Mở đầu Biến ngẫu nhiên Mở đầu Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Chương 2: Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Trần Minh Toàn (1) Biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) đại lượng mà giá trị ngẫu nhiên, phụ thuộc vào kết phép thử Ta thường dùng chữ in hoa để kí hiệu biến ngẫu nhiên: X, Y, Z, X1 , X2 , Còn giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận thường kí hiệu chữ thường: a, b, c, , x, y, z, x1 , x2 , - Lê Xn Lý Ví dụ Viện Tốn ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Gieo xúc xắc Ta quan tâm đến số chấm xuất Gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc, ta có X biến ngẫu nhiên tập giá trị nhận {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hà Nội, tháng năm 2012 Chọn ngẫu nhiên đứa trẻ từ nhóm gồm bé trai bé gái Ta quan tâm có bé gái Gọi X số bé gái nhóm Khi X biến ngẫu nhiên tập giá trị nhận {0, 1, 2, 3} (1) Khoảng thời gian ca cấp cứu bệnh viện biến ngẫu nhiên Nó nhận giá trị khoảng [0; +∞) Email: toantm24@gmail.com Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội)Hà Nội, 1/58 tháng năm 2012 Mở đầu / 58 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội)Hà Nội, 3/58 tháng năm 2012 Biến ngẫu nhiên Mở đầu Mở đầu / 58 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2 Phân loại Ta xét biến ngẫu nhiên hai dạng sau: Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc, tập giá trị tập hữu hạn vơ hạn đếm phần tử Nói cách khác biến ngẫu nhiên rời rạc ta liệt kê tất giá trị nhận dãy hữu hạn vơ hạn Ví dụ: số điểm thi học sinh, số gọi điện thoại tổng đài đơn vị thời gian, số tai nạn giao thông ngày, Biến ngẫu nhiên gọi liên tục, tập giá trị lấp kín khoảng số khoảng trục số trục số Ví dụ: huyết áp bệnh nhân, độ dài chi tiết máy, tuổi thọ loại bóng đèn điện tử, Miền giá trị biến ngẫu nhiên liên tục gồm số miền dạng (a; b), [a; b), (a; b], [a; b] R Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F (x) xác định sau: F (x) = P (X < x), x ∈ R (1.1) Hàm phân phối xác suất F (x) phản ánh độ tập trung xác suất bên trái điểm x Các tính chất ≤ F (x) ≤ lim F (x) = 0; lim F (x) = x→−∞ x→+∞ F (x) hàm không giảm: ∀a < b, F (a) ≤ F (b) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội)Hà Nội, 4/58 tháng năm 2012 / 58 Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội)Hà Nội, 5/58 tháng năm 2012 / 58 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Định nghĩa 2.1 Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X bảng ta ghi giá trị mà X nhận kèm theo xác suất để nhận giá trị X=x P (X = x) x1 p1 x2 p2 xn pn Câu hỏi: Để lập bảng phân phối xác suất ta cần làm ? Trả lời: Trong tập giá trị X {x1 , x2 , , xn } xếp theo thứ tự tăng dần Các xác suất pi thỏa mãn Xác định giá trị xi mà X nhận Tìm xác suất pi tương ứng với giá trị xi pi = P (X = xi ) > ∀i = 1, 2, ; pi = i Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X: F (x) = P (X < x) = P (X = xi ) = i:xi 1) = ax2 (4 − x2 )dx = f (x)dx = 47 = 0, 734 64 x Nhận xét c Hàm phân phối F (x) = f (t)dt Qua tính tốn ta thấy 26.6% côn trùng sống không tháng tuổi, 73,4% trùng sống tháng tuổi Do ta nhận xét tuổi thọ trung bình loài lớn tháng tuổi Tuy nhiên tuổi thọ trung bình lồi trùng xác bao nhiêu? −∞ x x < suy F (x) = x f (t)dt = −∞ 0dt = −∞ x ≤ x ≤ suy F (x) = x −∞ at2 (4 − t2 )dt = f (t)dt = −∞ x5 15 4x3 ( − ) 64 x x > suy F (x) = at2 (4 − t2 )dt = f (t)dt = Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 30/58 tháng năm 2012 30 / 58 Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 31/58 tháng năm 2012 31 / 58 Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Kỳ vọng Phương sai Các tham số đặc trưng Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục X Ý nghĩa: đặc trưng cho giá trị trung bình X Phương sai biến ngẫu nhiên liên tục X Ký hiệu: E(X) EX Ý nghĩa: đặc trưng cho độ phân tán liệu xung quanh EX +∞ Cơng thức tính: EX = Ký hiệu: V (X) V X x.f (x)dx −∞ Công thức tính: V X = E(X − EX)2 = E(X ) − (EX)2 Tính chất: + E(aX + b) = a.EX + b +∞ +∞ + Eg(X) = +∞ x.f (x)dx E(X ) = với: EX = −∞ g(x).f (x)dx x2 f (x)dx −∞ Tính chất: V (aX + b) = a V X −∞ +∞ Ví dụ: g(X) = X ta có E(X ) = x2 f (x)dx −∞ Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 32/58 tháng năm 2012 Biến ngẫu nhiên liên tục 32 / 58 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 33/58 tháng năm 2012 Các tham số đặc trưng Biến ngẫu nhiên liên tục Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng Độ lệch chuẩn Mode - phân vị mức p 33 / 58 Các tham số đặc trưng Mode Khái niệm: Mode biến ngẫu nhiên X, kí hiệu mod(X), giá trị biến ngẫu nhiên X có khả xuất lớn lân cận Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, mod(X) giá trị X ứng với f (x) đạt cực đại địa phương Độ lệch chuẩn Ý nghĩa: dùng để đo độ phân tán liệu xung quanh giá trị trung bình EX Ký hiệu: σ(X) σ √ Cơng thức tính: σ = V X = Ký hiệu: mod(X) E(X ) − (EX)2 +∞ với X liên tục: EX = Phân vị mức p xf (x)dx −∞ Khái niệm: Phân vị mức p biến ngẫu nhiên X giá trị zp cho +∞ 2 E(X ) = x f (x)dx F (zp ) = P (X < zp ) = p −∞ Trung vị: Trung vị biến ngẫu nhiên X giá trị X chia phân phối xác suất thành hai phần có xác suất Kí hiệu med(X): P (X < med(X) = P (X ≥ med(X)) = 0, Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 34/58 tháng năm 2012 34 / 58 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 35/58 tháng năm 2012 35 / 58 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức (Binomial Distribution) Các quy luật thông dụng học: Định nghĩa 4.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập {0; 1; 2; ; n} với xác suất tính theo cơng thức Bernoulli: P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k với k = 0, 1, , n; ≤ p ≤ gọi tuân theo phân phối nhị thức với tham số n p Ký hiệu: X ∼ B(n; p) Luật phân phối nhị thức Luật phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối liên tục Các tham số đặc trưng Phân phối chuẩn Với X ∼ B(n; p) ta có: Phân phối mũ EX = np Phân phối Khi bình phương V X = np(1 − p) = npq với q = − p Phân phối Student (n + 1)p − ≤ mod(X) ≤ (n + 1)p Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 37/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thơng dụng 37 / 58 Trần Minh Tồn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 38/58 tháng năm 2012 Phân phối nhị thức Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức 38 / 58 Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức Ứng dụng Ta thực n phép thử độc lập điều kiện Trong phép thử xác suất xảy kiện A p Gọi X số phép thử xảy A Ta có kết quả: X ∼ B(n; p) Ví dụ Gieo xúc xắc lần Gọi X số lần mặt lục lần gieo Lập bảng phân phối xác suất X, biết khả mặt lục lần gieo 1/6 Gợi ý: X ∼ B(n; p) với n = 3; p = 1/6 , P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k X=x P (X = x) 125/216 75/216 15/216 1/216 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 39/58 tháng năm 2012 39 / 58 Ví dụ Một người chơi đề 10 ngày, ngày người chơi số Tính xác suất 10 ngày chơi: +) Người trúng ngày +) Người trúng ngày +) Xác định số ngày trúng có khả xảy cao nhất? Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 40/58 tháng năm 2012 40 / 58 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối nhị thức Phân phối Poisson Phân phối Poisson Định nghĩa 4.2 Biến sau tuân theo phân phối nhị thức: Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập {0; 1; 2; ; n; } với xác suất : Tung đồng xu lần Gọi X số lần mặt ngửa Hộp có bi trắng bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi Gọi X số bi xanh lấy theo cách: +) Lấy bi +) Lấy có hồn lại bi Một máy sản xuất sản phẩm có tỷ lệ phế phẩm 2% Cho máy sản xuất 10 sản phẩm Gọi X số phế phẩm có Một xạ thủ bắn phát đạn vào bia Ở lần bắn sau rút kinh nghiệm lần bắn trước nên xác suất bắn trúng phát 0, 7; 0, 8; 0, Gọi X số phát bắn trúng bia λk ; k = 0, 1, 2, k! gọi tuân theo phân phối Poisson với tham số λ Ký hiệu: X ∼ P (λ) P (X = k) = e−λ Các tham số đặc trưng Với X ∼ P (λ) ta có: EX = λ VX =λ λ − ≤ mod(X) ≤ λ Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 41/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 41 / 58 Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 42/58 tháng năm 2012 Phân phối Poisson Một số luật phân phối xác suất thông dụng 42 / 58 Phân phối Poisson Phân phối Poisson Ví dụ Q trình Poisson cịn gọi trình đếm Trong tình ta gặp phân phối Poisson? Xét kiện E xuất thời điểm ngẫu nhiên Giả sử số lần xuất E khoảng thời gian không ảnh hưởng tới xác suất xuất E khoảng thời gian Hơn cường độ xuất E không thay đổi, nghĩa số lần trung bình xuất E khoảng thời gian tỉ lệ với độ dài khoảng thời gian Gọi X số lần xuất E khoảng thời gian (t1 , t2 ) Ta có X ∼ P (λ) với λ = c(t2 − t1 ), c số gọi cường độ xuất E Phân phối có nhiều ứng dụng nhiều q trình có liên quan đến số quan sát đơn vị thời gian không gian Ví dụ: Số điện thoại nhận trạm điện thoại phút, số khách hàng đến nhà băng chu kỳ 30 phút, số lỗi in sai trang, Nói chung dịng vào hệ phục vụ (quán bia, hiệu cắt tóc, hiệu sửa xe, trạm điện thoại, cửa hàng đó, ) biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 43/58 tháng năm 2012 43 / 58 Ở tổng đài bưu điện, điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất để: a) Có điện thoại vòng phút b) Khơng có điện thoại khoảng thời gian 30 giây c) Có điện thoại khoảng thời gian 10 giây Lời giải a Gọi X số điện thoại xuất vòng phút X ∼ P (λ) λ số điện thoại trung bình đến vịng phút λ = 5 P (X = 5) = e−λ λ5! = e−4 45! = 0, 156 b Gọi X số điện thoại xuất vòng 30 giây X ∼ P (λ) với λ = Ta có P (X = 0) = e−λ λ0! = e−1 = 0, 3679 c Gọi X số điện thoại xuất vòng 10 giây X ∼ P (λ) với λ = 1/3 Ta có P (X ≥ 1) = − P (X = 0) = − e− /3 = 0, 2835 Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 44/58 tháng năm 2012 44 / 58 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối Poisson Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Chú ý 4.1 Khi n lớn p nhỏ (n > 50; p < 0, 1) X ∼ B(n; p) chuyển thành X ∼ P (λ) với λ = np Định nghĩa 4.3 Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo phân phối chuẩn với hai tham số µ σ (với σ > 0) hàm mật độ X có dạng: Ví dụ Trong lô thuốc, tỷ lệ ống thuốc hỏng p = 0, 003 Kiểm nghiệm 1000 ống Tính xác suất để gặp ống bị hỏng Lời giải: Gọi X số ống thuốc hỏng 1000 ống Ta có X ∼ B(n; p) với n = 1000; p − 0, 003 Do n lớn p bé nên ta xấp xỉ X ∼ P (λ) với λ = np = P (X = 3) = e−λ (x−µ)2 √ e− 2σ2 σ 2π Ký hiệu: X ∼ N (µ, σ ) Các tham số đặc trưng EX = µ V X = σ2 mod(X) = med(X) = µ 3 f (x) = λ = e−3 = 0, 224 3! 3! Mục tiêu ta tính xác suất dạng P (a < X < b) Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 45/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 45 / 58 Phân phối chuẩn Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 46/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn 46 / 58 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn tắc Đặc biệt: X ∼ N (0; 1) với (µ = 0, σ = 1), X gọi tuân theo phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hố) Hàm mật độ xác suất hay cịn gọi hàm mật độ Gauss: ϕ(x) = √ e− x 2π Kết quả: Nếu X ∼ N (µ; σ ) ta có Z = Từ ta xây dựng cơng thức tính: X−µ σ ∼ N (0; 1) a−µ ) σ a−µ P (X > a) = 0, − φ( ) σ b−µ a−µ P (a ≤ X < b) = φ( ) − φ( ) σ σ ε P (|X − µ| < ε) = 2φ( ) σ P (X < a) = 0, + φ( x Để tính xác suất ta dùng hàm Laplace: φ(x) = Phân phối chuẩn tổng quát ϕ(t)dt Tính chất: φ(x) hàm lẻ, tăng thực φ(+∞) = 0, X ∼ N (0; 1) ta có: P (a < X < b) = φ(b) − φ(a) Giá trị hàm Laplace tính sẵn thành bảng số liệu Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 47/58 tháng năm 2012 47 / 58 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 48/58 tháng năm 2012 48 / 58 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn - Ví dụ Phân phối chuẩn Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Ví dụ Độ dài chi tiết máy giả sử tuân theo luật phân phối chuẩn với giá trị trung bình 20 cm độ lệch chuẩn 0,5 cm Tính xác suất chọn ngẫu nhiên chi tiết độ dài nó: a) lớn 20 cm b) bé 19,5 cm c) nằm khoảng 19 cm – 21 cm Lời giải: Gọi X(cm) độ dài chi tiết máy chọn X ∼ N (µ, σ ), µ = 20, σ = 0, 20 − µ ) = 0, − φ(0) = 0, σ 19, − µ P (X < 19, 5) = 0, + φ( ) = 0, + φ(−1) = 0, − φ(1) = σ 0, − 0, 3413 = 0, 1587 21 − µ 19 − µ P (19 < X < 21) = φ( ) − φ( ) = φ(2) − φ(−2) = 2φ(2) = σ σ 2.0, 4772 = 0, 9544 P (X > 20) = 0, − φ( Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 49/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 49 / 58 Phân phối chuẩn k + 0, − µ k − 0, − µ ) − φ( ) σ σ k2 + 0, − µ k1 − 0, − µ P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = φ( ) − φ( ) σ σ P (X = k) = φ( Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 50/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn 50 / 58 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn - Ý nghĩa Ví dụ Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ phẩm 0,95 Tìm xác suất để số phẩm lơ kiểm tra từ 940 đến 960 Lời giải : Gọi X biến ngẫu nhiên số phẩm lơ sản phẩm kiểm tra, ta có X ∼ B(1000; 0, 95) Với n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 npq = 47, đủ lớn nên ta xấp xỉ X ∼ N (950; 47, 5): 960 + 0, − 950 940 + 0, − 950 √ √ P (940 ≤ X ≤ 960) = φ( ) − φ( ) 47, 47, = φ(1, 52) − φ(−1, 52) = 2φ(1, 52) = 0, 8716 Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 51/58 tháng năm 2012 Với X ∼ B(n; p) thoả mãn np(1 − p) > 20 Khi ta xấp xỉ X ∼ N (µ, σ ) với µ = np, σ = np(1 − p) Tuy nhiên xấp xỉ phân phối rời rạc phân phối liên tục, nên cần hiệu chỉnh để giảm sai số Cụ thể với k, k1 , k2 số tự nhiên ta có: 51 / 58 Phân phối chuẩn Gauss phát minh năm 1809 nên có mang tên phân phối Gauss Ta thấy biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn nhận giá trị trục số, nhiên xấp xỉ số biến ngẫu nhiên không nhận tất giá trị R theo phân phối chuẩn, qui tắc − σ, tức ta có xác suất X rơi vào miền có xác suất 0,9974 gần 1, nên hầu hết người ta cần quan tâm đến giá trị lân cận − σ kỳ vọng Phân phối chuẩn chiếm vị trí quan trọng lý thuyết xác suất, vị trí trung tâm kết luận thống kê sau Trong thực tế, ví dụ lĩnh vực kinh tế, khoa học xã hội, nhiều phân phối không giống phân phối chuẩn, phân phối trung bình cộng trường hợp lại xem phân phối chuẩn miễn cỡ mẫu n đủ lớn Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 52/58 tháng năm 2012 52 / 58 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối mũ Một số phân phối khác Phân phối mũ Định nghĩa 4.4 Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo phân phối mũ với tham số λ > có hàm mật độ xác suất có dạng: f (x) = λe−λx , 0, x>0 x≤0 Ta có P (X > x) = eλx Phân phối mũ có tính chất khơng nhớ: P (X > t + s|X > t) = P (X > s) Ý nghĩa: Phân phối mũ có nhiều nhiều ứng dụng thực tiễn Nói chung với giả thiết đó, khoảng thời gian hai lần xuất kiện E có phân phối mũ Vì lý phân phối mũ cịn có tên gọi phân phối thời gian chờ đợi (“Waiting time distribution”) Ví dụ khoảng thời gian ca cấp cứu bệnh viện, khoảng thời gian lần hỏng hóc máy, khoảng thời gian trận lụt hay động đất, Ký hiệu: X ∼ E(λ) Các tham số đặc trưng λ VX = λ EX = Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 53/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 53 / 58 Một số phân phối khác Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 54/58 tháng năm 2012 Một số luật phân phối xác suất thông dụng 54 / 58 Một số phân phối khác Phân phối mũ Phân phối Khi bình phương Ví dụ Định nghĩa 4.5 Giả sử tuổi thọ (tính năm) mạch điện tử máy tính biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng 6,25 Thời gian bảo hành mạch điện tử năm Hỏi có phần trăm mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành Giả sử Xi , (i = 1, 2, , n) biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn tắc n Biến ngẫu nhiên Y = Xi2 gọi tuân theo phân phối Khi bình phương với n i=1 bậc tự Ký hiệu: Y ∼ χ2 (n) Lời giải Gọi X tuổi thọ mạch X tuân theo phân phối mũ với tham số λ = 1 = EX 6, 25 P (X ≤ 5) = − e−5λ = − e−0,8 = 0, 5506 Vậy có khoảng 55% mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 55/58 tháng năm 2012 Các tham số đặc trưng EY = n V Y = 2n 55 / 58 Trần Minh Tồn - Lê Xn Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 56/58 tháng năm 2012 56 / 58 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối Student Định nghĩa 4.6 Chú ý Giả sử X ∼ N (0; 1) Y ∼ χ2 (n) hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó: T = Phân phối Student có dạng tính đối xứng phân phối chuẩn phản ánh tính biến đổi phân phối sâu sắc Phân phối chuẩn dùng để xấp xỉ phân phối mẫu có kích thước nhỏ Trong trường hợp ta dùng phân phối Student X Y n Khi bậc tự n tăng lên (n > 30) phân phối Student tiến nhanh phân phối chuẩn Do n > 30 ta dùng phân phối chuẩn thay cho phân phối Student gọi tuân theo phân phối Student với n bậc tự Ký hiệu: T ∼ T (n) Các tham số đặc trưng ET = VT = n n−2 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 57/58 tháng năm 2012 57 / 58 Trần Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Biến (Việnngẫu Toánnhiên ứng dụng luậtvàphân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 58/58 tháng năm 2012 58 / 58 .. .Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Định nghĩa 2. 1 Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên. .. Toánnhiên ứng dụng luậtv? ?phân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội)Hà Nội, 8/58 tháng năm 20 12 Bảng phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất / 58 Bảng phân phối xác suất. .. (SAMI-HUST )Biến (Việnngẫu Tốnnhiên ứng dụng luậtv? ?phân Tin học, phối ĐHBK xác suấtHà Nội) Hà Nội, 42/ 58 tháng năm 20 12 Phân phối Poisson Một số luật phân phối xác suất thông dụng 42 / 58 Phân phối