KHÔNG GIAN EUCLIDE TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E Khi E gọi không gian Euclide (thực) < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − gọi tích vô hướng véctơ Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn tiên đề < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R < x, x >> 0, x = < x, x >= ⇔ x = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv Rn không gian Euclide cho tích vô hướng < ·, · >: Rn × Rn → R n (x, y ) −→< x, y >= xi yi i=1 với x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] không gian Euclide cho tích vô hướng < ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R b (f , g ) −→< f , g >= f (x)g (x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh b < f , g >= b f (x)g (x)dx = a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] g (x)f (x)dx = a b < f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx = a b b f (x)h(x)dx + a g (x)h(x)dx = a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = a b < f , f >= (f (x))2dx = ⇔ f (x) ≡ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho quy tắc ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 Tìm m để < x, y > tích vô hướng < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 + y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) = < x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2 < αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) = α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R < x, x >= x12 + x1x2 + x2x1 + mx22 = (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 > 0, (x = 0) ⇒ m > < x, x >= ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 = ⇔ x1 = x2 = hay x = m = Vậy m > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng < p, q >= p(x)q(x)dx, ∀p(x) = a1x + b1x + c1, q(x) = a2x + b2x + c2 Tính tích vô hướng p(x) = x − 4x + 5, q(x) = x + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Ví dụ Không gian Euclide Tích vô hướng p(x) q(x) < p, q >= p(x)q(x)dx = (x − 4x + 5)(x + 1)dx = = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 19 TP HCM — 2011 10 / 56 Sự trực giao Ví dụ < x3, y1 > < x3, y2 y1 − < y1, y1 > < y2, y2 1 − , , = − (1, 1, 1) − 3 3 1 = 0, − , 2 1 Vậy hệ (1, 1, 1), − , , , 3 trực giao y3 = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE > y2 + x3 > + (0, 0, 1) 1 0, − , 2 hệ TP HCM — 2011 46 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng < u, v >= u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 véctơ M = {1, x, x 2} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng < u, v >= u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 véctơ M = {1, x, x 2} Hệ véctơ M ĐLTT Theo công thức trực giao hóa, ta có v1 = u1 = 1 xdx < u2, v1 > v1 + u2 = − −1 v2 = − + x = x < v1, v1 > 1.dx −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ < u3, v1 > < u3, v2 > v1 − v2 + u3 < v1, v1 > < v2, v2 > 1 2 −1 x dx −1 x xdx − x +x = x − =− −1 1.dx −1 x dx Vậy hệ M = {1, x, x − } hệ trực giao v3 = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 48 / 56 Sự trực giao Ví dụ Hệ Trong không gian Euclide tồn sở trực giao Từ suy tồn sở trực chuẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 49 / 56 Sự trực giao Ví dụ Hệ Trong không gian Euclide tồn sở trực giao Từ suy tồn sở trực chuẩn Giả sử không gian Euclide n chiều có sở x1, x2, , xn Theo trình trực giao hóa Gram-Schmidt, ta thu hệ trực giao Để có sở trực chuẩn, ta lấy y1 y2 yn e1 = , e2 = , , en = ||y1|| ||y2|| ||yn || TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 49 / 56 Sự trực giao Bù trực giao Định lý Cho không gian Euclide E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ F không gian véctơ E Khi Với ∀x ∈ E , x ⊥ F ⇔ x trực giao với sở F Tập F ⊥ gồm véctơ E trực giao với F không gian véctơ E Tập F ⊥ gọi bù trực giao F dim(F ) + dim(F ⊥) = n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 50 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} Tìm sở số chiều W ⊥ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 51 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} Tìm sở số chiều W ⊥ Bước Cơ sở W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) Bước x = (x1, x2, x3) ∈ W ⊥ nên x ⊥ (−1, 1, 0) x ⊥ (−1, 0, 1) Do ta có −x1 + x2 = ⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒ −x1 + x3 = (x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1) Vậy dim(W ⊥) = sở (1, 1, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 51 / 56 Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách Trong không gian Euclide E cho không gian F véctơ v tùy ý Véctơ v biểu diễn dạng v = f + g , f ∈ F , g ∈ F ⊥ Véctơ f gọi hình chiếu vuông góc v xuống F Kí hiệu f = prF v Khoảng cách từ v đến không gian F d (v , F ) = ||g || = ||v − prF v || TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 52 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 với tích vô hướng tắc, cho không gian F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > véctơ x = (1, 1, 2) Tìm hình chiếu vuông góc prF x x xuống F khoảng cách từ x đến F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 53 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 với tích vô hướng tắc, cho không gian F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > véctơ x = (1, 1, 2) Tìm hình chiếu vuông góc prF x x xuống F khoảng cách từ x đến F Bước Cơ sở F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1) Bước x = f + g = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , g ∈ F ⊥ Bước < x, f1 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (1, 1, 1) > = λ1(3) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (1, 1, 1) >= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 53 / 56 Sự trực giao Ví dụ < x, f2 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (0, 1, 1) > = λ1(2) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (0, 1, 1) >= Từ suy λ1 = 1, λ2 = Vậy hình chiếu vuông góc prF x x xuống F 3 f = 1.(1, 1, 1) + (0, 1, 1) = 1, , 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 54 / 56 Sự trực giao Ví dụ Khoảng cách từ x đến F d (x, F ) = ||g || = 3 ||x − prF x|| = ||(1, 1, 2) − 1, , || = 2 1 1 || = 0.0 + + = || 0, − , 2 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 55 / 56 Sự trực giao Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 56 / 56 [...]... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 11 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Độ dài của véctơ u là ||u|| = √ < u, u > < u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 √ ⇒ ||u|| = 11 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 12 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng 1 p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và < p, q >= 0 f (x) = x + 2 Tìm ||f (x)|| TS Lê Xuân Đại. .. thì m2 − m + 31 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 3 1 3 ⇔ m = 13 ∨ m = 32 KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 17 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định lý (Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trong không gian Euclide E , ta có | < x, y > | ||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E Dấu = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 18 / 56 Không gian Euclide Góc giữa... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ||x||2.||y ||2 ||x||.||y || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 19 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Nếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆ = 0 khi đó ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2 Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0 hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 20 / 56 Không gian. .. là không gian Euclide thì |||x|| − ||y ||| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ||x + y || KHÔNG GIAN EUCLIDE ||x|| + ||y || TP HCM — 2011 21 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng < x, y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0) Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 22 / 56 Không gian Euclide... Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 15 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng 1 p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và < p, q >= 0 f (x) = x + 1, g (x) = 2x + m Tìm m để khoảng cách giữa f (x), g (x) bằng 31 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 16 / 56 Không gian Euclide Ta có d (f , g ) = √ Ví dụ ||f ||.||g || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 24 / 56 Ví dụ Không gian Euclide 1 < f , g >= 1 (x 2 +x)(2x +3)dx f (x)g (x)dx = 0 0 = 11 3 1 ||f || = (x 2 + x)2dx = < f,f > = 0 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 31 30 KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 25 / 56 Không gian Euclide ||g || = √ Ví dụ 1 (2x + 3)2dx < g, g > = 0... 217 217 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 26 / 56 Không gian Unita Định nghĩa Định nghĩa C−kgv được gọi là không gian Unita Định nghĩa Cho x, y ∈ Cn , với x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn ) Khi đó n ϕ(x, y ) =< x, y >= xi yi i=1 được gọi là tích vô hướng của 2 véctơ x, y trong không gian Unita TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 27 / 56 Sự trực... 5. 0.0 =1 3 3 Vậy cos θ = √ ⇒ θ = arccos √ 10 10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 23 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng 1 p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và < p, q >= 2 0 f (x) = x + x, g (x) = 2x + 3 Tìm góc θ giữa 2 véctơ f , g TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 24 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô... 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0) Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v Ta có cos θ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) < u, v > ||u||.||v || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 22 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5. 1.0 = 3 √ √ ||u|| = < u, u > = 1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5. 1.1 √ = 10 √ √ ||v || = < v , v > = 1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5. 0.0 =1 3 3 Vậy... + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (0, 2) Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 14 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là √ d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v > Ta có u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >= = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5( −3)(−3) = 58 √ √ Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 ... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 34 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN. .. = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5( −3)(−3) = 58 √ √ Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 15 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong... (y1, y2, , yn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] không gian Euclide cho tích