... được: Kết luận: Trong những bài toán dạng môi trường có chiết suất thay đổi, ta nên chia môi trường thành những lớp đẳng chiết để áp dụng định luật khúc xạ và tính Trong một số trường hợp cụ thể có thể sử dụng một số công thức gần đúng để thuận lợi cho việc tính toán Bài 7 :Một chùm sáng đơn sắc song song hẹp đến rọi vuông góc lên mặt của một bản mặt song song bề dày b, chiết suất biến thiên theo độ cao... mọc lên khi thay đổi chiết suất từ n đến khoảng đúng của thực nghiệm: chiết suất thay đổi 20 km: trong (giờ) (4) Từ (3) và (4) suy ra thời gian mặt trời mọc Bài 11: Chiết suất của thủy tinh có thể tăng khi lẫn thêm tạp chất Điều này cho phép chế tạo thấu kính có bề dày không đổi Cho một đĩa tròn bán kinh a độ dày d Hãy tìm sự biến thiên theo bán kính của chiết suất n(r) để tạo ra một thấu kính có tiêu... sợi quang là l Bài 7: Một tia sáng chiếu vuông góc lên một mặt phẳng ngăn cách môi trường có chiết suất n(y) phụ thuộc vào tọa độ y tại điểm A Dạng của hàm n(y) phải như thế nào để trong môi trường này, tia sáng truyền theo có dạng hình sin? Cho: Chiết suất tại A là nA - Phưởng trình đường truền tia sáng có dạng : Đáp số: Bài 8 : Xét một bản mặt song song, trong suốt có chiết suất n biến thiên theo... quả cầu Đáp số: Bài 6: Một sợi quang có chiết suất thay đổi, phần lõi có chiết suất giảm dần từ phần vỏ có chiết suất n2, a là bán kính phần lõi Xét với một tia sáng truyền tới sợi tại O và truyền trong mặt phẳng trục ở trong lõi Cho góc tới  Cho Trang 29 a) Chứng tỏ rằng trong đó A là hằng số b) Tìm quỹ đạo của tia sáng và chứng tỏ rằng tia sáng cắt trục Ox tại những điểm cách đều nhau một đoạn d... khỏi bản mặt Bài 3: Một tia sáng thuộc mặt phẳng yOz đi vào vùng z0 b Quỹ đạo của tia sáng bị hạn chế với a=0 Xác định điểm xa nhất mà tia sáng tới được so với trục Oz Trang 28 Bài 4: Chiết suất. .. ra khỏi bản mặt Nhận xét: Ta có thể chia môi trường thành nhiều lớp đẳng chiết Độ nghiêng của tia ló ra khỏi bản mặt có thể được tính bằng phương pháp tính phân Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có: Bỏ qua số hạng nhỏ: Trang 18 Lại có và Do chiết suất biến đổi nhỏ nên Lấy tích phân 2 vế của (1) Sau đó ánh sáng ló ra khỏi không khí n=1 Bài 8: Chiết suất của không khí ở nhiệt độ 300K cà áp suất 1atm... sang mặt kia của bản mặt Độ lệch của tia sáng so với điểm tới khi ra khỏi bản là Bài 4: Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a, làm bằng Trang 12 vật liệu trong suốt có chiết suất biến thiên đều đặn từ giá trị n = n1 trên trục đến n = n2 (với 1< n2 < n1 ) theo công thức n = n ( y ) = n1 1 − γ 2 y 2 , trong đó y là khoảng cách từ điểm có chiết suất n đến trục lõi, γ là hằng số dương Lõi được... Chiết suất khí quyển của một hành tinh X giảm theo độ cao h tính từ mặt đất theo quy luật : với n là chiết suất của khí quyển ở độ cao h so với mặt đất, n 0 là chiết suất khí quyển ở mặt đất, a là hệ số không đổi, n và n0 có trị số lớn hơn 1 một chút còn ah luôn rất nhỏ hơn 1,bán kính hành tinh của R 1 Hãy xác định độ cao để tia sáng đi vòng quanh hành tinh ở độ cao không đổi 2 Một tia sáng khác xuất... dụng vào quả cầu một lực trung bình F=f, phương của lực hướng từ O ra G từ biểu thức (1,2,4,7) và áp dụng các hệ thức trong tam giác cuối cũng ta tìm được : Trang 27 III BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Coi khí quyển của trái đất như một lớp trong suốt có chiết suất giảm theo độ cao theo công thức: trong đó: n0 là chiết suất tại mặt đất, a là hằng số, ah rất nhỏ so với 1; bán kính trái đất là R 1 Một tia sáng phát ... có chiết suất không thay đổi theo vị trí mà tồn lại môi trường có chiết suất thay đổi theo vị trí khác • Ví dụ  Chiết suất mỏng  Chiết suất lớp không khí thay đổi theo độ cao  Chiết suất lớp... lấy đạo hàm hai vế Bài 1: Trong môi trường suốt có chiết suất biến đổi theo biến số y Một tia sáng đơn sắc chiếu vuông góc với mặt phẳng giới hạn môi trường điểm y=0 Chiết suất môi trường có... ta tìm y Phương pháp: Ta chia thành mặt phẳng có chiết suất gần không đổi Bài 1: Một song song có chiết suất biến đổi theo quy luật bề dày b=1m Một tia sang chiếu tới mặt AB góc  a Xác định điều