Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Định lý Montel 1.1.1 Hàm chỉnh hình công thức Cauchy 1.1.2 Hàm chỉnh hình công thức Cauchy 1.2 Miền chỉnh hình Đa tạp Stein 1.2.1 Miền chỉnh hình Cn Ví dụ 1.2.2 Miền lồi chỉnh hình Giả lồi 1.2.3 Đa tạp Stein 1.3 Một số Định nghĩa cần thiết khác Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc hình 2.1 Bao lồi phân hình 2.2 Các tập mở lồi phân hình 2.3 Miền chuẩn tắc TÀI LIỆU THAM KHẢO biến nhiều biến 3 7 12 13 họ ánh xạ chỉnh 15 16 19 22 24 LỜI NÓI ĐẦU Xuất phát từ định lý cổ điển Montel: "Mọi dãy bị chặng địa phương (fi ) O(Ω) có dãy hội tụ (fj(v) )" Nói cách khác, tập bị chặn không gian Frechet O(Ω) compact tương đối Khóa luận chứng minh miền chuẩn tắc D(F) họ F hàm chỉnh hình trên đa tạp Stein X lồi phân hình Khóa luận cấu trúc gồm hai chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Đưa định nghĩa hàm chỉnh hình, công thức tích phân Cauchy hệ quả, Định lý Montel, định nghĩa miền giả lồi, miền lồi chỉnh hình Đa tạp Setin Bên cạnh định nghĩa cần thiết khác Chương 2: Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Tìm hiểu Bao lồi phân hình, Các tập mở lồi phân hình, nêu lên khái niệm số bổ đề để áp dụng cho phần Miền chuẩn tắc Khóa luận hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Em xin chân thành cảm ơn thầy! Đồng thời em xin cảm ơn thầy phản biện TS Nguyễn Văn Khiêm đọc đưa lời nhận xét chu đáo Em xin chân thành cám ơn thầy cô tổ môn Lý thuyết hàm, khoa Toán - tin trường ĐHSP Hà Nội cho em kiến thức cần thiết để hoàn thành khóa luận Cuối xin cảm ơn gia đình bạn ủng hộ, động viên suốt trình làm khoá luận Do trình độ thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Định lý Montel 1.1.1 Hàm chỉnh hình công thức Cauchy biến Định nghĩa 1.1 Hàm chỉnh hình biến Chúng ta bắt đầu việc xem lại vài định lý biến phức Định lí 1.2 Lấy Ω ⊂ C tập mở z = x + iy biến phức, x, y ∈ R Nếu f hàm lớp C Ω, có: df = với ∂ = ∂z ∂f ∂f ∂f ∂f dx + dy = dz + dz ∂x ∂y ∂z ∂z ∂ ∂ −i ∂x ∂y ∂ = ∂z ; ∂ ∂ +i ∂x ∂y (1.1) Hàm f chỉnh hình Ω df C−tuyến tính, nghĩa là, ∂f =0 ∂z Công thức Cauchy Cho K ⊂ C tập compact với mẩu C biên ∂K Khi với hàm f ∈ C (K, C) f (w) = 2πi ∂f dλ (z), π (z − w) ∂z f (z) dz − z−w ∂K w ∈ Ko K i Ở dλ (z) = dz ∧ dz = dx ∧ dy độ đo Lebesgue C Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Chứng minh Giả sử đơn giản w = Vì hàm z −→ khả tích địa z phương z = 0, có: ∂f dλ (z) = lim ε→0 πz ∂z K ∂f i dz ∧ dz πz ∂z K\D(0,ε) = lim d 2πi f (z) ε→0 K\D(0,ε) = dz f (z) 2πi z dz − lim z ε→0 2πi ∂K f (z) dz z ∂D(0,ε) công thức Stokes Tích phân cuối 2π tụ f (0) ε dần tới 2π f εeiθ dθ hội Khi f hàm chỉnh hình Ω, có công thức Cauchy: f (w) = f (z) dz, z−w 2πi w ∈ K o, (1.2) ∂K Từ tính chất hàm chỉnh hình dẫn ra: mở rộng chuỗi lũy thừa chuỗi Laurent, công thức phần dư Cauchy, thêm hệ thú vị sau: ∂ Hệ 1.3 Hàm E(z) = nghiệm toán tử πz ∂z ∂E C, nghĩa = δ0 Như hệ quả, v phân phối ∂z tựa compact C, phép nhân chập u = ( ) ∗ v nghiệm πz ∂u phương trình = v ∂z Chứng minh Áp dụng công thức Cauchy với w = 0, f ∈ D(C) ∂f ,− Suppf ⊂ K, suy f = biên ∂K f (0) = πz ∂z Chú ý Công thức sử dụng nghiệm phương trình ∂u = v Suppv không compact; nữa, Suppv compact, ∂z Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình nghiệm u tựa compact không luôn tồn Thật vậy, có điều kiện cần: v, z n ∂z n = − u, ∂z =0 Ngược lại, điều kiện cần v, z n = thỏa mãn, nghiệm tắc u = ( ) ∗ v tựa compact: dễ πz dàng nhìn thấy ý nghĩa mở rộng chuỗi lũy thừa (w − z)−1 = z n w−n−1 , giả sử Suppv chứa đĩa |z| < R |w| > R cho tất số nguyên n 1.1.2 Hàm chỉnh hình công thức Cauchy nhiều biến Cho Ω ⊂ C tập mở Một hàm f : Ω −→ C gọi chỉnh hình f liên tục chỉnh hình theo biến, nghĩa là: zj −→ f ( , zj , ) chỉnh hình z1 , , zj−1 , zj+1 , , zn cố định Tập hàm chỉnh hình Ω vành kí hiệu O(Ω) Chúng ta mở rộng công thức Cauchy tới trường hợp đa đĩa Đa đĩa mở D(z0 , R) tâm (z0,1 , , z0,n ) bán kính R = (R1 , R2 , , Rn ) định nghĩa tích đĩa tâm z0,j bán kính Rj > hệ số C: D (z0 , R) = D (z0,1 , R1 ) × D (z0,2 , R2 ) × × D (z0,n , Rn ) ⊂ Cn (1.3) Đánh dấu biên D(z0 , R) định nghĩa tích biên vòng tròn: Γ (z0 , R) = Γ (z0,1 , R1 ) × Γ (z0,2 , R2 ) × × Γ (z0,n , Rn ) (1.4) Nó quan trọng đánh dấu biên nhỏ biên tôpô ∂D (z0 , R) = j z ∈ D (z0 , R) ; |zj − z0,j | = Rj n ≥ Bở quy nạp theo n dễ dàng Công thức Cauchy đa đĩa Nếu D (z0 , R) đa đĩa đóng chứa Ω f ∈ O(Ω), với w ∈ D(z0 , R) có: f (w) = (2πi)n f (z1 , z2 , , zn ) dz1 dz2 dzn (z1 − w1 ) (z2 − w2 ) (zn − wn ) Γ(z0 ,R) Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Khai triển (zj − wj )−1 = (wj − z0,j )αj (zj − z0,j )−αj −1 , αj ∈ N, ≤ j ≤ n, f khai triển chuỗi hội tụ mạnh aα (w − z0 )α toàn đa đĩa D(z0 , R), với phân tích tiêu f (w) = α∈Nn chuẩn z a = z1α1 znαn , α! = α1 ! αn ! với: aα = (2πi)n Γ(z0 ,R) f (z1 , , zn ) dz1 dzn (z1 − z0,1 )α1 +1 (zn − z0,n )αn +1 (1.5) Giống hệ quả, f chỉnh hình toàn Ω f C−giải tích Định lý giải tích liên tục Nếu Ω liên thông tồn điểm z0 ∈ Ω cho f (α) (z0 ) = với α ∈ N, f = Ω Một hệ công thức (1.5) bất đẳng thức Cauchy: |f (α) (z0 ) | α! sup |f |, Rα Γ(z0 ,R) D (z0 , R) ⊂ Ω, (1.6) Từ suy hàm chỉnh hình đóng Cn không đổi (Định lý Liouville), tổng quát hơn, hàm chỉnh hình F Cn cho |F (z)| A(1 + |z|)B với hệ số A, B thích hợp đa thức bậc toàn phần B Chúng ta cung cấp cho O(Ω) với tô pô hội tụ tập compact K Ω, là, tô pô cảm sinh C (Ω, C) Khi O(Ω) đóng C (Ω, C) Công thức tích phân (1.6) tất phép lấy đạo hàm Dα toán tử liên tục O(Ω) dãy fi ∈ O(Ω) bị chặn tất tập compact K Ω liên tục địa phương Bởi định lý Ascoli, đạt Định lí 1.4 Định lý Montel Mọi dãy bị chặng địa phương (fi ) O(Ω) có dãy hội tụ (fj(v) ) Nói cách khác, tập bị chặn không gian Frechet O(Ω) compact tương đối (một không gian Frechet có tính chất gọi không gian Montel) Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình 1.2 1.2.1 Miền chỉnh hình Đa tạp Stein Miền chỉnh hình Cn Ví dụ Nói cách đơn giản, miền chỉnh hình tập mở Ω Cn cho phần ∂Ω để tất hàm f ∈ O(Ω) mở rộng Cụ thể hơn: Định nghĩa 1.5 Cho Ω ⊂ Cn tập mở Ω gọi miền chỉnh hình ∀a ∈ ∂D lân cận mở U a thành phần liên thông V U ∩V ta tìm hàm f chỉnh hình V f không mở rộng chỉnh hình lên U Dưới giả thuyết tạo U , có ∅ = ∂V ∩ U ⊂ ∂Ω Từ suy Ω miền chỉnh hình, đủ để tìm với z0 ∈ ∂Ω hàm f ∈ O(Ω) không bị chặn lân cận z0 Ví dụ Với tập mở Ω ⊂ C miền chỉnh hình (cho z0 ∈ ∂Ω, f (z) = (z − z0 )−1 mở rộng chỉnh hình tới z0 ) Trong Cn , tập mở lồi miền chỉnh hình: Re z − z0 , ξ0 = siêu phẳng tựa ∂Ω z0 , hàm f (z) = ( z − z0 , ξ0 )−1 chỉnh hình Ω mở rộng z0 Ví dụ Hình Hartogs Giả sử n Cho ω ⊂ Cn−1 tập mở liên thông ω ω n tập mở Xét tập mở C : Ω = D (R) \D (r) × ω ∪ (D (R) × ω ) Hình Hartogs, Ω = D (R) × ω Hình Hartogs đầy r < R D(r) ⊂ C kí hiệu đĩa mở tâm bán kính r C Khi hàm f ∈ O(Ω) mở rộng chỉnh hình tới Ω = ω × D (R) ý nghĩa công thức Cauchy: f (z1 , z ) = 2πi f (ζ1 , z ) dζ1 , z ∈ Ω, max {|z1 |, r} < ρ < R ζ1 − z1 |ζ1 |=ρ Nói tóm lại f ∈ O(D(R) × ω) f = f D(R) × ω , có f = f Ω Ω liên thông Nó suy Ω không miền chỉnh hình Sau trích dẫn hai hệ thú vị ví dụ Hệ 1.6 Định lý mở rộng Riemann Cho X đa giải tích tạp phức, S đa tạp đóng có đối chiều Khi với f ∈ O(X\S) mở rộng chỉnh hình tới X Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Chứng minh Đây kết quy nạp Chúng ta chọn tọa độ (z1 , , zn ) đa đĩa D(R)n đồ tương ứng cho S∩D(R)n cho phương trình z1 = z2 = = zn , p = codimS Khi đó, kí hiệu ω = D(R)n−1 ω = ω\ {z2 = = zp = 0}, phần bù D(R)n \S viết hình Hartogs D(R)n \S = ((D (R) \ {0}) × ω) ∪ (D (R) × ω ) Suy f mở rộng tới Ω = D(R)n 1.2.2 Miền lồi chỉnh hình Giả lồi Cho X đa tạp phức Đầu tiên xem xét khái niệm bao lồi chỉnh hình tập compact K ⊂ X Có thể xem cách hay cách khác tương tự phức khái niệm (affine) bao lồi tập compact không gian vecto thực Nó làm rõ miền chỉnh hình Cn biểu diễn tính chất lồi chỉnh hình Cuối cùng, chứng minh lồi chỉnh hình giả lồi đơn giản tương tự phức định nghĩa hình học lồi Định nghĩa 1.7 Cho X đa tạp phức cho K tập compact X Khi bao chỉnh hình K X xác định: K = KO(X) = z ∈ X; |f (z) | sup |f |, ∀f ∈ O (X) K Tính chất K tập mở X chứa K Hơn có sup |f | = sup |f |, ∀f ∈ O (X) , K K suy K = K Tính chất Nếu h : X −→ Y ánh xạ chỉnh hình K ⊂ X tập compact, h(KO(X) ) ⊂ h(KO(Y ) ) Trong trường hợp, X ⊂ Y , KO(X) ⊂ KO(Y ) ∩ X Nó suy trực tiếp từ định nghĩa Tính chất K chứa hợp K tất hợp thành liên thông compact tương đối X\K Tóm lại với hợp thành liên thông U X\K có ∂U ⊂ ∂K, suy U compact nguyên lý maximum sup |f | = sup |f | sup |f |, ∀f ∈ O (X) U ∂U K Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Tính chất Tổng quát, giả sử có ánh xạ chỉnh hình h : U −→ X xác định tập mở compact tương đối U đa tạp phức S, cho h mở rộng ánh xạ liên tục h : U −→ X h(∂U ) ⊂ K Khi h(U ) ⊂ K Thực vậy, cho f ∈ O(X), lại lần theo nguyên lý maximum sup |f ◦ h| = sup |f ◦ h| U sup |f | K ∂U Đây sử dụng đặc biệt U đĩa đơn vị C Tính chất Giả sử X = Ω ⊂ Cn tập mở Do lấy f (z) = exp(A(z)) A hàm afin tùy ý, thấy KO(Ω) chứa giao tất nửa không gian afin chứa K Suy KO(Ω) chứa bao lồi afin Kaf f Như hệ KO(Ω) luôn bị chặn KO(Cn ) tập compact Hơn nữa, Ω tùy ý, KO(Ω) không luôn compact; ví dụ, trường hợp Ω = Cn \ {0} , n 2, O(Ω) = O(Cn ) bao chỉnh hình K = S(0, 1) tập không compact K = B(0, 1)\ {0} Định nghĩa 1.8 Một đa tạp phức X gọi lồi chỉnh hình bao chỉnh hình KO(X) tập compact K ⊂ X compact Chú ý Một đa tạp phức X lồi chỉnh hình có dãy vét kiệt tập chỉnh hình compact Kv ⊂ X nghĩa tập compact cho X= Kv , Kv = Kv , Kvo ⊃ Kv−1 Thật vậy, X lồi chỉnh hình, xác định Kv K0 = ∅ Kv+1 = (K v ∪ Lv )∧O(X) lân cận Kv Lv dãy tập compact X cho X = Lv Đảo lại hiển nhiên: tồn dãy (Kv ), tập K ⊂ X chứa vài Kv , suy K ⊂ Kv = Kv compact Bây tập chung vào miền chỉnh hình Cn Chúng ta kí hiệu d B(z, r) khoảng cách hình cầu mở liên kết chuẩn tắc Cn , để đơn giản ta viết B = B(0, 1) Mệnh đề 1.9 Nếu Ω miền chỉnh hình K ⊂ Ω tập compact, d(K, Ω) K compact Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Chứng minh Cho f ∈ O(Ω) Lấy r < d(K, Ω), kí hiệu M supremum |f | tập compact K + rB ⊂ Ω Khi với z ∈ K ξ ∈ B, hàm số +∞ C t −→ f (z + tξ) = k=0 k D f (z) (ξ)k tk k! (1.7) giải tích đĩa |t| < bị chặn M Bất đẳng thức Cauchy Dk f (z) (ξ)k M k!r−k , ∀z ∈ K, ξ ∈ B Khi vế bên trái hàm giải tích z Ω, bất đẳng thức với z ∈ K, ξ ∈ B Mỗi f ∈ O(Ω) mở rộng tới hình cầu B(z, r), , z ∈ K, ý nghĩa cuả chuỗi lũy thừa (1.7) Suy B(z, r) chứa Ω, d(K, Ω) r Khi r < d(K, Ω) bất kì, có d(K, Ω) d(K, Ω) bất đẳng thức ngược lại hiển nhiên, suy d(K, Ω) = d(K, Ω) Vì K đóng bị chặn Ω, suy K compact Định lí 1.10 Cho Ω tập mở Cn Các tính chất sau tương đương: Ω miền chỉnh hình; Ω lồi chỉnh hình; Mọi tập đếm {zj }j∈N ⊂ Ω thiếu điểm tụ Ω dãy số phức (aj ), tồn hàm nội suy F ∈ O(Ω) cho F (zj ) = aj Tồn hàm F ∈ O(Ω) không bị chặn lân cận điểm ∂Ω Chứng minh =⇒ hiển nhiên =⇒ hệ Mệnh đề 1.9 =⇒ Nếu Ω = Cn phải chứng minh Mặt khác, chọn dãy trù mật (ξj ) ∂Ω lấy zj ∈ Ω cho d(zj , ξj ) < 2−j Khi hàm nội suy F ∈ O(Ω) cho F (zj ) = j thỏa mãn =⇒ Kv ∈ Ω dãy vét kiệt tập lồi compact chỉnh Chú ý v(j) số v cho zj ∈ Kv(j)+1 \Kv(j) Bởi 10 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình định nghĩa bao chỉnh hình, tìm hàm gj ∈ O(Ω) cho sup |gj | < |gj (zj ) | Kv(j) Sau nhân gj số, giả sử gj (zj ) = Lấy Pj ∈ C[z1 , z2 , , zn ] đa thức zj z0 , x1 , , zj−1 Chúng ta đặt +∞ mj F = λj Pj gj j=0 λj ∈ C mj ∈ N chọn phương pháp quy nạp cho λk Pk (zj ) gk (zj )mk , λj = aj − k Khi |gv,a (z)| > Kv lân cận a; bổ đề Borel-Lebesgue, tìm hữu hạn hàm (gv,a )a∈Iv cho max {|gv,a (z) |} > với z ∈ Lv , max {|gv,a (z) |} < với z ∈ Kv a∈Iv a∈Iv Với mũ p(v) đủ lớn có |gv,a |2p(v) |gv,a |2p(v) v Lv , a∈Iv 2−v Kv a∈Iv Suy chuỗi |gv,a (z) |2p(v) ψ (z) = v∈N a∈Iv hội tụ tới môt hàm giải tích thực ψ ∈ P sh(X) Do cách xây dựng ψ(z) v với z ∈ Lv , suy ψ vét kiệt 1.2.3 Đa tạp Stein Lớp đa tạp lồi chỉnh hình chứa hai dạng đa tạp vi phân tự nhiên i Miền chỉnh hình X = Ω ⊂ Cn ; ii Các đa tạp compact phức Trong trường hợp có nhiều hàm, hàm O(Ω) tách hai điểm Ω Nói cách khác, X compact liên thông, tập P sc(X) O(X) bao gồm đơn hàm (bởi nguyên lý maximum) Bởi hi vọng thêm vào thông tin rõ ràng hai lớp Đây mục đích, thông tin lớp đa tạp mà gọi đa tạp Stein 12 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.14 Một đa tạp phức X gọi đa tạp Stein X lồi chỉnh hình; O(Ω) tách địa phương tập X, nghĩa với x ∈ X có lân cận V cho với y ∈ V \ {x} tồn f ∈ O(X) cho f (x) = f (y) Điều kiện thứ hai hiển nhiên X = Ω tập mở Cn Suy tập mở Ω ⊂ Cn Stein Ω miền chỉnh hình 1.3 Một số Định nghĩa cần thiết khác Định nghĩa 1.15 F họ ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian phức Y gọi chuẩn tắc F compact tương đối O(X, Y ) với tô pô compact mở Định nghĩa 1.16 X, Y hai không gian phức F ⊂ O(X, Y ) i Một dãy (fj ) ⊂ F gọi phân kì compact với tập compact K ⊂ X với tập compact L ⊂ Y tồn j0 = j(K, L) cho fj (K) ∩ L = ∅ ∀j j0 ii Một họ F gọi phân kì compact F không chứa dãy phân kì compact Định nghĩa 1.17 Một ánh xạ chỉnh hình f : D −→ D , D ⊂ Cn ; D ⊂ Cn gọi riêng với tập compact K ⊂ D , tập f −1 (K ) compact D Định nghĩa 1.18 Định nghĩa Ánh xạ phân hình Giả sử A tập mở khác rỗng miền D Cn cho S = D\A tập giải tích D Giả sử f : A −→ PN (C) ánh xạ chỉnh hình Giả sử U tập mở liên thông khác rỗng D Một ánh xạ chỉnh hình f˜ = f˜ : U −→ CN +1 gọi biểu diễn f U f (z) = ρ(f˜(z)) ∀z ∈ U ∩ A\(f −1 (0)) 13 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình ρ : CN −1 \ {0} −→ PN (C) ánh xạ chiếu tắc Một ánh xạ chỉnh hình f : A −→ PN (C) gọi ánh xạ phân hình từ D −→ PN (C) với z ∈ D bất kì, tồn biểu diễn f lân cận z D Định nghĩa 1.19 Giả sử D miền Cn i Một dãy f (p) (z) ánh xạ phân hình f : D −→ PN (C) gọi hội tụ phân hình D tới ánh xạ phân hình f (z) nếu, với z ∈ D f (p) (z) có biểu diễn chấp nhận (p) (p) f˜(p) = (f0 : : fN ) lân cận cố định U z cho (p) fj (z) ∞ hội tụ p=1 tập K compact U tới hàm chỉnh hình fi (0 i N ) U với tính chất f˜ = (f0 : : fN ) biểu diễn f U , fi0 = U với i0 ii Giả sử F họ ánh xạ phân hình f : D −→ PN (C) F gọi họ chuẩn tắc phân hình D dãy F có dãy hội tụ phân hình D 14 Khóa luận tốt nghiệp Chương Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Cho X đa tạp Stein Khi chứng minh với họ F ⊂ O(X) miền chuẩn tắc D(F) tập O(X) - mở lồi phân hình X Cho X đa tạp Stein F họ hàm chỉnh hình X Khi đó, hiển nhiên miền chuẩn tắc D(F) F tập Stein mở X Nó trường hợp đặc biệt Định lý Barth [3] tổng quát Mệnh đề 12 Cartan-Thullen giả định Julia Trong trang chứng minh miền chuẩn tắc D(F) họ F hàm chỉnh hình đa tạp Stein X O(X) - lồi phân hình tương đương: với tập K D(F) bao lồi phân ˜ X = {x ∈ X|f (x) ∈ f (K) ∀f ∈ O (X)} K phụ thuộc O(X) hình K chứa D(F), O(X) kí hiệu tập tất hàm chỉnh hình X Nó tóm tắt kết việc với tập O(X) mở lồi phân hình X Stein tồn tập mở Stein X tập không O(X) - lồi phân hình dimX ≥ Để chứng minh kết chúng ta, cần vài tính chất bao lồi phân hình tập compact đa tạp Stein, chúng giống tính chất bao lồi chỉnh hình tập compact đa tạp Stein 15 Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình 2.1 Bao lồi phân hình Giả sử, suốt phần này, tất đa tạp phức đếm Cho X đa tạp phức F ⊂ O(X) ˜ F = {x ∈ X|f (x) ∈ f (K) ∀f ∈ F} gọi Với K ⊂ X tập: K bao lồi phân hình K phụ thuộc F ˜ F , L ˜ F = L Nếu đặt L = K ˜ X chứa bao lồi chỉnh hình K ˜ F K phụ thuộc F Tập K ˜ F đóng X K compact Tập K ˜X = K ˜ O(X) gọi bao lồi chỉnh hình K X Tập K ˜ X compact X lồi chỉnh hình compact Tập K ˜ Cn trùng với Trong trường hợp X Cn ta chứng minh K ˜ Cn = bao lồi hữu tỉ K định nghĩa Stolzenberg, K ˜ C[z ,z , ,z ] , z1 , z2 , , zn tọa độ Cn K n Bổ đề 2.1 Cho X đa tạp Stein fµ , gµ ∈ O(X) gµ = fµ thành phần liên thông X với µ = 1, 2, , m Đặt hµ = gµ Đặt A := {g1 g2 gm = 0} Lấy G tập mở X\A Giả sử W := G ∩ {x ∈ X\A| |hµ | < 1, µ = 1, 2, , m} G Khi tập compact ˜X ⊂ W K W K Chứng minh Bởi phép nhúng Remmet tồn n ∈ N phép nhúng chỉnh hình θ = (θ1 , θ2 , , θn ) : X −→ Cn Chúng ta giả sử θ (W ) ⊂ ∆n ∆ := {t ∈ C| |t| < 1} Đặt ψ := (h1 , h2 , , hm , θ1 , θ2 , , θn ) : X\A −→ Cm × Cn Ánh xạ ψ đơn ánh bó đồng cấu: ψ˜ : OCm ×Cn −→ ψ∗ (OX\A ) toàn ánh θ có tính chất Vì W khối đa diện giải tích X\A, ánh xạ (h1 , h2 , , hm ) : W −→ ∆m riêng (E.51f KaupKaup [5,p.226]) Bởi ánh xạ cảm sinh ψW,∆m ×∆n : W −→ ∆m × ∆n rêng Nó kéo theo ψW,∆m ×∆m phép nhúng chỉnh hình đóng Đặt g := g1 gm Lấy K tập compact W Vì ˜ X ⊂ X\A Mọi điểm x ∈ K ˜ X Khi g = K, có K θv (x) ∈ θv (K) ⊂ ∆ ∀v = 1, 2, , n Vì = (fµ − hµ (x)gµ )(x) ⊂ (fµ − hµ (x)gµ )(K), tồn y ∈ K cho fµ (y) − hµ (x)gµ (y) = Bởi hµ (x) = hµ (y) ∈ hµ (K) ⊂ ∆ ∀µ = 1, 2, , n Nó kéo theo ψ(x) ∈ ∆m × ∆n 16 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Giả sử ψ(x) ∈ / ψ(W ) Do ψ(W ) tập giải tích ∆m ×∆n , tồn α ∈ O(∆m × ∆n ) cho α = ψ(W ) α(ψ(x)) = Vì ∆m × ∆n tập Runge mở Cm × Cn , tồn hàm đa thức β ∆m × ∆n cho |β − α| < ψ(K ∪ {x}) Khi 1 K |β(ψ(x))| > Do β ◦ ψ đa thức |β ◦ ψ| < 2 h1 , h2 , , hm , θ1 , θ2 , , θn , tồn N ∈ N u ∈ O(X) cho β ◦ ψ = u X\A Vì = u − β(ψ(x)) · g N (x) ∈ u − β(ψ(x)) · g N (K), N g tồn y ∈ K cho u (y) − β(ψ(x)) · g(y)N = Bởi |β (ψ (x))| = |β (ψ (y))| < Nó mâu thuẫn Nó kéo theo ψ(x) ∈ ψ(W ) Do ψ đơn ánh, có x ∈ W Chúng ta chứng minh xong ˜X ⊂ W K Cho X đa tạp Stein Một tập mở W Bổ đề 2.1 gọi khối đa diện phân hình X W luôn Stein X\A Stein W đa thức giải tích X\A (E.51f Kaup-Kaup [5,p.226]) Bổ đề 2.2 Cho X đa tạp Stein K tập compact ˜ X giao với K khác rỗng X Khi thành phần liên thông K ˜ Chứng minh Cho {Li }N i=1 tập hợp thành liên thông KX L hợp tất Li cho Li ∩ K = ∅ L hợp tất Li cho Li ∩ K = ∅ ˜ X ; L ∩ L = ∅ K ∈ L Khi đó: L ∪ L = K Vì L L tập compact cần lấy tập E mở X cho L ⊂ E X\L ˜ X nên tồn u(p) ∈ O(X) cho Lấy tùy ý điểm p ∈ ∂E p ∈ /K u(p) ∈ / u(p) (K) Khi tồn αp ∈ C εp > cho: u(p) (p) ∈ {t ∈ C|0 < |t − αp | < εp } u(p) (U ) ⊂ {t ∈ C| |t − αp | > εp } Chúng ta giả sử g (p) := u(p) − αp = thành phần liên thông X εp Khi đó: h(p) := (p) chỉnh hình Up := g (p) = ; p ∈ Up ; K ⊂ Wp g 17 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Wp := x ∈ Up | h(p) (x) < W p ⊂ Up Do h(p) (x) > tồn lân cận Vp p cho Vp ⊂ Up Vp ∩ W p = ∅ Do ∂E compact nên tồn hữu hạn điểm p1 ; p2 ; ; pm cho ∂E ⊂ ∪m µ=1 Vpµ Đặt εµ := εpµ ; gµ := g pµ & hµ := hpµ ∀µ = 1.2 m Đặt A = {g1 g2 gm = 0} , G := E\A W = G ∩ {x ∈ X\A| |hµ (x)| < 1, µ = 1, 2, , m} Chúng ta cần kiểm tra lại W G, tập mở W khối đa điện phân hình X ˜ X ⊂ W ⊂ X\L Bổ đề ta L = ∅ Do K ⊂ W có K Như chứng minh Li ∩ K = ∅ ∀i = 1, 2, , N Bổ đề 2.3 Cho X đa tạp Stein K tập compact X ˜ X = K Khi với tập mở D X chứa K tồn khối cho K đa điện phân hình W cho K ⊂ W D Chứng minh Lấy tập mở E X cho K ⊂ E D Do chứng minh Bổ đề 2.2 tìm khối đa diện phân hình W cho K ⊂ W D 18 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình 2.2 Các tập mở lồi phân hình Cho X đa tạp phức F ⊂ O(X) Khi X gọi F lồi ˜X phân hình với tập compact K X bao lồi phân hình K K X phụ thuộc F compact Một tập mở D X gọi F lồi phân hình D F|D lồi phân hình D F lồi phân hình ˜ X compact Chúng ta tập compact K D K ý tập O(Cn ) mở lồi phân hình Cn chẳng qua tập mở lồi hữu tỉ Chúng ta có bổ đề sau mà giống mô tả tiếng cặp Runge đa tạp Stein định lý 4.3.3 Hormander [4,p.91] Kết tương tự đạt Hirschiwitz (Ở kí hiệu H KX kí ˜ X đây) hiệu K Bổ đề 2.4 Cho X đa tạp phức D tập mở X ba điều sau tương đương: D O(X) lồi phân hình; ˜ X ⊂ D; Với tập compact K D K ˜X = K ˜ D Mọi tập compact K D K Chứng minh ⇒ 2: Lấy tập compact K(K = ∅) D ˜ X ∩ D compact Lấy L0 hợp thành liên thông Khi đó: K ˜X K Tập L0 := L0 ∩ D mở đóng L0 Do L0 ⊃ L0 ∩ K = ∅ Bổ đề 2.2 có: L0 = L0 = D từ suy ˜ X ⊂ D ra: K ⇒ 3: Lấy tập K compact D ˜ X compact L ˜ X = L ⊂ D Đặt L := K Bởi bổ đề 2.3 tồn khối đa diện phân hình W X cho L ⊂ W D (chúng ta sử dụng kí hiệu Bổ đề 2.1) Tồn n ∈ N phép nhúng chỉnh hình đóng: θ = (θ1 θ2 θn ) : X −→ Cn cho θ(W ) ⊂ ∆n ∆ := {t ∈ C| |t| < 1} Đặt ψ := (h1 , h2 , , hm ; θ1 , θ2 , , θn ) : X\A −→ C m × C n Ánh xạ cảm sinh: ψW,∆m ×∆n : W −→ ∆m × ∆n phép nhúng chỉnh hình đóng 19 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình ˜W Lấy điểm x ∈ L giả sử x ∈ /K Khi tồn f ∈ O(X) cho f (x) ∈ / f (K) tồn tập mở U V C cho f (x) ∈ U , f (K) ⊂ V U ∩ V = ∅ Do ψ(W ) tập giải tích ∆m × ∆n tồn α ∈ ∆m × ∆n cho α = f ◦ ψ −1 ψ(W ) Ta có α(ψ(x)) ∈ U α(ψ(K)) ⊂ V Do ∆m × ∆n tập Runge mở Cm × Cn tồn hàm đa thức β Cm × Cn cho β(ψ(x)) ∈ U β(ψ(K)) ⊂ V Vì β ◦ W đa thức h1 , h2 , , hm ; θ1 , θ2 , , θn nên tồn N ∈ N u ∈ O(X) u cho β ◦ W = N X\A g := g1 , g2 , , gm g Do = (u − β(ψ(x)) ◦ g N )(x) ∈ (u − β(ψ(x)) ◦ g N )(K) tồn y ∈ K cho u(y) − β(ψ(x)) ◦ g N (y) = Hơn β(ψ(x)) = β(ψ(y)) ∈ V mâu thuẫn Từ suy ˜ W Chúng ta chứng minh L ⊂ K ˜W x∈K ˜W ⊂ K ˜ D ⊂ L suy L = K ˜ D Do W ⊂ D ⊂ X có K ⇒ 1: Là hiển nhiên Cho X đa tạp Stein D tập mở X Nếu D O(X) lồi phân hình theo Bổ đề 2.3 Bổ đề 2.4 tồn dãy đơn ∞ điệu tăng {Wi }∞ i=1 đa diện phân hình X cho: D = ∪i=1 Wi Vì Wi Stein, D giả lồi X Hơn D tập Stein mở X theo Docquier-Grauert D lồi không tồn tập Stein mở Cn mà không hữu tỉ lồi n Oka đưa ví dụ tập Stein mở bị chặn C2 không hữu tỉ lồi Stolzenberg chứng minh ví dụ Wermer không tập lồi hữu tỉ C3 Nếu D tập O(X) mở lồi đa tạp Stein X D O(X) lồi phân hình Lồi không X = Cn D đơn liên Nishino Cho tập D mở đa tạp Stein X chứng minh điều kiện Bổ đề 2.4 tương đương với điều kiện D Stein với tập compact K D với ϕ ∈ O(D) > tồn f, g ∈ O(X) cho g = hợp thành liên thông X, g = f K ϕ − < ε K g Chúng ta bỏ qua chứng minh vấn đề chưa sử dụng cho mục đích Chúng ta cần bổ đề sau mà tương tự hệ từ tính chất Narasimhan bổ đề Hirschowits 20 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Bổ đề 2.5 X đa tạp Stein, L tập compact X cho o o ˜ X = L Khi tập compact K L chứng minh K ˜ X ⊂ L L Chứng minh o Chứng minh hiển nhiên suy từ Bổ đề [1] Đặt D := L Lấy tập compact K D Bởi định lý phép nhúng Remmert giả sử X đa tạp phức đóng Cn Tồn lân cận Stein V X ánh xạ co chỉnh hình: ρ : V −→ X (cf.Gunning-Rossi [7,p.257]) Đặt ε := d K, Cn − ρ−1 (D) > 0, d kí hiệu khoảng cách Euclidean thông thường Cn Vì L\D compact, tồn hữu hạn điểm p1 , p2 , , pl ∈ L\D cho L\D ⊂ ∪λ X ∩ B pλ , 2ε B pλ , 2ε = z ∈ Cn |d (z, pλ ) < 2ε Tồn qλ ∈ X ∩ B pλ , 2ε \L ∀λ = 1, 2, , Khi E = D ∪ λ X ∩ B pλ , 2ε \ {q1 , q2 , , q } tập mở X chứa L Do Bổ đề 2.3 tồn đa giác phân hình W cho L ⊂ W E Lấy p ∈ W \D Khi tồn số λ0 cho p ∈ X ∩ B pλo , 2ε Do qλ0 ∈ / ρ−1 (W ) , d p, Cn \ρ−1 (W ) d (p, qλ0 ) d (p, pλ0 )+d (pλ0 , qλ0 ) ε ε < + = ε Do W Stein nên ta cần ρ−1 (W ) Stein 2 mở Cn (cf Định lý Kajiwara [11]) Hơn ˜ ρ−1 (W ) , Cn \ρ−1 (W ) = d K, Cn \ρ−1 (W ) d K, Cn \ρ−1 (D) = d K ε ˜ ρ−1 (W ) Do K ˜W = K ˜ ρ−1 (W ) ∩ W , chứng minh Suy p ∈ /K KW ˜⊂ D Bởi Bổ đề 2.1 Bổ đề 2.4 đa diện phân hình W O(X) lồi ˜X = K ˜W ⊂ K ˜ W ⊂ D phân hình nên ta có: K 21 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình 2.3 Miền chuẩn tắc Nhờ kết bổ trợ từ bổ đề ta tới khái niệm miền chuẩn tắc định lý quan trọng sau Cho X đa tạp phức Với tập mở U X bổ sung cho O(U ) với tôpô mở compact Cho F ⊂ O(X) Họ F gọi chuẩn tắc đơn liên P ∞ X dãy {fv }∞ v=1 ⊂ F tồn dãy {fkv }v=1 hội tụ O(P ) phân kì compact P (cf Barth [3]) Chúng ta kí hiệu D(F) hợp tập mở U X cho F|D ⊂ OX chuẩn tắc Khi F|D(F) chuẩn tắc Tập mở D(F) gọi miền chuẩn tắc F Định lí 2.6 Cho X Stein F ⊂ O(X) Khi D(F) tập O(X) mở lồi phân hình X Chứng minh Lấy K compact D(F) Lấy tập compact L o D(F) cho K ⊂ L Cho {Li }N i=1 tập hợp thành liên thông L Di tập liên thông D(F) chứa Li ∀i = 1, 2, , N Lấy dãy {fv }∞ v=1 ⊂ F Do F|D(F) họ chuẩn tắc nhắc lại dãy giả sử {fv }∞ v=1 hội tụ O(Di ) phân kì compact Di ∀i = 1, 2, , N Gọi I tập tất số i cho {fv }∞ v=1 hội tụ O(Di ) Gọi I tập tất số i cho {fv }∞ v=1 phân kì compact Di Đặt D := i∈I Di D := i∈I Di L = i∈I Li L = i∈I Li ∞ Do {fv }v=1 hội tụ O(D ) nên tồn c > cho |fv | < c L ∀v Vì {fv }∞ v=1 phân kì compact D , thay dãy giả sử fv (L ) ∩ {t ∈ C| |t| 2c} = ∅ ∀v Khi đó: fv (L) = fv (L ) ∩ fv (L ) ⊂ {t ∈ C| |t| < c} ∪ {t ∈ C| |t| > 2c} ∀v o ˜X Lấy P hợp thành liên thông L ˜ X ) = fv (L) Hơn ∀v Khi fv (P ) liên thông fv (P ) ⊂ fv (L có: fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| < c} fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| > 2c} Nếu tồn vô hạn v cho fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| < c} {fv }∞ v=1 dãy hội tụ O(P ) định lý Montel 22 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Cách khác thay dãy con, ta giả sử fv (P ) ⊂ {t ∈ C| |t| > 2c} ∀v Do {fv }∞ v=1 dãy phân kì compact D nên với tập compact R C tồn v0 cho fv (L ) ∩ R = ∅ ∀v v0 Hơn ∞ fv (P ) ∩ R = ∅ ∀v v0 Suy {fv }v=1 phân kì P Do chứng minh dãy {fv }∞ v=1 ⊂ F dãy hội tụ O(P ) phân kì compact P P ⊂ D(F) Suy o o o o ˜ X Bổ đề 2.5 Vì ˜ X , với K ˜X ⊂ L ˜ X ⊂ D(F) Do K ⊂ L ⊂ L L ˜ X ⊂ D(F) Suy D(F) O(X) lồi chứng minh K phân hình theo Bổ đề 2.4 23 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Abe, M.: On the Nebenhulle of an open set in a Stein manifold Bull Oshima Nat College of Maritime Tech 24, 125-129 (1991) [2] Abe, M., Furushima, M., Tsuji, M.: Equicontinuity domains and disk property Complex Variables Theory Appl 39, 19-25 (1999) [3] Barth, T.j.: Normality domains for families of holomorphic maps Math Ann 190, 293-297 (1971) [4] Hormander, L.: An introduction to complex analysis in several variables 3rd Edition, Amsterdam - London - New York - Tokyo: North - Holland, (1990) [5] Kaup L., Kaup, B.: Holomorphic functions of several variables Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1983 [6] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức [7] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp, Mở đầu giải tích phức không gian Banach 24 [...]... Chương 2 Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình Cho X là một đa tạp Stein Khi đó chúng ta chứng minh với mọi họ F ⊂ O(X) thì miền chuẩn tắc D(F) là một tập O(X) - mở lồi phân hình của X Cho X là một đa tạp Stein và F là một họ các hàm chỉnh hình trên X Khi đó, như là một hiển nhiên miền chuẩn tắc D(F) của F là một tập Stein mở của X Nó là một trường hợp đặc biệt của Định... ánh xạ chỉnh hình Giả sử U là tập mở liên thông khác rỗng của D Một ánh xạ chỉnh hình f˜ = 0 f˜ : U −→ CN +1 được gọi là một biểu diễn của f trên U nếu f (z) = ρ(f˜(z)) ∀z ∈ U ∩ A\(f −1 (0)) 13 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình ở đó ρ : CN −1 \ {0} −→ PN (C) là ánh xạ chiếu chính tắc Một ánh xạ chỉnh hình f : A −→ PN (C) được gọi là ánh xạ phân. .. được một khối đa diện phân hình W sao cho K ⊂ W D 18 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình 2.2 Các tập mở lồi phân hình Cho X là một đa tạp phức và F ⊂ O(X) Khi đó X được gọi là F lồi ˜X phân hình nếu với mọi tập compact K của X thì bao lồi phân hình K của K trong X phụ thuộc F là compact Một tập mở D của X được gọi là F lồi phân hình nếu D là F|D lồi. .. đề 2.4 đa diện phân hình W là O(X) lồi ˜X = K ˜W ⊂ K ˜ W ⊂ D phân hình nên ta có: K 21 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình 2.3 Miền chuẩn tắc Nhờ các kết quả bổ trợ từ các bổ đề ở trên ta đi tới khái niệm miền chuẩn tắc và định lý quan trọng sau đây Cho X là một đa tạp phức Với mỗi tập mở U của X chúng ta bổ sung cho O(U ) cùng với một tôpô mở compact... như các tính chất trên bao lồi chỉnh hình của các tập compact trên một đa tạp Stein 15 Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình 2.1 Bao lồi phân hình Giả sử, trong suốt phần này, tất cả các đa tạp phức là đếm được Cho X là một đa tạp phức và F ⊂ O(X) ˜ F = {x ∈ X|f (x) ∈ f (K) ∀f ∈ F} được gọi là Với mỗi K ⊂ X tập: K bao lồi phân hình của K phụ thuộc F ˜ F , thì L ˜ F =... hàm chỉnh hình trên X Nó là một bản tóm tắt kết quả hơn sự việc ở trên vì với mọi tập O(X) mở lồi phân hình của X là Stein và có thể tồn tại các tập mở Stein của X các tập không O(X) - lồi phân hình nếu dimX ≥ 2 Để chứng minh các kết quả của chúng ta, chúng ta cần một vài tính chất cơ bản trên bao lồi phân hình của các tập compact trên một đa tạp Stein, chúng giống như các tính chất trên bao lồi chỉnh. .. đó là một tập mở liên thông Ω ⊂ Rn là lồi khi và chỉ khi nếu Ω có một hàm vét kiệt lồi địa phương Khi các hàm đa điều hòa dưới xuất hiện như tổng quát tự nhiên của các hàm lồi trong giải tích phức, chúng ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.12 Cho X là một đa tạp phức n chiều Khi đó X được gọi là 11 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình 1 Giả lồi yếu... vọng thêm vào một thông tin rõ ràng giữa hai lớp con Đây là mục đích, thông tin lớp các đa tạp cái mà bây giờ được gọi là đa tạp Stein 12 Khóa luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.14 Một đa tạp phức X được gọi là một đa tạp Stein nếu 1 X là lồi chỉnh hình; 2 O(Ω) tách địa phương các tập trong X, nghĩa là với mỗi x ∈ X có một lân cận V sao... tốt nghiệp Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình Giả sử rằng ψ(x) ∈ / ψ(W ) Do ψ(W ) là một tập giải tích của ∆m ×∆n , tồn tại α ∈ O(∆m × ∆n ) sao cho α = 0 trên ψ(W ) và α(ψ(x)) = 1 Vì ∆m × ∆n là một tập Runge mở của Cm × Cn , tồn tại một hàm đa 1 thức β trên ∆m × ∆n sao cho |β − α| < trên ψ(K ∪ {x}) Khi đó 2 1 1 trên K và |β(ψ(x))| > Do β ◦ ψ là một đa thức của |β ◦... cận cố định U nào đó của z sao cho (p) fj (z) ∞ hội tụ p=1 đều trên các tập con K compact của U tới hàm chỉnh hình fi (0 i N ) trên U với tính chất f˜ = (f0 : : fN ) là một biểu diễn của f trên U , ở đó fi0 = 0 trên U với i0 nào đó ii Giả sử F là họ các ánh xạ phân hình f : D −→ PN (C) F được gọi là một họ chuẩn tắc phân hình trên D nếu mọi dãy trong F có một dãy con hội tụ phân hình trong D 14 Khóa ... khác Chương 2: Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Tìm hiểu Bao lồi phân hình, Các tập mở lồi phân hình, nêu lên khái niệm số bổ đề để áp dụng cho phần Miền chuẩn tắc Khóa luận... luận tốt nghiệp Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình ρ : CN −1 {0} −→ PN (C) ánh xạ chiếu tắc Một ánh xạ chỉnh hình f : A −→ PN (C) gọi ánh xạ phân hình từ D −→ PN (C) với z ∈... phân hình D 14 Khóa luận tốt nghiệp Chương Tính lồi phân hình miền chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Cho X đa tạp Stein Khi chứng minh với họ F ⊂ O(X) miền chuẩn tắc D(F) tập O(X) - mở lồi phân hình