PHƯƠNG TÍCH- TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG Lê Xuân Đại, THPT Chuyên Vĩnh Phúc A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương tích trục đẳng phương chủ đề đề quen thuộc quan trọng hình học phẳng Cho dù lý thuyết phần đơn giản lại có nhiều ứng dụng quan trọng hình học phẳng Nhiều tốn khó đề thi học sinh giỏi tốn giải cách đơn giản nhờ sử dụng tính chất phương tích, trục đẳng phương mà điển hình tốn quan hệ vng góc, tốn đồng quy, thẳng hàng, điểm đường cố định… Chuyên đề tác giả muốn đưa số ứng dụng phương tích- trục đẳng phương thơng qua số tốn điển hình, nhận xét quan trọng hệ thống tập tương tự, hy vọng phần chia sẻ giúp em học sinh nắm bắt thật tốt ứng dụng phương tích- trục đẳng phương Nội dung viết chia làm ba phần, tóm tắt lại lý thuyết phương tích, phần thứ hai số ứng dụng phương tích- trục đẳng phương phần cuối số tập áp dụng Mục đích đề tài Đề tài "Phương tích-trục đẳng phương" tác giả chọn viết nhằm giới thiệu với thầy cô em học sinh kinh nghiệm phương pháp giảng dạy chủ đề phương tích- trục đẳng phương chương trình chun tốn THPT, qua nhấn mạnh tầm quan trọng vẻ đẹp hình học qua ứng dụng nó, đặc biệt tốn quan hệ vng góc, điểm thuộc đường trịn số dạng toán khác thường xuất kì thi học sinh giỏi (HSG) tốn Các tốn giải phương tích thường lời giải hay đẹp đẽ Đề tài coi chuyên đề để giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi trường THPT Chuyên, đặc biệt học sinh lớp 10 Tác giải mong nhận góp ý trao đổi thầy chuyên gia, bạn đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện Hy vọng đề tài góp phần nhỏ để việc giảng dạy phần phương tích- trục đẳng phương đạt hiệu em học sinh áp dụng tốt vào việc giải tốn hình học đem lại u thích, đam mêm mơn hình học vốn đẹp đẽ đầy tính sáng tạo B PHẦN NỘI DUNG I Lý thuyết Phương tích điểm đường trịn 1.1 Định lý Cho đường tròn ( O ) bán kính R điểm P Một đường thẳng uuur uuur thay đổi qua P cắt ( O ) hai điểm M , N Khi tích MA.MB khơng đổi d − R (d khoảng cách từ điểm P đến tâm O) 1.2 Định nghĩa Phương tích điểm P đường trịn ( O ) , kí hiệu PP /(O ) , 2 định nghĩa giá trị PP /( O ) = d − R Nhận xét Xét điểm P nằm ngồi đường trịn ( O ) Từ P kẻ tiếp tuyến PT đến ( O ) (T 2 tiếp điểm) Khi PP / ( O ) = OP − R = PT 1.3 Định lý Cho đường tròn ( O ) điểm P d1, d hai đường thẳng qua P cắt ( O ) A, B C , D Khi tích PA.PB = PC.PD Trong trường hợp d tiếp xúc với ( O ) điểm E ta có PA.PB = PE Trục đẳng phương, tâm đẳng phương 2.1 Định nghĩa trục đẳng phương hai đường tròn Cho hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) khơng tâm Khi quỹ tích điểm có phương tích chúng đường thẳng vng góc với nối tâm O1O2 Đường thẳng gọi trục đẳng phương ( O1 ) ( O2 ) 2.2 Xác định trục đẳng phương a) Nếu hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) cắt hai điểm A, B Lúc A, B có phương tích ( O1 ) ( O2 ) Suy trục đẳng phương ( O1 ) ( O2 ) đường thẳng AB b) Nếu hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) tiếp xúc điểm T Lúc T có phương tích ( O1 ) ( O2 ) Suy trục đẳng phương ( O1 ) ( O2 ) tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O2 ) điểm T c) Nếu hai đường trịn ( O1 ) ( O2 ) khơng có điểm chung ta dựng đường trịn ( O3 ) cắt ( O1 ) ( O2 ) A, B C , D Giả sử AB cắt CD M, trục đẳng phương ( O1 ) ( O2 ) đường thẳng qua M vng góc với O1O2 2.3 Tâm đẳng phương ba đường tròn Cho ba đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) , ( O3 ) có tâm O1 , O2 , O3 không thuộc đường thẳng Gọi d1, d , d3 trục đẳng phương ( O2 ) , ( O3 ) , ( O1 ) , ( O3 ) ( O1 ) , ( O2 ) Khi đường thẳng d1, d , d3 đồng quy điểm K K điểm có phương tích ba đường trịn ( O1 ) , ( O2 ) , ( O3 ) gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Trong trường hợp tâm O1 , O2 , O3 thuộc đường thẳng trục đẳng phương d1, d , d3 vng góc với đường thẳng chứa O1 , O2 , O3 II Ứng dụng phương tích- trục đẳng phương Ứng dụng tính tốn chứng minh hệ thức hình học Một ứng dụng đơn giản phương tích tính tốn độ dài đoạn thẳng chứng minh đẳng thức hình học Chú ý M nằm ngồi đường trịn ( O; R ) qua M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD MA.MB = MC.MD = MO − R Còn M nằm đường tròn ( O; R ) qua M vẽ hai dây MAB, MCD MA.MB = MC.MD = R − MO Bài toán 1.1 (Hệ thức Euler) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) ngoại tiếp đường tròn ( I ; r ) Chứng minh OI = R − Rr Lời giải Giả sử BI cắt ( O ) điểm thứ hai M, vẽ đường kính MN ( O ) Đường tròn ( I ) tiếp xúc với BC D Khi ∆BDI : ∆NCM , suy BI ID ID = = Do IB.IM = ID.NM = Rr NM MC MI Mặt khác IB.IM = R − OI , suy R − OI = Rr , hay OI = R − Rr (đpcm) Bài toán 1.2 (RMO 2006) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) Hai cát tuyến qua A ABC, ADE theo thứ tự Vẽ dây cung DF song song BC AF cắt ( O ) G; BC cắt GE M Chứng minh 1 = + AM AB AC Lời giải Dễ thấy tam giác AMG EMA đồng dạng, nên AM = MG.ME Mà MG.ME = MB.MC ⇒ MA2 = ( AB − AM )( AC − AM ) = AB AC − AM ( AB + AC ) + AM Suy AB AC = AM ( AB + AC ) Từ ta có điều phải chứng minh Bài 1.3 (IMO shorlist 2011) Cho tứ giác lồi A1 A2 A3 A4 không nội tiếp Gọi O1 r1 tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 Định nghĩa O2 , O3 , O4 r2 , r3 , r4 cách tương tự Chứng minh O1 A12 − r12 + 1 + + = O2 A22 − r22 O3 A32 − r32 O4 A42 − r42 Lời giải Gọi M giao điểm hai đường chéo A1 A3 A2 A4 , B1 giao điểm thứ hai A1 A3 với đường tròn ( ω1 ) ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 Ta có O1 A12 − r12 = A1B1 A1 A3 MB1.MA3 = MA2 MA4 ⇒ MB1 = yt Do z z−x  yt  O1 A12 − r12 =  − x ÷( z − x ) = ( yt − xz ) z  z  Cùng đẳng thức tương tự ta ∑O A i =1 i i − ri =  z t x y  − + − =0  yt − xz  z − x t − y x − z y − t ÷  Bài 1.4 Cho bốn điểm A, B, C , D đường trịn ( O ) Giả sử AC , BD cắt M AD, BC cắt N Chứng minh MN = PM / ( O ) + PN / ( O ) Lời giải Gọi P giao điểm thứ hai MN với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD, NM NP = NA.ND = PN / ( O ) Ta có ( PM , PD ) ≡ ( AM , AD ) ≡ ( AC , AD ) ≡ ( BC , BD ) ≡ ( BN , BD ) (mod π ) , suy P, D, N , B đồng viên, suy MN MP = MB.MD = PX / ( O ) ( ) Do PM / ( O ) + PN / ( O ) = MN MP − NP = MN (đpcm) Bài 1.5 (IMO shorlist 2012) Cho tam giác ABC vuông C C0 hình chiếu C AB X điểm đoạn CC0 K , L nằm đoạn AX , BX cho BK = BC AL = AC Gọi M giao điểm AL BK Chứng minh MK = ML Lời giải Từ AC = AL suy C , L nằm đường tròn ( A ) tâm A, bán kính AC Tương tự C , K nằm đường trịn ( B ) tâm B, bán kính BC Gọi C ' giao điểm thứ hai ( A ) ( B ) , ta có C' đối xứng với C qua AB Do ·ACB = 900 nên AC tiếp tuyến ( B ) BC tiếp tuyến ( A ) Gọi K1 ≠ K giao điểm thứ hai AX với ( B ) , L1 ≠ L giao điểm thứ hai BX ( A ) Theo phương tích X đường tròn ( A) ( B) ta XK XK1 = XC XC ' = XL XL1 , suy bốn điểm K1 , L, K , L1 nằm đường trịn (T) Theo phương tích A với đường tròn ( B ) ta AL2 = AC = AK AK1 , suy AL tiếp xúc với (T) L Tương tự BK tiếp xúc với (T) K Như MK , ML hai tiếp tuyến (T) kẻ từ M, suy MK = ML (đpcm) Bài 1.6 Cho hai đường trịn ( O1 ) ( O2 ) khơng đồng tâm M điểm tùy ý, d trục đẳng phương ( O1 ) , ( O2 ) Gọi H hình chiếu M d Chứng minh PM / ( O1 ) − PM /( O2 ) = 2O1O2 HM Lời giải Gọi H' M' hình chiếu H M O1O2 Ta có PH / ( O1 ) = PH /( O2 ) , suy ( ) ( PM / ( O1 ) − PM /( O2 ) = PM /( O1 ) − PH /( O1 ) − PM /( O2 ) − PH /( O2 ) ) = ( MO12 − HO12 ) − ( MO22 − HO22 ) = ( MO12 − MO22 ) − ( HO12 − HO22 ) = 2O1O2 IM ' − 2O1O2 HM ' = 2O1O2 HM ' = 2O1O2 HM Nhận xét Công thức thường gọi hiệu số phương tích điểm hai đường trịn, có ứng dụng tốt để giải toán có trước hai đường trịn trục đẳng phương hai đường trịn xác định Ta đưa vài toán ứng dụng kết Bài 1.6.1 Cho đường tròn ( O ) điểm A cố định nằm ( O; R ) Điểm I di chuyển ( O ) cho đường tròn ( I ) tâm I bán kính IA cắt ( O ) hai điểm M,N phân biệt Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải 10 Gọi ( O3 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ACP AP cắt lại ( O1 ) K d cắt lại ( O3 ) N Gọi ( O4 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác DNP S giao điểm thứ hai PQ với ( O2 ) Ta có MP.MA = MB.MD = − MB.MC = − MK MA MN MC = MA.MP = MB.MD = − MB.MC Do MP = − MK ; MN = − MB , với MD = − MC suy phép đối xứng tâm M biến A, B, C theo thứ tự thành P, N , D Suy biến ( O1 ) thành ( O4 ) Kết hợp với MQ ⊥ O1O2 suy MQ trục đẳng phương ( O1 ) , ( O4 ) Do đường thẳng AC , NP, MQ đồng quy, tức Q thuộc NP Bây giờ, gọi S giao điểm thứ hai PQ với ( O2 ) , biến đổi góc suy BS tiếp xúc với ( O1 ) , suy S cố định Vậy đường thẳng PQ qua điểm S cố định (đpcm) · Bài 5.6 (IMO 2014) Cho tứ giác lồi ABCD có ·ABC = CDA = 900 Gọi H hình chiếu A xuống BD; S, T thuộc AB, AD cho H nằm tam giác SCT · · · · SHC − BSC = 900 , THC − DTC = 900 Chứng minh BD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác SHT Lời giải Đây toán hay đề thi IMO 2014, lời giải shorlist có hai cách, có lời giải sử dụng đường tròn Apollonius Sau tác giả xin đưa lời giải đơn giản việc sử dụng phương tích Gọi M N hình chiếu C HS HT Ta có · · · · · CHM = 1800 − SHC = 900 − BSC ⇒ HCM = BSC · · · · Do tứ giác SMCB nội tiếp nên BMC = BSC ⇒ HCM = BMC · · · Gọi O I trung điểm AC HC Ta có IMC , = ICM = HCM · · , suy B, I , M thẳng hàng Tương tự ta thu D, I , N thẳng IMC = BMC hàng 55 Mặt khác O tâm đường tròn ( ABCD ) OI đường trung bình tam giác AHC nên OI trung trực BD, suy IB = ID Mặt khác IM = IN nên MNBD hình thang cân Gọi ( ω1 ) , ( ω2 ) đường trịn ngoại tiếp BCMS CDTN IM IB = IN ID nên PI / ( ω1 ) = PI /( ω2 ) , suy CI trục đẳng phương hai đường tròn ( ω1 ) , ( ω2 ) Do PH /( ω1 ) = PH /( ω2 ) , hay HS HM = HT HN , suy M , N , S , T đồng viên · · · Từ suy STH , điều chứng tỏ BD tiếp xúc với đường tròn = SMN = SHB ngoại tiếp tam giác SHT (đpcm) Bài 5.7 (VN TST 2006) Cho tam giác ABC tam giác nhọn khơng phải tam giác cân nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Một đường thẳng d thay đổi cho vng góc với OA ln cắt tia AB, AC Gọi M, N giao điểm d AB, AC Giả sử BN CM cắt K AK cắt BC P a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định d thay đổi 56 b) Gọi H trực tâm tam giác AMN Đặt BC = a l khoảng cách từ A đến HK Chứng minh KH qua trực tâm tam giác ABC, từ suy l ≤ 4R − a Lời giải a) Khơng tính tổng qt, giả sử AB < AC , trường hợp khác xét tương tự Do tam giác ABC không cân nên MN phải cắt BC điểm Q , gọi I trung điểm BC Ta có (QPBC ) = −1 nên IP.IQ = IB = IC Do I trung điểm BC nên OI ⊥ BC ⇒ QI − BI = OQ − OB , QI QP = QI − QI PI = QI − IB = OQ − OB = QB.QC (cùng phương tích Q với ( O ) ) Mặt khác MN ⊥ AO nên dễ thấy tứ giác BMNC nội tiếp, từ suy QB.QC = QM QN Do QP.QI = QM QN , suy tứ giác MNIP nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm I cố định b) Gọi BD, CE hai đường cao tam giác ABC L trực tâm tam giác ABC; MF , NG hai đường cao tam giác AMN Ta cần chứng minh H , L, K thẳng hàng Xét đường trịn ( O1 ) đường kính BN, đường trịn ( O2 ) đường kính CM Do KB.KN = KC.KM nên K có phương tích với hai đường trịn ( O1 ) , ( O2 ) 57 Dễ thấy điểm D, G thuộc ( O1 ) E , F thuộc ( O2 ) Do H , L trực tâm tam giác AMN ABC nên LB.LD = LC.LE ; HN HG = HE.HM , suy H , L có phương tích với hai đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) Do ba điểm H , L, K nằm trục đẳng phương hai đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) , nên chúng thẳng hàng Từ suy l ≤ AL Mặt khác tam giác ABC nhọn nên AL = 2OI = R − BC = R − a ⇒ l ≤ R − a (đpcm) Bài tương tự: Cho tam giác ABC nhọn đường tròn thay đổi qua B, C cắt AB, AC M , N Gọi P giao điểm BN CM Q, T giao điểm AP, MN với BC Đường thẳng qua Q song song với MN cắt AB, AC R, S a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác RST qua điểm cố định b) Gọi K trực tâm tam giác AMN, a độ dài cạnh BC d khoảng cách từ A đến đường thẳng PK Chứng minh d ≤ a.cot A Bài 5.8 Cho tam giác ABC khơng cân, khơng vng nội tiếp đường trịn ( O ) Các tiếp tuyến ( O ) B C cắt T Đường thẳng AT cắt đường tròn ( O ) 58 điểm X khác A Kẻ đường kính XY đường tròn ( O ) , đường thẳng YB, XC cắt P, đường thẳng XB, YC cắt Q a) Chứng minh T trung điểm PQ b) Giả sử đường tròn ( O ) cố định điểm B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Biết điểm A di động ( O ) thỏa mãn điều kiện toán, gọi S giao điểm AY PQ Chứng minh S di động đường thẳng cố định Lời giải a) Gọi T’ trung điểm PQ Ta cm T ' B, T ' C tiếp tuyến ( O ) Thật · · · Do OC vng góc T· ' CQ = T· ' QC = YBC = YAC = 900 − ·XAC = 900 − ·XYC = 900 − YCO với T’C hay T’C tiếp tuyến ( O ) Tương tự T’B tiếp tuyến ( O ) Do T T' trùng (đpcm) b) Ta chứng minh S thuộc đường thẳng BC Thật vậy, dễ chứng minh tứ giác AYQP nội tiếp dựa vào tứ giác điều hòa tam giác đồng dạng Sau chứng minh S nằm trục đẳng phương ( O ) ( BCQP ) Từ suy S thuộc đường thẳng BC cố định Bài 5.9 (IMO shorlist 2014-G3) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) với AB > BC Phân giác góc ABC cắt ( O ) M khác B Gọi ( ε ) đường trịn 59 đường kính BM Phân giác góc AOB BOC cắt ( ε ) P Q Trên đường thẳng PQ lấy điểm R cho RB = RM Chứng minh BR || AC Lời giải Gọi K trung điểm BM K tâm ( ε ) OK OM trung trực BM AC, R giao điểm PQ với OK Gọi N giao điểm thứ hai OM với đường tròn ( ε ) , ta có BN || AC Ta cần chứng minh đường thẳng BN qua R xong Điều đồng nghĩa với ba đường thẳng BN , PQ, OK đồng quy Ta dựng ba đường tròn mà đường thẳng BN , PQ, OK trục đẳng phương cặp đường tròn, từ thu điều cần chứng minh Từ đặc điểm vng góc N K ta suy N K nằm đường tròn ( ω ) đường kính OB Tiếp theo ta chứng minh O, K , P, Q nằm đường tròn Gọi D E trung điểm BC AB D nằm OQ E nằm OP Do điểm B, E , O, K , D nằm đường tròn ( ω ) nên ta · · · · EOR = EBK = KBD = KOD 60 · Suy OK phân giác ngồi góc POQ Mặt khác K tâm ( ε ) nên K nằm trung trực PQ Từ suy K điểm cung POQ đường trịn ngoại tiếp tam giác POQ Suy O, K , P, Q nằm đường tròn ( γ ) Khi OK , BN , PQ trục đẳng phương cặp đường tròn ( ω ) , ( γ ) ( ε ) Vậy OK , BN , PQ đồng quy, toán chứng minh hoàn toàn 61 III Bài tập áp dụng Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với góc A nhọn Gọi D điểm cung nhỏ BC E, F trung điểm AC, AB Giả sử DE, DF cắt lại với (O) điểm thứ hai tương ứng Y, Z Đường tròn (AEY) cắt (AFZ) điểm thứ hai M Gọi N trung điểm BC đường tròn (DNM) giao với BC điểm thứ hai X Chứng minh AX tiếp tuyến (O) Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường thẳng qua (O) song song với BC, cắt AB, AC F, E Đường tròn ngoại tiếp tam giác (BFO) (CEO) cắt điểm thứ D cắt BC L, K Gọi M giao BE CF Gọi N giao FL EK CMR: D, M, N thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Giả sử AD cắt BC N, AB cắt CD M, AC cắt BD E Đường thẳng IE cắt MN K Chứng minh KO phân giác góc BKD Bài Cho đường tròn ( O ) , điểm A cố định ( A ≠ O ) điểm M thay đổi ( O ) Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác OAM với đường tròn ( O ) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài Cho đường tròn ( O ) điểm A ( O ) ( I ) đường tròn thay đổi qua A cắt ( O ) hai điểm M , N Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến ( I ) A a) Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định b) Cho đường thẳng ( I ) thay đổi qua A đồng thời tâm I thuộc đường tròn ( O ) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB điểm M thay đổi bên hình thang Gọi E , F giao điểm MC , MD với AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME BMF cắt điểm thứ hai N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định 62 Bài Cho tam giác ABC nhọn đường tròn thay đổi qua B, C cắt AB, AC M , N Gọi P giao điểm BN CM Q, T giao điểm AP, MN với BC Đường thẳng qua Q song song với MN cắt AB, AC R, S a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác RST qua điểm cố định b) Gọi K trực tâm tam giác AMN, a độ dài cạnh BC d khoảng cách từ A đến đường thẳng PK Chứng minh d ≤ a.cot A Bài (VN TST 2008) Cho tam giác ABC tam giác nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O Gọi AD, BE , CF ba đường phân giác tam giác ABC Gọi L, M , N trung điểm AD, BE , CF Gọi ( O1 ) , ( O2 ) , ( O3 ) đường tròn qua L, tiếp xúc với OA A; qua M, tiếp xúc với OB B; qua N, tiếp xúc với OC C Chứng minh ( O1 ) , ( O2 ) , ( O3 ) có hai điểm chung đường thẳng nối hai điểm qua trọng tâm tam giác ABC Bài (IMO 2012) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ω ) tâm O l đường thẳng khơng có điểm chung với ( ω ) Gọi P hình chiếu O l Các đường thẳng BC , CA, AB cắt l X , Y , Z khác P Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AXP, BYP, CZP qua điểm P' khác P Bài 10 (IMO shorlist 2011-G5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) I tâm đường tròn nội tiếp Các đường thẳng AI , BI cắt ( O ) điểm D, E tương ứng DE cắt AC F cắt BC G Gọi P giao điểm đường thẳng qua F song song với AD qua G song song với BE Tiếp tuyến A B ( O ) cắt K Chứng minh ba đường thẳng AE , BD, KP song song đồng quy Bài 11 (Chọn ĐT SP 2011) Cho tam giác ABC với I , I a tâm đường trịn nội tiếp bàng tiếp góc A Gọi ( ω ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A' giao AI BC M giao điểm thứ hai AI ( ω ) Lấy N điểm cung ¼ đường tròn ( ω ) Các đường thẳng NI , NI a cắt ( ω ) điểm thứ hai S , T MBA Chứng minh A ', S , T thẳng hàng 63 Bài 12 (VN TST 2007) Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn nội tiếp (I) Gọi (ka ) đường trịn có tâm nằm đường cao góc A tiếp xúc với đường tròn (I) A1 Các điểm B1 , C1 xác định tương tự a) Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng qui P b) Gọi ( J a ), ( J b ), ( J c ) đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC qua trung điểm BC, CA, AB Chứng minh P tâm đẳng phương đường trịn nói Bài 13 (USA 1997) Cho tam giác ABC Vẽ tam giác cân BCD, ACE, ABF Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vuông góc với EF, FD, DE đồng quy Bài 14 (China 97) Tứ giác ABCD nội tiếp ( O; R ) , AB cắt CD P; BC cắt AD Q Từ Q vẽ tiếp tuyến QE QF Chứng minh P, E, F thẳng hàng Bài 15 (China 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Ba đường cao AD, BE, CF, trực tâm H ED cắt AB M, FD cắt AC N Chứng minh OH ⊥ MN Bài 16 Cho bốn điểm A, B, C , D theo thứ tự nằm đường thẳng ( O1 ) ( O2 ) đường tròn thay đổi qua A, C B, D Gọi M , N giao điểm ( O1 ) ( O2 ) Các tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O2 ) tiếp xúc với ( O1 ) P1 , Q1 với ( O2 ) P2 , Q2 Gọi I , J trung điểm PP Q1Q2 a) Chứng minh M , N , I , J thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng IJ qua điểm cố định Bài 17 Cho tam giác ABC cân A Gọi D trung điểm AC.Đường tròn ngoại tiếp · tam giác BCD giao với phân giác góc BAC E nằm tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD F ( khác B), AF giao với BE I CI giao với BD K Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK Bài 18 Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định đường tròn (I ≠ O), đường thẳng qua I vng góc với OI cắt đường trịn C D; A điểm nằm 64 đường tròn, tia đối xứng với tia IA qua đường thẳng CD cắt đường tròn B Gọi M trung điểm AB a) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định L A thay đổi đường tròn (O;R) b) Gọi N, P giao điểm đường thẳng OM với đường tròn (O) Đường thẳng CN DP cắt Q Chứng minh điểm Q, N tâm đường tròn nội tiếp bàng tiếp tam giác CMD Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi B1 điểm đối xứng B qua AC, C1 điểm đối xứng C qua đường thẳng AB, O1 điểm đối xứng O qua BC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB1C1 nằm đường thẳng AO1 Bài 20 Cho bốn điểm A, B, C , D theo thứ tự nằm đường thẳng ( O1 ) ( O2 ) đường tròn thay đổi qua A, C B, D Gọi M , N giao điểm ( O1 ) ( O2 ) Các tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O2 ) tiếp xúc với ( O1 ) P1 , Q1 với ( O2 ) P2 , Q2 Gọi I , J trung điểm PP Q1Q2 a) Chứng minh M , N , I , J thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng IJ qua điểm cố định Bài 21 Cho đường tròn ( O ) , điểm A cố định ( A ≠ O ) điểm M thay đổi ( O ) Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác OAM với đường tròn ( O ) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 22 (USAMO 2012) Cho tam giác ABC, P Q hai điểm cạnh AB AC cho AP = AQ Gọi S, R điểm phân biệt cạnh BC cho S nằm B · · · · R BPS Chứng minh điểm P, Q, R, S nằm = PRS , CQR = QSR đường tròn 65 Bài 23 Cho đường trịn ( O ) điểm A ngồi ( O ) ( I ) đường tròn thay đổi qua A cắt ( O ) hai điểm M , N Gọi K giao điểm MN với tiếp tuyến ( I) A a) Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định b) Cho đường thẳng ( I ) thay đổi qua A đồng thời tâm I thuộc đường tròn ( O ) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Bài 24 Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB điểm M thay đổi bên hình thang Gọi E , F giao điểm MC , MD với AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME BMF cắt điểm thứ hai N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 25 Cho bốn điểm A, B, C , D theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi E , F giao điểm hai đường tròn: đường tròn ( O1 ) đường kính AC, đường trịn ( O2 ) đường kính BD Lấy P điểm đường thẳng EF , CP cắt ( O1 ) M BP cắt ( O2 ) N Chứng minh AM , DN , EF đồng quy Bài 26 (USAMO 2009) Cho hai đường tròn ( ω1 ) , ( ω2 ) cắt hai điểm X,Y d1 đường thẳng qua tâm ( ω1 ) cắt ( ω2 ) P, Q; d đường thẳng qua tâm ( ω2 ) cắt ( ω1 ) R, S Chứng minh P, Q, R, S nằm đường tròn tâm đường trịn nằm XY Bài 27 Cho đường tròn ( O ) hai điểm phân biệt A, B cố định ( O ) cho AB khơng đường kính Điểm C cung lớn »AB , vẽ đường kính CE Gọi H hình chiếu C AB CF phân giác góc ACB Đường thẳng EF cắt lại ( O ) điểm thứ hai K a) Chứng minh đường thẳng vng góc với HK K qua điểm cố định C di động cung lớn »AB 66 b) Kẻ dây cung CD ( O ) cho CD||AB Gọi P giao điểm CK với AB, Q giao điểm thứ hai DH ( O ) Chứng minh PQ qua điểm cố định C di động cung lớn »AB Bài 28 Cho tam giác ABC cân A Gọi D trung điểm AC Đường tròn ngoại tiếp · tam giác BCD giao với phân giác góc BAC E nằm tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE giao với BD F ( khác B), AF giao với BE I CI giao với BD K Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK 67 C PHẦN KẾT LUẬN Những vấn đề quan trọng đề tài Trên đây, chúng tơi trình bày số ứng dụng phương tích- trục đẳng phương để giải số tốn hình học phẳng Các tốn chọn để trình bày đa dạng, phong phú xếp theo độ khó tăng dần, qua lời giải cụ thể cho việc áp dụng lý thuyết phương tích- trục đẳng phương tác giả cố gắng đưa nhận xét, tốn tương tự mở rộng cho Qua giúp học sinh tiếp cận hình thành phương pháp giải lớp toán loại, đặc biệt giúp em có phương pháp tư hình học nhận dạng dấu hiệu sử dụng phương tích- trục đẳng phương Trong phần tập áp dụng chọn lọc toán từ thi Olympic tốn gần đây, tập có cách giải khác sử dụng phương tích- trục đẳng phương cho ta lời giải đẹp đẽ nhanh Tác giả hy vọng chuyên đề nhỏ đóng góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi phần phương tích-trục đẳng phương mong nhận ý kiến đóng góp thầy chuyên gia, thầy đồng nghiệp đề chun đề hồn thiện Những đề xuất kiến nghị Để giảng dạy có hiệu chun đề phương tích- trục đẳng phương giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức hình học trung học sở Sau trình bày giảng dạy thật kĩ phần véc tơ, độ dài đại số ứng dụng Khi giảng dạy cần chọn lọc ví dụ điển hình đặc trưng cho lớp tốn tương tự phân tích thật kĩ định hướng để nhận dấu hiệu sử dụng phương tích- trục đẳng phương cách hiệu 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy: Các phép biến hình măt phẳng, , NXBGD [2] Nguyễn Đăng Phất: Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXBGD [3] Lê Bá Khánh Trình, Kỷ Yếu Trại Hè Toán học năm 2009 [4] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình: Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 NXB Giáo dục, 2006 [5] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu chun tốn hình học 10 NXB Giáo dục, 2010 [6] Po-Shen Loh: Collinearity and Concurrence [7] Nguyễn Minh Hà: Bài tập trường hè viện toán học năm 2014,2015 [8] Tài liệu từ Internet: www.matlinks.ro, diendantoanhoc.net, matscope.org 69 ... ba trục đẳng phương ba cặp đường trịn đồng quy tâm đẳng phương ta chứng minh ba đường thẳng đồng quy cách đơn giản tự nhiên Hơn điểm có phương tích hai đường trịn nằm trục đẳng phương cho ta cách... ω1 ) ( ω2 ) Khi AE trục đẳng phương ( ω ) , ( ω1 ) ; BD 38 trục đẳng phương ( ω ) , ( ω2 ) Gọi d trục đẳng phương ( ω1 ) , ( ω2 ) , AE, BD d đôi song song đồng quy tâm đẳng phương M Như cần chứng... cắt ( O ) A, B C , D Khi tích PA.PB = PC.PD Trong trường hợp d tiếp xúc với ( O ) điểm E ta có PA.PB = PE Trục đẳng phương, tâm đẳng phương 2.1 Định nghĩa trục đẳng phương hai đường tròn Cho