TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực ThS Hồ Hữu Hòa Phạm Huyền Trang MSSV: 1110144 Lớp: SP Toán –Tin k37 Cần Thơ, 2015 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chƣơng I: Bài toán tối ƣu hóa tổng quát phân loại toán 1.Bài toán tối ưu hóa tổng quát phân loại toán 1.1.Bài toán tối ưu hóa tổng quát 1.2.Phân loại toán 2.Vấn đề mô hình hóa toán học 2.1.Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề thực tế 2.2.Một số mô hình thực tế Chƣơng II: Các nguyên tắc quy hoạch động trình nhiều giai đoạn 13 1.Phương pháp phương trình truy toán nguyên tắc Quy hoạch động 13 1.1.Bài toán phân phối chiều phương trình truy toán 13 1.2.Các nguyên tắc Quy hoạch động 14 2.Quy trình nhiều giai đoạn phương trình hàm 15 2.1.Quá trình nhiều giai đoạn 15 2.2.Xây dựng phương trình hàm 17 2.3.Sơ đồ tính 17 Chƣơng III: Đại cƣơng đồ thị 19 1.Các khái niệm 19 1.1.Đồ thị 19 1.2.Biểu diễn đồ thị 19 1.3.Bậc đỉnh đồ thị 22 2.Đồ thị có hướng 22 2.1.Định nghĩa 22 2.2.Bậc đỉnh đồ thị có hướng 23 3.Tính chất liên thông đồ thị đồ thị 24 3.1.Định nghĩa 24 3.2.Định lí 24 3.3.Tính liên thông đồ thị 25 Chƣơng IV: Cây 28 1.Các khái niệm 28 1.1.Cây rừng 28 1.2.Định lý điều kiện đủ 28 1.3.Cây có gốc 29 2.Cây khung 29 2.1.Định nghĩa 29 2.2.Định lí 30 2.3.Cây khung bé 30 Chƣơng V: Các toán 31 1.Bài toán tìm đường ngắn 31 1.1 Phương pháp quy hoạch động 31 1.2 Phương pháp đồ thị 33 2.Bài toán trung tâm tổ chức thi công 41 2.1.Bài toán 41 2.2.Mô hình đồ thị toán Gant 41 2.3.Mô hình đồ thị toán Pert 44 2.4.So sánh hai mô hình toán Gant Pert 45 3.Cây khung với trọng lượng nhỏ 45 3.1.Bài toán với trọng lượng nhỏ 45 3.2.Các phương pháp giải 46 4.Bài toán luồng cực đại mạng 49 4.1.Khái niệm mạng 49 4.2.Luồng mạng 50 4.3.Bài toán 51 4.4.Thuật toán Ford-Fullkerson 51 5.Bài toán phân phối tài nguyên 54 Bài toán xác định chế độ khoang giếng tối ưu 61 6.1 Thiết lập toán 62 6.2.Phương pháp giải 62 6.3 Chương trình kết luận 63 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Tốiưu hóa lĩnh vực toán học nghiên cứu thuật toán giải toán cực trị Nó phần kiến thức thiếu cho người làm việc lĩnh vực ứng dụng khoa học kỹ thuật Trong lý thuyết tối ưu, toán nghiên cứu trọng vẹn phương diện lý thuyết lẫn thuật toán toán Quy hoạch tuyến tính Ngay từ đời, Quy hoạch tuyến tính chiếm vị trí quan trọng; môn toán ứng dụng cần thiết sinh viên thuộc nhiều ngành học khác Từ lâu giải thuật toán Quy hoạch tuyến tính tìm phương án tối ưu toán gắn liền với sống thực tế người Thời gian gần xuất phương pháp tìm lời giải tối ưu phát triển mạnh mẽ phương pháp Quy hoạch động Nếu phương pháp Quy hoạch tuyến tính bị ràng buộc hàm mục tiêu tuyến tính phải dựa nguyên tắc xác, phải biết rõ đường cách xác đến kết cuối phương pháp Quy hoạch động Phương pháp quy hoạch động không cần phải biết rõ đường cách xác đến kết cuối cho ta kết tối ưu Sự xuất Quy hoạch động gắn liền với tên tuổi nhà bác học Mỹ R.Bellman mà năm 50 kỷ áp dụng cho toán thực tế số công cụ mà sau gọi nguyên tắc tối ưu Chính nhờ đơn giản tường minh nguyên tắc mà phương pháp Quy hoạch động tỏ đặt biệt hấp dẫn Ngoài hỗ trợ hiệu nguyên tắc tối ưu lý thuyết đồ thị tỏ hiệu qua việc hỗ trợ giải toán Quy hoạch động Lý thuyết đồ thị đưa công cụ đồ thị để thực phương pháp khác Quy hoạch động Thật vậy, giải pháp tìm kiếm quy hoạch động chuyển bước cho phép quay lui nên thành phần đồ thị như: đỉnh, cung (cạnh), đường phục vụ hiệu ý tưởng Vì vậy, khái niệm tính chất đồ thị kiến thức quan trọng trước xét toán Quy hoạch động Quy hoạch động lý thuyết đồ thị phần kiến thức mẻ sinh viên sư phạm môn Toán Với mong muốn tìm hiểu khai thác sâu kiến thức môn Quy hoạch động ứng dụng Lý thuyết đồ thị để mở rộng tầm hiểu biết thân nên em định chọn đề tài “Quy hoạch động ứng dụng lý thuyết đồ thị” Mục đích nghiên cứu: Hệ thống lại cách chi tiết vấn đề lý thuyết liên quan đến Quy hoạch động, xây dựng hệ thống tập vận dụng để từ thấy tầm quan trọng tính thực tế lĩnh vực khoa học kỹ thuật, hoạt động đời sống xã hội Nội dung nghiên cứu: - Nghiên cứu kiến thức liên quan đến toán Quy hoạch động: phân loại toán, nguyên tắc Quy hoạch động, khái niệm đồ thị, - Nghiên cứu thuật toán để giải toán Quy hoạch động số tập vận dụng thuật toán Phƣơng pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Sưu tầm tài liệu, nghiên cứu tài liệu sau phân tích tổng hợp hệ thống hóa lại kiến thức - Phương pháp lấy ý kiến: tham khảo ý kiến người hướng dẫn PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG I: BÀI TOÁN TỐI ƢU HÓA TỔNG QUÁT VÀ PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN Bài toán tối ƣu hóa tổng quát phân loại toán Khi tiến hành kế hoạch sản xuất, điều khiển hệ thống thiết kế kỹ thuật mà biết dựa nguyên tắc cực trị ta tiết kiệm vật tư tiền vốn, tài nguyên sức lao động, thời gian tăng hiệu giải vấn đề đặt Trên sở tìm sở lý thuyết phương pháp thực hành để giải vấn đề mang tên Tối Ưu Hóa hay gọi Quy hoạch toán học 1.1 Bài toán tối ƣu hóa tổng quát Bài toán tối ưu hóa tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm: f ( x)  max(min) (1.1) g i ( x)(, , )bi , i  1, m (1.2) x  X  Rn (1.3) Với điều kiện: Bài toán (1.1) + (1.3) gọi quy hoạch, hàm f(x) gọi hàm mục tiêu, gi ( x), i  1, m gọi hàm ràng buộc, mổi đẳng thức bất đẳng thức hệ (1.2) gọi ràng buộc Tập hợp: D  {x  X | g i ( x)(, , )bi , i  1, m} (1.4) gọi miền ràng buộc (hay miền chấp nhận được) Mỗi điểm x  ( x1 , x2 , , xn )  D gọi phương án (hay lời giải chấp nhận được) Một phương án x*  D đạt cực đại (hay cực tiểu) hàm mục tiêu, cụ thể là: f ( x*)  f ( x), x  D (đối với toán max) f ( x*)  f ( x), x  D (đối với toán min) gọi phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi giá trị f (x*) gọi giá trị tối ưu toán 1.2 Phân loại toán Một phương pháp thông dụng để giải toán đặt phương pháp điểm diện, tức là: tính giá trị hàm mục tiêu f (x) tất phương án, sau so sánh giá trị tính để tìm giá trị tối ưu phương án tối ưu toán Tuy nhiên cách giải khó thực được, kính thước toán (có số biến n ràng buộc m) không lớn, tập D thông thường gồm số lớn phần tử, nhiều trường hợp không đếm Vì cần phải có nghiên cứu trước mặt lý thuyết để tách từ toán tổng quát toán “dễ giải” Khi nghiên cứu lý thuyết thường là: - Nghiên cứu tính chất thành phần toán (hàm mục tiêu, hàm ràng buộc, biến số, hệ số,…) Các điều kiện cần đủ cực trị Các điều kiện tồn lời giải chấp nhận Tính chất đối tượng nghiên cứu Các tính chất thành phần toán đối tượng nghiên cứu giúp ta phân loại toán Một toán tối ưu (quy hoạch tối ưu) gọi là: - - - Quy hoạch tuyến tính hàm mục tiêu f (x) tất ràng buộc gi ( x), i  1, m tuyến tính Một trường hợp riêng quan trọng Quy hoạch tuyến tính Bài toán vận tải Quy hoạch tham số hệ số biểu thức hàm mục tiêu ràng buộc vào tham số Quy hoạch động đối tượng xét trình có nhiều giai đoạn nói chung, hay trình phát triển theo thời gian nói riêng trường hợp hàm mục tiêu có dạng tách biến Quy hoạch phi tuyến f (x) có hàm g i (x) phi tuyến hai trường hợp xảy - Quy hoạch rời rạc miền ràng buộc D tập rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị nguyên ta có Quy hoạch nguyên Một trường hợp riêng Quy hoạch nguyên quy hoạch biến Booles biến số nhận giá trị - Quy hoạch đa mục tiêu miền ràng buộc ta xét nhiều hàm mục tiêu khác Vấn đề mô hình hóa toán học 2.1 Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề thực tế Viêc mô hình hóa toán học cho toán chia làm bước: - - - - Bước 1: Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế tức xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập quy luật mà phải tuân theo Nói khác phát biểu mô hình lời, biểu đồ, điều kiện kinh tế, tự nhiên, xã hội, mục tiêu cần đạt Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề xét, tức diễn tả lại dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính Khi có hệ thống ta chọn biến số đặc trưng cho trạng thái hệ thống Mô hình toán học thiết lập mối liên hệ biến số hệ số điều khiển tượng Việc làm quan trọng bước phải xác định hàm mục tiêu, tức đặc trưng lớn (càng nhỏ) tương ứng với hiệu tốt giải vấn đề mà người nhận lời giải mong muốn Tiếp theo phải diễn tả phương trình bất phương trình điều kiện kinh tế, kỹ thuật,… ràng buộc toán học mà biến số phải tuân theo Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để khảo sát giải toán hình thành bước Căn mô hình xây dựng cần phải chọn xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Tiếp cụ thể hóa phương pháp thuật toán tối ưu Vì toán thực tế thường có kích thước lớn nên giải tay mà phải sử dụng máy tính điện tử Vậy cần chương trình hóa thuật toán ngôn ngữ lập trình phù hợp Sau đưa lên máy tính điện tử để chạy in kết Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết tính toán thu bước 3, bước cần xác định mức độ phù hợp mô hình kết tính toán với vấn đề thực nghiệm áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia Ở xảy hai khả sau: Khả 1: Mô hình kết tính toán phù hợp với thực tế Khi cần lập bảng tổng kết ghi rõ cách đặt vấn đề, mô hình toán học, thuật toán tối ưu, chương trình, chuẩn bị số liệu để đưa vào máy tính, nghĩa toàn công việc cần thiết cho việc áp dụng mô hình kết để giải vấn đề thực tế đặt Trong trường hợp mô hình cần sử dụng nhiều lần phải xây dựng hệ thống phần mềm đảm bảo giao diện thuận lợi người sử dụng máy tính điện tử, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ chuyên môn cao Tin học Khả 2: Mô hình kết toán không phù hợp với thực tế Trong trường hợp cần phải xem xét lại nguyên nhân Có thể nêu nguyên nhân sau:  Nguyên nhân 1: Các kết tính toán bước chưa có đủ độ xác cần thiết Khi cần phải xem xét lại thuật toán chương trình tính toán viết sử dụng  Nguyên nhân 2: Các số liệu ban đầu (các hệ số, thông số) không phản ánh thực tế giá chi phí thị trường mức vật tư, số liệu khác công suất, khả máy móc, dự trữ tài nguyên, lúc cần điều chỉnh lại cách nghiêm túc, xác  Nguyên nhân 3: Mô hình định tính chưa phản ánh đầy đủ tượng thực tế Nếu cần rà soát lại bước xem có yếu tô quy luật bị bỏ sót không?  Nguyên nhân 4: Việc xây dựng mô hình toán học bước chưa thỏa đáng Cần phải xây dựng lại cho phù hợp- mức độ tăng dần từ tuyến tính đến phi tuyến tính, từ tĩnh đến động, từ định đến ngẫu nhiên 2.2 Một số mô hình thực tế 2.2.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính Đề bài: Một công ty muốn sản suất hai loại sản phẩm A B nguyên liệu I, II III Suất chi phí nguyên liệu để sản xuất sản phẩm cho bảng sau, có ý nghĩa: - Để sản xuất đơn vị sản phẩm A cần dùng đơn vị nguyên liệu I đơn vị nguyên liệu II Để sản xuất đơn vị sản phẩm B cần dùng đơn vị nguyên liệu I đơn vị nguyên liệu II đơn vị nguyên liệu III Ban giám đốc công ty có dự trữ loại nguyên liệu I, II III tương ứng 8, Tiền lãi đơn vị sản phẩm A triệu đồng, đơn vị sản phẩm B triệu đồng Cần thiết lập kế hoạch sản xuất cho công ty thu nhiều tiền lãi lớn sở hạn chế nguyên liệu Sản phẩm Nguyên liệu I II III Chú thích: x1 : lượng sản phẩm loại A x : lượng sản phẩm loại B A B 1 Mỗi lần điều chỉnh vậy, ta nhận thêm h đơn vị hàng từ nguồn tới đích  Sau điều chỉnh, ta kiểm tra lại có đường từ nguồn tới đích có tính chất không? - Nếu không dừng - Nếu có điều chỉnh luồng  Tiếp tục trình vậy, sau số hữu hạn lần ta thu luồng lớn 4.4.2 Mô tả chi tiết thuật toán: Bước 0: Xuất phát từ luồng 0, ta gán cho đỉnh mạng cặp số gọi nhãn sau: Gán cho đỉnh nguồn (đỉnh số 1) nhãn (,0) với đỉnh giả bước 1,  khả dư cung (0,1) Bước 1: Gọi N1 tập đỉnh i(i  1) mạng nối trực tiếp với đỉnh nguồn cạnh (hay cung) mà lượng hàng vận chuyển từ nguồn chưa đạt tới khả thông qua Tiếp ta gán cho đỉnh i  N1 cặp số (ci , pi ) gọi nhãn sau: ci  d1i  x1i khả dư cạnh (cung) (1, i ) pi  số hiệu đỉnh nguồn dẫn tới đỉnh i Nếu N1 chứa đỉnh n (đỉnh đích) chuyển sang bước để tăng giá trị luồng - Nếu N1 chưa chứa đỉnh n chuyển sang bước Bước 2: Kí hiệu N2 tập hợp đỉnh j chưa gán nhãn mạng cho đỉnh nối với đỉnh gán nhãn N1, chẳng hạn đỉnh i cạnh - (cung) (i, j ) với xij  dij (hoặc x ji  0) Tiếp ta gán cho đỉnh j cặp số (c j , p j ) gọi nhãn, theo công thức:  min( ci , d ij  xij ) cj    min( ci , xij ) pj  j nếuxij Bước 3: Lặp lại bước với Nr thay cho Nr-1, sau số bước hữu hạn ta gặp hai trường hợp sau:  Đỉnh đích chưa gán nhãn gán nhãn tiếp cho đỉnh (1)  Đỉnh đích gán (2) Bước 4: Nếu xảy trường hợp (1) ta dừng thuật toán luồng có luồng lớn 52 Bước 5: Nếu xảy trường hợp (2), ta tăng luồng có sau: Giả sử đỉnh đích gán nhãn (cn , pn ) Số thứ cn rõ lượng hàng vận chuyển thêm từ nguồn tới đích Số thứ hai pn cho biết đỉnh dùng để gán nhãn cho đỉnh đích Dựa vào số pn ta tìm đỉnh trước ta lần ngược trở lại đỉnh nguồn Kết xác định đường từ nguồn tới đích làm tăng giá trị luồng Đặt x'st  xst  cn cạnh (cung) ( s, t ) không vận chuyển hàng có vận chuyển hàng theo chiều thuận Đặt x'st  xst  cn cạnh (cung) ( s, t ) có vận chuyển theo chiều ngược Bước 6: Xóa nhãn cho đỉnh, trừ đỉnh nguồn, quay trở lại bước 4.4.3 Ví dụ Xét mạng cho hình sau: 5 3 Số ghi cạnh khả thông qua Đỉnh nguồn, đỉnh đích Xuất phát từ luồng Đỉnh nguồn gán (,0) Lần lặp : Gán cho đỉnh nhãn c2  d12  , p2  Gán cho đỉnh nhãn c3  d13  , p3  Dựa vào đỉnh gán nhãn, ta thực : - Gán cho đỉnh nhãn c4  min( c2 , d 24 )  min(9,3)  , p4  - Gán cho đỉnh nhãn c5  min( c3 , d35 )  min(5,2)  , p5  - Gán cho đỉnh nhãn c6  min( c3 , d36 )  min(5,3)  , p6  - Gán cho đỉnh nhãn c7  min( c4 , d 47 )  min(3,6)  , p7  53 Đỉnh (đích) gán nhãn Ta vận chuyển c7  đơn vị hàng theo đường    ( x12  x24  x47  , đường khác Giá trị luồng tương ứng Lần lặp 2: Gán cho đỉnh nhãn c2  d12  x12    , p2  Gán cho đỉnh nhãn c3  d13  x12    , p3  Gán cho đỉnh nhãn c5  min( c3 , d35 )  min(5,2)  , p5  Gán cho đỉnh nhãn c6  min( c3 , d36 )  min(5,3)  , p6  Đỉnh không gán nhãn lần lặp cạnh (2,4) vận chuyển hết khả thông qua Dựa vào đỉnh gán nhãn, ta thực : - Gán cho đỉnh nhãn c4  min( c5 , d54 )  min( 2,3)  , p4  - Gán cho đỉnh nhãn c7  min( c5 , d57 )  min( 2,2)  , p7  Đỉnh (đích) gán nhãn Ta vận chuyển c7  đơn vị hàng theo đường    ( x13  x35  x57  2) , xij khác không đổi Giá trị luồng lúc   Lần lặp 3: Gán cho đỉnh nhãn c2  d12  x12    , p2  Gán cho đỉnh nhãn c6  min( c3 , d36 )  min(5,3)  , p6  Lúc đỉnh không gán nhãn cạnh từ đỉnh có nhãn, vận chuyển hết khả thông qua x24  d 24  3, x35  d35  Dùng đỉnh vừa gán nhãn, ta thực việc gán nhãn cho đỉnh : c7  min( c6 , d67 )  min(3,4)  , p7  Kết ta vận chuyển thêm c7  đơn vị hàng hóa theo đường    ( x13    5, x36  x67  3) , xij khác không đổi Giá trị luồng lúc   Để kiểm tra xem luồng lớn hay chưa ta tiếp tục trình gán nhãn sau : Gán cho đỉnh nhãn c2  d12  x12    , p2  Từ đỉnh gán cho đỉnh cạnh (1,3) hết khả vận chuyển Tuy nhiên dùng đỉnh gán nhãn cho đỉnh : c3  min( c2 , d 23 )  min( 7,4)  , p3  Đến đây, đỉnh (đích) chưa gán nhãn ta gán nhãn cho đỉnh (trường hợp (1) bước 3) 54 Vậy luồng có lớn x12  3, x12  5, x35  2, x36  3, x47  3, x57  2, x67  Lượng hàng lớn vận chuyển từ nguồn tới đích Các cung đường then chốt (2,4), (3,5), (3,6) Tổng cộng khả thông qua cung then chốt    Bài toán phân phối tài nguyên Đây dạng toán thực tế phát sinh trình sản xuất kinh doanh, đầu tư,…Nó đòi hỏi phải có phân phối hợp lí nguồn tài nguyên có (tiền, dụng cụ, nguyên liệu, nguồn lao động,…) cho hiệu lợi nhuận cao Cũng có nhiều phương pháp giải toán đặc tính mà phương pháp Quy hoạch động tỏ phù hợp để giải cách nhanh chóng xác Xét toán phân bổ tài nguyên: Có loại tài nguyên trữ lượng b cần phân phối cho n đơn vị sản xuất Biết phân phối cho đơn vị thứ j lượng tài nguyên x j hiệu mang lại c j ( x j ), j  1, n Hãy lập kế hoạch phân phối lượng tài nguyên b cho n đơn vị cho tổng hiệu lớn Mô hình hóa toán có dạng: n  c ( x )  max j 1 j n x j 1 (5.1) j j b (5.2) x j  0, j  1, n (5.3) Ta gọi toán (5.1),(5.2),(5.3) Pn(b) hiệu tối ưu f n (b) Ta lồng toán Pn(b) vào họ toán sau : Thay xét n đơn vị, ta xét k đơn vị (k  n) với lượng tài nguyên  (  b) k  c ( x )  max j 1 j k x j 1 j j (5.4)  (5.5) x j  0, j  1, k (5.6) Kí hiệu toán (5.4),(5.5),(5.6) Pk(  ), hiệu tối ưu f k ( ) Với cặp giá trị (k ,  ) ta có toán tương ứng 55 Khi k tăng từ  n ,  tăng từ  b ta có họ toán Theo nguyên tắc tối ưu Bellman ta giải toán Pk(  ) Giả sử xk lượng tài nguyên phân phối cho đơn vị thứ k, theo giả thiết hiệu ck ( xk ) Lượng tài nguyên lại   xk phân phối tối ưu cho k  đơn vị lại, hiệu tối ưu f k 1 (  xk ) Hiệu tổng cộng k đơn vị : ck ( xk )  f k 1 (  xk ) (5.7) Cần tìm giá trị xk phù hợp cho tổng (7) lớn : f k ( )  max ck ( xk )  f k 1 (  xk ) 0 xk  (5.8) Đây phương trình truy toán quy hoạch động, ta có : f ( )  với  f1 ( )  c1 ( ) với  thay đổi f ( )  max c2 ( x2 )  f1 (  x2 ) 0 x2  Cứ ta nhận đến f k ( ) lại cho k  thay đổi ta tới f k (b) Ví dụ 1: Một công ty có máy cần phân phối cho đơn vị sản xuất, số liệu cho bảng sau: Lãi c3 ( x ) c1 ( x) c ( x) Số máy 0 0 2 4 4 8 8 Tìm cách phân phối cho tổng tiền lãi lớn Giải Mô hình hóa toán 3  c j ( x j )  max  j 1   x j   j 1  x  0, j  1,3  j  56 Ta lồng vào họ toán: Pk ( ) với hiệu tối ưu f k ( )   k  1:    f1 (0)     f1 (1)     f1 (2)     f1 (3)   f1 (4)  f1 (5)  f1 (6) k  : f ( )  max c2 ( x2 )  f (  x2 )  x     f (0)     f (1)  maxc2 (0)  f1 (1), c2 (1)  f1 (0)  max0  3,4  0     f (2)  maxc2 (0)  f1 (2), c2 (1)  f1 (1), c2 (2)  f1 (0)  max0  4,4  3,6  1     f (3)  maxc2 (0)  f1 (3), c2 (1)  f1 (2), c2 (2)  f1 (1), c2 (3)  f1 (0)  max0  4,4  4,6  3,7  0     f (4)  maxc2 (0)  f1 (4), c2 (1)  f1 (3), c2 (2)  f1 (2), c2 (3)  f1 (1), c2 (4)  f1 (0)  max0  4,4  4,6  4,7  3,8  0  10    f (5)  max{ c2 (0)  f1 (5), c2 (1)  f1 (4), c2 (2)  f1 (3), c2 (3)  f1 (2), c2 (4)  f1 (1), c2 (5)  f1 (0)}  max0  3,3  4,6  4,7  4,3  8,8  0  11    f (6)  max{ c2 (0)  f1 (6), c2 (1)  f1 (5), c2 (2)  f1 (4), c2 (3)  f1 (3), c2 (4)  f1 (2), c2 (5)  f1 (1), c2 (6)  f1 (0)}  max0  4,3  4,6  4,7  4,8  4,8  3,8  0  12  k  : f ( )  max c2 ( x3 )  f (  x3 ) 0 x3  f3 (6)  max{ c3 (0)  f (6), c3 (1)  f (5), c3 (2)  f (4), c3 (3)  f (3), c3 (4)  f (2), c3 (5)  f (1), c3 (6)  f (0)}  max0  12,2  11,4  10,6  9,7  7,8  4,9  0  15 f (6)  15, c3 (3)  6, f (3)  x3  , f (3)  , x2  2, x1  Vậy phương án tối ưu x1  1, x2  2, x3  3, f3 (6)  15 Ví dụ 2: Một công ty có 100.000 USD cần phân phối cho xí nghiệp, mức hiệu c j ( x), j  1,4 cho bảng sau: 57 c3 ( x) c1 ( x) c2 ( x) Số tiền (1000 USD) 0 0 20 10 12 11 40 31 26 36 60 42 36 45 80 62 54 60 100 76 78 77 Hãy tìm cách phân phối số tiền cho tổng hiệu lớn Giải Mô hình hóa toán 4  c j ( x j )  max  j 1   x j  100  j 1  x  0, j  1,4  j  Bài toán P4(100) Hiệu tối ưu f4(100) Ta lồng toán P4(100) vào họ toán Pk(α): k  c j ( x j )  max  j 1  k  x j    j 1  x  0, j  1, k  j   Bài toán Pk(α) Hiệu tối ưu fk(α) k 1    f1 (0)    20  f1 (20)  10   40  f1 (40)  31   60  f1 (60)  42   80  f1 (80)  62   100  f1 (100)  76  k  : f ( )  max c2 ( x2 )  f1 (  x2 ) 0 x2  58 c4 ( x) 16 37 46 63 80    f (0)    20  f (20)  maxc2 (0)  f1 (20), c2 (20)  f1 (0)  max0  10,12  0  12   40  f (40)  maxc2 (0)  f1 (40), c2 (20)  f1 (20), c2 (40)  f1 (0)  max0  31,12  10,26  0  31   60  f (60)  maxc2 (0)  f1 (60), c2 (20)  f1 (40), c2 (40)  f1 (20), c2 (60)  f1 (0)  max0  42,12  31,26  10,36  0  43   80  f (80)  max{ c2 (0)  f1 (80), c2 (20)  f1 (60), c2 (40)  f1 (40), c2 (60)  f1 (20), c2 (80)  f1 (0)}  max0  62,12  42,26  31,43  10,54  0  62   100  f (100)  max{ c2 (0)  f1 (100), c2 (20)  f1 (80), c2 (40)  f1 (60), c2 (60)  f1 (40), c2 (80)  f1 (20), c2 (100)  f1 (0)}  max0  76,12  62,26  42,43  10,54  10,78  0  78  k  : f ( )  max c3 ( x3 )  f (  x3 ) 0 x3     f (0)    20  f3 (20)  maxc3 (0)  f (20), c3 (20)  f (0)  max0  12,11  0   40  f3 (40)  maxc3 (0)  f (40), c3 (20)  f (20), c3 (40)  f (0)  max0  31,11  12,36  0  36   60  f3 (60)  maxc3 (0)  f (60), c3 (20)  f (40), c3 (40)  f (20), c3 (60)  f (0)  max0  43,11  31,36  12,45  0  48   80  f3 (80)  max{ c3 (0)  f (80), c3 (20)  f (60), c3 (40)  f (40), c3 (60)  f (20), c3 (80)  f (0)}  max0  62,11  43,36  31,45  12,60  0  67   100  f3 (100)  max{ c3 (0)  f (100), c3 (20)  f (80), c3 (40)  f (60), c3 (60)  f (40), c3 (80)  f (20), c3 (100)  f (0)}  max0  78,11  62,36  43,45  31,60  12,77  0  79  k  : f ( )  max c4 ( x4 )  f (  x4 ) 0 x4  f (100)  max{ c4 (0)  f (100), c4 (20)  f3 (80), c4 (40)  f3 (60), c4 (60)  f3 (40), c4 (80)  f (20), c4 (100)  f (0)}  max0  79,16  48,37  48,46  31,63  12,80  0  85 f (100)  85; x4  40; f (60)  48 f (60)  48; x3  40; f (20)  12 f (20)  12; x2  20; f1 (0)  59 Ta có phương án tối ưu: x1  0; x2  20; x3  40; x4  40; f (100)  85.000 Ví dụ 3:Một người nông dân có 60ha đất đầu tư cho doanh nghiệp Hiệu việc đầu tư cho bảng sau: gi g1 g2 g3 g4 xi 0 0 15 16 30 24 18 30 46 36 40 62 45 62 54 60 64 60 80 74 90 78 Hãy giúp người nông dân đầu tư vào doanh nghiệp với diện tích đất cho hiệu lớn Giải Mô hình hóa toán: 4  g i ( x i )  i 1 4  xi  60  i 1  x  0, i  1,4  i  Ta áp dụng công thức: f k (a)  max g k ( xk )  f k 1 (a  xk ) 0 xk a f (a)  ,với a  0, a  15, a  30, a  45, a  60; k  1,4  k  , ta có: f1 (0)  g1 (0)  f1 (15)  g1 (15)  16 f1 (30)  g1 (30)  46 f1 (45)  g1 (45)  62 f1 (60)  g1 (60)  80  k  , ta có: f (15)  max g (0)  f1 (15); g (15)  f1 (0)  max0  16;30  0  30 0 x2 15 f (30)  max g (0)  f1 (30); g (15)  f1 (15); g (30)  f1 (0) 0 x2 30  max 0  46;30  16;36  0  46 0x2 30 f (45)  max {g (0)  f1 (45); g (15)  f1 (30); g (30)  f1 (15), g (45)  f1 (0)} 0 x2 45  max 0  62;30  46;36  16;54  0  76 0x2 45 f (60)  max {g (0)  f1 (60); g (15)  f1 (45); g (30)  f1 (30); 0 x2 60 60 g (45)  f1 (15); g (60)  f1 (0)}  max 0  80;30  62;36  46;62  16;74  0  92 0x2 60  k  , ta có: f (15)  max g (0)  f (15); g (15)  f (0)  max 0  30;34  0  30 0 x3 15 0 x3 15 f (30)  max g (0)  f (30); g (15)  f (15); g (30)  f (0) 0 x3 30  max 0  46;24  30;40  0  54 0x3 30 f (45)  max {g (0)  f (45); g (15)  f (30); g (30)  f (15); g (45)  f (0)} 0 x3 45  max 0  76;24  46;40  30;60  0  76 0x3 45 f (60)  max {g (0)  f (60); g (15)  f (45); g (30)  f (30); 0 x3 60 g (45)  f (15); g (60)  f (0)}  max 0  92;24  76;40  46;0  30;90  0  100 0x2 60  k  , ta có: f (60)  max {g (0)  f (60); g (15)  f (45); g (30)  f (30); 0 x4 60 g (45)  f (15); g (60)  f (0)}  max 0  100;18  76;52  54;64  30;78  0  106 0x3 60 f (60)  106 ứng với x4  30; f (30) f (30)  54 ứng x3  15; f (15) f (15)  30 ứng với x2  15; x1  Vậy ta có phương án tối ưu: x1  0; x2  15; x3  15; x4  30; f (60)  106 Bài toán xác định chế độ khoan giếng tối ƣu 6.1 Thiết lập toán: Trong việc khoan giếng, với phá hủy đất đá xảy mòn choàng khoan; người ta muốn phá húy đất đá nhiều choàng khoan mòn chậm Từ hai đặc thù riêng trình phá hủy choàng khoan, cần phải phân tích mức độ ảnh hưởng tải trọng đáy P tần số quay n choàng khoan Tải trọng đáy P khoan tần số quay n choàng khoan có ảnh hưởng đến việc phá hủy đất đá mà ảnh hưởng tới hao mòn ổ trục choàng khoan giới hạn sử dụng giếng khoan Mặc khác, với việc khoan giếng sâu hàng nghìn mét người ta phải thay choàng khoan nhiều lần chúng bị hao mòn khoan khoảng gọi hiệp khoan Việc điều khiển tối ưu đặt là: xác định tác động điều khiển 61 hiệp khoan cho chúng đảm bảo tổng thời gian tối thiểu (tổng chi phí tối thiểu) Mô hình toán học có dạng: N T ( H )  [ti , (hi , h, P, n)]  (6.1) i 1 N h H (6.2) hmin  hi  hmax (6.3) i 1 i Trong đó: H –là độ sâu yêu cầu trước giếng khoan hi − tiến độ hiệp, i  1, , N t i − thời gian khoan tương ứng ti (hi , h, P, n)  ti1 (h, pi , P, n)  ti (h) (6.4) với h độ sâu (0  h  H ) ti1 (hi , pi , P, n) − thời gian để khoan hi mét ứng với tải trọng P tần số quay n ti (h)   h  Ci , i  1, , N − thời gian kéo thả, thay choàng khoan, Ci số cho Trong biểu thức (6.4) giá trị ti1 (h1 , P, n) chưa có ngay, cần phải tìm ti1 (hi , pi , P, n)  F (hi , P, n) (6.5) P ,n 6.2 Phƣơng pháp giải: Muốn giải bài toán (6.1)−(6.4) trước hết ta phải biết ti1 (h1 , P, n) mà dạng hàm F biểu thức (6.5) lại phi tuyến, nên toán (6.1)−(6.4) giải qua hai giai đoạn Giai đoạn 1: Phải tính toán tác động điều khiển nhằm đảm bảo khoan khoảng chiều sâu nằm giới hạn khả choàng với thời gian tối thiểu Ứng với hi tìm thời gian tối thiểu tương ứng ti1 (hi , P, n) phương pháp tác động điều khiển 62 Tuy nhiên độ sâu khoan bước lại khẳng định tùy ý mà phải lồng vào trình nhiều bước coi tham số họ toán Giai đoạn 2: Giải toán (6.1)−(6.4) Các kết tính toán giai đoạn tham số khác sử dụng toán tối ưu để tìm chiến lược khoan tối ưu xác định tổng thời gian khoan tối thiểu ứng với toàn độ sâu cần thiết Ở bước dùng phương pháp Quy hoạch động Trong phương pháp Quy hoạch động tổng quát, điểm xem xét cho thời điểm coi lưới đều, độ sâu khác bước khoan khác ứng với chi phí, thời gian mức độ hao mòn loại choàng khoan khác Do phải giải toán Quy hoạch động với lưới chuyển khoảng Để giải khó khăn đó, thời điểm giả thiết Quy hoạch động ta phải kiểm tra xem thuộc khoảng để đánh giá hàm chi phí tương ứng Vì độ phức tạp thuật toán tăng lên gấp nhiều lần số khoảng số điểm lưới tăng lên 6.3 Chƣơng trình kết Do phức tạp thuật toán nên việc giải toán gặp tương đối khó khăn; giúp đỡ máy tính điện tử số kết đưa Chương trình viết ngôn ngữ BASIC thử máy IBM/PC sau chạy số liệu thật máy tính điện tử EC-1022 Trung tâm Máy tính Đại học Bách khoa Hà Nội ngôn ngữ BASIC OC = EC Chương trình tác động điều khiển chạy cho khoảng tới 11 loại choàng khoan khác (riêng khoảng có loại choàng khoan, khoảng có loại choàng khoan), với độ sâu 4200m Với loại choàng khoan chương trình đưa kết thời gian khoan học g, mức hao mòn trục f, tải trọng P tần số quay n cho hiệp theo số mét khoan Chương trình tìm phương án tối ưu khoan theo phương pháp quy hoạch động phải qua 13,467 bước (giai đoạn), tức độ sâu 4200 mét, phải chia thành lưới không gồm 13,467 điểm, giá trị bước chia lưới tùy thuộc vào khoảng khoan 63 Ở điểm lưới cần phải giải toán tìm cực trị tìm thời gian tối thiểu có hiệu Kết máy tính điện tử đưa phương án khoan tối ưu thời gian khoan học bao gồm: số hiệp khoan, số mét khoan hiệp với thời gian khoan học tương ứng, độ sâu giếng sau hiệp 64 KẾT LUẬN Toán học gắn liền với thực tế, nên thực tế phát sinh vấn đề đòi hỏi toán học phải tìm phương pháp giải vấn đề cách tối ưu Trong xã hội phát triển nhanh, liên tục phát sinh đặt cho toán học từ vấn đê đến vấn đề khác, từ đơn giản đến phức tạp Vì phát triển toán học điều tất yếu đời Quy hoạch toán học góp phần giải vấn đề thực tế phát sinh Quy hoạch động lý thuyết đồ thị phương pháp giải toán tối ưu hóa hiệu đơn giản Các phương pháp giúp ta đưa vấn đề phát sinh thực tế vào toán học việc mô hình hóa toán, việc tìm thuật toán cho dạng cụ thể để giái cách tối ưu Trong trình thực đề tài, rèn luyện cho nhiều kỹ giải toán tối ưu Nhưng lần thực nghiên cứu khoa học, thời gian hạn hẹp tài liệu tham khảo nên chưa đạt hiệu cao Nếu có điều kiện tốt hơn, hy vọng tiếp tục nghiên cứu vấn đề sâu để biết nhiều kiến thức tìm phương pháp giải toán tối ưu 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS.TS Bùi Minh Trí (2003), Tối ưu hóa tổ hợp, Nhà xuất khoa học kỹ thuật PGS.TS Bùi Minh Trí (2005), Tối ưu hóa tập 1, Nhà xuất khoa học kỹ thuật PGS.TS Bùi Minh Trí (2008), Bài tập Tối ưu hóa, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Nguyễn Đức Nghĩa (1997), Tối ưu hóa, Nhà xuất Giáo dục Ths.Bùi Anh Kiệt, Giáo trình Toán rời rạc, Trường Đại học Cần Thơ Phan Tấn Tài (2000), Giáo trình Quy hoạch tuyến tính Quy hoạch động, Trường Đại học Cần Thơ Lâm Thị Ngọc Châu (2000), Bài giảng Toán rời rạc, Trường Đại học Cần Thơ Bài giảng Toán rời rạc II(2009), Khoa Công nghệ thông tin – truyền thông, Trường Đại học Cần Thơ 66 [...]... Các cạnh vv tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau được gọi là một vành khuyên tại v Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh được gọi là 2 cạnh song song hay cạnh bội Đồ thị không có cạnh song song và cũng không có vòng được gọi là đơn đồ thị Ngược lại là đa đồ thị Đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều kề nhau được gọi là đồ thị đầy đủ Đơn đồ thị đầy đủ gồm n đỉnh được kí hiệu: K n Đồ thị G'  (V ' ,... Đồ thị G'  (V ' , E ' ) được gọi là một đồ thị con của đồ thị G  (V , E ) nếu E '  E;V '  V Đồ thị có số cạnh và số đỉnh hữu hạn được gọi là đồ thị hữu hạn, ngược lại là đồ thị vô hạn 1.2 Biểu diễn đồ thị 1.2.1 Biểu diễn hình học Biểu diễn mỗi đỉnh của đồ thị bằng một điểm Một cạnh được biểu diễn bằng một đường nối 2 đỉnh liên thuộc với cạnh đó Ví dụ 1: Đồ thị G có V  {a, b, c, d , e}; E  {ab,...  n thì G là đồ thị liên thông Hệ quả: Trong mọi đồ thị G  (V , E ) có n đỉnh, nếu mọi đỉnh v V có n thì G là đồ thị liên thông 2 3.3.2 Đồ thị có hƣớng a) Tính liên thông mạnh Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu có đường đi từ a đến b và từ b đến a, a, b V d (v )  26 Ví dụ: b) Tính liên thông yếu Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng của nó là... bậc lẻ trong một đồ thị là một số chẵn Vậy v và w phải liên thông với nhau 27 CHƢƠNG IV: CÂY 1 Các khái niệm cơ bản 1.1 Cây và rừng 1.1.1 Cây Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình sơ cấp Do cây không có chu trình sơ cấp nên cây không có cạnh bội và khuyên Vậy mọi cây là đơn đồ thị Ví dụ: G2 G1 G1 và G2 là các cây H1 H2 H1 và H2 không là cây 1.1.2 Rừng Rừng là đồ thị vô hướng không... c) Định lý Nếu trong đồ thị G  (V , E ) có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên thông với nhau Chứng minh: Giả sử đồ thị G  (V , E ) có đúng 2 đỉnh bậc lẻ v và w nhưng 2 đỉnh này không liên thông với nhau Khi đó v và w phải thuộc vào 2 thành phần liên thông G1 ,G2 khác nhau của G, chẳng hạn v  G1 , w  G2 Theo giả thuyết do G chỉ có đúng 2 đỉnh bậc lẻ nên trong mỗi đồ thị con G 1và G2 có... dài chẵn (đpcm) 3.3 Tính liên thông trong đồ thị 3.3.1 Đồ thị vô hƣớng a) Định nghĩa: Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị Ví dụ: G 25 H G: liên thông H không liên thông Cho đồ thị G  (V , E ) và v  V V ' là tập hợp các đỉnh của V liên thông với v, E’ là tập hợp các cạnh nối 2 đỉnh của V’ Khi đó đồ thị G'  (V ' , E ' ) gọi là thành phần... Cạnh tới đỉnh treo gọi là cạnh treo Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập gọi là đồ thị rỗng g f e Ví dụ: Cho đồ thị sau: - a c d b Ta có: deg(a)= 4; deg(b) = 5; deg(c) = 4; deg(d) =0; deg(e) =1; deg(f) =4; deg(g) =4 2 Đồ thị có hƣớng: 2.1 Định nghĩa: 22 Một đồ thị G  (V , E ) gồm tập hợp các đỉnh V và tập hợp cách cạnh E bao gồm các cặ,p sắp thứ tự của V Cạnh e tương ứng với một cặp thứ tự (a, b) của... CHƢƠNG II: CÁC NGUYÊN TẮC CƠ BẢN CỦA QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ QUY TRÌNH NHIỀU GIAI ĐOẠN 1 Phƣơng pháp phƣơng trình truy toán và các nguyên tắc cơ bản của Quy hoạch động 1.1 Bài toán phân phối một chiều và phƣơng trình truy toán 1.1.1 Bài toán phân phối Trong thực tế có nhiều tài nguyên khác nhau: nhân công, tiền, máy, nhiên liệu… mỗi tài nguyên có thể sử dụng theo nhiều cách và cho nhiều hiệu quả khác nhau, vấn... mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị xuất phát Các đỉnh v như thế được gọi là đỉnh cắt hay điểm khớp  Cầu: Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một cạnh e sẽ tạo ra nhiều thành phần liên thông hơn G thì e được gọi là cầu g a f d Ví dụ: Đồ thị G có: Đỉnh cắt: b, c, e Cầu: ab, ce b c e h G Chú ý: Không phải đồ thị nào cũng có đỉnh cắt và cầu d) Định lý: Trong mọi đồ thị G  (V , E ) có ít nhất n  2 đỉnh... Cây khung 2.1 Định nghĩa 29 Cho G là một đơn đồ thị Một cây được gọi là cây khung của G nếu nó là đồ thị con của G và chứa tất cả các đỉnh của G Ví dụ : Cho đơn đồ thị G sau : c d b a e f h Một cây khung tạo ta từ G bằng cách xóa đi các cạnh tạo chu trình đơn :af, bc c d b a h e f 2.2 Định lý Mọi đơn đồ thị là liên thông khi và chỉ khi nó có cây khung Chứng minh:  Giả sử G có cây khung T  T chứa ... hoạch động ứng dụng Lý thuyết đồ thị để mở rộng tầm hiểu biết thân nên em định chọn đề tài Quy hoạch động ứng dụng lý thuyết đồ thị Mục đích nghiên cứu: Hệ thống lại cách chi tiết vấn đề lý thuyết. .. phương pháp Quy hoạch động tỏ đặt biệt hấp dẫn Ngoài hỗ trợ hiệu nguyên tắc tối ưu lý thuyết đồ thị tỏ hiệu qua việc hỗ trợ giải toán Quy hoạch động Lý thuyết đồ thị đưa công cụ đồ thị để thực... đỉnh kề gọi đồ thị đầy đủ Đơn đồ thị đầy đủ gồm n đỉnh kí hiệu: K n Đồ thị G'  (V ' , E ' ) gọi đồ thị đồ thị G  (V , E ) E '  E;V '  V Đồ thị có số cạnh số đỉnh hữu hạn gọi đồ thị hữu hạn,