Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Phần 1: TÓM TẮT -  Các toán hình học phẳng có liên quan đến đường tròn toán hay thường xuất đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh Đại học Một khái niệm quan trọng có nhiều ứng dụng liên quan đến đường tròn phương tích điểm đường tròn Đây khái niệm không khó nắm bắt, ứng dụng việc giải toán hình học phẳng phong phú Nhiều toán phức tạp giải gọn gàng nhờ sử dụng tính chất có liên quan đến phương tích Bài viết nêu lên số ứng dụng phương tích việc giải số toán hình học phẳng Nội dung viết chia làm phần, tóm tắt lại lý thuyết phương tích, phần thứ hai số toán áp dụng, chia làm bốn loại, toán định lượng, định tính, dựng hình biểu thức tọa độ Phần cuối số tập vận dụng khác Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Phần NỘI DUNG A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) bán kính R điểm M Phương tích điểm M đường tròn (O), ký hiệu SM /( O ) , xác định sau: S M /( O ) = OM − R Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: • SM /(O ) < ⇔ M nằm (O); • SM /(O ) = ⇔ M nằm (O); • SM /(O ) > ⇔ M nằm (O) Định lý Cho đường tròn (O) bán kính R điểm M Một đường thẳng d thay đổi qua M cắt (O) hai điểm A, B Khi S M /( O ) = MA ×MB Hệ Cho đường tròn (O) bán kính R điểm M nằm (O) Từ M kẻ tiếp tuyến 2 MT đến (O) (M tiếp điểm) Khi SM /( O ) = OM − R = MT Hệ Cho đường tròn (O) bán kính R điểm M d1 , d hai đường thẳng qua M cắt (O) A, B C, D Khi MA ×MB = MC ×MD Ngược lại, cho d1 , d hai đường thẳng qua M A, B hai điểm d1 C, D hai điểm d Khi đó, MA ×MB = MC ×MD bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn Trục đẳng phương hai đường tròn Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) không tâm Lúc quỹ tích điểm có phương tích hai đường tròn đường thẳng vuông góc với đường nối tâm O1O2 Đường thẳng gọi trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) Chú ý: Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng • Nếu hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt hai điểm A, B Lúc A, B có phương tích hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Do trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) đường thẳng AB • Nếu hai đường tròn (O1 ) (O2 ) tiếp xúc với điểm T Lúc T có phương tích (O1 ) (O2 ) Do trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) đường thẳng qua T vuông góc với O1O2 tiếp tuyến chung (O1 ) (O2 ) điểm T Tâm đẳng phương ba đường tròn Cho ba đường tròn (O1 ),(O2 ),(O3 ) có tâm O1 , O2 , O3 không thuộc đường thẳng Gọi d1 , d , d3 trục đẳng phương (O2 ) (O3 ) ,của (O3 ) (O1 ) , (O1 ) (O2 ) Khi ba đường thẳng d1 , d , d3 đồng quy điểm K K điểm có phương tích ba đường tròn (O1 ),(O2 ),(O3 ) gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Phương trình đường tròn biểu thức tọa độ phương tích a) Phương trình đường tròn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I ( x ; y ) 0 bán kính R Khi (C) IM = R , tức là: điểm M ( x; y ) thuộc đường tròn ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R (1) Phương trình (1) viết lại là: x + y − x0 x − y0 y + x02 + y02 − R = (2) Phương trình (1) (2) gọi phương trình đường tròn (C) cho Ngược lại, cho phương trình: x + y + 2ax + 2by + c = (*) Khi có ba trường hợp sau xảy ra: • Nếu a + b − c < điểm có tọa độ ( x; y ) thỏa phương trình (*) Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng • Nếu a + b − c = có điểm I ( −a; −b ) có tọa độ thỏa (*) • Nếu a + b − c > (*) phương trình đường tròn (C) có tâm I ( −a; −b ) bán kính R = a + b − c b) Biểu thức tọa độ phương tích Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình f ( x; y ) = x + y + 2ax + 2by + c = 0, a + b − c > điểm M ( x0 ; y0 ) Khi phương tích M đường tròn (C) là: S M /( C ) = f ( x0 ; y0 ) = x02 + y02 + ax0 + 2by0 + c Từ ta có: • Điểm M ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn (C) f ( x0 ; y0 ) = • Điểm M ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn (C) f ( x0 ; y0 ) > • Điểm M ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn (C) f ( x0 ; y0 ) < Cho hai đường tròn (C ) (C ) không tâm, có phương trình là: x + y + 2a1 x + 2b1 y + c1 = 0, a12 + b12 − c1 > , 2 x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 = 0, a22 + b22 − c2 > Khi đó, trục đẳng phương hai đường tròn (C1 ) (C2 ) đường thẳng ∆ có phương trình: (2a1 − 2a2 ) x + (2b1 − 2b2 ) y + c1 − c2 = c) Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ Khi đó: • (C) ∆ điểm chung d ( I , ∆ ) > R • (C) tiếp xúc với ∆ d ( I , ∆) = R • (C) cắt ∆ hai điểm phân biệt d ( I , ∆) < R d) Vị trí tương đối hai đường tròn Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (C ) phương chúng Khi vị trí tương đối hai đường tròn (C ) không tâm Gọi ∆ trục đẳng (C ) (C ) vị trí tương đối 2 (C ) (hoặc (C ) ) với ∆ B Các ví dụ Một số toán định lượng Mục dành để trình bày số toán mang tính định tính tính phương tích số điểm đặc biệt tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác số toán tính toán khác có sử dụng phương tích điểm đường tròn Một số ví dụ Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng có sử dụng tính chất quen thuộc tích vô hướng uuur uuur AB + AC − BC AB AC = Một số kết có liên quan đến đường thẳng Euler, đường tròn Euler, tính chất trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác sử dụng không chứng minh lại Ví dụ (Phương tích trọng tâm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tính phương tích trọng tâm G (O) theo cạnh BC = a, CA = b, AB = c Giải uuur uuur uuur uuur Do G trọng tâm tam giác ABC nên OG = OA + OB + OC Suy ra: uuur uuur uuur uuur uuur uuur OG = OA2 + OB + OC + 2OA ×OB + 2OB ×OC + 2OC ×OA = ( OA2 + OB + OC + OA2 + OB − AB + OB + OC − BC + OA2 + OC − AC ) 1 = ( 9R − a − b2 − c2 ) = R − ( a + b + c ) 9 Vậy SG /( O ) = OG − R = − ( a + b + c ) Ví dụ (Phương tích trực tâm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R Tính phương tích trực tâm H (O) theo R góc A,B,C Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, theo tính chất đường thẳng Euler ta có uuur uuur uuur uuur uuur OH = 3OG = OA + OB + OC Suy ra: uuur uuur uuur uuur uuur uuur OH = OA2 + OB + OC + 2OA ×OB + 2OB ×OC + 2OC ×OA ( ) ( ) = OA2 + OB + OC + OA2 + OB − AB + OB + OC − BC + OA2 + OC − AC = 9R2 − ( a + b2 + c2 ) Vậy : S H /( O ) = OH − R = 8R − ( a + b + c ) = 8R − R ( sin A + sin B + sin C ) = R ( + 2(cos A + cos B + cos 2C ) ) = −8 R cos A cos B cos C Chú ý: Từ kết ta suy công thức tính OH là: OH = R (1 − 8cos A cos B cos C ) Ví dụ (Phương tích tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) ngoại tiếp đường tròn ( I ; r ) Hãy tính phương tích I đường tròn ( O ) Giải: Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng a+b+c Đặt AB = c, BC = a, CA = b, p = Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên: uuur uuur uuur uur uur uur r uur aOA + bOB + cOC uuur uuur uuur aIA + bIB + cIC = ⇒ OI = = aOA + bOB + cOC a+b+c 2p Suy uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 OI = a R + b R + c R + abOA × OB + bcOB × OC + acOC ×OA p2 = R ( a + b + c ) + ab(2 R − c ) + bc(2 R − a ) + ca (2 R − b ) ) ( 4p = R ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca) − abc(a + b + c) ) ( 4p abc S R = R (a + b + c)2 − p.abc ) = R − = R2 − = R − Rr ( 4p 2p 2p ( ( ) ) (S diện tích tam giác ABC) Vậy S I /( O ) = OI − R = −2 Rr Chú ý: Lời giải toán cho ta hệ thức Euler là: OI = R − Rr Ví dụ Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Xét đường tròn ( I ) cho S A /( I ) + a = S B /( I ) + b = SC /( I ) + c = a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Gọi R R ' bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn ( I ) Chứng minh R ' = R c) Gọi M trung điểm BC Tính S M /( I ) Giải: a) Theo giải thiết, ta có S A /( I ) = − a , S B /( I ) = −b , SC /( I ) = −c Ta có: S S S A /( I ) B /( I ) C /( I ) = IA2 − R '2 = −a ⇒ IA2 = R '2 − a = R '2 − BC (1) = IB − R ' = −b ⇒ IB = R '2 − b = R '2 − AC (2) = IC − R ' = −c ⇒ IC = R '2 − c = R '2 − AB (3) Từ (1) (2) suy CA2 − CB = IA2 − IB CI ⊥ AB Lập luận tương tự ta có BI ⊥ AC AI ⊥ BC Vậy I trực tâm tam giác ABC b) Gọi M trung điểm BC, I trực tâm tam giác ABC nên: AI = 2OM ⇒ AI = 4OM = ( R − BM ) = R − a Từ suy ra: R '2 = IA2 + a = R − a + a = R ⇒ R ' = R Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng IB + IC BC R − b + R − c a 2b + 2c + a 2 − = − = 4R − c) Ta có IM = 4 Suy ra: S 2b + 2c + a 2b + 2c + a 2 = IM − R ' = R − − 4R = − 4 M /( I ) 2 Ví dụ Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I đường tròn ( O; R ) Gọi p1 = S A /( O ) , p2 = S B /( O ) , p3 = S I /( O ) Chứng minh AB = 2( p1 + p2 − p3 ) Giải: Ta có p1 = OA2 − R , p2 = OB − R , p3 = OI − R Từ OI = OA2 OB AB + − suy 2 AB = 2OA2 + 2OB − 4OI = 2(OA2 − R ) + 2(OB − R ) − 4(OI − R ) = 2( p1 + p2 − p3 ) Vậy AB = 2( p1 + p2 − p3 ) Ví dụ Cho nửa đường tròn đường kính AB hai điểm M, N thay đổi Gọi I giao điểm AM BN Ký hiệu (O1 ) , (O2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP ANP Chứng minh S A /( O1 ) + S A /( O2 ) không đổi Giải: Ta có: uur uuuur uur uuur + S = AI AM + BI BN A /( O1 ) A /( O2 ) uur uuur uur uuur uuur uur uur uuur2 = AI AB + BI BA = AB AI + IB = AB = AB S ( Vậy S A /( O1 ) ) + S A /( O2 ) không đổi Ví dụ Cho hai đường tròn (O1 ) , (O2 ) có tâm O1 ≠ O2 M điểm tùy ý Ký hiệu d trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) , H hình chiếu vuông góc M d Chứng minh S M /( O1 ) − SM /( O2 ) = −2O1O2 MH Từ suy MH = Giải: S M /( O1 ) − S M /( O2 ) 2O1O2 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Ta có: uuuur uuuur = O1M − R12 = HM − HO1 − R12 uuuur uuuur = HM + HO12 − HM HO1 − R12 uuuur uuuur = HM + S H /( O1 ) − HM KO1 uuuur uuuur Tương tự: SM /( O2 ) = HM + S H /( O2 ) − HM KO2 S ( M /( O1 ) Do đó: S ) uuuur uuuur uuuur − S = S − S − HM KO1 − KO2 M /( O1 ) M /( O2 ) H /( O1 ) H /( O2 ) uuuur uuuur = −2 HM O2O1 = −2 MH O1O2 ( ) Ví dụ (USA MO 1998) Cho hai đường tròn (C1 ) (C2 ) có tâm ( (C2 ) chứa (C1 ) ) điểm A (C1 ) Tiếp tuyến A đường tròn (C1 ) cắt đường tròn (C2 ) hai điểm B, C Gọi D trung điểm AB Một đường thẳng qua B cắt (C1 ) hai điểm E, F Biết đường trung trực DE CF cắt điểm I đường thẳng BC Tính IB tỉ số IC Giải: Ta có S B /( C1 ) = BA = BE.BF BC = BD.BC nên BE.BF = BD.BC Do tứ giác DECF nội tiếp đường tròn (T) Tâm đường tròn (T) nằm đường trung trực ED CF nên I tâm (T) Mà I thuộc CD nên I trung điểm CD Từ ta có DB = DC và: IB ID + DB ID DB = = + = 1+ = IC IC IC IC 3 Ví dụ (IMO Shortlist 2011) Cho A1 A2 A3 A4 tứ giác nội tiếp Gọi O1 r1 tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 Định nghĩa O2 , O3 , O4 r2 , r3 , r4 tương tự Chứng minh 1 1 + + + = 2 2 2 O1 A1 − r1 O2 A2 − r2 O3 A3 − r3 O4 A4 − r42 Mặt khác lại có: BA = BD Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Giải Gọi M giao điểm A1 A3 A2 A4 Đặt a = MA1 , b = MA2 , c = MA3 , d = MA4 Gọi B1 giao điểm A1 A3 với đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 Khi ta có ( )( O1 A12 − r12 = A1B1 A1 A3 = MB1 − MA1 MA3 − MA1 ( ) A1 B1 O3 ) A2 O2 M O1 O4 A4 = MB1 − a ( c − a ) Mặt khác MB1.MA3 = MA2 MA4 ⇒ MB1 = bd c A3 Do (c − a )  bd  O1 A12 − r12 =  − a ÷(c − a ) = ( bd − ac ) c  c  1  c  = Suy  ÷ Tương tự ta có: 2 O1 A1 − r1 bd − ac  c − a  =  d  1  a  1  b = , =  ÷,  ÷  ac − bd  d − b  O3 A32 − r32 bd − ac  a − c  O4 A4 − r4 bd − ac  b − d  ÷  O2 A2 − r2 Vậy 1 1  c a d b  + + + = − − +  ÷ = 2 2 2 2 O1 A1 − r1 O2 A2 − r2 O3 A3 − r3 O4 A4 − r4 bd − ac  c − a c − a d − b d − b  2 Một số toán định tính Trong Ví dụ 1, Ví dụ Ví dụ đây, ta sử dụng phương tích để chứng minh số điểm nằm đường tròn Một kết thường sử dụng để làm việc Hệ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD ( AB ≠ CD) nội tiếp (O) Dựng hai hình thoi AEDF BMCN có cạnh Chứng minh bốn điểm EFMN thuộc đường tròn Giải: Gọi R bán kính đường tròn (O), I = MN ∩ BC J = EF ∩ AD Do AB ≠ CD nên điểm M, N, O, E, F không nằm đường thẳng Ta có: OM.ON = OI + IM OI + IN = OI − IN OI + IN ( )( ( ) ( ) ( )( = OI − IN = OB − BI − BN − BI ) ) = R − BN Tương tự, OE.OF = R − AE Mà BN = AE nên OM.ON = OE.OF suy bốn điểm M, N, E, F thuộc đường tròn Ví dụ (IMO Shortlist 1995) Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F X điểm nằm tam giác ABC cho đường Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với XB, XC, BC Z, Y, D Chứng minh tứ giác EFZY nội tiếp Giải: Trường hợp tam giác ABC cân A hiển nhiên Khi tam giác ABC không cân A, gọi I = EF ∩ BC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC để tính BC BD IB = DC − BD Tương tự, gọi I ' = XY ∩ BC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XBC để tính BC BD I'B = Từ suy I ≡ I ' Do BC trục đẳng phương đường tròn nội tiếp DC − BD tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác XBC IE.IF = IZ.IY suy EFZY tứ giác nội tiếp Ví dụ (IMO 2008) Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M , M , M trung điểm BC, CA, AB Đường tròn tâm M bán kính M 1H cắt BC A1 , A2 ; đường tròn tâm M bán kính M H cắt CA B1 , B2 ; đường tròn tâm M bán kính M H cắt AB C1 , C2 Chứng minh A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn Giải: Do M 1M // AB AB ⊥ CH nên M 1M ⊥ CH Mà H điểm chung đường tròn ( M1 ) đường tròn ( M ) nên CH trục đẳng phương hai đường tròn ( M1 ) ( M ) Suy CA1.CA2 = CB1.CB2 A1 , A2 , B1 , B2 thuộc đường tròn ( T1 ) Tương tự A1 , A2 , C1 , C2 thuộc đường tròn ( T2 ) B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn ( T3 ) Nếu hai ba đường tròn trùng A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn Nếu ba đường tròn phân biệt trục đẳng phương ( T1 ) ( T2 ) BC, trục đẳng phương ( T2 ) ( T3 ) AB trục đẳng phương ( T1 ) ( T3 ) AC phải đồng quy chúng lại cắt A, B, C nên vô lý Vậy A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn Ví dụ Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi đường thẳng ∆ cắt  1 đường thẳng AB k ∈  0; ÷, ( k số ) Gọi D điểm cạnh AB cho  2 10 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng AD = kAB Đường tròn đường kính BD cắt đường thẳng qua C trung điểm đoạn thẳng AB E F Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi Giải Gọi M trung điểm AB, H điểm A đối xứng với D qua M H điểm cố định BH = AD Vì D AD = kAB,0 < k < nên D thuộc đoạn E I AM, H thuộc đoạn MB, M thuộc đoạn M EF Ta có ME.MF = MD.MB = MH MA d tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp H F Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường thẳng d đường trung trực AH C B Đảo lại, với điểm I đường trung trực AH, gọi E F giao điểm đường tròn tâm I bán kính IA với đường tròn đường kính BD Gọi M giao điểm EF MH MB MB − MH BH = = = = , tức M AB Khi ME.MF = MH MA = MD.MB , suy MD MA MA − MD AD trung điểm HD trung điểm AB Nếu ∆ qua M cắt đường tròn đường kính BD E,F quỹ tích điểm I, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Nếu ∆ không qua M Khi qua M vẽ đường thẳng song song với ∆ cắt đường tròn đường kính DB E,F tâm I’ đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không thuộc quỹ tích Nếu I ≠ I ' : Gọi C điểm giao ∆ đường thẳng EF không trùng với M Khi ta có tam giác ABC mà đường trung tuyến qua C cắt đường tròn đường kính BD hai điểm E, F tam giác AEF có tâm đường tròn ngoại tiếp điểm I Lúc quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi đường trung trực đoạn thẳng AH loại trừ I’ Một ứng dụng phương tích chứng minh ba đường thẳng đồng quy Theo cách này, thường ba đường thẳng cho ba trục đẳng phương cặp đường tròn lấy ba đường tròn Lúc theo tính chất tâm đẳng phương ba đường thẳng đồng quy Các Ví dụ 5, 6, minh họa điều Ví dụ Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm C nằm cho C trung điểm cung nửa đường tròn Gọi H chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB Đường tròn đường kính CH cắt CA E, CB F đường tròn đường kính AB D Chứng minh CD, EF, AB đồng quy 11 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Giải: o o · · · · · · Ta có EAB = 90 − ECH , EFC = 90 − CEF Vì CEHF hình chữ nhật nên ECH = CEF · · Suy EAB tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn (T) = EFC Ta có CD trục đẳng phương đường tròn đường kính CH đường tròn đường kính AB; EF trục đẳng phương đường tròn (T) đường tròn đường kính CH AB trục đẳng phương đường tròn đường kính AB với đường tròn (T) Từ theo tính chất tâm đẳng phương, ta có AB, CD, EF đồng quy Chú ý: Cũng chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp cách CE.CA = CF.CB = CH Ví dụ (USA MO 1997) Cho tam giác ABC Bên tam giác vẽ tam giác cân BCD, CAE, ABF có cạnh đáy tương ứng BC, CA, AB Chứng minh ba đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy Giải: Ký hiệu d1 , d2 , d3 đường thẳng vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE Khi d1 trục đẳng phương đường tròn ( E; EA ) đường tròn ( F; EA ) ; d2 trục đẳng phương đường tròn ( F; EA ) đường tròn ( D; DB ) ; d3 trục đẳng phương đường tròn ( D; DB ) đường tròn ( E; EA ) Theo tính chất tâm đẳng phương ba đường thẳng đồng quy Chú ý: Bài toán giải nhanh gọn cách sử dụng Định lý Carnot sau: “Cho tam giác ABC điểm M, N , P Gọi ∆ A , ∆ B , ∆ C đường thẳng qua M, N, P vuông góc với BC, CA, AB Khi ∆ A , ∆ B , ∆ C đồng quy ( MB − MC ) + (NC − NA2 ) + ( PA2 − PB ) = ” Ví dụ (IMO 1995) Trên đường thẳng d lấy điểm A,B,C,D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai M BD cắt đường tròn đường kính BD điểm thứ hai N Chứng minh AM, DN XY đồng quy Giải: 12 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng · · · · Ta có MAD , MND = 90o − MCB = 90o + MNB Mặt khác, PC.PM = PB.PN = PX PY nên tứ · · giác MNCB nội tiếp Từ suy MCB = MNB đó: · · · · MAD + MND = 90o − MCB + 900 + MCB = 180o Vậy tứ giác ADNM nội tiếp đường tròn (T) Ta có AM trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường tròn (T); DN trục đẳng phương đường tròn đường kính BD đường tròn (T); XY trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường tròn đường kính BD Vậy theo tính chất tâm đẳng phương, suy AM, DN XY đồng quy Ví dụ (Iran MO 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( I ),( Ia ) đường tròn nội tiếp bàng tiếp góc A Giả sử IIa cắt BC (O) A ' M Gọi N ¼ trung điểm cung MBA (O) NI , NIa cắt (O) S T Chứng minh ba điểm S, T, A ' thẳng hàng Giải: Ta có · » + s® AS » = s® MN ¼ + s® AS » = NIM · NTS = s®NA 2 ·⇒ I TS = I· IS Suy tứ giác I TIS nội tiếp đường a a a ( tròn ) ( ) (C ) o · · Mặt khác, IBI nên tứ giác IBIa C nội a = ICI a = 90 tiếp đường tròn (C2 ) Ta có IIa trục đẳng phương (C1 ) (C2 ) BC trục đẳng phương (O) (C2 ) TS trục đẳng phương (O) (C1 ) Theo tính chất tâm đẳng phương IIa , BC, TS đồng quy A ' Vậy ba điểm S, T, A ' thẳng hàng Ví dụ Cho đường tròn (O;R) hai điểm P, Q cố định (P nằm (O) Q nằm (O)) Dây cung AB (O) qua Q; PA, PB cắt (O) lần thứ hai D, C Chứng minh CD qua điểm cố định Giải: 13 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Dự đoán điểm cố định giao điểm I PQ CD Gọi K giao điểm thứ hai PQ với đường tròn ngoại tiếp · · · tam giác PAB Khi PDC = PBA = PKA chứng minh tứ giác IADK nội tiếp Ta có QO − R = QA.QB = QP.QK , mà P Q cố định nên PQ không đổi suy QK không đổi K cố định Do tứ giác IADK nội tiếp nên PO − R = PA.PD = PI PK , mà P K cố định nên PK không đổi suy PI không đổi I cố định Vậy CD qua điêm I cố định Ví dụ 10 Trên đường tròn (O) cho ba điểm A, B, C cố định cho tam giác ABC cân A » không chứa A (O) cho AM không qua O M điểm di động cung BC Đường tròn (T) có tâm A bán kính AB cắt tia MC D, đường thẳng AD cắt (O) E khác với A Gọi H hình chiếu D AC · · a) Chứng minh BDH = MEC b) Gọi I trung điểm AD, d1 đường thẳng qua A vuông góc với IO, d2 đường thẳng qua D vuông góc với AI Giả sử d1 d2 cắt K Chứng minh K nằm đường thẳng cố định M thay đổi Giải: · a) Ta có MA phân giác góc BMC Gọi D’ điểm đối xứng với B qua MA, D’ thuộc tia MC Vì AD ' = AB nên D’ nằm đường tròn (T) tâm A bán kính AB D’ giao điểm (khác C) (T) MC Mà D giao điểm CM (T) D ≡ D ' Vậy BD ⊥ AM Gọi N = BD ∩ AM , ta có tứ giác ANDH nội tiếp đường tròn đường kính AD Xét tam giác NDH tam giác MEC, ta có: · · · (1) NHD = NAD = MCE · · · (2) HND = HAD = CME Từ (1) (2) suy tam giác NDH đồng dạng · · với tam giác MEC BDH = MEC b) Ta có d1 trục đẳng phương đường tròn (I,IA) (O); d2 trục đẳng phương đường tròn (I,IA) (T); BC trục đẳng phương (O) (T) Theo tính chất tâm đẳng phương d1 , d2 BC đồng quy Do giao điểm K d1 , d2 thuộc đường thẳng BC cố định 14 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Ví dụ 11 Cho tam giác ABC Các phân giác góc A, B, C cắt cạnh đối diện A1 , B1 , C1 Chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng nằm đường thẳng vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải Gọi A2 , B2 , C2 tam giác tạo ba phân giác góc A, B, C Khi ta có AA2 ⊥ B2 C2 , BB2 ⊥ A2 C2 CC2 ⊥ A2 B2 Tứ giác BC2 B2 C nội tiếp nên A1C2 A1 B2 = A1 B A1C Tương tự ta có: B1C2 B1 A2 = B1 A B1C C1 B2 C1 A2 = C1 A.C1 B Suy A1 , B1 , C1 nằm trục đẳng phương đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn ( T ) ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 Để ý (O) đường tròn Euler tam giác A2 B2 C2 , I trực tâm tam giác A2 B2C2 , T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 Từ suy ba điểm I , O, T nằm đường thẳng Euler tam giác A2 B2 C2 Vậy đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vuông góc với đường thẳng IO Ví dụ 12 Cho tam giác ABC vuông C Gọi H chân đường vuông góc hạ từ C tam giác ABC Lấy X điểm nằm đoạn CH, gọi K, L điểm nằm đoạn thẳng AX, BX cho BK = BC AL = AC Giả sử M giao điểm AL BK Chứng minh MK = ML Giải 15 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng K' C L' X L K A M H B Ta có K nằm đường tròn (T1 ) tâm B bán kính BC L nằm đường tròn (T2 ) tâm A bán kính AC Gọi K ' giao điểm thứ hai khác K đường thẳng AX với (T1 ) L’ giao điểm khác L BX với (T2 ) Khi CH trục đẳng phương (T1 ) (T2 ) XL XL ' = XK XK ' suy K,L,K’,L’ nằm đường tròn (T3 ) 2 Vì BX trục đẳng phương (T3 ) (T2 ) nên BK = BC = PB /(T2 ) = BL.BL ' = PB /(T3 ) , suy BK tiếp tuyến (T3 ) K Tương tự, ta có AL tiếp tuyến (T3 ) L Từ suy MK = ML Ví dụ 13 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H W điểm cạnh BC Gọi M, N chân đường vuông góc kẻ từ B C; Ký hiệu ( w1 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN gọi X điểm ( w1 ) cho XW đường kính ( w1 ) Tương tự, ký hiệu ( w2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM gọi Y điểm ( w2 ) cho YW đường kính ( w1 ) Chứng minh X, Y, H thẳng hàng Giải 16 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng A Y M N w2 Z H X B L C W w1 Gọi L chân đường vuông góc kẻ từ A Z giao điểm thứ hai ( w1 ) ( w2 ) Khi ZW trục đẳng phương ( w1 ) ( w2 ) ; BN trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp BNMC với ( w1 ) ; CM trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp BNMC với ( w2 ) Suy · ba đường thẳng BN, CM, ZW đồng quy A, tức A,Z,W thẳng hàng Vì ·XZW = YZW = 90o nên X,Y,Z thẳng hàng Ta có AH AL = AB.AN = AW AZ H thuộc đường thẳng AW H ≡ Z hiển AZ AL = nhiên X,Y,H thẳng hàng Nếu H không thuộc đường thẳng AW từ suy hai AH AW tam giác AHZ AWL đồng dạng với Do ·AZH = ·ALW = 90o Điều chứng tỏ H, Z, Y thẳng hàng Vậy H, X, Y thẳng hàng Ví dụ 14 (IMO Shortlist 2011) Cho ABC tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp Ω Gọi B0 , C0 trung điểm AC AB; D chân đường cao kẻ từ A G trọng tâm tam giác ABC Gọi ω đường tròn qua B0 , C0 tiếp xúc với đường tròn (T) điểm X ≠ A Chứng minh D, G, X thẳng hàng Giải Nếu AB = AC kết hiển nhiên Không tổng quát, giả sử AB < AC Gọi Ω1 đường tròn ngoại tiếp tam giác AB0C0 Khi Ω1 ảnh Ω qua phép vị tự tâm A tỉ số Gọi a x tiếp tuyến Ω lại A X Khi a,x, B0C0 trục đẳng phương ba đường tròn Ω , Ω1 ω nên đồng quy điểm S Vì A D đối xứng qua B0C0 nên SA = SD = SX , tức S tâm đường tròn γ ngoại tiếp tam giác ADX Hơn nữa, ta có tứ giác ASOX nội tiếp 17 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Ký hiệu T giao điểm thứ hai đường thẳng DX với Ω O A T tâm Ω O thuộc Ω1 Sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn γ Ω , ta có: · DAT = ·ADX − ·ATD C0 S B0 1 = (360o − ·ASX ) − ·AOX G 2 O = 180o − ( ·ASX + ·AOX ) = 90o B D Suy AD ⊥ AT A0 C AT//BC Suy ATCB hình thang cân nội tiếp Ω X Gọi A0 trung điểm BC Xét phép vị tự V tâm G tỉ số − biến A , B , C A, B, C thành 0 Vì A0 B0C0 D hình thang cân nên V (T ) = D T, G, D thẳng hàng Vậy D,G,X thẳng hàng Một số toán dựng hình Ví dụ Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng ∆ Hãy dựng đường tròn qua hai điểm A,B tiếp xúc với ∆ Phân tích: Nếu AB// ∆ gọi b đường trung trực AB M giao điểm ∆ b Khi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM đường tròn cần tìm A B M Xét trường hợp AB không song song với ∆ Giả sử dựng đường tròn (C) thỏa yêu cầu Khi gọi I giao điểm AB ∆ M tiếp điểm (C) ∆ Giả sử B nằm A I, IM = IA AB A B M2 M1 I E Gọi a đường thẳng qua B vuông góc với AB Đường tròn đường kính AI cắt a E 18 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Khi tam giác AEI vuông E có đường cao EB nên IE = IA AB Vậy IM = IE nên M giao điểm ∆ đường tròn tâm I bán kính IE Suy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM đường tròn cần dựng Số nghiệm hình trường hợp số giao điểm ∆ đường tròn tâm I bán kính IE Việc suy cách dựng chứng minh đơn giản bạn học sinh tự thực Ví dụ a) Cho đường thẳng ∆ đường tròn (O) Gọi A điểm thuộc đường thẳng ∆ Hãy dựng đường tròn (T) tiếp xúc với ∆ A đồng thời tiếp xúc với (O) b) Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) A điểm đường tròn (O1 ) Hãy dựng đường tròn (T) tiếp xúc với (O1 ) A đồng thời tiếp xúc với (O2 ) a) Phân tích: Giả sử dựng đường tròn (T) thỏa yêu cầu Gọi ( K1 ) , ( K ) hai đường tròn tiếp xúc với ∆ A cho ( K1 ) cắt (O) E, F ( K ) cắt (O) G, H Khi EF trục đẳng phương (O) O ( K1 ) , GH trục đẳng phương (O) M2 ( K ) , ∆ trục đẳng phương ( K1 ) ( K ) Theo tính chất tâm đẳng phương F d E G T2 K1 M1 H T1 K2 EF, GH ∆ đồng quy I Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến qua I với I A (O) Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với ∆ , a trung trực MA, T giao điểm a d Khi đường tròn tâm T bán kính TA đường tròn cần tìm Số nghiệm tùy thuộc số tiếp điểm M đường thẳng qua I tiếp xúc với ∆ Việc suy cách dựng chứng minh đơn giản bạn học sinh tự thực b) Kẻ tiếp tuyến ∆ (O1 ) A Khi toán quy câu a) Ví dụ Cho đường tròn (O) hai điểm phân biệt A, B Hãy dựng đường tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với (O) Phân tích: Giả sử dựng đường tròn (T) thỏa yêu cầu Gọi ( K1 ) , ( K ) hai đường tròn qua hai điểm A, B cho ( K1 ) cắt (O) E, F ( K ) cắt (O) G, H Khi EF trục đẳng phương (O) ( K1 ) , GH trục đẳng phương (O) ( K ) , ∆ trục đẳng phương ( K1 ) ( K ) Theo tính chất tâm đẳng phương EF, GH ∆ đồng quy I 19 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến qua I với (O) (T) đường tròn qua ba điểm A, B, M Khi (T) đường tròn cần tìm Số nghiệm tùy thuộc số tiếp điểm M đường thẳng qua I tiếp xúc với ∆ Việc suy cách dựng chứng minh đơn giản bạn học sinh tự thực E M2 G T2 F H K1 M1 K2 T1 I A B Một số toán biểu thức tọa độ Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − x + y − 20 = điểm M (3;4) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C ) (A, B tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB Giải Đường tròn (C ) có tâm I (1; −2) bán kính R = Ta có IM = 40 > R nên M nằm đường tròn (C ) Gọi (C ') đường tròn tâm M bán kính MA = IM − R = 15 Khi (C ') có phương trình: ( x − 3) + ( y − 4) = 15 ⇔ x + y − x − y + 10 = Ta có AB trục đẳng phương (C ) (C ') nên phương trình AB là: x + 12 y − 30 =  − 15 + 15  ; Chú ý: Cũng tìm trực tiếp tọa độ tiếp điểm A  ÷ 4    + 15 − 15  B ; ÷ sau viết phương trình đường thẳng AB Tuy nhiên cách cần 4   nhiều tính toán phức tạp Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y + x − = hai điểm A(1;4) , B(5;0) Viết phương trình đường tròn (C ') qua A, B tiếp xúc với (C ) 20 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Giải (C ) có tâm I (−1;0) bán kính R = Gọi (C ') : x + y + 2ax + 2by + c = 0, a + b − c > Vì (C ') qua A, B nên ta có: 2a + 8b + c + 17 = (1)  (2) 10a + c + 25 = Gọi ∆ trục đẳng phương (C ) (C ') Khi phương trình ∆ là: ∆ : (2a − 2) x + 2by + c + = −2a + c + = (3) (C ') tiếp xúc với (C ) ⇔ (C ) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆) = ⇔ (2a − 2) + 4b a = −1 a = −23 /   Giải hệ ba phương trình (1), (2) (3) ta có b = b = −16 / c = −15 c = 55 /   46 32 55 y+ = Vậy (C ') : x + y − x − 15 = (C ') : x + y − x − 7 Chú ý: Có thể thấy đường tròn x + y − x − 15 = qua hai điểm A, B tiếp xúc 46 32 55 y+ = qua hai điểm A, B tiếp xúc với (C ) đường tròn x + y − x − 7 với (C ) Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có trực tâm 1  H  ;3 ÷ Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B, C Biết đường thẳng DE 2  qua điểm M (4;2) , HD = đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − y = Tìm tọa độ đỉnh A Giải Vì tam giác ABC cân A nên HD = HE , D, E thuộc đường tròn tâm H bán kính HD có 1  phương trình là:  x − ÷ + ( y − 3) = ⇔ x + y − x − y + = 2   2a + 3a +  ; Gọi A(a;3a) thuộc d I  ÷ trung điểm AH Ta có tứ giác AEHD nội tiếp   (C ) có tâm I bán kính đường tròn (C ) đường kính AH Đường tròn IH = (2a − 1) (3a − 3) nên có phương trình: + 16 2 2a +   3a +  (2a − 1) (3a − 3) 2a + 19a  + ⇔ x2 + y − x − (3a + 3) y + = x− ÷ + y − ÷ =    16 2  2 21 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Ta có ED trục đẳng phương đường tròn ( H , HD) đường tròn (C ) nên phương trình DE là: 2a − 14 − 19a x + (3a − 3) y + = 2 14 − 19a M ∈ ED ⇔ 2(2a − 1) + (3a − 3).2 + = ⇔ a = 2 Vậy A(2;6)  21  Chú ý Sau tìm tọa độ đỉnh A, ta tìm D ( 2;3) , E  − ; ÷  5  21   21  D  − ; ÷, E ( 2;3) Trường hợp D ( 2;3) , E  − ; ÷ ta suy B(−2;3) C (2;1) Trường  5  5  21  hợp D  − ; ÷, E ( 2;3) ta tìm B(2;1) C (−2;3)  5 C Bài tập tự luyện Bài (Định lý Fuss) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp đường tròn ( I ; r ) Đặt OI = d Chứng minh 1 + = ( R − d )2 ( R + d )2 r Bài (VMO 2003) Cho hai đường tròn ( O1 ; R1 ) ( O2 ; R2 ) (với R2 > R1 ) tiếp xúc với M Xét điểm A di động đường tròn (O2 ) cho A, O1 , O2 không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O1 ) Các đường thẳng MB, MC cắt lại (O2 ) E, F Gọi D giao điểm EF với tiếp tuyến A (O2 ) Chứng minh D di động đường thẳng cố định Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm đường tròn Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O) Gọi E, F trung điểm AB AC; D điểm EF Từ D kẻ tiếp tuyến DP, DQ đến (O) ; EF cắt PQ M Chứng minh ·DAM = 90o Bài (Rumani TST 2008) Cho tam giác ABC Các điểm D, E, F nằm cạnh BD CE AF = = Chứng minh hai tam giác ABC DEF có CD AE BF chung trực tâm tam giác ABC BC, CA, AB cho 22 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Bài (Rumani TST 2006) Cho đường tròn (O) điểm A nằm đường tròn Từ A kẻ hai cát tuyến ABC, ADE (với B thuộc đoạn thẳng AC D thuộc đoạn thẳng AE) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ hai F; AF cắt (O) G; EG cắt AC 1 = + M Chứng minh AM AB AC Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) P điểm cung CD không chứa A, B ; MD.NC không đổi MN Bài Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O '; R) tiếp xúc với cạnh BC tiếp xúc với cung BC nhỏ Tính AO ' theo a R Bài Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) Kẻ tiếp tuyến chung A1 A2 , tiếp PA, PB cắt DC M, N Chứng minh tuyến chung B1 B2 hai đường tròn ( A1 , B1 ∈ (O1 ) , A2 , B2 ∈ (O2 ) ) Chứng minh A1 B1 , A2 B2 , O1O2 đồng quy Bài Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) , ngoại tiếp đường tròn ( I ) Các · ' = CIC · ' = 90o Chứng điểm A ', B ', C ' theo thứ tự thuộc BC, CA, AB thoả mãn ·AIA ' = BIB minh A ', B ', C ' thuộc đường thẳng đường thẳng vuông góc với OI Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi A ', B ' nằm hai cạnh BC AC Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn đường kính BB’ AA’ qua trực tâm H tam giác ABC Bài 11 Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB, CD Tiếp tuyến (O) B cắt AC E, DE cắt (O) lần thứ hai F Chứng minh AF, BC, OE đồng quy Bài 12 Cho đường tròn (O) dây AB Các đường tròn (O1 ) , (O2 ) nằm phía dây AB tiếp xúc với (O) Gọi H, K giao điểm (O1 ) (O2 ) Chứng minh HK qua điểm cố định Bài 13 Cho tam giác ABC, đường tròn qua B, C cắt AB, AC C ', B ' Gọi P giao điểm BB’ CC’; AP cắt BC A’ Đường thẳng qua A’ song song với B ' C ' cắt AB, AC M, N; B ' C ' cắt BC Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác QMN qua điểm cố định Bài 14 (Junior Balkan MO 2005) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến (O) A cắt BC P; M trung điểm BC; MB cắt (O) lần thứ hai R; PR cắt (O) lần thứ hai S Chứng minh CS // AP Bài 15 (Iran MO 1996) Cho hai điểm D, E tương ứng nằm cạnh AB, AC tam giác ABC cho DE // BC Gọi P điểm bên tam giác ABC, đường thẳng PB, PC cắt DE F G Gọi O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PDG PEF Chứng minh AP ⊥ O1O2 Bài 16 (USA MO 2009) Cho hai đường tròn w1 w2 cắt hai điểm X, Y Một đường thẳng l1 qua tâm w1 cắt w2 hai điểm P, Q , đường thẳng l2 qua tâm w2 23 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng cắt w1 R, S Chứng minh bốn điểm P, Q, R, S thuộc đường tròn tâm O O nằm XY Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường tròn qua gốc tọa độ O điểm A ( 0;1) đồng thời tiếp xúc với (C) Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H (3;2) Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B, C; M trung điểm BC Biết điểm M (4;0) , BC = 10 , đường thẳng DE qua điểm F(−2;2) đỉnh A thuộc đường tròn (C) : x + y − y − 21 = Hãy tìm tọa độ đỉnh A TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 [2] Viktor Prasolov, Problems in plane and solid geometry, vol.1: Plane geometry [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chuyên toán Hình học 10, NXB Giáo dục, 2009 MỤC LỤC -  24 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Phần Tóm tắt .………………………………………………………………… Phần Nội dung …………………………………………………………………… A Tóm tắt lý thuyết……………………………………………….………………… Định nghĩa …………………… …………………………………………… 2 Trục đẳng phương hai đường tròn.……………………………………… Tâm đẳng phương ba đường tròn……………………………………… Phương trình đường tròn biểu thức tọa độ phương tích …… … B Các ví dụ……………………………………………….………………………… Một số toán định lượng………………………………………………… Một số toán định tính ………………………………………………… Một số toán dựng hình 17 Một số toán biểu thức tọa độ…………………………………… .19 C Một số tập vận dụng …………………………………….……………… … 21 25 [...]... 1995) Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A,B,C,D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy P là điểm trên XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là M và BD cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng quy Giải: 12 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng · ·... đó gọi I là giao điểm của AB và ∆ và M là tiếp điểm của (C) và ∆ Giả sử B nằm giữa A và I, khi đó IM 2 = IA AB A B M2 M1 I E Gọi a là đường thẳng qua B và vuông góc với AB Đường tròn đường kính AI cắt a tại E 18 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng Khi đó tam giác AEI vuông tại E có đường cao EB nên IE 2 = IA AB Vậy IM = IE nên M là giao điểm của ∆ và đường tròn tâm I bán kính.. .Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng AD = kAB Đường tròn đường kính BD cắt đường thẳng đi qua C và trung điểm của đoạn thẳng AB tại E và F Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khi C thay đổi Giải Gọi M là trung điểm của AB, H là điểm A đối xứng với D qua M thì H là điểm cố định và BH = AD Vì D 1 AD = kAB,0 < k < nên D... là các trục đẳng phương của ba đường tròn Ω , Ω1 và ω nên đồng quy tại điểm S Vì A và D đối xứng nhau qua B0C0 nên SA = SD = SX , tức là S là tâm đường tròn γ ngoại tiếp tam giác ADX Hơn nữa, ta có tứ giác ASOX nội tiếp 17 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng Ký hiệu T là giao điểm thứ hai của đường thẳng DX với Ω và O là A T tâm của Ω thì O thuộc Ω1 Sử dụng tính chất góc... ABC, các đường thẳng PB, PC lần lượt cắt DE tại F và G Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PDG và PEF Chứng minh rằng AP ⊥ O1O2 Bài 16 (USA MO 2009) Cho hai đường tròn w1 và w2 cắt nhau tại hai điểm X, Y Một đường thẳng l1 đi qua tâm của w1 và cắt w2 tại hai điểm P, Q , đường thẳng l2 đi qua tâm của w2 và 23 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng. .. hai điểm A, B sao cho ( K1 ) cắt (O) tại E, F và ( K 2 ) cắt (O) tại G, H Khi đó EF là trục đẳng phương của (O) và ( K1 ) , GH là trục đẳng phương của (O) và ( K 2 ) , ∆ là trục đẳng phương của ( K1 ) và ( K 2 ) Theo tính chất về tâm đẳng phương thì EF, GH và ∆ đồng quy tại I 19 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến qua I với (O) (T) là đường. .. đường tròn đường kính AB tại D Chứng minh rằng CD, EF, AB đồng quy 11 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng Giải: o o · · · · · · Ta có EAB = 90 − ECH , EFC = 90 − CEF Vì CEHF là hình chữ nhật nên ECH = CEF · · Suy ra EAB và do đó tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn (T) = EFC Ta có CD là trục đẳng phương của đường tròn đường kính CH và đường tròn đường kính AB; EF là trục đẳng phương. .. MCB = MNB và do đó: · · · · MAD + MND = 90o − MCB + 900 + MCB = 180o Vậy tứ giác ADNM nội tiếp đường tròn (T) Ta có AM là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn (T); DN là trục đẳng phương của đường tròn đường kính BD và đường tròn (T); XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính BD Vậy theo tính chất về tâm đẳng phương, suy ra AM, DN và XY đồng... phương của đường tròn (I,IA) và (O); d2 là trục đẳng phương của đường tròn (I,IA) và (T); BC là trục đẳng phương của (O) và (T) Theo tính chất về tâm đẳng phương thì d1 , d2 và BC đồng quy Do đó giao điểm K của d1 , d2 thuộc đường thẳng BC cố định 14 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng Ví dụ 11 Cho tam giác ABC Các phân giác ngoài các góc A, B, C lần lượt cắt cạnh đối diện tại... Giải 16 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng A Y M N w2 Z H X B L C W w1 Gọi L là chân đường vuông góc kẻ từ A và Z là giao điểm thứ hai của ( w1 ) và ( w2 ) Khi đó ZW là trục đẳng phương của ( w1 ) và ( w2 ) ; BN là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp BNMC với ( w1 ) ; CM là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp BNMC với ( w2 ) Suy ra · ba đường thẳng BN, CM, ZW ... đẳng phương đường tròn đường kính CH đường tròn đường kính AB; EF trục đẳng phương đường tròn (T) đường tròn đường kính CH AB trục đẳng phương đường tròn đường kính AB với đường tròn (T) Từ theo... tiếp đường tròn (T) Ta có AM trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường tròn (T); DN trục đẳng phương đường tròn đường kính BD đường tròn (T); XY trục đẳng phương đường tròn đường kính AC đường. .. phương tích điểm đường tròn Một số ví dụ Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng có sử dụng tính chất quen thuộc tích vô hướng uuur uuur AB + AC − BC AB AC = Một số kết có liên quan đến đường thẳng