TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ MAPLE Giáo viên hướng dẫn TS Nguyễn Thư Hương Sinh viên thực Nguyễn Chí Tâm MSSV: 1110064 Lớp: SP Toán K37 Cần Thơ, 2015 LỜI CẢM ƠN  Qua thời gian học tập Trường Đại học Cần Thơ giúp em tích lũy thêm nhiều kiến thức bổ ích, đặc biệt kiến thức Thầy Cô Bộ môn Toán Khoa Sư phạm, với kiến thức hành trang để sau để em nghiên cứu vấn đề nhỏ gần luận văn tốt nghiệp Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt cô Nguyễn Thư Hương tận tình hướng dẫn động viên em để hoàn thành đề tài luận văn Và em xin gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Do thời gian phần kiến thức thân hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Hy vọng nhận đóng góp ý kiến quý báu Thầy Cô bạn bè Cuối em xin cảm ơn tất người tạo điều kiện thuận lợi để em thực luận văn cuối khóa Sinh viên thực Nguyễn Chí Tâm i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC BẢNG iii DANH MỤC CÁC HÌNH iii PHẦN MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẠM VI NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NỘI DUNG LUẬN VĂN PHẦN NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái nệm chung phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân cấp 1.2.1 Sự tồn nghiệm toán Cauchy 1.2.2 Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp 1.3 Phương trình vi phân cấp hai 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số 1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không cấp hai 1.4 Phương trình vi phân Euler 1.5 Hệ phương trình vi phân 10 ii 1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 11 1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 11 1.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không 15 1.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 18 Chương II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 22 2.1 Các phương pháp giải gần cho phương trình vi phân 22 2.1.1 Phương pháp Euler 22 2.1.2 Phương pháp Euler cải tiến 27 2.1.3 Phương pháp Runge – Kutta 31 2.1.4 Phương pháp Adams 40 2.2 Các phương pháp gi ải gần cho hệ phương trình vi phân 43 2.2.1 Phương pháp Euler 43 2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 44 Chương III: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA 47 3.1 Giải phương trình vi phân máy tính fx- 570ES 47 3.2 Giải phương trình vi phân Maple 16 58 PHẦN KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 ii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Công thức Runge-Kutta cho phương trình vi phân với trường hợp m=4 37 Bảng 2.2 Công thức Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân với trường hợp m=4 46 Bảng nghiệm 3.1 48 Bảng nghiệm 3.2 49 Bảng nghiệm 3.3 51 Bảng nghiệm 3.4 53 Bảng nghiệm 3.5 54 Bảng nghiệm 3.6 56 DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 2.1 Minh họa cho phương pháp Euler 26 Hình 2.2 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ 28 Hình 2.3 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ hai 31 Hình 2.4 Minh họa cho phương pháp Runge-Kutta cho trường hợp m=4 38 iii PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hiện nay, phát triển khoa học kỹ thuật tất nhiên Toán học ngày phát triển mạnh mẽ, đặc biệt phát triển Toán Ứng dụng Như ta biết nhờ vào phương pháp giải tích ta giải nghiệm phương trình vi phân Tuy nhiên, có nhiều trường hợp phương pháp giải tích không tìm nghiệm phương trình vi phân Do đó, ta cần tìm nghiệm gần Giải gần phương trình vi phân mảng đề tài quan trọng Toán Ứng dụng Và ngày với tiến công nghệ máy tính việc giải gần phương trình vi phân trở nên đơn giản nhẹ nhàng Với yêu thích gợi ý Cô Nguyễn Thư Hương, em chọn đề tài “ Giải gần nghiệm phương trình vi phân máy tính casio maple” hoàn thành đề tài PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận văn trình phương pháp giải gần nghiệm phương trình vi phân thường có điều kiện ban đầu (bài toán Cauchy), ứng dụng máy tính Casio fx  570ES Maple 16 vào việc giải gần cho phương trình MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lý thuyết việc giải gần số phương trình vi phân - Nghiên cứu việc ứng dụng máy tính vào việc giải gần phương trình vi phân PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tổng hợp, phân tích số nội dung lý thuyết phương trình vi phân việc giải gần phương trình vi phân - Chứng minh làm rõ số định lý quan trọng - Đánh giá phương pháp giải gần nghiệm phương trình vi phân NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức Trình bày tổng hợp số kiến thức phương trình vi phân hệ pương trình vi phân Chương 2: Một số phương pháp giải gần cho phương trình hệ phương trình vi phân Trình bày phương pháp giải gần nghiệm phương trình vi phân là: Phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất, Euler cải tiến thứ hai phương pháp Runge-Kutta Chương 3: Các ví dụ số minh họa Giải số ví dụ cho phương pháp trình bày nêu nhờ vào máy tính Casio fx  570ES Maple 16 PHẦN NỘI DUNG Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái niệm chung phương trình vi phân  Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập x, ẩn hàm y đạo hàm y, y, , y  n Dạng tổng quát:   F x, y, y, , y  n  0, (1.1)  Phương trình (1.1) khuyết biến độc lập x ẩn hàm y bắt buộc phải có đạo hàm hàm ẩn  Cấp phương trình vi phân đạo hàm cấp cao hàm ẩn  Hàm y    x  gọi nghiệm phương trình (1.1) thỏa điều kiện: o Hàm y    x  liên tục khả vi đến cấp n khoảng I   o x  I điểm x,   x  ,   x  , ,   n  x   G với G miền xác định F   o F x,   x  ,   x  , ,  n  x    0, x  I  Đường biểu diễn nghiệm y    x  (1.1) gọi đường cong tích phân phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân cấp  Định nghĩa 1.2 Phương trình vi phân cấp có dạng: F  x, y, y   0, (1.2) F xác định miền G đó, ta xét G  Nếu G phương trình (1.2) giải y , phương trình (1.2) có dạng: y  f  x, y  , Hàm y    x  nghiệm phương trình vi phân cấp nếu: F  x,   x  ,   x    1.2.1 Sự tồn nghiệm toán Cauchy Bài toán Cauchy:  y  f  x, y    y  xo   y0 , (1.3) f hàm xác định miền G  G  , x , y 0 cho trước Ta điều kiện hàm f để toán (1.3) có nghiệm Điều kiện Lipschitz: Hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschiz theo y miền G, với hai điểm  x, y1  ,  x, y2  thuộc miền G, ta có: f  x, y1   f  x, y2   L y1  y2 , L số L  Nhận xét 1.1: Hàm f có đạo hàm riêng theo biến y giới nội (bị chặn) miền G thỏa điều kiện Lipschiz Thật Vì f y  x, y  bị chặn nên L  : f y  x, y   L Theo định lý giá trị trung gian thì: f  x, y1   f  x, y2   f y  x,   y1  y2  L y1  y2 , với  nằm y1 y2 Định lí 1.1 (định lí Picard): Giả sử miền G hàm f liên tục theo biến x thỏa điều kiện Lipschiz theo biến y (hoặc f có đạo hàm theo y giới nội) Khi tồn nghiệm phương trình vi phân (1.3) nghiệm xác định khoảng  x0  , x0    , trng   Định lí 1.2 (định lí Peano): Giả sử miền G hàm f giới nội liên tục Khi tồn đường cong tích phân phương trình (1.3) Nhận xét 1.2: Đường cong tích phân qua điểm  x0 , y0  lân cận bé x0 Đây sở phương pháp giải gần phương trình vi phân phương pháp đường gấp khúc Euler 1.2.2 Các loại nghiệm phương trình vi phân cấp Nghiệm tổng quát: Là nghiệm có dạng hàm y    x, C  thỏa phương trình (1.2) với C số Nghiệm riêng: Là nghiệm mà tính nghiệm toán Cauchy thỏa mãn, tức C xác định cụ thể Khai báo bước cách tính giá trị xi 1  xi  h :   h : 0.1; x : n  n  h h : 0.1 x : n  n  h Khai báo thủ tục tính yn lệnh sau:  y : proc  n  local k1, k 2, k 3, k ; option remember; k1: h  f  x  n  1 , y  n  1  ; h k1   k : h  f  x  n  1  , y  n  1   ; 2  h k2   k : h  f  x  n  1  , y  n  1   ; 2   h   k : h  f  x  n   , y  n  1  k  ;   y  n  1    k1   k   k  k  ; end; y : proc  n  option remember; local k1, k 2, k 3, k ; k1: h * f  x  n  1 , y  n  1  ; k : h * f  x  n  1  * h, y  n  1  * k1 ; k : h * f  x  n  1  * h, y  n  1  * k  ; k : h * f  x  n  , y  n  1  k 3 ; y  n  1 1 * k1  3* k  3* k 1 * k 4; end proc Khai báo giá trị ban đầu xếp giá trị theo dãy gói lệnh: 68  y  0 : 0; seq  y  i  , i  10 ; Gói công cụ phương trình vi phân lệnh giải:   with(DEtools):    nghiem : dsolve diff Y  X  , X   X  Y  X   , Y    , Y  X  ; X 0    X  2BesselI   , X   2BesselK  , X       nghiem : Y  X       4  otherwise  1 2 1 2    2BesselI  , X   2BesselK  , X   4  4  Ta ấn định công thức nghiệm để lập bảng so sánh dùng lênh array để lập bảng:   assign  nghiem  ;      array   seq   n, y  n  , evalf         n     subs X  , Y X , n  10        ;   10        69 Ta nhận giá trị gần với độ sai số nhỏ, cho thấy phương pháp Runge-Kutta phương pháp với độ sai số thấp Ta thay độ dài bước h  0,05 ta có toán sau với giá trị tăng lên Ví dụ 11: Sử dụng Maple 16 để tính giá trị xấp xỉ nghiệm đoạn  0,1 theo phương pháp Runge-Kutta với m  phương trình y  x  y , y    với h  0,05 Giải Bằng cách sử dụng Maple 16 ta có lời giải sau:   restart :   f :  x, y   x  y2 f :  x, y   x  y   h : 0.05; x : n  n  h h : 0.05 x : n  n  h  y : proc  n  option remember; 70 y  n  1  h  f  x  n  1 , y  n  1  ; end; y : proc  n  option remember; y  n  1  h * f  x  n  1 , y  n  1  ; end proc  y  0 : 0; seq  y  i  , i  10 ;   with(DEtools):    nghiem : dsolve diff Y  X  , X   X  Y  X   , Y    , Y  X  ; X 0    X  2BesselI   , X   2BesselK  , X       nghiem : Y  X       4  otherwise  1 2 1 2    2BesselI  , X   2BesselK  , X  4  4     assign  nghiem  ;      array   seq   n, y  n  , evalf         n     subs X  , Y X , n  20      ;     20        71 Để hiểu rõ mức độ sai số phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất-thứ hai phương pháp Runge-Kutta với m  ta có toán so sánh sau: Ví dụ 12: Sử dụng Maple 16 để tính giá trị xấp xỉ nghiệm đoạn  0,1 theo phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất-thứ hai phương pháp Runge-Kutta phương trình y  xy3  y, y  0  với h  0,05 Giải Phương pháp Euler: 72   restart :   f :  x, y   x  y  y; f :  x, y   x  y  y   h : 0.05; x : n  n  h h : 0.05 x : n  n  h  y : proc  n  option remember; y  n  1  h  f  x  n  1 , y  n  1  ; end; y : proc  n  option remember; y  n  1  h * f  x  n  1 , y  n  1  ; end proc  y  0 : 1; seq  y  i  , i  20 ;   with(DEtools):    nghiem : dsolve diff Y  X  , X   X  Y  X    Y  X  ,Y    ,Y  X  ; 73 nghiem : Y  X     assign  nghiem  ;      array   seq   n, y  n  , evalf         restart :  X  2e2 X   n     subs X  , Y X , n  20      ;     20        Phương pháp Euler cải tiến thứ nhất:   f :  x, y   x  y  y; 74 f :  x, y   x  y  y   h : 0.05; x : n  n  h h : 0.05 x : n  n  h  y : proc  n  option remember; h h   y  n  1  h  f  x  n  1  , y  n  1   f  x  n  1 , y  n  1   ; 2   end; y : proc  n  option remember;   y  n  1  h * f x  n  1  2* h, y  n  1  2* hf  x  n  1 , y  n  1  ; end proc  y  0 : 1; seq  y  i  , i  20 ;   with(DEtools):    nghiem : dsolve diff Y  X  , X   X  Y  X    Y  X  ,Y    ,Y  X  ; nghiem : Y  X   75 2  X  2e2 X   assign  nghiem  ;      array   seq   n, y  n  , evalf         n      subs  X  20 , Y  X     , n  20    ;        Phương pháp Euler cải tiến thứ hai:   restart :   f :  x, y   x  y  y; f :  x, y   x  y  y   h : 0.05; x : n  n  h 76 h : 0.05 x : n  n  h  y : proc  n  option remember;    h y  n  1   f  x  n  1 , y  n  1   f x  n  , y  n  1  h  f  x  n  1 , y  n  1  ; end; y : proc  n  option remember;    y  n  1  2* h * f  x  n  1 , y  n  1   f x  n  , y  n  1  h * f  x  n  1 , y  n  1  ; end proc  y  0 : 1; seq  y  i  , i  20 ;   with(DEtools):    nghiem : dsolve diff Y  X  , X   X  Y  X    Y  X  ,Y    ,Y  X  ; nghiem : Y  X     assign  nghiem  ;      array   seq   n, y  n  , evalf       2  X  2e2 X   n     subs X  , Y X , n  20        ;   20        77 Phương pháp Runge-Kutta:   restart :   f :  x, y   x  y  y; f :  x, y   x  y  y   h : 0.05; x : n  n  h h : 0.05 x : n  n  h 78  y : proc  n  local k1, k 2, k 3, k ; option remember; k1: h  f  x  n  1 , y  n  1  ; h k1   k : h  f  x  n  1  , y  n  1   ; 2  h k2   k : h  f  x  n  1  , y  n  1   ; 2   h   k : h  f  x  n   , y  n  1  k  ;   y  n  1    k1   k   k  k  ; end; y : proc  n  option remember; local k1, k 2, k 3, k ; k1: h * f  x  n  1 , y  n  1  ; k : h * f  x  n  1  * h, y  n  1  * k1 ; k : h * f  x  n  1  * h, y  n  1  * k  ; k : h * f  x  n  , y  n  1  k 3 ; y  n  1 1 * k1  3* k  3* k 1 * k 4; end proc  y  0 : 1; seq  y  i  , i  20 ; 79   with(DEtools):    nghiem : dsolve diff Y  X  , X   X  Y  X    Y  X  ,Y    ,Y  X  ; nghiem : Y  X     assign  nghiem  ;      array   seq   n, y  n  , evalf       2  X  2e2 X   n     subs X  , Y X , n  20      ;      20        Nhận xét: Từ phương pháp ta thấy phương pháp Runge-Kutta phương pháp tốt với độ sai số nhỏ so với phương pháp lại 80 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn trình bày số phương pháp số để giải phương trình vi phân thường có điều kiện ban đầu (bài toán Cauchy), số ví dụ chủ yếu giải toán có giá trị ban đầu phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất, Euler cài tiến thứ hai phương pháp Runge-Kutta với trường hợp m  với hỗ trợ máy tính fx  570ES Maple 16 Qua cho thấy mức độ sai số phương pháp Tuy nhiên luận văn dừng lại việc ứng dụng phần mềm Maple chưa dùng đến phần mềm Matlab (phần mềm Toán học thông dụng nay), có điều kiện em tự tìm hiểu nghiên cứu thêm phần mềm để ứng dụng vào việc giải gần phương trình vi phân Vì lượng thời gian hạn chế nên luận văn em dừng lại mức độ Mặt dù thân cố gắng khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến Thầy Cô để em hoàn chỉnh luận văn cuối khóa 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên) – Nguyễn Văn Khải – Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tường (2003), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Tạ Văn Đĩnh (2004), Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [4] Nguyễn Văn Hạp (Chủ biên), Nguyễn Quý Hỹ, Hoàn Đức Nguyên Nguyễn Công Thúy (1969), Cơ sở phương pháp tính tập 1, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] Nguyễn Thế Hoàn (2000), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Thế Hoàn Trần Văn Nhung (2009), Bài tập phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [7] Trần Thị Hoàn (2007), Giải gần phương trình phi tuyến phương trình vi phân máy tính điện tử, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Thái Nguyên [8] L.E.ELSOLS (1979), Phương trình vi phân tập I, II, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [9] Đinh Văn Phong (2000), Phương pháp số học, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [10] Lê Thái Thanh (2011), Giáo trình phương pháp tính, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội 82 [...]... thực phần ảo ta sẽ nhận được hệ nghiệm cơ bản 21 Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Các phương pháp gi ải gần đúng cho phương trình vi phân 2.1.1 Phương pháp Euler Xét bài toán Cauchy sau: y  f  x, y  (2.1) thỏa điều kiện: y  x0   y0 Giả sử hàm f  x, y  khả vi cấp m trên miền D   x, y  x  x 0   a; y  y0  0 Lấy đạo hàm (2.1)... 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng ay  by  cy  0, Dạng: (1.7) với a, b, c là hằng số và a  0 Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.7): Xét phương trình đặc trưng: a2  b  c  0 (1.8)  Nếu phương trình (1.8) có hai nghiệm phân biệt 1 và  2 thì nghiệm tổng quát của (1.7) có dạng: y  x   C1e x  C2e x , C1 , C2 là hằng số 1 2  Nếu phương trình. . .Nghiệm kì dị: Là nghiệm mà tại mọi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ 1.3 Phương trình vi phân cấp hai  Định nghĩa 1.3 Phương trình vi phân cấp hai có dạng: F  x, y, y, y   0 , (1.4) trong đó F là hàm bắt buộc phải có y Giả sử phương trình (1.4) có thể giải được y khi đó (1.4) được ghi dưới dạng: y  f  x, y, y   Định nghĩa 1.4 Phương trình vi phân. .. Đặt: b  a  b1 , ta được: d2y dy a 2  b1  cy  0 dt dt 9 (1.11) Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng Nên ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) sau đó ta thay t  ln x ta được nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) 1.5 Hệ phương trình vi phân  Định nghĩa 1.5 Hệ phương trình vi phân cấp một là hệ có dạng:  F1  x, y1, y2 , , yn   0,   F2  x, y1,... Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng: y  p  x  y  q  x  y  f  x  , (1.5) trong đó p  x  , q  x  , f  x  là các hàm theo biến x Phương trình (1.5) nếu f  x   0 thì ta được phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Nếu f  x   0 thì phương trinh (1.5) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai Dạng:... là nghiệm của hệ phương trình (1.19) và Y là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất L Y   0 thì tổng Y  Y1 là nghiệm của hệ (1.19) Chứng minh: Ta dễ dàng chứng minh định lý 1 dựa vào tính chất của toán tử tuyến tính: L Y  Y   L Y   L Y  Mà: L Y   F  x  và L Y   0 Do đó: L Y  Y   F  x   Định lý 1.9: Nghiệm tổng quát Y của phương trình tuyến tính không thuần nhất trên. .. (1.12) thỏa điều kiện ban đầu: y1  x0   y10 , y2  x0   y20 , , yn  x0   yn0 Cũng tương tự như bài toán cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1 thì bài toán Cauchy đối với hệ cũng có duy nhất nghiệm 1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Dạng:  dy1  dx  a11  x  y1  a12  x  y2   a1n  x  yn ,   dy2  a  x  y  a  x  y   a... 0 2 0 n với x0   a, b thì hệ sẽ tồn tại và duy nhất nghiệm trên khoảng  a, b  Để thuận lợi cho vi c nghiên cứu các tính chất của hệ phương trình tuyến tính ta đưa ra định nghĩa toán tử vi phân tuyến tính như sau: L Y   dY  A  x Y dx 12 Khi đó hệ (1.14) có dạng: L Y   0 và hệ (1.18) có dạng: L Y   F  x  Các tính chất của toán tử tuyến tính L : o L CY   CL Y  với C là hằng... x  y  q  x  y  0 Định lí 1.3: Cấu trúc nghiệm 6 (1.6) Giả sử y1  x  , y2  x  là nghiệm của phương trình (1.6) và y1  x  , y2  x  độc lập tuyến tính trên  a, b  Khi đó nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng: y  x   C1 y1  x   C2 y2  x  với C1 ,C2 là hằng số Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.6):  Tìm một nghiệm y1  x   0  Nghiệm tổng quát của (1.6) được tìm theo công... hàm theo biến x có nhiều dạng khác nhau tùy vào bài toán Nhận xét 1.3: Nếu ta tìm được nghiệm y1  x  , y2  x  của phương trình (1.6) hai nghiệm này độc lập tuyến tính trên  a, b  và nghiệm riêng y*  x  của (1.9) thì nghiệm tổng quát của (1.9) có dạng: y  x   C1y1 x  C 2y 2 x   y * x  với C1 , C2 là hằng số Phương pháp nghiệm của phương trình (1.9): Ta sẽ đưa ra cách làm chung với ... Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 18 Chương II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 22 2.1 Các phương pháp giải gần cho phương trình vi. .. Hương, em chọn đề tài “ Giải gần nghiệm phương trình vi phân máy tính casio maple hoàn thành đề tài PHẠM VI NGHIÊN CỨU Luận văn trình phương pháp giải gần nghiệm phương trình vi phân thường có điều... dụng máy tính Casio fx  570ES Maple 16 vào vi c giải gần cho phương trình MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lý thuyết vi c giải gần số phương trình vi phân - Nghiên cứu vi c ứng dụng máy tính vào