TRƯỜNG TRƯ ĐẠI HỌC CẦN THƠ  KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC    LUẬN LU VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỐI LIÊN HỆ Ệ GIỮA H HÌNH HỌC ỌC APHIN VÀ V HÌNH HỌC ỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG   Giảng viên hướng ớng dẫn ThS Nguyễn ễn Thị Thảo Trúc Cần Thơ, 2015   Sinh viên thực th Đặng ặng Thị Bích Trâm MSSV: 1110073 Lớp: ớp: SP Toán K37                                                                                 Sau một thời gian dài học tập và nghiên cứu em đã cố gắng  hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình. Để đạt được kết quả  này em xin chân thành gửi lời tri ân sâu sắc đến tất cả các quý  thầy cô  Bộ  môn Sư phạm Toán học đã truyền đạt những kiến  thức hữu ích, kinh nghiệm quý báu và những kỹ năng cần thiết  cho em trong những năm tháng trên giảng đường Đại học.    Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn  Thị Thảo Trúc đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho  em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài luận văn  này.    Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng không tránh khỏi  những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được những góp  ý quý báu từ quý thầy cô và các bạn để đề tài được phong phú  và hoàn thiện hơn.    Cuối lời, em xin kính chúc quý thầy cô dồi dào sức khỏe và  có nhiều thành công trong công tác giảng dạy.     Em xin chân thành cảm ơn !.                          Cần Thơ, tháng 04 năm 2015                                           Sinh viên thực                   Đặng Thị Bích Trâm  MỤC LỤC   PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mặt phẳng aphin   1  1.1. Định nghĩa  . 1  1.2. Mục tiêu, tọa độ aphin trong mặt phẳng   1  1.3. Đường thẳng trong mặt phẳng aphin   2  1.4. Tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng   4  1.5. Phép biến đổi aphin   6  1.6. Đường bậc hai trong mặt phẳng aphin  . 7  1.7. Nhóm aphin và hình học aphin   8  Mặt phẳng xạ ảnh   10  2.1. Định nghĩa  . 10  2.2. Tọa độ xạ ảnh   10  2.3. Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh   11  2.4. Tỷ số kép  . 13  2.5. Hình bốn cạnh toàn phần  . 13  2.6. Phép biến đổi xạ ảnh  . 14  2.7. Đường bậc hai trong mặt phẳng xạ ảnh   15  2.8. Cực và đối cực   16  2.9. Một số định lí quan trọng trong P2   17  2.10. Hình học xạ ảnh   26  Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG Mô hình aphin mặt phẳng xạ ảnh   28  Mô hình xạ ảnh mặt phẳng aphin   28  2.1. Xây dựng mô hình   28  2.2. Một số kết quả cơ bản   29  Mô hình xạ ảnh mặt phẳng Euclide   35  3.1. Mối quan hệ giữa hình học aphin và hình học Euclide trong mặt phẳng   35  3.2. Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclide   36  3.3. Một số khái niệm của mặt phẳng Euclide   37  Vài áp dụng mô hình   40  4.1. Giải bài toán xạ ảnh bằng phương tiện aphin   40  4.2. Giải bài toán aphin bằng phương tiện xạ ảnh   42  4.3. Sáng tạo các bài toán mới   43  4.4. Giải bài toán aphin bằng phương tiện Euclide  . 44  CHƯƠNG III BÀI TẬP ÁP DỤNG  Dạng 1. Giải bài toán aphin bằng phương tiện xạ ảnh   46  Dạng 2. Giải bài toán xạ ảnh bằng phương tiện aphin   58  Dạng 3. Giải bài toán Eulide (bài toán sơ cấp) bằng phương tiện xạ ảnh   65  Dạng 4. Giải bài toán aphin bằng phương tiện Euclide . 77  Dạng 5. Giải các bài toán hình học xạ ảnh bằng các phương pháp của hình học sơ cấp    81  Dạng 6. Giải các bài toán sơ cấp bằng các phương pháp của hình học aphin và hình  học xạ ảnh  . 85  PHẦN KẾT LUẬN   90  TÀI LIỆU THAM KHẢO  . 91            PHẦN MỞ ĐẦU   I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học aphin và hình học xạ ảnh là những môn học chuyên ngành dành cho sinh  viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm. Mục đích của môn học là cung cấp  cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hình học và các mối quan hệ.   Ở bậc đại học, em đã được học và nghiên cứu các môn hình học aphin và hình học  xạ ảnh trong không gian n-chiều.Tuy nhiên khi vận dụng vào giải toán, chúng ta cần  có cái nhìn tổng quan về các mối liên hệ với nhau. Đồng thời, thấy được các vấn đề  khó khăn trong việc  học tập  môn  hình học  ở phổ thông  và  mong  muốn tìm  hiểu sâu  hơn  về  hình  học,  những  ứng  dụng  của  nó  vào  chương  trình  phổ  thông.  Điều  này  đã  thúc đẩy em chọn đề tài nghiên cứu khoa học cho mình là: “Mối liên hệ giữa hình học  aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng”.  II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thông qua việc nghiên cứu đề tài: “Mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ  ảnh  trong  mặt  phẳng”  trang  bị  cho  em  vốn  kiến thức  về hình  học  phẳng.  Từ đó,  rèn  luyện được tư duy lôgic trong Hình học và các phương pháp giải toán.  III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định nghĩa, tính chất, các mô hình của mặt  phẳng aphin, mặt phẳng xạ ảnh và ứng dụng của nó.  IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để hoàn thành luận văn, em đã nghiên cứu nhiều tài liệu tham  khảo từ sách, giáo  trình và các nguồn tài liệu từ internet. Sau khi sưu tầm được các nguồn tài liệu, em đã  đọc hiểu và nghiên cứu, phân tích, tổng hợp lại kiến thức cần trình bày.  V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nội dung luận văn gồm có ba chương:  Chương  I:  Trình  bày  kiến  thức  cơ  bản  như  định  nghĩa,  tính  chất,  các  phép  biến  đổi,  của mặt phẳng aphin và mặt phẳng xạ ảnh.  Chương II: Trình bày những nội dung thể hiện mối liên hệ giữa hình học aphin và  hình học xạ ảnh trong mặt phẳng.  Chương  III:  Trình  bày  hệ  thống  bài  tập  giải  sẵn  liên  quan  đến  hình  học  aphin  và  hình học xạ ảnh trong mặt phẳng và một số bài tập ứng dụng vào giải toán sơ cấp.      PHẦN NỘI DUNG Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mặt phẳng aphin 1.1 Định nghĩa      Cho không gian vectơ V2 và tập A  ,  mà các phần tử của nó gọi là các điểm và  kí hiệu  A, B, C, Một ánh xạ:                          A x A ⟶ V2                                                         A, B   ⟼   x  Kí hiệu  x  AB,    thỏa mãn hai tiên đề:   A1: Với mọi điểm  AA, với mọi vectơ  x  V2 thì tồn tại duy nhất một điểm   B A    sao cho  x  AB      A2: Với mọi điểm  A, B, C  A ta luôn có:  AB  BC  AC   Khi  đó,  tập  hợp A được  gọi  là  mặt phẳng aphin  trên  không  gian  vectơ  V2  và  V2  được gọi là không gian vectơ nền của A.   Kí hiệu: A2 hoặc A2(V2) và khi đó ta thường kí hiệu  A A      Các tính chất       MN   khi và chỉ khi  M  N   M , N  A2.        MN   NM   M , N   A2.         MN  PQ   khi  và  chỉ  khi  MP  NQ   M , N , P, Q A2  (tính  chất  hình  bình  hành).         MN  ON  OM   M , N , O  A2.  1.2 Mục tiêu, tọa độ aphin mặt phẳng 1.2.1 Mục tiêu  Định nghĩa 1: Cho mặt phẳng aphin có không gian vectơ nền là V2. Hệ   E0 , ei 1,    trong đó  E0   A2 và  ei 1,  là cơ sở của V2 được gọi là một mục tiêu aphin của mặt    phẳng aphin. Điểm  E0  được gọi là điểm gốc mục tiêu;  e1, e2  lần lượt được gọi là cơ sở  thứ nhất và thứ hai của mục tiêu.  Nhận xét:  Theo  tiên  đề  A1  thì  tồn  tại  duy  nhất  các  điểm  E1 , E2   thuộc  A2  sao  cho      E0 E1  e1   và  E0 E2  e2   Khi  đó  hệ  3  điểm   E0 , Ei 1,   độc  lập  trong  A2  và  hệ  E0 , Ei 1,  được gọi là một mục tiêu aphin của A2.  Định nghĩa 2: Hệ 3 điểm không thẳng hàng có thứ tự   E0 , E1 , E   của mặt phẳng  aphin  được gọi là một mục tiêu aphin mặt phẳng aphin. Điểm  E0  được gọi là điểm  gốc, hai điểm  E1 , E2  được gọi là các đỉnh thứ nhất và thứ hai của mục tiêu.  1     Cơ sở  ei 1,  ứng với mục tiêu aphin   E0 , Ei 1,  được gọi là cơ sở nền của mục tiêu.  1.2.2 Tọa độ   Cho mặt phẳng aphin với mục tiêu aphin   E0 , Ei 1, ứng với cơ sở nền   ei 1,          Kí hiệu:  M  x1 , x2  / E0 , Ei 1,2  E0 M   x1 , x2  / ei 1,2 , trong đó  ei  E0 Ei    Dễ thấy, tọa độ của các đỉnh mục tiêu:  E0  0, 0 ;   E1 1,  ;   E2  0, 1     Chú ý: Nếu  M  x1 , x2  , N  y1 , y2  /  E0 , Ei 1,2  thì  MN  y1  x1 , y2  x2  /  ei 1,2   1.2.3 Công thức đổi mục tiêu   Cho hai mục tiêu   E0 , Ei 1,  và   E 0 , E i1,  với  ei 1,  và  ei1, lần lượt là các cơ    sở nền của hai mục tiêu tương ứng.  Giả sử  X  A2 và  X  x1 , x2  / E0 , Ei 1,2 ; X  x1, x2  /  E0 , Ei1,2    Khi đó, ta có các công thức đổi mục tiêu aphin trong mặt phẳng như sau:    x   A  x   a   với   a0    E0  / E0 , Ei i1,    hoặc    x   A  1  x    a    với  a0    E0  / E0 , Eii1,     trong đó  A  là ma trận vuông cấp 2 chuyển cơ sở từ cơ sở  ei 1,2 sang cơ sở  ei1,2 và ta  cũng  gọi  A   là  ma trận chuyển mục tiêu  từ  mục  tiêu   E0 , Ei 1,2   sang  mục  tiêu  E 0 , Ei1,2       1.3 Đường thẳng mặt phẳng aphin 1.3.1 Định nghĩa Cho mặt phẳng aphin có nền là không gian vectơ V2 và  A  là một điểm thuộc A2, V1     là  một  không  gian  vectơ  con  của  V2.  Khi  đó  tập  hợp  M , AM  V1   được  gọi  là  đường thẳng aphin đi qua  A  có phương là V1 1.3.2 Sự xác định     Với  hai  điểm  phân  biệt  bất  kỳ  M1 , M   thuộc  A2.  Khi  đó  tồn  tại  một  và  chỉ  một  đường thẳng aphin đi qua  M1  và  M 1.3.3 Ba điểm thẳng hàng Ba điểm  M1 , M , M  A  được gọi là thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường  thẳng aphin  d  của A2 sao cho  i 1, 2, 3 , M i  d                                   Ta có ngay mệnh đề sau:    M1 M2 M3 d Mệnh đề:  Với  mọi  điểm  M  xi , yi  ; i 1, 2, 3   thuộc  A2,  các  tính  chất  sau  đây  tương đương từng cặp:  2    i.  M1 , M , M  thẳng hàng.    ii.  M 1M , M 1M  phụ thuộc.   iii.   x2  x1 y2  y1 x1 iv.  y1 x2 y2 x3  x1    y3  y1 x3 y3    Tổng quát hơn, với F là một bộ phận của A2, ta nói rằng các điểm  của F là thẳng  hàng khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng aphin  d  sao cho F  d    Một bộ ba, kí hiệu là  ABC  gồm ba điểm của A2 gọi là tam giác (trong A2). Khi đó,  ba điểm  A, B, C  được giả thiết là không thẳng hàng và được gọi là các đỉnh của tam  giác  ABC  Một bộ bốn, kí hiệu  ABCD  gồm bốn điểm thuộc A2 gọi là tứ giác (trong  A2). Khi đó, bốn điểm  A, B, C, D  được giả thiết là bộ ba điểm bất kì đều không thẳng  hàng.  1.3.4 Vị trí tương đối hai đường thẳng A2     Hai dường thẳng  d d  và  d  d   gọi là cùng phương nếu  k  : d  kd            •  d  và  d   song song với nhau (kí hiệu là  d // d  ) khi và chỉ khi chúng cùng phương  và không có điểm chung.  •  d  và  d   cắt nhau nếu chúng không cùng phương và có điểm chung.  •  d  và  d   trùng nhau nếu chúng cùng phương và có điểm chung.  Nhận xét:  d // d   d  d    ,                     d  cắt  d   d  d   I ,                     d  d    I  J  sao cho  I , J  d , d  • Ba  đường  thẳng  d , d , d    gọi  là  đồng quy  khi  và  chỉ  khi  tồn  tại  K   sao  cho  d  d   d   K    1.3.5 Phương trình đường thẳng aphin Trong  mặt  phẳng  aphin  cho  đường  thẳng  d     đi  qua  A0   có  phương  là  V1.  Gọi    E0 , ei 1,2 là một  mục tiêu aphin của A2 và  a  là cơ sở của V1.     Giả sử  M  x1 , x2  , A0  x01 , x02  /  E0 , ei 1,2  và  a   a1 , a2  / ei 1,2      Khi đó                      M  A2   A0 M  ta    x  x  ta1                                       01     x2  x02  ta2 3     x  x01  ta1                                          (1)  x2  x02  ta2                   hay            x1  x01 x2  x02    (2)   a1 a2 2                      a2 x1  a1 x2  a3  0, a1  a2    (3).  Hệ  phương  trình  (1)  được  gọi  là  phương trình tham biến  của  đường  thẳng  aphin,  phương trình (2) được gọi là phương trình tắc của đường thẳng và phương trình  (3) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.                                            1.4 Tỷ số đơn ba điểm thẳng hàng 1.4.1 Định nghĩa      Trong mặt phẳng aphin cho ba điểm  A, B, C  phân biệt và thẳng hàng. Khi đó, hai      vectơ  CA  và  CB  phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại một số  k sao cho  CA  kCB  Số  k   được gọi là tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng  A, B, C  theo thứ tự đó và được kí hiệu:   ABC   k     Như vậy   ABC   k    CA  kCB   Nếu ba  điểm  A, B, C   có  hai  điểm trùng nhau thì  theo  định  nghĩa  tỷ  số  đơn bằng  quy ước, ta có:   ABA  0;  AAC   1;  ABB    Chú ý:  C  là trung điểm của đoạn thẳng  AB  khi và chỉ khi   ABC   1  Nếu thay  đổi thứ tự các điểm trong cách viết tỷ số đơn thì giá trị tỷ số đơn đó thay đổi như sau:   ABC  BAC   1;   ABC     ACB    CAB      CAB  1.4.2 Một số định lí quan trọng Định lí Thales: Cho hai đường thẳng  d  và  d   khác nhau; ba điểm  A, B, C  phân  biệt thuộc vào đường thẳng  d  và ba điểm  A, B, C   phân biệt thuộc đường thẳng  d    sao cho  AA, BB  song song. Khi đó:  AA, CC  song song    CBA   CBA  Chứng minh d d   Ta có  AC   k1 AB  và                                                                A A     AC  k2 AB    k1 , k2  ; k1 , k2     B B       C C       4       Mặt khác, vì:      BB  BA  AB     AA  AB  AB        AB  AB  BB  AA         Vì  AA // BB   nên      sao cho  AB  AB   AA                Khi đó, ta có:  CC  CA  AA  AC  k2 AB  AA  k1 AB   AA                                                                          k1  k2  AB  1   k1  AA          Vì  AB  ∦ AA, ta suy ra:  AA // CC     k1  k2                           k1  k2                                          CBA   CBA (đpcm).    Hệ Cho  d  và  d   là  hai đường thẳng  phân  biệt  cắt  nhau  tại điểm  C   và  cho  hai  điểm  A, B  thuộc  d ;  hai điểm  A, B  thuộc  d   đều khác  C  Ta có:    AA, BB   song song    BAC    BAC            d d C A A' B' B Định lí Menelaus:  Trong  mặt  phẳng  aphin  cho  tam  giác  ABC   và  ba  điểm  A, B, C  thuộc các đường thẳng  BC, CA, AB  nhưng không trùng với  A, B, C   Khi  đó:   A, B, C  thẳng hàng    ABC BCA CAB        A C         B B C A Định lí Ceva:  Trong  mặt  phẳng  aphin cho  tam  giác  ABC   và  ba  điểm  A, B, C   thuộc các đường thẳng  BC, CA, AB  nhưng không trùng với  A, B, C  Khi đó:  AA, BB, CC  đồng quy    ABC BCA CAB  1   5    Dạng Giải toán aphin phương tiện Euclide 4.1. Cho một tam giác  ABC  Mỗi cạnh của nó được chia làm ba phần bằng nhau.  Nối các điểm chia với đỉnh đối diện của cạnh đó ta sẽ được sáu đường thẳng tạo nên  một hình lục giác (không đều). Chứng minh các đường chéo của hình lục giác đó đồng  quy tại một điểm.  Giải  Các khái niệm tam giác, tỷ số đơn là các khái niệm aphin  Ta chọn tam giác đều  ABC   làm hình tương đương aphin với tam giác  ABC  đã  cho.   Phát biểu lại toán Euclide: Cho một tam giác đều  ABC   Mỗi cạnh của nó  được chia làm ba phần bằng nhau. Nối các điểm chia với đỉnh đối diện của cạnh đó ta  sẽ  được  sáu  đường  thẳng  tạo  nên  một  hình  lục  giác  (không  đều).  Chứng  minh  các  đường chéo của hình lục giác đó đồng quy tại một điểm.    A       C1 B2   D   E   I C2 B1   H F   G     C B A2 A1    Giải toán Euclide: Theo  giả  thiết  trên  các  cạnh  BC, CA, AB   ta  lần  lượt  có  các  điểm  chia  là  A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2  sao cho:  Do  ABC   là tam giác đều nên:  BA1  A1 A2  A2C  CB1  B1B2  B2 A  AC1  C1C2  C2 B   Xét lục giác  DEFGHI  Ta chứng minh các điểm  D , G  nằm trên đường trung trực  của đoạn  BC       C   60   và  Thật  vậy,  ta  có   BCC2   CBB1   (c.g.c)  (vì  có  BC    chung,  B BC2  C B1 ).        Do đó  B B C  C2C B    Suy ra  GB C   cân tại  G  nên đỉnh  G  thuộc đường trung trực của đoạn  BC       C   60   và  Ta  lại  có   BCB2  CBC1   (c.g.c)  (vì  có  BC    chung,  B BC1  C B2 ).  77        Suy ra   DBC  cân tại  D  vì  B B C  C1C B    Vậy điểm  D  thuộc đường trung trực của đoạn  BC     Tương tự ta chứng minh được hai đỉnh  E , H  thuộc đường trung trực của đoạn  AC    và hai đỉnh  F , I  thuộc đường trung trực của đoạn  AB    Trong  tam  giác  đều  ABC    các  đường  trung  trực  này  đồng  qui,  do  đó  các  đường  chéo của hình lục giác  DEFGHI  đồng qui tại một điểm (đpcm).  4.2. Cho hình bình hành có các đỉnh nằm trên một elip. Chứng minh tâm của hình  bình hành trùng với tâm của hình elip còn các cạnh của hình bình hành thì song song  với hai đường kính liên hợp của elip.  Giải  Các khái niệm elip, hình bình hành là các khái niệm aphin  Ta chọn một hình tròn làm hình tương đương aphin với elip.    Phát biểu lại toán Euclide: Cho hình chữ nhật  ABCD  có các đỉnh nằm trên  một đường tròn. Chứng minh tâm của hình chữ nhật trùng với tâm của đường tròn còn  các cạnh của hình chữ nhật thì song song với hai đường kính liên hợp của đường tròn.      A B       O   C D      Giải toán Euclide:   900   nên  các  đường  chéo  BD , AC   của  hình  chữ  nhật  ABCD   là  các  Do   AC đường kính của đường tròn.   Gọi  O  AC  BD  là tâm của hình chữ nhật.  Ta suy ra  O  là tâm của đường tròn.   Qua  O,  ta vẽ các đường kính lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật thì  các  đường  kính  này  vuông  góc  với  nhau.  Đó  là  các  đường  kính  liên  hợp  của  đường  tròn.  4.3. Cho hình bình hành có các cạnh tiếp xúc với một elip. Chứng minh các đường  chéo của hình bình hành là những đường kính liên hợp của elip.  Giải  Các khái niệm elip, hình bình hành là các khái niệm aphin  Ta chọn một đường tròn làm hình tương đương aphin với elip   Phát biểu lại toán Euclide: Cho  hình  thoi  ABCD  có các cạnh tiếp  xúc với  một đường tròn. Chứng minh các đường chéo của hình thoi  là những đường kính liên  hợp của đường tròn.  78    A             B D O C     Giải toán Euclide: Gọi  O  là tâm của đường tròn.      Dễ thấy  AC  là tia phân giác của góc  BAD Mà  AB , AD  là hai tiếp tuyến của đường tròn.  Suy ra tâm  O  thuộc  AC    Tương tự,  O  thuộc  BD    Vậy  O  AC  BD    Do  AC  BD  nên  AC  và  BD  là hai đường kính liên hợp của đường tròn (đpcm).  4.4. Gọi  AB, CD  là một cặp đường kính liên hợp bất kì của một elip cho trước. Các  tiếp tuyến của elip tại  A  và  C  cắt nhau tại  M  Tìm quỹ tích các điểm  M  khi  AB  và  CD  thay đổi trên elip.  Giải  Các khái niệm elip, tỷ số đơn là các khái niệm aphin  Ta chọn đường tròn tâm  O  làm hình tương đương aphin với elip.   Phát biểu lại toán Euclide: Gọi  AB, CD  là một cặp đường kính liên hợp  bất kì của một đường tròn tâm  O  cho trước. Các tiếp tuyến của đường tròn tại  A   và  C    cắt nhau tại  M   Tìm quỹ tích các điểm  M   khi  AB  và  CD  thay đổi trên đường  tròn.    A M     M1   O   C D       B    Giải toán Euclide: Dễ thấy giao điểm  M   của hai tiếp tuyến tại  A  và  C  luôn cách đều tâm  O  của  đường tròn.   Do đó quỹ tích các điểm  M   là đường tròn tâm  O  có bán kính  O M   O A    Gọi  M 1  là giao điểm của  OM   với đường tròn tâm  O  Ta có:  79   OM M 1      OM   OM   Vậy khi ta thực hiện phép aphin biến đường tròn thành elip đã cho thì đường tròn  tâm  O  bán kính  OM   sẽ biến thành elip vị tự với elip đã cho trong phép vị tự tâm  O   với tỉ số vị tự  k   (vì phép aphin bảo toàn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng).  4.5.  Cho  elip  có  đường  kính  AB   Trên  một  nửa  cung  elip  ta  lấy  hai  điểm  M , N   Gọi  C  AM  BN, D  AN  BM   Chứng  minh  phương  của  đường  thẳng  CD   là  phương liên hợp với phương của đường kính  AB   Giải                   C M N D B A  Khái niệm elip một khái niệm aphin  Ta chọn đường tròn làm hình tương đương aphin với elip.   Phát biểu lại toán Euclide:  Cho  đường tròn  có đường kính  AB   Trên  một  nửa cung đường tròn ta lấy hai điểm  M , N   Gọi  C  AM   BN , D  AN   BM  Chứng minh phương của đường thẳng  C D  là phương liên hợp với phương của đường  kính  AB     Giải toán Euclide: Xét tam giác  ABC   ta có:   AN   BC  AM B,  AN B  là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).    (do        B M  A C  Suy ra  D  là trực tâm của tam giác  ABC     Do đó  C D  là đường cao xuất phát từ đỉnh  C   và vuông góc với  AB    Vậy  C D  là phương của đường thẳng liên hợp với phương của đường kính  AB            80  Dạng Giải toán hình học xạ ảnh phương pháp hình học sơ cấp 5.1. Chứng minh định lí Pascal: Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội tiếp trong  một conic là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.  Ta chọn đường thẳng vô tận     sao cho     cắt conic tại hai điểm xyclic  I , J  Khi  đó ta sẽ có định lí Pascal trong mặt phẳng Euclide và chứng minh như sau:  Giải P   Ta xét: E 2   P2 \   và cặp điểm xyclic  I , J    Phát biểu toán Euclide: Nếu một lục giác nội tiếp một đường tròn (các đỉnh  của lục giác nằm trên đường tròn) thì ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện sẽ nằm  trên một đường thẳng (Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal).   Giải toán Euclide:  P         A   F   B   Q E   C D R   C       B   A   Giả sử  ABCDEF  là một lục giác nội tiếp trong một đường tròn.  Ta có các cặp cạnh đối diện là  AB  và  DE,   BC  và  EF ,   CD  và  FA  cắt nhau theo  thứ tự là  A, B, C  Vậy ta cần chứng minh ba điểm  A, B, C  thẳng hàng.       Thật  vậy,  gọi  P  AB  EF , Q  AB  CD, R  CD  EF   Áp  dụng  định  lí  Menelaus đối với tam giác  PQR  và các cát tuyến  BCB, DEA, CDC   lần lượt ta có  các hệ thức:     CQ BR BP     1, CR BP BQ    DQ ER AP     1,   DR EP AQ    C Q FR AP     C R FP AQ 81  Nhân các vế của ba đẳng thức trên với nhau và lưu ý rằng phương tích của các điểm  P, Q, R  đối với đường tròn ngoại tiếp lục giác ta có:        AP.BP AQ.PQ CR.DR    1,    1,      FP.EP CQ.DQ ER.FR    BR AP C Q Suy ra         BP AQ C R   Hệ thức trên chứng tỏ ba điểm  A, B, C  thẳng hàng.     Chú ý:  Tương  tự  định  lí  Pascal  trong  mặt  phẳng  xạ  ảnh  thì  mọi  lục  giác  nội  tiếp  đường  tròn  mà  không  phải  là  lục  giác  lồi  định  lí  Pascal  vẫn  đúng.  Ngoài  ra  định  lí  Pascal vẫn đúng trong trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác hoặc tam  giác và khi đó ta xem cạnh do một cặp, hai cặp, ba cặp đỉnh trùng nhau là tiếp tuyến tại  các cặp điểm trùng nhau đó.  5.2 Chứng minh định lí Brianchon: Điều kiện cần và đủ để một lục giác ngoại tiếp  một đường conic (có cạnh tiếp xúc với conic) là các đường thẳng nối các đỉnh đối diện  đồng quy tại một điểm (gọi là điểm Brianchon).  Ta chọn đường thẳng vô tận     sao cho     cắt conic tại hai điểm xyclic  I , J  Khi  đó ta sẽ có định lí Pascal trong mặt phẳng Euclide và chứng minh như sau:   Ta xét: EP2   P2 \   và cặp điểm xyclic  I , J    Phát biểu toán Euclide:  Nếu  một  lục  giác  ngoại  tiếp  một  đường  tròn  (các  cạnh của lục giác tiếp xúc với đường tròn) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện  của lục giác đó đồng quy tại một điểm (Điểm này gọi là điểm Brianchon).    B   B1 A1   C   A   C1     F1 D   F   D1 E1    E    Giải toán Euclide:   Giả  sử  ABCDEF   là  một  lục  giác  ngoại  tiếp  đường  tròn.  Các  cạnh  AB, BC, CD, DE, FA  lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại các điểm  A1 , B1 , C1 , D1 , E1 , F1    Suy ra các đường thẳng  A1 B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 E1 , E1 F1 , F1 A1  theo thứ tự là các đường đối  cực của các điểm  B, C , D, E, F , A    82  Theo định lí Pascal lục giác  A1 B1C1 D1 E1 F1  nội tiếp đường tròn nên có ba cặp cạnh  đối diện là  A1 B1  và  E1 D1 , B1C1  và  E1 F1 , C1 D1  và  F1 A1  cắt nhau theo những giao điểm  nằm trên một đường thẳng  d   Do đó những giao điểm của các cặp đường thẳng trên lần lượt là cực của các đường  thẳng  BE , CF , AD    Nên cực của đường thẳng  d  phải thuộc các đường thẳng  BE, CF , AD    Vậy  BE, CF , AD  đồng quy tại điểm cực duy nhất của  d    Chú ý:  Ta  có  thể  áp  dụng  định  lí  Brianchon  trong  trường  hợp  lục  giác  suy  biến  thành ngũ giác, tứ giác hoặc tam giác ngoại tiếp đường tròn và khi đó ta xem có một  cặp, hai cặp, ba cặp cạnh trùng nhau và giao điểm của hai cạnh trùng nhau là tiếp điểm  của hai cạnh trùng nhau đó với đường tròn.   Ta áp dụng định lí Desargues, Pascal Brianchon vào toán hình học sơ cấp 5.3. Cho tam giác  ABC  nội tiếp một đường tròn   C   và  I  là một điểm nằm phía  trong  tam  giác  đó.  Các  đường  thẳng  AI , BI , CI   lần  lượt  cắt   C    tại  A, B, C   Gọi  P, Q, R   lần  lượt  là  giao  điểm  của  BC , CA, AB   với  các  tiếp  tuyến  với   C    tại  A, B, C  Chứng minh ba điểm  P, Q, R  thẳng hàng.  Giải A   C   E   B F I   B G   C    A     Q R   Xét lục giác  C C AABB  nội tiếp đường tròn   C   có:  C C   AB  R  C A  BB  F    AA  C B  E  Theo định lí Pascal suy ra ba điểm  R, F , E  thẳng hàng.  Ta xét tương tự cho hai lục giác  BBAACC   và  AABBCC   và suy ra:  Q, G, E  thẳng hàng                                                 và  P, G, F  thẳng hàng.  Xét hai tam giác  ABC  và  EFG  có:  83  P AE , BF , CG  đồng quy tại  I    BC  FG  P                                      Mà  CA  GE  Q    AB  EF  R  Theo định lí Desargues suy ra ba điểm  P, Q, R  thẳng hàng.  5.4. Cho tam giác  ABC  và đường tròn nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với các cạnh  BC , CA, AB   lần  lượt  tại  A, B, C    Chứng  minh  rằng  các  đường  thẳng  AA, BB, CC    đồng qui.  Giải   A     C   B       B C   A   Áp  dụng  định  lí  Brianchon  đối  với  tam  giác  ngoại  tiếp  đường  tròn,  xét  lục  giác  ABCABC   ta có  AA, BB, CC   đồng qui.                                  84  Dạng Giải toán sơ cấp phương pháp hình học aphin hình học xạ ảnh 6.1. Cho tam giác  ABC  Một đường thẳng    cho trước không đi qua các đỉnh của  tam  giác  cắt  các  đường  thẳng  BC , CA, AB   lần  lượt  tại  A, B, C    Chứng  minh  rằng  trung điểm của các đoạn thẳng  AA, BB, CC  nằm trên một đường thẳng.  Giải     M A A     B      C P   N C       B   Gọi  M , N , P  lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng  AA, BB, CC    Xét hình bốn cạnh toàn phần  ABCABC   với ba đường chéo là  AA, BB, CC    Ta có  M , N , P  lần lượt là trung điểm của các đường chéo  AA, BB, CC  nên chúng  cùng nằm trên một đường thẳng.  6.2.  Một  đường  thẳng  cắt  các  cạnh  BC , CA, AB   của  tam  giác  ABC   lần  lượt  tại  A1 , B1 , C1  Gọi  A2 , B2 , C2  lần lượt là các điểm đối xứng của  A1 , B1 , C1  qua trung điểm  của các cạnh  BC , CA, AB  Chứng minh rằng ba điểm  A2 , B2 , C2  thẳng hàng.  Giải A     C2 B1   N   P B2     C1     C A1 B M   Gọi  M , N , P  lần lượt là trung điểm của các cạnh  BC , CA, AB   Vì  A1 , B1 , C1  thẳng hàng nên ta có:  85    A2    A1B B1C C1 A      (Theo định lí Menelaus).  A1C B1 A C1 B Vì  A2 , B2 , C2  là các điểm đối xứng của  A1 , B1 , C1  qua  M , N , P  nên ta suy ra:                A2 B B2C C2 A        A2C B2 A C2 B Suy ra  A2 , B2 , C2  thẳng hàng.  6.3 Cho điểm  O  nằm trong hình bình hành  ABCD  Các đường thẳng đi qua  O  và  song song với các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt  AB, BC , CD, DA  tại  M , N ,   P, Q   Gọi  E   là  giao  điểm  của  BQ   và  DM , F   là  giao  điểm  của  BP   và  DN   Tìm  điều kiện để  E , F , O  thẳng hàng.  Giải M A B E Q N O D C Xét tam giác  ABQ  và ba điểm thẳng hàng  M , E , D    Giả sử  M  chia  AB  theo tỷ số  m, E  chia  BQ  theo tỷ số  n  và  D  chia  QA  theo tỷ  số  p    Do  M , E , D  thẳng hàng nên ta có  mnp  1  (theo định lí Menelaus).  Xét tam giác  QNB  và ba điểm  O, E , C    Khi đó  O  chia  QN  theo tỷ số  m, C  chia  NB  theo tỷ số  n  và  E  chia  BQ  theo tỷ  số  p    Vì  mnp  1  nên ba điểm  O, E , C  thẳng hàng.  Chứng minh tương tự ta có ba điểm  F , O, A  thẳng hàng.  Vậy  để  ba  điểm  E , O, F   thẳng  hàng,  điều  kiện  cần  và  đủ  là  năm  điểm  A, C , E , F , O  thẳng hàng hay điểm  O  phải nằm trên đường chéo  AC  của hình bình hành đã  cho.  6.4.  Gọi  A, B, C    lần  lượt  là  trung  điểm  của  các  cạnh  BC , CA, AB   của  tam  giác  ABC   Từ  một  điểm  M   bất  kỳ  không  nằm  trên  các  đường  thẳng  BC , CA, AB   ta  có  A1 , B1 , C1  lần lượt là các giao điểm của  MA, MB , MC  với  BC , C A, AB  Chứng minh  rằng các đường thẳng  AA1 , B B1 , C C1  đồng qui hoặc song song.  Giải 86  A M2 M3 M A1 C B B1 B C1 M1 A C Gọi  M , M , M   là  giao  điểm  của  AM , BM , CM   lần  lượt  với  các  cạnh  đối  diện BC , CA, AB  Vì  AM , BM , CM  đồng qui tại  M  nên theo định lí Ceva ta có:     M B M 2C M A   1 M 1C M A M B      A1C  B1 A C1B    1 (1) A1B B1C  C1 A Do (1) nên ta có  AA1 , BB1 , C C1  đồng qui hoặc song song (theo định lí Ceva).  6.5. Cho ba điểm  A1 , B1 , C1  theo thứ tự nằm trên các cạnh  BC , CA, AB  của một tam  giác  ABC  sao cho  AA1 , BB1 , CC1  đồng qui. Gọi  A2 , B2 , C2  là giao điểm của đường tròn  đi qua ba điểm  A1 , B1 , C1  với các cạnh  BC , CA, AB  Chứng minh rằng  AA2 , BB2 , CC2   đồng qui.  Giải   A B1   C1     B2     C2     B A2 A1   Vì  AA1 , BB1 , CC1  đồng qui nên ta có:     A1B B1C C1 A     1   A1C B1 A C1B Mặt khác, ta có:        AC AB AB1 AB2  AC1 AC2  1 2 ,   AB1 AC2 87  C       BA BC BA2 BA1  BC2 BC1  1 2 ,   BC1 BA2       CB CA CA1.CA2  CB2 CB1  1 2   CA1 CB2 Ta suy ra:        A1B B1C C1 A C2 B A2C B2 A          A1C B1 A C1 B B2C C2 A A2 B    A2C C2 B B2 A     1     A2 B C2 A B2C Vậy AA2 , BB2 , CC2  đồng qui.  6.6. Cho tam giác  ABC , I  là trung điểm của đoạn thẳng  AB  Một đường thẳng  d   thay đổi luôn đi qua  I ,  lần lượt cắt hai đường thẳng  CA  và  CB  tại  A  và  B  Chứng  minh rằng giao điểm  M  của  AB  và  AB  nằm trên một đường thẳng cố định.  Giải A d I M A B C B     Đặt  CB  mCB, MB  nMA    Xét tam giác  ABB  có  AC , BM , BI  đồng quy tại  A      Vì  IA   IB  nên ta có   mn  1  hay  mn   (theo định lí Ceva).       Mặt khác, từ  MB  nMA  ta suy ra  mMB  mnMA  MA      CB  mCB Vậy ta có:         MA  mMB  Suy ra  CM // AB    Vậy điểm  M  luôn nằm trên đường thẳng cố định đi qua  C  và song song với  AB    6.7. Cho đường tròn   C  ,  từ một điểm  O  nằm ngoài   C   ta vẽ hai tiếp tuyến qua  O  lần lượt tiếp xúc với   C   tại hai điểm  I , J  Lấy hai điểm  A, B  (khác  I , J ) thuộc   C    Gọi  C  AJ  BI   và  D  AI  BJ   Chứng  minh  rằng  ba  điểm  O, C , D   thẳng  hàng.  Giải 88                  I A O C D     B J Xét lục giác suy biến  IIAJJB  nội tiếp đường tròn   C   có các điểm:   II  JJ  OI  OJ  O     IA  JB  D  AJ  IB  C  Theo định lí Pascal ta suy ra ba điểm  O , C , D  thẳng hàng.             89    PHẦN KẾT LUẬN     Trong chương trình đào tạo ngành Sư phạm Toán học, chúng ta đã được làm quen  với các môn hình học. Tuy nhiên, nếu chúng ta nghiên cứu ở mức độ sơ khai và riêng  lẻ giữa các môn học thì khó thấy được các mối quan hệ, vai trò quan trọng của từng  mảng hình học và nghĩ rằng hình học cao cấp không có ứng dụng gì liên quan đến hình  học sơ cấp. Thực chất, hình học xạ ảnh có vai trò đặc biệt bởi vì từ một bài toán xạ ảnh  chúng ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán aphin khác nhau bằng cách chọn các đường  thẳng vô tận khác nhau, từ đó chúng ta có thể xây dựng bài toán sơ cấp bất kỳ từ một  bài toán xạ ảnh và ngược lại. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng một số định lí của hình  học aphin và hình học xạ ảnh để giải một số bài toán sơ cấp một cách dễ dàng hơn.     Qua việc nghiên cứu đề tài em xin điểm lại những nội dung đã đạt được:    - Em đã nghiên cứu lý thuyết về mặt phẳng xạ ảnh và mặt phẳng aphin, mặt phẳng  Euclide.    - Em đã nghiên cứu mối quan hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh trong mặt  phẳng cũng như sự chuyển đổi giữa các mô hình, các khái niệm, tính chất.    - Em đã vận dụng lý thuyết để nghiên cứu vào giải các bài toán và áp dụng một số  định lí phổ biến có thể được gặp ở phổ thông trong các bài tập nâng cao.    Bên cạnh những kết quả đạt được của đề tài thì vẫn còn nhiều hạn chế như việc giải  bài tập còn ít và một số vấn đề chưa thể khai thác sâu hơn vì còn liên quan đến nhiều  mảng hình học khác.    Đây  là  đề  tài  mà  em  rất  tâm  đắc,  chắc  chắn  sau  khi  về  trường  phổ  thông  em  sẽ  nghiên cứu sâu hơn và vận dụng nó vào trong giảng dạy.                  Sinh viên thực                       Đặng Thị Bích Trâm                     90    TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình Học Cao Cấp, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2006.  [2] Phạm Đình Đô, Bài tập Hình Học Xạ Ảnh, Nhà xuất bản ĐH Sư phạm, 2002.  [3] Nguyễn Mộng Hy, Hình Học Cao Cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 2000.  [4] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập Hình Học Cao Cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007.  [5] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 1997.  [6] Đặng Văn Thuận, Giáo trình Hình Học Xạ Ảnh, Tủ sách ĐH Cần Thơ, 1995.  [7] Đặng Văn Thuận, Giáo trình Hình Học Aphin, Tủ sách Đại học Cần Thơ, 1995.  [8] Nguyễn Cảnh Toàn, Hình Học Xạ Ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục, 1979.  [9]  L.S.  Atanaxian,  G.B.  Gurevit,  A.S.  Ilin,  L.S.  Kôdơmina,  O.S.  Rêđôdubôva,  Tuyển tập toán Hình học sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 1978.  91    [...]... II). Khi đó ta có những bất biến aphin mà không phải bất  biến xạ ảnh như: tính chất song song của hai đường thẳng, khái niệm trung điểm, hình bình hành,    2.10.3 Hình học xạ ảnh trên mặt phẳng Tập hợp tất cả các bất biến xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh gọi là hình học xạ ảnh trên  mặt phẳng xạ ảnh.                                     27    Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG 1 Mô hình. .. , V3) là một mặt phẳng xạ ảnh.  Ta gọi mô hình này là mô hình aphin của mặt phẳng xạ ảnh.   Một điểm của P2 sẽ gọi là điểm thông thường nếu nó thuộc A2 và sẽ gọi là điểm bất  thường hay điểm vô tận nếu nó là không gian con một chiều của V2.  Như vậy, từ mặt phẳng aphin ta có thể bổ sung các “điểm vô tận” để nó trở thành  mặt phẳng xạ ảnh.   2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng aphin 2.1 Xây dựng mô hình     Trong mặt phẳng xạ ảnh,  ta chọn một đường thẳng ... thẳng,  nửa  mặt phẳng,   tam giác, tứ giác, tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng, đường bậc hai,   Định nghĩa 3: Các tính chất aphin và các khái niệm aphin được gọi chung là những  bất biến aphin của mặt phẳng.   1.7.4 Hình học aphin trên mặt phẳng Hình học aphin của mặt phẳng aphin là môn học nghiên cứu các bất biến aphin của  mặt phẳng aphin,  ta còn nói: “Tập hợp tất cả bất biến aphin của mặt phẳng A2 được gọi ... mặt phẳng aphin,  ta còn nói: “Tập hợp tất cả bất biến aphin của mặt phẳng A2 được gọi  là  hình học aphin của  mặt phẳng aphin .  Như  vậy,  hình học aphin chỉ  nghiên  cứu  những khái niệm aphin và những tính chất aphin,  tức là hình học aphin không nghiên  cứu các khái niệm và tính chất không phải là các khái niệm aphin và tính chất aphin.   Ví dụ: Định lí “Ba đường trung tuyến trong mọi tam giác đồng quy” là một định lí  của hình học aphin,  còn định lí “Ba đường cao trong mọi tam giác đồng quy” không ... trên đường thẳng     là những điểm vô tận.  Như  vậy,  một  mặt phẳng xạ ảnh bớt  đi  một  đường  thẳng  ∆  nào  đó  thì  gọi  là  mặt phẳng aphin.  Mỗi một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh đem bớt đi một đường thẳng sẽ  cho ta một mô hình của mặt phẳng aphin.   2.2 Một số kết quả cơ bản 2.2.1 Toạ độ aphin Trong mặt phẳng xạ ảnh,  ta xét mục tiêu xạ ảnh  Ai , E1,3  như trên.  Gọi  E1  A3 A2  A1E , E2... Toạ độ xạ ảnh không thuần nhất Trong mặt phẳng xạ ảnh với mục tiêu xạ ảnh  Ai , E1,3  cho trước, cho một điểm  X   có  toạ  độ  xạ ảnh là   x1, x2 , x3    trong đó  x3  0   thì  khi  đó  bộ  số  thực  có  thứ  tự   X1, X 2  trong đó  X i  xi ; i  1, 2  được gọi là toạ độ xạ ảnh không thuần nhất của  x3 điểm  X  đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho.  2.3 Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh 2.3.1... một  phép biến đổi aphin.   Ta chứng minh được tập hợp các phép aphin này trong AP2 lập thành một nhóm và hình học của nhóm này là hình học aphin.   Có  thể  xem  nhóm  aphin là  một  nhóm  con  của  nhóm  xạ ảnh nên  trong hình học aphin ta có tất cả các định lí của hình học xạ ảnh (ví dụ các định lí Desargues, Papus,  30    Pascal, Briăngsông, ). Thật vậy, vì bất biến xạ ảnh là những tính chất hay khái niệm ... p , V3) sẽ được gọi là một mặt phẳng xạ ảnh.   Không gian vectơ V3 được gọi là không gian vectơ sinh ra mặt phẳng xạ ảnh đó. Ta  thường kí hiệu mặt phẳng xạ ảnh là P2 Hiển nhiên  V3  là một mặt phẳng xạ ảnh.   2.2 Tọa độ xạ ảnh 2.2.1 Vectơ đại diện của điểm xạ ảnh Các  phần  tử  của  mặt phẳng xạ ảnh gọi  là  điểm.  Các  điểm  của  P2  được  kí  hiệu  là  A, B, C, M , N ,    10     Qua song ánh p... xạ ảnh 2.10.1 Nhóm xạ ảnh, tương đương xạ ảnh Định lí: Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh n của không gian xạ ảnh Pn lập thành  một nhóm với phép toán lấy tích các phép biến đổi.  Định nghĩa: Hình H gọi là tương đương với hình H’ nếu có một phép biến đổi xạ ảnh biến H thành H’. Khi đó ta kí hiệu: H   H’.  Từ định nghĩa trên và do tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh làm thành một nhóm ta suy ra: ... hoặc biến mỗi đường thẳng của chùm tâm  S  thành một đường thẳng của chùm tâm  S    là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỷ số kép của  4 điểm thẳng hàng hoặc bảo toàn tỷ số  kép 4 đường thẳng của chùm 17    Ánh xạ xạ ảnh f :m  m  từ đường thẳng  m  đến đường thẳng  m  được gọi là  liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm  m và m  Ta kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng  điểm  m và m   như sau:   A, B, C   A, B, C  hoặc  ... Tập hợp tất cả các bất biến xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh gọi là hình học xạ ảnh trên  mặt phẳng xạ ảnh.                                     27    Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG Mô hình aphin mặt phẳng xạ ảnh. .. VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC APHIN VÀ HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG MẶT PHẲNG Mô hình aphin mặt phẳng xạ ảnh  28  Mô hình xạ ảnh mặt phẳng aphin  28  2.1. Xây dựng mô hình ... đổi,  của mặt phẳng aphin và mặt phẳng xạ ảnh.   Chương II: Trình bày những nội dung thể hiện mối liên hệ giữa hình học aphin và hình học xạ ảnh trong mặt phẳng.   Chương  III:  Trình  bày  hệ thống