Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 Câu Chứng minh rằng: ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B Giải Cách 1: Ta có x ∈ A ∩ B x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) ⇔  x ∈ A ∩ CB  x ∈ CA ∩ B  x ∈ A  x ∈ A   x ∈ A   x ∈ B x ∈ B x ∈ A       x ∈ A x ∈ A  x ∈ CA    ⇔  ⇔    x ∈ CB ⇔   x ∈ CA ⇔  ⇔ ⇔ x∈ A∪ B    x ∈ CB  x ∈ A x ∈ B     x ∈ CA  x ∈ B    x ∈ B x ∈ CA      x∈B      x ∈ B Vậy ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B (đpcm) Cách Ta có, ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) = A ∩ ( B ∪ CB ) = A Do đó, ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ ( CA ∩ B ) = ( A ∪ CA ) ∩ ( A ∪ B ) = A∪ B Vậy ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ CB ) ∪ ( CA ∩ B ) = A ∪ B (đpcm) Câu Chỉ điều kiện cần đủ để hàm số sau có đạo hàm x = x0 x ≥ x0 ax + b f ( x) =  x < x0 cx + d Giải Cách 1: a( x0 + ∆x ) + b − ( ax0 + b ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) a∆x Ta có, lim+ = lim+ = lim+ =a ∆x → ∆x → ∆x → ∆x ∆x ∆x ' Do đó, f + ( x0 ) = a Suy ra, điều kiện cần đủ để hàm số f ( x) có đạo hàm x = x0 là: Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b ) ⇔ a = lim− ∆x → ∆x c∆x + ( cx0 − ax0 + d − b ) ⇔ a = lim− ∆x → ∆x  ( c − a ) x0 + d − b  ⇔ a = lim− c −  ∆x → ∆x   f +' ( x0 ) = lim− ∆x → Nếu ( c − a ) x0 + d − b ≠ lim− ∆x → ( c − a ) x0 + d − b = ∞ ∆x (1) suy a vô hạn vô lý (2) Vậy ( c − a ) x0 + d − b = Khi đó, a = c Từ (2) ta có b = d ax + b x ≥ x0 a = c Vậy điều kiện cần đủ để f ( x) =  có đạo hàm x = x0  b = d cx + d x < x0 Cách 2: ♦ Điều kiện cần: f ( x) liên tục x = x0 Khi đó, lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0 ) x → x0 x → x0 ⇔ lim+ ( ax + b ) = lim− ( cx + d ) = ax0 + b x → x0 x → x0 ⇔ cx0 + d = ax0 + b (1) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = lim− ♦ Điều kiện đủ: lim+ ∆x → ∆x → ∆x ∆x Điều tương đương với điều kiện sau: a ( x0 + ∆x) + b − ( ax0 + b ) c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b ) lim+ = lim− ∆x → ∆x →0 ∆x ∆x c ( x0 + ∆x ) + d − ( ax0 + b ) ⇔ a = lim− ∆x → ∆x  ( c − a ) x0 + d − b  ⇔ a = lim− c −  ∆x → ∆x   ⇔a=c (1) a = c Thay vào (1) ta b = d ax + b x ≥ x0 a = c Vậy điều kiện cần đủ để f ( x) =  có đạo hàm x = x0  b = d cx + d x < x0 Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 Câu Hai xe X , X Cùng xuất phát điểm G Chiếc xe X chạy hướng nam, xe X chạy theo hướng đông Khoảng cách hai xe tăng theo tốc độ thời điểm xe X cách điểm G khoảng 10km chạy với tốc độ 60km / h ; xe X cách G khoảng 5km chạy với tốc độ 25km / h Giải Gọi s1 (t ) , s2 (t ) khoảng cách xe X , X với G thời điểm t Do X chạy hướng nam, xe X chạy theo hướng đông nên tam giác GX X vuông G Suy ra, khoảng cách X , X t là: d (t ) = [ s1 (t )] + [ s2 (t )] 2 Tốc độ biến thiên khoảng cách X , X là: d '(t ) = s1, (t ) s1 (t ) + s2, (t ) s2 (t ) [ s1 (t )] + [ s2 (t )] 2  s1 (t0 ) = 10  s2 (t0 ) = Giả sử t0 thời điểm xét Ta có,  , , ,  s1 (t0 ) = 60  s2 (t0 ) = 25 s1, (t0 ) s1 (t0 ) + s2, (t0 ) s2 (t0 ) 60.10 + 25.5 d '( t ) = = = 29 Suy ra, 2 2 10 + [ s1 (t0 )] + [ s2 (t0 )] Vậy thời điểm t0 khoảng cách hai xe X , X tăng với tốc độ 29 5km / h Câu Một trạm bưu điện nhận gói hàng dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vuông, tổng chiều cao chu vi đáy không vượt 120cm Hãy cho biết gói hàng gởi với thể tích lớn bao nhiêu? Giải Gọi x , y độ dài cạnh đáy chiều cao gói hàng Theo đề ta có, x + y ≤ 120 ⇒ y ≤ 120 − x, < x < 30 Thể tích gói hàng V = x y ⇒ V ≤ x ( 120 − x ) Xét hàm số, f ( x) = x ( 120 − x ) , x ∈ ( 0;30 ) Ta có, f ( x) liên tục có đạo hàm ( 0;30 ) Và f '( x ) = x ( 120 − x ) − x = x ( 120 − x ) x = f '( x ) = ⇔  Ta loại giá trị x =  x = 20 f ( x) = lim− f ( x) = f (20) = 16000 > nên f ( x) đạt giá trị lớn Vì xlim →0+ x →30 ( 0;30 ) giá trị đạt điểm dừng x = 20 tức f max = f (20) = 16000 Vì V ≤ f ( x), x ∈ ( 0;30 ) nên V ≤ f (20) = 16000, x ∈ ( 0;30 ) dấu đạt x = 20 , y = 40 Vậy kích thước gói hàng 20cm , 20cm , 40cm thể tích lớn Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20/12/2007 Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi: y= , y = 0, ≤ x < +∞ ( x + 1) a) Tính diện tích miền D b) Tính thể tích vật thể tạo nên quay miền D quanh trục Ox Giải a) Diện tích miền D tính theo công thức: +∞ b 1 1   S= ∫ dx = lim dx = − lim = lim 1 − ÷ = (đvdt) 2 ∫ b →+∞ b →+∞ + x b →+∞ + b   x + x + ( ) ( ) 0 b) Thể tích vật thể tạo thành quay D quanh trục Ox +∞ b  1 π  π V =π ∫ dx = π lim dx = lim 1 − ÷ = (đvtt) 4 ∫ b →+∞ b →+∞  ÷ 3 x + x + 1 + b ( ) ( ) ( ) 0   Trang ... thể tích lớn Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20 /12 /2007 Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi: y= , y = 0, ≤ x < +∞ ( x + 1) a) Tính diện tích miền D b) Tính thể tích. .. ⇔a=c (1) a = c Thay vào (1) ta b = d ax + b x ≥ x0 a = c Vậy điều kiện cần đủ để f ( x) =  có đạo hàm x = x0  b = d cx + d x < x0 Trang Đáp án môn Giải Tích – TTK (TN050) Ngày thi 20 /12 /2007. .. đáy không vượt 12 0cm Hãy cho biết gói hàng gởi với thể tích lớn bao nhiêu? Giải Gọi x , y độ dài cạnh đáy chiều cao gói hàng Theo đề ta có, x + y ≤ 12 0 ⇒ y ≤ 12 0 − x, < x < 30 Thể tích gói hàng