VI TÍCH PHÂN A1 CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN CBGD Lê Hoài Nhân 1 Bộ môn Toán học Khoa Khoa học tự nhiên Ngày 15 tháng năm 2015 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Chương Hàm số biến Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Các qui tắc tính giới hạn Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực Các dạng vô định lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Giới hạn hàm số sơ cấp Vô bé Hàm số liên tục Định nghĩa Điểm gián đoạn Ứng dụng Lời giải Ví dụ CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) \ {x0 } với x0 ∈ (a, b) Ta nói L = lim f (x) x→x0 với ε > 0, tồn δ > cho |f (x) − L| < ε với < |x − x0 | < δ lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) \ {x0 } với x0 ∈ (a, b) Ta nói L = lim f (x) x→x0 với ε > 0, tồn δ > cho |f (x) − L| < ε với < |x − x0 | < δ lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Chú ý 1.1 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Chú ý 1.1 Sự tồn lim f (x) f (x0 ) độc lập với x→x0 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Chú ý 1.1 Sự tồn lim f (x) f (x0 ) độc lập với x→x0 Sự tồn lim f (x) phụ thuộc vào f (x) với x x→x0 gần x0 (và khác x0 ) lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Chú ý 1.1 Sự tồn lim f (x) f (x0 ) độc lập với x→x0 Sự tồn lim f (x) phụ thuộc vào f (x) với x x→x0 gần x0 (và khác x0 ) Nếu f (x) = g(x) với x = a lim f (x) = lim g(x), với giới x→a x→a hạn tồn lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Chú ý 1.1 Sự tồn lim f (x) f (x0 ) độc lập với x→x0 Sự tồn lim f (x) phụ thuộc vào f (x) với x x→x0 gần x0 (và khác x0 ) Nếu f (x) = g(x) với x = a lim f (x) = lim g(x), với giới x→a x→a hạn tồn Ví dụ 1.1 Xét hàm số g(x) = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) x x = x = CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hữu hạn Chú ý 1.1 Sự tồn lim f (x) f (x0 ) độc lập với x→x0 Sự tồn lim f (x) phụ thuộc vào f (x) với x x→x0 gần x0 (và khác x0 ) Nếu f (x) = g(x) với x = a lim f (x) = lim g(x), với giới x→a x→a hạn tồn Ví dụ 1.1 Xét hàm số g(x) = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) x x = x = CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Lời giải ví dụ 1.15 Câu Vì L = lim x→0 sin x + tan x + sin x có dạng vô định 1∞ nên x −1) sin1 x lim ( 1+tan 1+sin x L = ex→0 + tan x x→0 + sin x − lim cos x = x→0 (1 + sin x) Ta có, lim Vậy lim x→0 + tan x + sin x sin x tan x − sin x = lim = sin x x→0 (1 + sin x) sin x = e0 = Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 67 / 81 Lời giải ví dụ 1.15 Câu Vì K = lim x→∞ 2x + 2x + lim K = ex→∞ x+1 có dạng vô định 1∞ nên −1).(x+1) ( 2x+3 2x+1 lim = ex→∞ 2(x+1) 2x+1 = e1 = e Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 68 / 81 Lời giải ví dụ 1.17 Câu Tính giới hạn lim x→∞ sin x x 1 = nên vô bé x → ∞ x x |sin x| ≤ 1, ∀x ∈ R nên sin x đại lượng bị chặn Do đó, sin x tích vô bé đại lượng bị chặn x Suy sin x vô bé x → ∞ hay x lim x→∞ sin x = x→∞ x lim Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 69 / 81 Lời giải ví dụ 1.17 Câu Tính giới hạn lim x sin x→0 x lim x = nên x vô bé x → x→0 1 ≤ 1, ∀x = nên sin đại lượng bị chặn x x Do đó, x sin tích vô bé đại lượng bị chặn x Suy x sin vô bé x → hay x sin lim x sin x→0 =0 x Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 70 / 81 Lời giải ví dụ 1.18 Câu Tính giới hạn lim x→0 √ + 2x − tan 3x √ 1 + 2x − ∼ (2x) = x Khi x → 3x → lim cos 3x = nên Khi x → 2x → x→0 tan 3x = sin 3x 3x ∼ = 3x cos 3x Theo nguyên lý thay vô bé tương đương ta √ + 2x − x = lim = lim x→0 3x x→0 tan 3x Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 71 / 81 Lời giải ví dụ 1.18 Câu ex sin x − x→0 ln cos x Tính giới hạn lim Khi x → ta có, x sin x → Hơn x sin x ∼ x.x = x2 Suy ex sin x − ∼ x sin x ∼ x2 Khi x → ta có cos x − → cos x − ∼ − x2 Suy ra, ln cos x = ln [1 + (cos x − 1)] ∼ cos x − ∼ − x2 Theo nguyên lý thay vô bé tương đương ta x2 ex sin x − = lim x2 = −2 x→0 − x→0 ln cos x lim lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 Đề 72 / 81 Lời giải ví dụ 1.19 Câu Tính giới hạn sin x + 3x2 + tan5 x x→0 3x + x3 + 6x4 lim Khi x → ta có sin x 3x vô bé có bậc thấp (duy nhất) tử thức mẫu thức Do đó, Bằng cách áp dụng nguyên lý bỏ qua vô bé bậc cao ta x sin x + 3x2 + tan5 x = lim = lim x→0 3x x→0 3x + x3 + 6x4 Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 73 / 81 Lời giải ví dụ 1.19 Câu Tính giới hạn sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2 ) x→0 x + x2 + arcsin2 x lim Khi x → ta có sin 5x x vô bé có bậc thấp (duy nhất) tử thức mẫu thức Bằng cách áp dụng nguyên lý bỏ qua vô bé bậc cao ta có sin 5x + tan2 x + ln(1 + x2 ) sin 5x 5x = lim = lim =5 2 x→0 x→0 x→0 x x x + x + arcsin x lim Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 74 / 81 Lời giải ví dụ 2.1 Câu  √   + sin x − x Xét liên tục hàm số f (x) =   x0 = x = x = Ta có, f (x) = f (x)|x=0 = √ √ + sin x − 1 + sin x − sin x = lim = lim f (x) = lim x→0 x→0 x→0 x sin x x Suy ra, lim f (x) = f (0) = Do đó, f (x) liên tục x = x→0 Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 75 / 81 Lời giải ví dụ 2.1 Câu Xét liên tục hàm số g(x) = x2 x ≤ x0 = x x > Ta có, lim g(x) = x→2− lim g(x) = x→2+  lim x2 =  x→2− lim x =  =⇒ lim g(x) = lim g(x) x→2+ x→2− x→2+ Do lim g(x) không tồn x→2 Suy ra, hàm số g(x) gián đoạn x = Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 76 / 81 Lời giải ví dụ 2.1 Câu      x sin x Xét liên tục hàm số h(x) =     1x x < x > x0 = x = = −∞ x→0− x→0− x Suy ra, lim h(x) không hữu hạn Ta có, lim h(x) = lim x→0 Vậy hàm số h(x) gián đoạn x = Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 77 / 81 Lời giải ví dụ 2.2 Câu Xét liên tục hàm số f (x) = x2 x ≤ R x x > Với x < ta có f (x) = x2 hàm số sơ cấp Do đó, f (x) liên tục khoảng (−∞, 2) Với x > ta có f (x) = x hàm số sơ cấp Do đó, f (x) liên tục khoảng (2, +∞) Tại x = ta có,  lim f (x) = lim x2 =  x→2− x→2− =⇒ lim f (x) = lim f (x) lim f (x) = lim x =  x→2− x→2+ x→2+ x→2+ Do lim f (x) không tồn x→2 Suy ra, hàm số f (x) gián đoạn x = Vậy f (x) không hàm số liên tục toàn trục số lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 Đề 78 / 81 Lời giải ví dụ 2.2 Câu Xét liên tục hàm số g(x) = sin x x x = x = R sin x hàm số sơ cấp Suy g(x) liên tục x khoảng (−∞, 0) (0, +∞) sin x Tại x = 0, ta có lim f (x) = lim = = f (0) Suy ra, f (x) liên x→0 x→0 x tục x = Với x = 0, ta có f (x) = Vậy f (x) hàm số liên tục R Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 79 / 81 Lời giải ví dụ 2.3 Câu Tìm m để hàm số f (x) = x sin m x x = x = liên tục R hàm số sơ cấp Do đó, f (x) liên x tục khoảng (−∞, 0) (0, +∞) Theo đề bài, hàm số f (x) liên tục R nên f (x) liên tục x = hay (1) lim f (x) = f (0) ⇐⇒ lim x sin = m x→0 x→0 x Ta có, x sin tích vô bé đại lượng bị chặn x x → Do đó, vô bé x → 0, tức Với x = ta có f (x) = x sin lim f (x) = x→0 Đề Từ (1) ta có giá trị cần tìm m = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 80 / 81 Lời giải ví dụ 2.3 Câu cos x x ≤ liên tục R m(x − 1) x > Tìm m để hàm số g(x) = Với x < ta có g(x) = cos x hàm số sơ cấp Do đó, liên tục khoảng (−∞, 0) Với x > ta có g(x) = m(x − 1) đa thức bậc nên liên tục khoảng (0, +∞) Theo đề bài, g(x) liên tục R Suy g(x) liên tục x = hay lim g(x) = lim g(x) = g(0) ⇐⇒ = −m ⇐⇒ m = −1 x to0− x→0+ Vậy giá trị cần tìm m = −1 Đề lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 81 / 81 [...]... CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81 Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function) Tỷ số P (x) của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ Q(x) lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 81 Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function) Tỷ số P (x)... là hàm phân thức hữu tỷ Q(x) Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ) Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) = 0 thì lim x→a lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) P (x) P (a) = Q(x) Q(a) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 81 Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function) Tỷ số P (x) của hai đa thức được gọi là hàm phân. .. Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ) Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) = 0 thì lim x→a P (x) P (a) = Q(x) Q(a) Câu hỏi 1.1 P (x) ta cần thực hiện các x→a Q(x) Để tính giới hạn của hàm số hữu tỷ lim bước nào? lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 81 Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ Ví dụ 1.3 Tính các giới hạn sau: 1 2... CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 8 / 81 Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ Bài tập 1.1 f (x + h) − f (x) thường xuyên được sử h dụng Hãy tính giới hạn trên cho các hàm số sau: Trong vi tích phân, giới hạn lim h→0 1 f (x) = x2 2 x3 3 4 f (x) = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) 1 x 1 f (x) = 2 x f (x) = CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 9 / 81 Các qui tắc tính giới hạn Định... năm 2015 5 / 81 Giới hạn của hàm số đa thức Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial) Một đa thức biến số x là hàm số có dạng P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a2 x2 + a1 x + a0 trong đó an , an−1 , , a2 , a1 , a0 là các hằng số và an = 0 Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu là deg(P ) = n Định lý 1.1 (Giới hạn của hàm đa thức) Nếu P (x) là một đa thức và a là số thực tùy ý thì... (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 4 / 81 Giới hạn của hàm số đa thức Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial) Một đa thức biến số x là hàm số có dạng P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a2 x2 + a1 x + a0 trong đó an , an−1 , , a2 , a1 , a0 là các hằng số và an = 0 Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu là deg(P ) = n lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN... lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 5 / 81 Giới hạn của hàm số đa thức Ví dụ 1.2 Tính các giới hạn 1 lim (2x + 3)(3x − 1) x→−2 2 3 4 x2 − 1 x→1 x + 1 x2 − 1 lim x→−1 x + 1 t2 + 3t − 10 lim t→−5 t+5 lim lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81 Giới hạn của hàm số đa thức Ví dụ 1.2 Tính các giới hạn 1 lim (2x + 3)(3x − 1) = lim... CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81 Giới hạn của hàm số đa thức Ví dụ 1.2 Tính các giới hạn 1 lim (2x + 3)(3x − 1) = lim (6x2 + 7x − 3) = 7 x→−2 2 3 4 x→−2 x2 − 1 (x + 1)(x − 1) = lim (x − 1) = 0 lim = lim x→1 x→1 x + 1 x→1 x+1 2 x −1 lim x→−1 x + 1 t2 + 3t − 10 lim t→−5 t+5 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 81 Giới hạn của hàm số đa thức... tắc tính giới hạn Ví dụ 1.5 1 f (x) − 5 = 3, tìm lim f (x) x→2 x−2 f (x) f (x) Cho lim 2 = −2, tìm lim f (x) và lim x→0 x x→0 x→0 x Cho lim x→2 2 Bài Giải Ví dụ 1.6 Tính các giới hạn sau √ t2 + 9 − 3 1 lim t→0 t2 2 lim u→−2 √ u4 + 2u + 6 Bài Giải lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 12 / 81 Các qui tắc tính giới hạn Câu hỏi 1.2 Để tính giới hạn của hàm số chứa căn... thực hiện những bước nào? lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng 5 năm 2015 13 / 81 Các qui tắc tính giới hạn Câu hỏi 1.2 Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức lim x→a P (x) với P (x) là một đa thức ta cần thực hiện những bước nào? Câu hỏi 1.3 P (x) − A với Q(x) P (a) = A và Q(a) = 0 ta cần thực Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng lim x→a P (x), Q(x) là các đa thức ...Chương Hàm số biến Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Các qui tắc tính giới hạn Giới hạn vô cực Giới hạn vô cực Các dạng vô định lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Giới hạn hàm số sơ cấp Vô bé Hàm số liên... CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN Ngày 15 tháng năm 2015 / 81 Giới hạn hàm số phân thức hữu tỷ Bài tập 1.1 f (x + h) − f (x) thường xuyên sử h dụng Hãy tính giới hạn cho hàm số sau: Trong vi tích phân, giới hạn. .. 2015 / 81 Giới hạn hàm số phân thức hữu tỷ Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function) Tỷ số P (x) hai đa thức gọi hàm phân thức hữu tỷ Q(x) Định lý 1.2 (Giới hhạn hàm phân thức hữu